Fundamentos Físicos de la Ingeniería Ingenieros de Montes 05 julio 2007

Transcripción

1 Igeieros de Motes 05 julio 007. osideremos el camo vectorial = y i+ z j+ xk. a) Es coservativo? Si lo fuese, determíese su fució otecial. b) alcular la circulació del camo vectorial etre los utos (,0,0) y (0,,π) a lo largo de la curva defiida or sus ecuacioes aramétricas x = cos, y = se, z = 4. a) La codició ecesaria y suficiete ara que u camo vectorial sea coservativo es que sea irrotacioal: / x y rot = = / y z = 0 / z x de modo que es rotacioal y, or ede, o es coservativo. b) El valor del camo e los utos de la curva es = se i+ 4 j+ cosk El vector deslazamieto ifiitesimal (dr) sobre la curva dada es: De modo que: x= cos dx= se d y= se dy= cos d dr= ( se i+ cosj+ 4k) d z= 4 dz= 4 d ( ) ( ) dr= se i+ 4 j+ cosk se i+ cosj+ 4k = 4se + 8cos+ 8cos Los águlos corresodietes a los utos iicial y fial sobre la cuva so: P (,0,0) : z= 0 4= 0 = 0 P (0,, π) : z = π 4 = π π = La circulació será : ( ) π dr 4se 8 cos 8cos d, 0 = + + = π π π = + se cos + 8 se + cos + 8 se 0 = 0 0 = π+ 4π 8+ 8= 3π Hemos teido e cueta: se cos se d= = se cos d= se + cos cos d= se 4 Deartameto de Física licada reació: 06/06/007 - Revisió: 0/09/008 - Imresió:0/09/008

2 Igeieros de Motes 05 julio 007. La varilla homogéea, que tiee ua logitud de.6 m y esa kg, se aoya or su extremo iferior e u muro vertical y, or u uto itermedio, e otra varilla fija, horizotal y aralela al muro, a ua distacia de 0 cm de éste. Suoiedo que o exista rozamietos etre la varilla y los demás elemetos e cotacto co ella, determíese e la osició de equilibrio el águlo formado or la varilla y el muro y las reaccioes e los aoyos de la varilla. a) E la figura mostramos el diagrama de fuerzas que actúa sobre la varilla. licamos las ecuacioes cardiales de la estática tomado mometos e el uto : () N = Rcos P tg = () P= Rse N l a (3) P se = R se Que costituye u sistema de tres ecuacioes co tres icógita (N, R y ). Sustituyedo la () e la (3): l a l a Rse se = R se = se se 3 a 0. E se = = = a l.6 8 se = = 30º P De la ecuació (): P= Rse R= = P= 4 kg se 3 Y de la (), se sigue: N = Rcos = 4 = 3 = 3.46 kg Las direccioes y setidos de estas reaccioes so las idicadas e la figura. R l/ N G P D Otro método Puesto que sobre la varilla solo actúa tres fuerzas (P, N y R), éstas debe ser cocurretes e u uto tal como el D. E cosecuecia, el roblema se reduce a ua simle codició geométrica de que el cetro de gravedad (G) de la varilla se ecuetre e la vertical del uto D. Resolvemos cosiderado los triágulos E, D y DG: a l 3 = = D se= ( Gse) se = se se = a se l Que es el mismo resultado obteido ateriormete. Deartameto de Física licada reació: 06/06/007 - Revisió: 0/09/008 - Imresió:0/09/008

3 Igeieros de Motes 05 julio Ua balaza de resorte está ajustada ara leer el cero. Desde ua altura de 5 m sobre el latillo de la balaza, dejamos caer u chorro de erdigoes, a razó de 0 erdigoes or segudo, que choca cotra el latillo, rebota hacia arriba co la misma velocidad y sale abadoado defiitivamete el latillo. Si cada erdigó esa 00 mg, )cuál será la lectura de la balaza? La velocidad que tiee cada uo de los erdigoes cuado choca cotra el latillo se calcula a artir del riciio de coservació de la eergía: + F mgh = mv v = gh = = 9.9 m/s v uado u erdigó colisioa elásticamete co el latillo, exerimeta u cambio e su catidad de movimieto exresado or: v Δ = fial iicial = mv ( mv) = mv Este cambio está dirigido hacia arriba, de modo que el latillo tedrá que roorcioar imulso e esa direcció; i.e., ejercer ua fuerza hacia arriba sobre cada erdigó. omo al latillo llega = 0 erdigoes or segudo, el cambio de la catidad de movimieto or uidad de tiemo, esto es, la fuerza, será d F= = Δ = d t mv Y sustituyedo los valores teemos ( ) F = = = = 6 3 mv N 8.g Esta será la idicació de la balaza, ya que los erdigoes ejerce sobre el latillo ua fuerza igual y ouesta a la que el latillo ejerce sobre ellos (Tercera Ley de Newto). Deartameto de Física licada reació: 06/06/007 - Revisió: 0/09/008 - Imresió:0/09/008

