Unidad 7 Aplicaciones de las derivadas

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Juan Antonio Herrero Gallego
hace 6 años
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1 Unidad 7 Aplicaciones de las derivadas PÁGINA 165 SOLUCIONES 1. En cada caso: a) A las había una temperatura de 6Cº. b) La temperatura máima fue de 44Cº y se produjo en las 1 horas. c) Hubo 0Cº a las 1 horas y a las 8 horas. d) Bajo desde 8Cº a las 0 horas hasta 1,5 Cº a las 4, 5 horas hasta 44Cº a las 1 horas. e) 1

2 . Llamando, y a las longitudes de la base y de la altura del rectángulo obtenemos: + y 0 + y 10 A y (10 10 El área es máima para 5 unidades.. La gráfica queda:

3 PÁGINA 177 SOLUCIONES 1. La solución queda: Como comenzamos con dos vasos llenos el uno de té y el otro de leche, al final la leche que hay en el té es la misma cantidad que el té que hay en la leche; como se puede ver en el siguiente dibujo.. Comenzando el juego desde el final, observamos que la 1ª jugadora (G) ganara siempre y cuando deje a la ª jugadora (P) con 89 en la penúltima jugada. Para ello, simulamos una partida.

4 Así sucesivamente G siempre tiene que decir el número necesario para sumar un múltiplo de 11 más 1: 1; ; 4; 45; 56; 67; 78; 89. Por lo tanto, la estrategia ganadora para el primer jugador es en la 1ª jugada decir cualquier número del 1 al 10 y en la siguiente jugada, a la vista de la suma que haya obtenido el º er jugador, el 1 jugador debe decir un numero de modo que deje la suma en un múltiplo de 11 más 1, y así sucesivamente en las siguientes jugadas, hasta que en la penúltima deje al º jugador como resultado de la suma 89, de esta forma gana la partida. La estrategia ganadora para el º jugador es la misma: ir diciendo números del 1 al 10 que dejen como resultado de la suma al 1 er jugador un número que sea múltiplo de 11 más 1, así en er todas las jugadas; en la penúltima debe dejar al 1 jugador como resultado de la suma 89 y de esta forma ganara la partida.. En el siguiente diagrama vemos la genealogía de las abejas. Designamos con Z a los zánganos y con O a las obreras. Obtenemos la sucesión: 1,,, 5, 8, 1, 1, que es la sucesión de Fibonacci. En la décima generación anterior a él un zángano tiene 89 antecesores, de los cuales 4 son machos y 5 son hembras. Continuando las sucesiones, obtenemos: En la vigésima generación anterior a él tiene antecesores, de los cuales son machos y son hembras. En la vigésima primera generación anterior a él tiene antecesores. 4

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6 SOLUCIONES 1. La solución queda: Hallamos la primera derivada, estudiamos su signo y obtenemos: a) La función es monótona creciente en (, ) y monótona decreciente en (, + ). b) La función es monótona decreciente para cualquier número real. c) La función es monótona decreciente para cualquier número real. d) La función es monótona creciente para cualquier número real. e) La función es monótona creciente en (, 0) U (, + ) y monótona decreciente en (0, ). f) La función es monótona creciente para cualquier número real. g) La función es monótona decreciente en (0, 1/e) y monótona creciente en (1/e, + ). h) La función es monótona decreciente en (, - ) y monótona creciente en (, + ).. La solución queda: a) f ( es estrictamente decreciente en (,0) (,) f( es estrictamente creciente en ( 0,1) (1,) (, + ) b) g( es estrictamente creciente en ( 1,0) (1, + ) g( es estrictamente decreciente en (, 1) (0,1). La solución es: a) Tomando 1980 como año 0 es decir 0 el número de socios fundadores fue de 100. b) Aumenta el número de socios fundadores entre 1980 y a partir de Estudiamos la primera y segunda derivada, obtenemos: a) En el punto (, ) la función tiene un máimo relativo. b) En el punto (1/e, - 1/e) la función tiene un mínimo relativo. c) En el punto (, 16) tiene un máimo relativo y en el punto (, 15) un mínimo relativo. d) En el punto (1, 1/e) la función tiene un máimo relativo. e) En el punto (0, ) la función tiene un máimo relativo. f) En el punto (- 1, - ) tiene un máimo relativo y en el punto (1, ) un mínimo relativo. 6

