SEGUNDO APUNTES ANALISTA DE SISTEMAS DE CLASE EN COMPUTACIÓN. Materia: DATOS. Asignatura: SISTEMAS DE PROCESAMIENTO DEDATOS I

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1 ANALISTA DE SISTEMAS EN COMPUTACIÓN Materia: DATOS Asignatura: SISTEMAS DE PROCESAMIENTO DEDATOS I Cátedra: Lic. Ulises Vazquez SEGUNDO APUNTES DE CLASE 1

2 INDICE SISTEMAS NUMÉRICOS - 1 RA PARTE...3 DEFINICIÓN DE SISTEMAS NUMÉRICOS...3 Sistema decimal...3 Sistema binario...3 Sistema octal...3 Sistema hexadecimal...4 CONVERSIONES DE UN SISTEMA NUMÉRICO A OTRO...5 Conversión de un número de cualquier base a base 10:...5 Conversión de decimal a binario y viceversa:...5 Conversión de decimal a octal:...6 Conversión de decimal a hexadecimal:...6 Conversión de hexadecimal a binario y viceversa:...6 Conversión de octal a binario y viceversa:...6 TRABAJOPRÁCTICO Nº UNIDADES INFORMÁTICAS...7 SISTEMAS DE CODIFICACIÓN...7 Códigos alfanuméricos...7 TRABAJOPRÁCTICO Nº SISTEMAS NUMÉRICOS - 2 DA PARTE...8 TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA NUMERACIÓN...8 REPRESENTACION DE NUMEROS ENTEROS...9 Módulo y Signo (MS)...9 Complemento a 1 (C-1)...10 Complemento a 2 (C-2)...11 Exceso 2 N DESBORDAMIENTO (OVERFLOW)...12 OPERACIONES ARITMÉTICAS BINARIAS...12 Suma binaria...12 Resta binaria...13 CÓDIGO BCD...13 Suma en BCD...14 DECIMAL DESEMPAQUETADO Y EMPAQUETADO...15 TRABAJO PRÁCTICO Nº 6 Y REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS EN COMA FLOTANTE...16 Formatos estándar...16 TABLA DE CONVERSIÓN...20 PROTECCIÓN CONTRA ERRORES...21 Código de Paridad...21 Código de Hamming

3 Sistemas Numéricos - 1 ra Parte Así como el hombre utiliza, por lo general, datos numéricos basándose en el SISTEMA DECIMAL e informaciones utilizando un determinado idioma, el ordenador por su naturaleza electrónica, realiza toda la gestión a través de sistemas y métodos que puedan ser tratados con facilidad en sus circuitos. Para ello necesita sistemas de numeración apropiados para manejar datos y un sistema de codificación para manejar información. En los circuitos electrónicos desde el punto de vista lógico, suele representarse la presencia de corriente eléctrica en un punto del circuito por medio de un 1 y la ausencia de esta por un 0. En el entorno correspondiente a la electrónica digital se utilizan tres sistemas de numeración cuyas bases son potencias de dos y cuyo estudio es imprescindible dado su importancia. Estos sistemas son: SISTEMA BINARIO SISTEMA OCTAL SISTEMA HEXADECIMAL El sistema que maneja un ordenador es el binario, pero en ocasiones y por comodidad en el manejo de datos se suelen utilizar el octal y el hexadecimal. Definición de Sistemas Numéricos Un sistema de numeración, es el conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la representación de cantidades. En ellos existe un elemento característico que define el sistema y que se denomina base, siendo esta el número de símbolos que se utiliza para su representación (se excluye el punto decimal). En todo sistema numérico, la representación de una cantidad se efectúa por medio de cadenas de símbolos, cada uno de ellos con un significado que depende de su posición relativa al punto decimal; por ello, estos sistemas se denominan POSICIONALES. En este apunte, para separar la parte entera y decimal de un número, utilizaremos el. en lugar de la, por ser este el más utilizado en la terminología informática. La notación de la base para distinguir a cual nos estamos refiriendo es la siguiente: NÚMERO (base) La ausencia de esta notación determina que se está trabajando en el sistema decimal. Sistema decimal El sistema decimal es un sistema posicional que utiliza un conjunto de símbolos a través de los cuales se pueden representar cantidades que vendrán determinadas por dicho símbolo y su posición relativa al punto decimal, que en ausencia se supone colocado implícitamente a la derecha. Utiliza como base 10, que corresponde al número de símbolos del sistema, que son: Sistema binario Es el sistema de numeración que utiliza internamente El ordenador y en el se basan todos los movimientos de datos e información en el interior de los circuitos. El binario puro se basa en la representación de cantidades utilizando los dígitos 0 y 1. La base es 2 (número de dígitos utilizados en el sistema), y se trata de un sistema posicional relativo al punto decimal. Sistema octal Es un sistema de numeración cuya base es 8, utiliza ocho símbolos para la representación de cantidades. Estos símbolos son: 3

