División de polinomios

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1 División de polinomios: Horner División de polinomios Es aquella operación algebraica que tiene como objetivo encontrar dos únicos polinomios llamados cociente entero q(x) y residuo R(x) a partir de otros dos polinomios llamados dividendo D(x) y divisor d(x). D(x) R(x) d(x) q(x) la Identidad fundamental Propiedades Clases de división es 1 exacta D(x) d(x).q(x) + R(x) d(x) 0 El grado del dividendo es mayor o por lo menos igual al grado del divisor: D d R(x) 0 para: x = 1 2 inexacta D(1) d(1).q(1) + R(1) Suma de coeficientes del dividendo El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor: q = D - d R(x) 0 para: x = 0 3 D(0) d(0).q(0) + R(0) Término independiente del dividendo El grado máximo del resto es igual al grado del divisor disminuido en 1: R max. = d - 1 Para todos los métodos es necesario que el dividendo y divisor estén ordenados y completos en forma descendente, si falta algún término completar con el cero. Por ejemplo, así en la división: 2x 5 3x 2-1 2x 3 - x 2 6 completando con ceros se tiene: Método de Horner 2x 5 0x 4 0x 3 3x 2 0x - 1 2x 3 - x 2 0x 6 Para este método sólo se utilizarán coeficientes empleando el siguiente esquema: Con su mismo signo Con signo cambiado D D I V I D E N D O I V I S O R C O C I E N T E R E S I D U O 1. Se distribuyen los coeficientes del dividendo en forma horizontal. 2. Se distribuyen los coeficientes del divisor en forma vertical donde el primero de ellos lleva signo propio y los restantes se colocan con signo cambiado. 3. La línea que separa el cociente del resto se traza de acuerdo al grado del divisor. Es decir, se cuenta de derecha a izquierda tantos lugares cómo lo indica el número que representa el grado del divisor. 4. Se dividen los primeros coeficientes del dividendo y divisor, siendo este el primer coeficiente del cociente. 5. Se multiplica el primer coeficiente del cociente por los términos que cambiaron de signo y los resultados se escriben en fila a partir de la segunda columna; se reduce los coeficientes de la segunda columna dividiendo este resultado entre el primer coeficiente del divisor, el resultado es el segundo coeficiente del cociente. 6. Se continuará hasta completar los coeficientes del cociente y residuo. 4 AÑO