4 Igeieros de Motes 05 julio osideremos dos artículas, de masas resectivas m y m, que efectúa ua colisió erfectamete elástica frotal, de modo que sus velocidades ates de la colisió sea v y v = γv, co γ 0. Suogamos que fuese iguales las eergías ciéticas iiciales de las artículas. alcular el valor (o valores) que deberá teer el arámetro γ ara que la artícula "" quede e reoso desués de la colisió y la relació etre las masas de ambas artículas ara que sea osible esa situació. mbas artículas tiee iicialmete la misma eergía ciética, co v = γv ; or cosiguiete m v mv = mv mv = mv = = γ m v oservació de la catidad de movimieto, co v = γv : + = γ γ γ( γ) mv mv mv m + mv v+ v = v v+ v = + v = v m Regla de Huyges-Newto, co v = γv : v v = v v v = v v = γ v ( ) ( ) ( ) Igualado las exresioes de v e las dos últimas ecuacioes: ( ) ( ) γ + γ v = γ v γ + γ= γ γ + γ = 0 Resolvemos la ecuació de segudo grado: m + = ± + m γ = = ± = m = m 0.44 (alcace) (frotal) 5.83 = 5.83 v v v v γ > 0 reoso v γ < 0 reoso v Deartameto de Física licada reació: 06/06/007 - Revisió: 0/09/008 - Imresió:0/09/008

5 Igeieros de Motes 05 julio osidere ua barra delgada, co masa m = 4 kg y logitud l =. m, que oscila si rozamieto e u lao vertical alrededor de u eje horizotal que asa or u uto de la barra situado a /4 de uo de los extremos de la misma. a) Exresar la aceleració agular de la barra e fució del águlo que forma co la vertical. b) alcular el eriodo de las equeñas oscilacioes de rotació de la barra. a) La úica fuerza que roduce mometo resecto al eje de rotació es el eso de la barra que está alicado e el cetro de gravedad de la misma. Plateamos la ecuació ara la diámica de la rotació de la barra ara ua osició geérica e la que ésta forma u águlo co la vertical: i.e., l M O = IO mg se = I O 4 l/4 M O G mg l dode I O es el mometo de iercia de la barra resecto al eje de de rotació y la aceleració agular de la barra. alculamos I alicado el teorema de Steier: l 7 IO = Icm+ m = ml + ml = ml Por lo que la ecuació ara la aceleració agular resulta ser l 7 g mg se = ml = se l b) La ecuació aterior resulta ser la de u édulo comuesto. Haciedo la aroximació de equeñas oscilacioes, i.e., se, teemos la ecuació del movimieto de rotació, que odemos escribir e la forma g = 0 7l Que corresode a oscilacioes armóicas simles cuya frecuecia agular y eriodo viee dados or g 9.8 π π ω = = = 3.74 rad/s T = = =.68 s 7l 7. ω 3.74 Deartameto de Física licada reació: 06/06/007 - Revisió: 0/09/008 - Imresió:0/09/008

6 Igeieros de Motes 05 julio alcular la logitud x del tubo de salida del agua del deósito de la figura ara que la resió e sea / de la resió e (resió osférica), teiedo e cueta que S >> S. Método Simlemete, alicamos el Teorema de eroulli etre, teiedo e cueta que la velocidad es la misma e ambos utos: + ρgx + ρv = + ρv ρgx = x = ρg h x v z=0 Método licamos el Teorema de eroulli etre y + ρ ( + ) = + ρ + ρ + ρg( h+ x) = + ρv g h x gx v Restado miembro a miembro estas dos ecuacioes: ρ ρ ρ ρ + gx + v = + v gx = x = ρ g Método 3 Obsérvese que la alicació del Teorema de eroulli etre y equivale a la alicació del Teorema de Torricelli ara calcular la velocidad e el desagüe, de modo que el roblema tambié uede latearse de modo que sigue: + ρgh= + ρv + ρgh = + ρg( h + x) v = g( h+ x) De modo que = ρgx x= ρg Deartameto de Física licada reació: 06/06/007 - Revisió: 0/09/008 - Imresió:0/09/008

