PRÁCTICA DE APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS II. Contenidos. Repaso en una Corchea

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1 UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR Enero-Marzo DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS MATEMÁTICA I (MA-) Fecha de publicación: -- Contenido Tercer Parcial PRÁCTICA DE APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS II Contenidos Teorema de Rolle. Teorema del valor medio Formas indeterminadas y regla de L Hopital. Repaso en una Corchea RECUERDE QUE: Las situaciones en las que no es posible conocer, de antemano, el valor de la operaciones con límites son: Lo que sucede con los límites de f y g Lim Lim f g f g Epresión reducida Lim f g ( ) ( ) Técnicas para hallar el límite Estudio de los grados del numerador y del denominador () Regla de L Hôpital () Descomponer el factores Infinitésimos equivalentes () Regla de L Hôpital () Realizar las operaciones indicadas Análisis del grado de f y g Multiplicar y dividir por (f g) Lim f g ( ) ( ). Realizar las operaciones indicadas

2 Convertir a: Convertir a Convertir f g f g f g e f g g f Ln f Ln g o o e Lim f g ( ) g ( f)g Lim f ( e) g Lim f ( ) g g. Lnf. Lim f ( e) e g Lim f ( ) g g. Lnf. Lim f ( e) e ± Regla de L Hôpital: En los casos de indeterminación del tipo y se puede f f ' aplicar la que se conoce como Regla de L Hopital: Lim Lim g g' Ejercicios Limites donde se aplica la regla de L Hopital.Aplicando la Regla de L hopital calcule los siguientes límites: a) b) 7 6 d) ln( ) Observación: Hay ejercicios que no hace falta aplicar L Hopital, lo recomendable es que deriven para que practiquen.

3 6 ' 6 ' 6 ' ' ' ( )( ) ( ) ( )( ) n

4 6 6 9 ( ) 9 6 Repaso en una SemiCorchea RECUERDE QUE: Teorema de Rolle: Si f es una función en la que se cumple: (i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b] (ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b) (iii) f (a) y f (b) Entonces, eiste un número c que pertenece a (a, b) tal que f '( 79). E l Teorema de Rolle se atribuye al matemático francés Michel Rolle (6- Teorema del Valor medio: Si f es una función en la que se cumple que: (i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b] (ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b) Entonces, eiste un número c que pertenece a (a, b) tal que Ejercicios Teoremas: Valor medio derivadas y Rolle. a) Halla la C del de la función T.V.M. f ( ) en el intervalo [, h ].

5 b) Con el resultado obtenido, calcula f '(). a) Halla la C del de la función T.V.M. f ( ) en el intervalo [, h ]. b) Con el resultado obtenido, calcula f '(). Ejercicios resueltos En los ejercicios a, verifique que las condiciones (i), (ii) y (iii) de la hipótesis del Teorema de Rolle se cumplen para la función indicada en el intervalo dado. Luego halle un valor adecuado para c que satisfaga la conclusión del teorema de Rolle. En los ejercicios a 9, compruebe que la hipótesis del Teorema del Valor medio se cumple para la función dada en el intervalo indicado. Luego halle un valor adecuado para c que cumpla la conclusión del Teorema del valor medio. En los ejercicios a, (a) trace la gráfica de la función dada en el intervalo indicado; (b) compruebe las tres condiciones de la hipótesis del teorema de Rolle y determine cuáles se cumplen y cuáles, de haberlas, no se cumplen; ( si las tres condiciones se cumplen, determine un punto por el cual pase una recta tangente horizantal. En los ejercicios y, calcule un valor de c que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio, trace la gráfica de la función y la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

6 Ejercicios Tipo Selección Simple: I. En cada caso, selecciona el valor del límite indicado... arcsen ( ) ( ) tan( ) 8. 9 a) a) a) a) b) b) b) b) d) d) No eiste d) d). csc sen 8. sec tan a) a) a) 7 a) b) sen b) 6 b) 7 b) 6

7 6 d) d) d) d) 9. arctan. cos. (sec tan ). csc a) a) No eiste a) a) b) b) b) b) d) d) d) d). - arctan ( ) 8. sec 7 tan ( ) cos - a) a) a) a) b) b) 7 b) b) 7

8 d) d) No eiste d) d) II. En cada caso, selecciona la afirmación correcta. Cuáles de las funciones definidas a continuación satisfacen las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo indicado? ) f ( ), en [,] ) ( ) 8 ) f ( ) cos, en -, ) a) Sólo la b) La ) y la ) La ), la ) y la ) d) Sólo la ) y la ) f, en [,] ( ) f, en [, ] - ) f ) tan (, en [, ] 6) f ) arctan ( en [,] Cuáles de las funciones definidas a continuación satisfacen las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo indicado? ) ) ) ( ) f, en [, ] f ( ), en cos, arctan() f ) (, en [, ] ) ( ) 6) f, en [,], en [-, ] ) f ( ) cos 8 ( ) f, en [, ] 8

9 a) Sólo ) y ) b) ), ), ) ) y ) d) ), ), ) y 6) III. Selecciona, en cada caso, el número c garantizado por el Teorema del valor medio.. f ) ( en [, ]. f ) arctan ( en [,]. f en [,] ( ) a) b) ( ) d) a) b) d) No se cumple el teorema a) b) d) No se cumple el teorema IV. Selecciona, en cada caso, el valor o valores de c garantizados por el Teorema de Rolle.. f ( ) cos en,. f ( ) ( arctan ) en [,]. f ( ) en [,] a) c y c a) c y c a) c b) c, c y c b) c b) c y c 9

10 c c y c d) No se cumple el teorema d) No se cumple el teorema d) No se cumple el teorema

11 Ejercicios Etras

12 Practica elaborada por la Prof: Aida Montezuma. Ampliada por Prof Antonio Di Teodoro.. (Basada en prácticas de la USB-Matemáticas), en Especial las prácticas de la Profa Diasparra Maikol. Formato doc->pdf