2 Problemas resueltos 1. Dividir: 4x 5-12x 4 13x 3 12x 2 - x 1 2x 2-3x 1 Utilizando el esquema de Horner: En toda división exacta se establece que es posible invertir los coeficientes del dividendo y divisor y ésta seguirá siendo exacta. Ordenando y completando se tiene: Utilizando el esquema de Horner: 1 a b c d e a 2 0 b 2 0 c 2 +a 4 2 a b c+a 0 0 En el residuo: - d + b 2 = 0 2 = - d... (1) b - e + c 2 + a 4 = 0... (2) Reemplazando (1) en (2): d - - d e + c b + a = 0 b - El divisor: 2x 2-3x + 1 cd ad 2 es de grado: d = 2, entonces separamos dos e - + = 0 b b columnas para el residuo. 2 Transformando: D 5 - d 2 q = 5-2 = 3; R 1 eb 2 - cbd + ad 2 = 0 ad 2 + b 2 e = cdb - Finalmente: q(x) = 2x 3-3x 2 + x Determinar para que el polinomio: R(x) = 25x - 8 x 4 + y 4 + z 4 - (x 2 y 2 + y 2 z 2 + x 2 z 2 ) sea divisible por (x + y + z). 2. La siguiente división: ax 5 bx 4 1 (x - 1) 2 ; x IR - {1} Calculando el residuo de la división: - Se iguala el divisor a cero: es exacta. Hallar a y b. x + y + z = 0 - Con la anterior, se cumple: ax 5 bx 4 0x 3 0x 2 0x 1 x 2-2x 1 Utilizando el esquema de Horner: x 4 + y 4 + z 4 = 2(x 2 y 2 + y 2 z 2 + x 2 z 2 ) - Reemplazando en el dividendo: R = 2(x 2 y 2 + y 2 z 2 + x 2 z 2 ) - (x 2 y 2 + y 2 z 2 + x 2 z 2 ) - Como es divisible entonces: R 0 2(x 2 y 2 + y 2 z 2 + x 2 z 2 ) (x 2 y 2 + y 2 z 2 + x 2 z 2 ) Finalmente: = 2 Problemas para la clase En la columna del residuo: b + 5 = 0 b = - 5 a - 4 = 0 a = b a (b + 5) (a - 4) 3. La siguiente división: ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e (x 2-2 ) es exacta. Calcular el valor de: ad 2 + b 2 e 1. Dividir: e indicar el resto. 10x 4 6x 3-37x 2 36x x 2-7x 3 a) 2x + 1 b) 2x - 1 c) 3x + 1 d) 3x - 1 e) 3x Dividir: 12x 4-14x 3 15x 2-6x 4 4x 2-2x 1 e indicar la suma de coeficientes del cociente. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3 3. Calcular m.n, en la siguiente división exacta. 8x 4 6x 3-23x 2 mx - n 4x 2-3x 1 a) 15 b) 19 c) 11 d) 48 e) Calcular m + n + p, si la división: 8x 5 4x 3 mx 2 nx p 2x 3 x 2 3 deja como resto: R(x) = 5x 2-3x + 7 a) 32 b) 23 c) 21 d) 15 e) En la división: 6x 3-12x 2 3ax a 3x 2 3 el residuo toma la forma mx + m. Calcular m + a. a) 21 b) - 21 c) 30 d) - 30 e) 9 6. Calcular a - b en la siguiente división exacta. ax 4 bx 3-4x 2 19x 14 3x 2 - x 7 7. En la siguiente división exacta: 6x 4 11x 3 Bx 2-7x - 3B 3x 2 4x 5 Hallar el valor de B. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 8. Calcular A - B si la división es exacta: x 7 Ax B x 2 x 1 a) 3 b) - 2 c) 2 d) 1 e) Si la división: x 5 3x 4-3x 3-4x 2 Ax B x 2 2x - 2 deja por resto: 2x - 1, calcular A + B. a) 7 b) 8 c) 9 d) 23 e) En la división: 2x 4 5x 3 Ax A x 2 - x 1 el residuo es un término constante, indique dicho resto. a) 13 b) - 13 c) 7 a) -1 b) -4 c) -2 d) - 7 e) 3 d) -8 e) -3 Comparación cuantitativa A continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación entre ambos, considerando las siguientes alternativas : A. La cantidad en A es mayor que en B. B. La cantidad en B es mayor que en A. C. La cantidad en A es igual a B. D. No se puede determinar. E. NO DEBE USAR ESTA OPCIÓN! Preg. Información Columna A Columna B Al dividir: 11 se obtiene: q(x) = cociente R(x) = residuo 6x 4 13x 3 6x 2-3x 5 2x 2 3x 2 q(2) R(-1)