7 Igeieros de Motes 05 julio E dos comartimetos de u reciiete adiabático de aredes rígidas mateemos searados, mediate u tabique rígido y adiabático, mol de helio a y -00º y moles de hidrógeo a y 7º. a) Determiar la temeratura y la resió fial de la mezcla cuado se retira el tabique. b) alcular la resió arcial de cada comoete e la mezcla. c) Evaluar el cambio de etroía e este roceso de mezcla. mol = =8.L T =00K mol = =49.3L T =300K 3 mol =.09 =57.44L T=54K RT mol de He a y 00 K ocua = = = 8. L RT mol de H a y 300 K ocua = = = 49.3 L El volume del reciiete es: = + = L El roceso de mezcla es adiabático (Q=0), isócoro (=cte; W=0) e irreversible. El Primer Priciio de la Termodiámica establece que Δ U = Q W = 0 0 = 0, de modo que la eergía itera del sistema ermaece costate, lo que os ermite determiar la temeratura fial de la mezcla ΔU = ΔU+ ΔU = ( T T) + ( T T) = 0 ( 3 00) ( 5 300) ( 3 00) ( 0 300) T+ T + + T = = = = 54 K= 9º + ( 3) + ( 5) 3+ 0 RT = = = b) Las resioes arciales se calcula multilicado la resió or las fraccioes molares de cada comoete: = χ = = 0.36 = χ = = c) El cambio de etroía e el roceso de mezcla, ara cada uo de los gases, viee dado or ΔS f đq f du + đw f du f đw f dt f d = = = + = + = i i i i i i T T T T T T f dt f d f = + R = + i i T Ti T l f R l cal ΔS =.987 l l = = K cal ΔS = cal K ΔS =.987 l l = = K i Deartameto de Física licada reació: 06/06/007 - Revisió: 0/09/008 - Imresió:0/09/008

8 Igeieros de Motes 05 julio E el circuito que se esquematiza e la figura: a) alcular la itesidad de la corriete que circula or la resistecia de 4 y la d.d.. etre N y M; b) Determiar el geerador equivalete (f.e.m. y resistecia itera) etre los termiales y. bordamos el cálculo de las itesidades de malla or el método matricial: I = Δ= 33 6 M I I = = = I I I = = = N 6 i4 =.09 NM = 4(.09) = b) E abierto: La d.d.. etre y coicide co la f.e.m. equivalete etre esos utos: = = E = ( ) ( ) ( ) eq 6 4 M N 6 6 I c eq eq c = eq = = = req Ic 4.5 E corto: Para determiar la resistecia itera del geerador equivalete etre y cortocircuitamos esos bores y calculamos la itesidad de cortocircuito (I c ) que circula or la rama y de resistecia ula. licamos el método matricial de Maxwell ara calcular las itesidades de malla: 6 3 I c I = Δ= I 6 6 = = = 4.5 I = 3.00 I = I 4 E 6 I I I c r E Deartameto de Física licada reació: 06/06/007 - Revisió: 0/09/008 - Imresió:0/09/008

9 Igeieros de Motes 05 julio a) E el circuito de.. que se rereseta e la figura, calcular la diferecia de otecial (módulo y fase) etre los utos y uáto marca el voltímetro? b) Dibujar los diagramas fasoriales de imedacias e itesidades. c) Exlicar si el circuito es caacitativo o iductivo Hz mh 796 μf alculamos la frecuecia agular y las reactacias de los elemetos reactivos: ω= πν = 00π rad/s 3 XL = ωl= 00π = 3 XL =+ 3j = 390º X º = = = = = ω 00π X j a) Las imedacias de cada ua de las ramas so: Z = 4+ 3j = º Z = 3 4j = 5 53º Las itesidades e cada rama so: 0 0º I= = = 44 37º = ( j) Z 5 37º 0 0º I = = = º = ( j) Z 5 53º ( j) I= I + I = = º La d.d.. etre los utos y viee dada or = IR + IR = IXL IX I 0 50 Hz Z 4 Z 37º esto es, = ( j) 4 + ( j) 3 = ( j) = 0 06º = j 3j j 4j = 6.6+.j = 0 ( ) ( )( ) ( ) 06º 53º Z 3 I I de modo que los uto y está al mismo otecial y el voltímetro marca cero. b) E la figura mostramos los diagramas fasoriales de imedacias e itesidades. c) Si ecesidad de calcular, vemos que el circuito es caacitativo, ya que la itesidad está adelatada co resecto a la tesió alicada. E efecto, si calculamos la imedacia de las dos ramas e aralelo, teemos: ZZ º 5 53º 5 6º 5 6º Z = = = = = º Z + Z 4+ 3j + 3 4j 7 j 50 o bie ( ) ( ) 0 0º Z = = = 3.54 I 6. 8º 8º 8º 3j I 53º 37º 8º I I -4j Deartameto de Física licada reació: 06/06/007 - Revisió: 0/09/008 - Imresió:0/09/008