7 5. Queda: f ( 6 + a f ( 6 e imponiendo la condición 6 0 También debe ocurrir: f ( f () > 0 La función tiene un mínimo relativo en el punto (,1), luego, este punto debe verificar la función: a a 8 6. Queda: Como la función tiene un máimo relativo en (0, 4) se cumple: f ( 0) 4 4 c Entonces: f ( 0) 0 f ( + b f (0) b 0 b 0, luego b 0 y c 4 7. La solución es: a f ( + b + 1 Si tiene etremos en 1 y en se cumple: La función tiene un máimo relativo en y tiene un mínimo relativo en La solución es: Obtiene el beneficio máimo en el punto (5, 4). Es decir cada caja la venderá a 5 euros y obtendrá unas ganancias de 400 euros/día. La botella la vende a 0, La solución es: Sea la función C( y su derivada C ( La segunda queda: C ( 100. Para 4 C ( > 0 mínimo El coste es mínimo para 4 toneladas de material y asciende este coste mínimo a 17 dólares. 7

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9 SOLUCIONES 10. Sean y 48 los numero que hemos de buscar. La función a optimizar es S ( 5 + 6(48 S( La función S( presenta un mínimo Los números buscados son: y La función a optimizar es: La función s( presenta un mínimo en El numero buscado es. 1. Llamando al lado del cuadrado, la base de la caja es un rectángulo de las dimensiones siguientes: ( 80 y (50 La función a optimizar es: V( (80 (50 V( La derivada queda: V ( 1 V ( 4 50 V > Mínimo V (10) < 0 Máimo Por tanto, para 10 cm, el volumen es máimo. 9

10 1. La función a optimizar es: 16 Área A 0 A + ; A () > 0 4 y 4 y Para que la cantidad de material sea mínima, la caja debe medir cm en el lado de la base y 1 m de altura. 14. El área es: Sean, y las dimensiones de los lados del rectángulo: + y 00 y 100 D + y D D ( 50) > 0 Luego el rectángulo de diagonal mínima mide 50 cm de base y 50 cm de altura, es decir, es un cuadrado de 50 cm de lado. 15. Sean, y las medidas del rectángulo. El perímetro es: + y 10 y 5 Área y ( 5 5 Las derivadas son: A 5 0, 5 y A A (,5) < 0 El área es máima si el rectángulo es un cuadrado de, 5 m de lado. 16. La solución es: a) 1 Q ( ( + 1)(6 0 1 Si Q ( , entonces Q ( 1) > 0 Mínimo; Q ( 1) < 0 Máimo. La temperatura optima se obtiene a 1C º. b) La producción de hortaliza para esta temperatura es de: Q( 1) 54 kg. 10

11 17. Llamado, y al lado de la base y a la altura de la piscina respectivamente obtenemos: y y 18 A + 4y + 18 A A + A (4) > 0 La piscina tendrá 4 m de lado de la base y m de altura. 18. Llamando e y a las dimensiones del ventanal, tenemos que la función a optimizar es: A y Veamos la relación entre e y: + y 6 y A( ( A ( 0 m A ( A (1,5) < 0 Máimo Por tanto, la máima luminosidad se consigue con una ventana cuadrada de 1, 5 m de lado. 19. La solución es: a) f( 9 f ( 6 18 f ( 1 18 f ( 1 18 > 0 > f ( 1 18 < 0 < f es cóncava hacia las y positivas en,+ y cóncava hacia las y negativas en En presenta un punto de infleión en 7, f,,, b) f( 4 f ( f ( si > f ( > 0 f si < f ( < 0 f No eiste punto de infleión. 0 es cóncava hacia las y positivas en ( 0,+ ) 0 es cóncava hacia las y negativas en (,0) 11