4 Preg. Información Columna A Columna B Dividir: 12 4x 4 3x 2 8x - 5 2x 2 x - 1 La división: Suma de coeficientes del cociente Término independiente del residuo 13 x 5 3x 4-3x 3-4x 2 Ax B x 2 2x - 2 deja como resto 2x - 1. A B A - B - 25 B 2 Dada la división exacta: 14 8x 4-2x 3 7x 2 mx n 4x 2 x 2 Al dividir: m - n m n - m n 15 6x 4 Ax 3 Bx 2 Cx D 3x 2 2x - 1 A - C B - D se obtiene un cociente cuyos coeficientes son números enteros consecutivos y un resto igual a 2x + 7. Suficiencia de Datos En cada caso se plantea un problema y se ofrecen dos datos o dos series de datos para resolverlo. Debe determinar qué datos se necesitan y marcar de acuerdo a estas alternativas: A. El dato I es suficiente y el dato II no lo es. B. El dato II es suficiente y el dato I no lo es. C. Es necesario utilizar I y II conjuntamente. D. Cada uno de los datos por separado, es suficiente. E. Se necesitan más datos. 16.En la división: Hallar: a3 b 3 c 3 3 6x 5-2ax 4 5bx 2 cx 3x 2 - x 3 I. Los coeficientes del cociente disminuyen de 2 en 2. II. El residuo es un polinomio de grado El residuo en la siguiente división: ax 5 bx 4 cx 3 2x 2-5x - 3 2x 3 x 2 - x - 2 es: 7x 2 + 8x - 3. Calcular a + b + c. I. D(x) = d(x) q(x) + R(x) II. q(x) = x 2-5x Si: P(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + 3x + 1 se divide por: x 2 - x + 1. Calcule a + b + c. I. Suma de coeficientes del cociente es 22. II. Suma de coeficientes del residuo es Si la siguiente división: 2x 4 3x 2 (A 1)x (B - 3) 2x 2 2x 3 deja como residuo: R(x) = x + 3. Hallar A.B a) 9 b) - 9 c) 0 d) 11 e) En la división indicada: Hallar el residuo. x 6-25x 2 x x - 5x a) 4 - x b) 4x c) x d) x + 4 e) x - 4

5 21.Si: {m; n} ZZ y al efectuarse la división: se obtiene como resto 6. Calcular m + n. x 3 - x a) 0 b) 1 c) 2 d) 5 e) 4 22.Calcular: (m + p)n, si la siguiente división: el resto obtenido es: 6ab + b 2. Calcular: x 2 mx n 3a 2 b 2 mx 4 nx 3 px 2 17x - 5 2x 2 - x 2 tiene residuo: R(x) = 6x - 3 y un cociente cuya suma de coeficientes es 4. a) 10 b) 70 c) - 70 d) 100 e) a a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) Si la división: Ax 4-7x 3 Bx 2 15x - 9 4x 2-3x 2 deja como residuo: 2x - 3 Hallar A - B. a) 12 b) - 14 c) 28 d) - 12 e) En el esquema de Horner mostrado: 23.Calcular b - a si al dividir: ax 4 bx 3 13x 18 3x 2 - x 7 se obtiene como resto 2x - 3. a) 10 b) 4 c) 6 d) 3 e) N.A. 24.Al efectuar: 2x 5 7x 4-3x 3 5x 1 x 3 3x 2-4x K se obtiene un residuo de primer grado. Calcular dicho resto. a) 13x + 4 b) 14x + 3 c) 12x + 4 d) 13x + 3 e) 12x En la división: 6x 5 - x 4 ax 3-3x 2 4 3x 3-2x 2 - x - 2 se obtiene como resto: bx + c. Indique a + b + c. a) 3 b) - 4 c) - 2 d) - 1 e) 2 26.En la división: 9x 4 6ax 3 (a 2 3b)x 2 abx 9a 2 3x 2 ax - b Determinar: a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) m 2 3 a 1 9 d K 1 K a) 10 b) 8 c) 4 d) 6 e) N.A. e n -2 p b f g c h 4-3 (m +n + p) - (a + b + c) a) 12 b) 18 c) 14 d) 17 e) N.A. 29.Si el polinomio: ax 7 + bx 5-1 es divisible por: mx 5 + nx 4 + px 3 - x - 1 calcular el valor de ab + mn + p. 30.En el esquema de Horner mostrado: A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 se pide encontrar el mayor coeficiente del dividendo.