4 Es también un sistema posicional y su utilización hace que se trabaje en binario con mayor sencillez. Cada cifra octal equivale a tres dígitos binarios según la siguiente tabla: Cifra Octal Cifra en Binario Conversión de Octal a Decimal Un número Octal puede convertirse fácilmente a su equivalente decimal multiplicando cada dígito Octal por su valor Posicional. Por Ejemplo: 274 (8) = 2 x x x (8) = 2 x x x (8) = 188 (10) Sistema hexadecimal Es un sistema de numeración posicional que utiliza 16 símbolos para su representar cantidades, por lo tanto se base es 16. Los símbolos utilizados son: A B C D E F Es la forma más cómoda de trabajar en binario ya que cada cifra hexadecimal equivale a cuatro dígitos binarios. Las equivalencias son las siguientes: Cifra Hexadecimal Cifra en Binario A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111 Conversión de Hexadecimal a Decimal Un número Hexadecimal puede convertirse fácilmente a su equivalente decimal utilizando el hecho de que cada posición de los dígitos hexadecimales tiene un valor que es una potencia de 16. Por Ejemplo: 812 (16) = 8 x x x (16) = 8 x x x (16) = 2066 (10) 4

5 Conversiones de un sistema numérico a otro Se denomina conversión a la transformación de una determinada cantidad expresada en un sistema de numeración en su equivalente en otro sistema. Conversión de un número de cualquier base a base 10: Cuando se necesita convertir un número de cualquier base a base 10, se debe aplicar el Teorema Fundamental de la Numeración. (Pag. 8 de este apunte) Conversión de decimal a binario y viceversa: Para convertir un número entero decimal a binario, la forma más simple es dividir sucesivamente el número decimal y los cocientes que se van obteniendo por 2, hasta que el cociente de una de esas divisiones se haga cero. La unión de todos los restos obtenidos escritos en orden inverso nos proporciona el número expresado en sistema binario. Ejemplo: Y el Número entero en decimal 64 convertido a binario es Nótese que se toma desde abajo hacia arriba los restos obtenidos Para convertir un número binario a decimal la forma más simple es haciéndolo por medio de representación de las potencias binarias tomando el número que da la tabla y sumando los valores 1 binarios Ejemplo potencias Base en Decimal Número Binario (10) El número binario en decimal es 585 PREGUNTA!!!! Si tengo el siguiente número Decimal 0,1367 como lo convierto a Binario!!!! Como mostré anteriormente, como convertir un número entero decimal a binario (el ejemplo del Número 64) que era por medio de las divisiones, cuando estamos en presencia de números de exponentes negativos, la forma correcta es haciendo por medio de multiplicar sucesivas veces dicho número por el valor de la potencia a convertir. Ejemplo: 0,1367 (10) = se animan? (es una pregunta que les dejo para hacérmelas en clase si llega a ser necesario) 5