12 c) f ( f ( 4 4 f ( 1 4 Estudiamos el signo de f ( F es cóncava hacia las y positivas en ( ) ( +, + ) negativas en (, ) Esta función tiene dos puntos de infleión en (, 1 1)., y cóncava hacia las y d) f ( + 4 f ( f ( + 4 ( + 4) F es cóncava hacia las y positivas en toda la recta real, pues No eisten puntos de infleión. f ( > 0 e) f( e f ( e e f ( 4e + 4 e f ( e (4 4) F es cóncava hacia las y positivas en ( + 1, + ) y cóncava hacia las y negativas en (, 1), f tiene un punto de infleión en (1, e ). f) f ( ln( + 4) f ( f ( ( + 4) F es cóncava hacia las y negativas en toda la recta real, pues No eisten puntos de infleión. f ( > 0 4 g) f ( ; f ( 4 ; f ( 1 F es cóncava hacia las y positivas en 1 1 negativas en, ,, + y cóncava hacia las y 6 6 1

13 h) f( ( 1) e ; f ( e ; f ( e (1+ F es cóncava hacia las y positivas en ( 1, + ) y hacia las negativas en (, 1). i) f ( ln( + 4) ; f ( ; f ( ( + 4) F es cóncava hacia las y negativas en ( 4, + ). 0. Hallemos el punto de infleión de la curva. y y y 6 1 ; y ; y () 0 Luego el punto de infleión es (, 5) La recta tangente en (, 5) es: y 5 y () ( ) y 5 4( ) 4 y 0 1. La solución queda:. La solución es: f( a f ( a f ( 6a f ( 6a + b + c Queremos: + b f( tiene un máimo relativo en 1si f ( 1) 0 a + b 0 f( tiene un punto de infleión en (0, 0) si f(0) 0 c 0 y además f (0) Luego c 0 y a + b 0 y para que tenga un máimo en 1 f (1) < 0 a debe ser negativo. 1

14 . La solución es: a) f ( ( 1) 1 f ( ( 1) (4 1) 0 1/ 4 f ( ( 1) (1 6) 1 f > f( tiene un mínimo en, 4 56 b) f( f( + 1 y punto de infleión en 1 1,. 16 f ( f ( 0 ( + 1) Esta función tiene: Mínimo (1, -1) y Máimo (-1,1) c) f(

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16 SOLUCIONES 4. En cada caso queda: a) f ( y + g ( 4 + 4y 0 b) A partir de la grafica de f ( observamos que f( es creciente de (,) y decreciente (, + ). Del mismo modo g( es creciente en (0, 4) y decreciente en (,0) (4, + ). 5. Queda: Esta función es decreciente en todo su dominio de definición. Dom f R {,1}, en este caso es decreciente Dom f 6. La solución es: 400 a) f ( 0 ± f ( f (0) > 0 Mínimo El coste mínimo se produce con 0 actores secundarios. b) El coste mínimo es de: C ( 0) 1, 4 millones de euros. 16

17 7. Llamando, y, z a los números buscados, tenemos que la función a optimizar es: p y z Imponiendo las condiciones del problema, tenemos: Por tanto: + y + z 60 y 60 z + y + z 10 z Por tanto, el producto máimo para 0 ; y 0; z El problema se eplica: y + y y 000 y La función a optimizar es A y, es decir, A m A 10 / A (150) < 0 Máima A La nave de área máima tiene de dimensiones 150 m por 50 m. 17

18 9. La solución queda: a) La función beneficio viene dada por: B ( I( G( b) B ( B (750) < 0 Máimo El beneficio máimo se produce cuando se venden 750 unidades y este beneficio es el siguiente: B( 750) euros. 0. La solución es: El coste medio es mínimo para 0 unidades. 18

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