6 1. Dividir: Indicar el resto. Autoevaluación x 4 4x 3 6x 2-7x 2 x 2 2x 1 a) - 25 b) 25 c) 24 d) 21 e) 0 4. Calcular a b si la división: ax 4 bx 3 7x 2 10x 3 a) 1-10x b) x c) 1-11x d) 10x - 2 e) 4x - 1 3x 2 x 3 es exacta. 2. Calcular a + b si la siguiente división: 5x 4 4x 3-13x 2 ax (b 1) x 2 2x - 1 deja como residuo a: -12. a) 1 b) 27 c) 16 d) 4 e) 2 5. Si: x 5 3x 4-3x 3-4x 2 (A - 1)x (B 1) a) 2 b) 3 c) - 3 d) - 2 e) 1 x 2 2x - 2 deja como resto 4x - 10, calcular A + B. 3. Calcular (mn) 2 si la siguiente división: 6x 4 5x 3 2mx - 3n 2x 2 x 3 es exacta. a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

7 División de polinomios: Ruffini - Teorema del Resto Método de Ruffini Se aplica cuando el divisor es un polinomio de primer grado Por Ruffini: 3x - 1 = de la forma: ax + b ; a 0 x = Al igual que en Horner, utilizaremos sólo coeficientes cumpliendo el siguiente esquema: ax + b = 0 x = - b a D I V I D E N D O C O C I E N T E R E S T O Como: q = 4-1 = 3 q = x 3 + 2x 2-5x + 1 R = 8 Teorema del Resto Coeficientes del cociente Problemas resueltos Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la división, se aplica cuando el divisor es un polinomio de primer grado de la forma: ax + b, y en algunos casos especiales. 1. Dividir: Por Ruffini: 3x 5-2x 4 7x 3-11x 2 5x 1 x - 2 x - 2 = 0 x = Sea P(x) un polinomio no constante. El resto de dividir P(x) por (ax + b) donde: a 0, viene dado por P - b a Demostración: Sea la división: P(x) (ax + b), de residuo R. De la identidad fundamental, se tiene: P(x) (ax + b)q(x) + R b En esta identidad R se obtiene cuando: x = - resto a Como: q = 5-1 = 4 - b = a - b b q(x) = 3x q - b + R P - b 4 + 4x x x + 43 P = 0 + R a a a a R(x) = 87 Observación: Si el divisor: ax + b; a 1, luego de dividir por Ruffini, los coeficientes del cociente deben dividirse entre a para obtener el cociente correcto. Finalmente: 0 b R = P - a 2. Dividir: 3x 4 5x 3-17x 2 8x 7 3x - 1 Regla para calcular el Resto - Se iguala el divisor a cero. - Se calcula el valor de la variable que aparece con frecuencia en el dividendo. - El valor obtenido se reemplaza en el dividendo. 4 AÑO

8 Problemas resueltos Por Ruffini, ordenando y completando: 1. Hallar el resto de dividir: 2x 2 5x 3 x = (3 2-2) 0 0 ( ) 2x - 1 x = (3-2 2) Siguiendo la regla antes mencionada: - 2x - 1 = x = Resto = Resto = Resto = Calcular el residuo en la división: (x 1)(x - 2)(x 4)(x - 5)(x 7)(x - 8) 1 (x 9)(x - 10) Multiplicando convenientemente se tiene: (x 2 - x - 2)(x 2 - x - 20)(x 2 - x - 56) 1 x 2 - x - 90 Hacemos el cambio: x 2 - x = y (y - 2)(y - 20)(y - 56) 1 y y - 90 = 0 y = 90 - Resto = (90-2)(90-20)(90-56) Resto = (88)(70)(34) + 1 = Calcular el resto en: 2y 13-21y 10 y 8 - y 7 3y 4 2y 1 y 2-2 Aplicando la regla: - y 2-2 = 0 y 2 = 2 Dando forma al dividendo: 2(y 2 ) 6 y - 21(y 2 ) 5 + (y 2 ) 4 - (y 2 ) 3 y + 3(y 2 ) 2 + 2y + 1 Reemplazando: y 2 = 2 - Resto = 2(2) 6 y - 21(2) 5 + (2) 4 - (2) 3 y + 3(2) 2 + 2y + 1 Resto = 128y y y + 1 Resto = 122y Hallar el residuo en: Finalmente: R(x) = 10 (1 + 2) resto 5. Hallar el residuo en la siguiente división: (x - 4) 4 (x - 2) 5 x 2-6x 8 Aplicando la identidad fundamental: D(x) d(x).q(x) + R(x) Donde: R máx. = d - 1 Reemplazando datos: (x - 4) 4 + (x - 2) 5 (x 2-6x 8) q(x) + 2 do grado * 1er grado R (x) = ax + b R(x) 1 er grado (x - 4) 4 + (x - 2) 5 (x 2-6x + 8)q(x) + ax + b Para: x = 4 (4-4) 4 0 Para: x = 2 + (4-2) 5 = (4 2-6(4) 8) q(4) + 4a + b 0 32 = 4a + b... (1) (2-4) 4 + (2-2) 5 = (2 2-6(2) 8) q(2) + 2a + b = 2a + b... (2) De (1) y (2): 4a b 32...(1) 2a b 16...(2) Restando: 2a = 16 a = 8; b = 0 Luego: R(x) = ax + b = 8x 1. Dividir: Problemas para la clase 4x 4 x 2-3x 4 2x - 1 e indicar el producto de coeficientes del cociente. x 5 (3 2-2)x a) 2 b) - 2 c) 4 x d) - 4 e) 6

9 N O 2. Hallar el residuo en la siguiente división: 5x 4 16x 3-8x 2 x 3 a) 1 b) - 2 c) - 1 d) 4 e) Hallar el residuo en: 15x 4-8x 3-9x 2 7x 1 5x - 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. Calcular el valor de a, si la división: x 3 - ax 2-2ax - a 2 x - a - 3 da residuo: 7a + 2 a) 8 b) 5 c) - 5 d) 6 e) Hallar el resto en la división: x 4 x 2 a) 16 b) - 16 c) 0 d) 1 e) Calcular el resto de la división: (2x 3) 5 (x 3) 4-6x x 2 a) 1 b) - 6 c) - 3 d) 12 e) 40 a) - 4 b) 4 c) - 6 d) - 24 e) Al dividir: 3 x x 3 - (2 x - 3-1)x 2 - se obtuvo como resto: 3m - 4. Calcular m. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a) 50 b) 53 c) 51 d) 52 e) x m 11.Hallar la suma de coeficientes del cociente de la división: (n IR) nx 4 (3 - n 2 - n)x 3 (5n - 3)x 2-8nx - 8n 2 si el resto es 64. x - n Hallar el resto en la división: 3x 7 2x 6 5x 4 x 3 x 4 x 3-1 a) 9x + 1 b) 7x + 9 c) 7x + 2 d) 4x + 14 e) 9x Hallar el resto en: x 70 x 60 x 40 x 20 7 x 10 1 a) 8 b) 9 c) 10 d) 7 e) 6 14.Hallar el resto en: 7. Calcular el resto en la siguiente división: 4x 40 8x 39 1 x 2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 8. Calcular el resto de: (x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 4 x 2 8x 11 a) - 9 b) - 10 c) - 11 d) - 12 e) Hallar el resto en la división: (x 6-6x 6) 2002 (x 6-6x 4) (x 6-6x) - 14 x 6-6x 5 E. x 3 (x - 3) 3 5(x 2 1) - 15x 14 2 x - 3x 1 a) 14 b) 8 c) 26 d) 15 e) 13 Comparación cuantitativa A continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación entre ambos, considerando las siguientes alternativas : A. La cantidad en A es mayor que en B. B. La cantidad en B es mayor que en A. C. La cantidad en A es igual a B. D. No se puede determinar. DEBE USAR ESTA OPCIÓN!

10 Preg. Información Columna A Columna B En la siguiente división: 15. 2x 32 bx 5 x - 1 la suma de coeficientes del cociente entero es 64. Residuo b Efectúe la siguiente división: Suma de coeficientes 16. x 5 (3 2-2)x del cociente Residuo x En la siguiente división: 3nx 5 (n 3)x 4 2(2n - 1)x 3-4nx 2 9nx - 2n 3x - 2 se obtiene un cociente entero cuya suma de coeficientes es igual al duplo del resto. Grado del polinomio cociente n Al efectuar la división por la regla de Ruffini, se obtuvo el siguiente esquema: b a 2 8a c m a + b + c n + d x 4 b d n 19. * R 1 es el residuo de dividir: (3x 3-5x - 8) 2-4(x + 3) + 7 entre: (x - 2) * R 2 es el residuo de dividir: x x x 2 + x + 9 entre: (x - 5) R 1 R 2 Suficiencia de datos En cada caso se plantea un problema y se ofrecen dos datos o dos series de datos para resolverlo. Debe determinar qué datos se necesitan y marcar de acuerdo a estas alternativas: A. El dato I es suficiente y el dato II no lo es. B. El dato II es suficiente y el dato I no lo es. C. Es necesario utilizar I y II conjuntamente. D. Cada uno de los datos por separado, es suficiente. E. Se necesitan más datos. 20.Hallar el término independiente del polinomio P(x); si: P(x + 2) = P(x + 4) P(x) I. Al dividir P(x) (x - 2) se obtuvo 5 como residuo. II. Al dividir P(x) (x - 4) se obtuvo 4 como residuo. 21.Hallar el resto en la siguiente división: (x - 4) 4 (x - 2) 5 x 2-6x 8 I. D(x) d(x).q(x) + R(x); R < d II. q(x) = x 2 + x En la división: [x 3 - (m - 1)x 2 + 2m] (x - 1) el resto obtenido es nulo. Hallar m. a) - 1 b) - 2 c) - 3 d) - 4 e) Hallar el valor de a, si al dividir: x a 17 x a 16 x a x 2 x 1 x - 1 se observa que la suma de los coeficientes del cociente es igual a 90 veces su resto.

11 a) 161 b) 162 c) 163 d) 164 e) Del esquema de Ruffini: A B C D E F e d c b a 0 Determinar la suma de coeficientes del polinomio dividendo. 29.Calcular el residuo de dividir: (x 1) 8 - x 8 7 2x 2 2x 1 a) 1 b) 3 c) 7 d) x + 1 e) x - 1 a) 10 b) - 40 c) 40 d) 50 e) - 50 Autoevaluación 1. Hallar el cociente en la división: 25.Hallar el resto de dividir: 2x x 4 x 3 6x 2 5x - 1 3x 1 x 2 - x 1 a) x 3 + 2x + 1 b) x 3 + 2x - 1 a) 2x - 3 b) - 2x + 3 c) x - 3 c) x 3 + 2x d) x 3 + 2x 2-1 d) 3x + 3 e) 5x - 1 e) x 3 + x 2 + 2x Calcular el valor de: 2. Hallar el residuo en la división: n 2 R = 2 n-2 8x 5 - x 4 16x 3-2x 2 4 8x - 1 si el residuo de la división: es 256. x 2n 1 x 2n-1 2 2n a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 3. Determinar el residuo en la siguiente división: 2x x 24 8x 15-32x 13 4x a) b) c) x d) 1 e) Dado el polinomio: P(x) = ( 2 + 1)x x Evaluar: P( 2-1) a) 1 b) c) 2-1 d) - 2 e) Determine el valor de m para que la división: (x 2 - y 2 z 2 )(x 2 y 2 - z 2 ) mx 2 yz x y z arroje como residuo un polinomio idénticamente nulo. a) - 6 b) - 2 c) - 3 d) - 4 e) - 5 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. Hallar el resto en: (x - 4) 20 (x - 4) 10 x - 1 x - 5 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 5. Hallar el resto en la división: x 5 x 2 a) - 32 b) 32 c) 31 d) - 31 e) 1

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