6 Conversión de decimal a octal: El método utilizado es el de las divisiones sucesivas por ocho, similar al anterior. Conversión de decimal a hexadecimal: Se utiliza el método de divisiones sucesivas por 16. En este caso los restos que superen el valor 9 (nueve) se sustituyen por la letra correspondiente (ver cuadro comparativo de sistemas numéricos). Conversión de hexadecimal a binario y viceversa: Consiste en sustituir cada dígito hexadecimal por sus 4 (cuatro) dígitos binarios correspondientes. Como se muestra en el cuadro, cuando el número en binario no tiene cuatro dígitos (ejemplo 3 (16) = 11 (2) ), debe llenarse con 0 (ceros) a la izquierda hasta completar los cuatro dígitos (ejemplo 3 (16) = 0011 (2) ). En el caso inverso (de binario a hexadecimal), consiste en sustituir 4 (cuatro) dígitos binarios por 1 (uno) hexadecimal. Como alternativa, se puede utilizar el convertir primero a decimal y luego mediante las divisiones sucesivas al sistema deseado D (2) = 9D637 (16) Conversión de octal a binario y viceversa: Consiste en sustituir cada dígito octal por sus 3 (tres) dígitos binarios correspondientes. Como se muestra en el cuadro, cuando el número en binario no tiene tres dígitos (ejemplo 2 (8) = 10 (2) ), debe llenarse con 0 (ceros) a la izquierda hasta completar los tres dígitos (ejemplo 2 (8) = 010 (2) ). En el caso inverso (de binario a octal), consiste en sustituir 3 (tres) dígitos binarios por 1 (uno) octal. Como alternativa, se puede utilizar el convertir primero a decimal y luego mediante las divisiones sucesivas al sistema deseado (2) = (8) Trabajo Práctico Nº 1 Confeccionar una grilla con los 4 (cuatro) SISTEMAS NUMÉRICOS trabajados: SISTEMA DECIMAL SISTEMA BINARIO SISTEMA OCTAL SISTEMA HEXADECIMAL

7 Unidades Informáticas Cada dígito de un número representado en un Sistema Informático se denomina BIT, que se deduce de la contracción de Binary digit. A menudo se utilizan los siguientes múltiplos de bit: 4 bits se denominan nibble 8 bits se denominan byte 1024 bytes se denominan kilobyte o Kb 1024 kilobytes se denominan megabyte o Mb 1024 megabytes se denominan gigabyte o Gb 1024 gigabytes se denominan terabyte o Tb 1024 terabytes se denominan petabyte o Pb 1024 petabytes se denominan exabyte o Eb 1024 exabytes se denominan zettabyte o Zb 1024 zettabytes se denominan yottabyte o Yb A partir del gigabyte, en la jerga comercial comienza a utilizarse múltiplos de 10 truncados (1000 en lugar de 1024 o 500 en lugar de 512) dado que en dichos volúmenes, el sobrante no hace diferencia. Sistemas de Codificación Una información, en un sentido más amplio, se puede considerar como un conjunto de datos con significado propio constituidos por cadenas de caracteres (cifras, letras y caracteres especiales) que para ser tratados en forma automática por un ordenador necesitan ser físicamente transformados a un código manejable por ella. La información que necesita ser tratada por un ordenador se presenta en determinados sistemas de representación que utilizan un alfabeto, que denominaremos de entrada, y por medio de un sistema de codificación se transformará en una información codificada que utiliza su correspondiente alfabeto de salida y que será directamente reconocible y tratable por la máquina. Todo sistema de codificación lleva consigo un código que se define con ley de correspondencia biunívoca entre los datos que se van a representar y su codificación. En Los ordenadores se utilizan sistemas de codificación binarios numéricos. Códigos alfanuméricos Son códigos utilizados por Los ordenadores para guardar y transmitir información. En ellos podemos definir las siguientes características: 1. Conjunto de caracteres: Las cifras del sistema decimal (0-9). Letras del alfabeto (a z; A Z; áéíóú; àèìòù; äëïöü; âêîôû;... ). Signos de puntuación (. : ; - _, + * / \ { # $ % & ( ) =?! [ ] Ç...). 2. Caracteres de control. 3. Longitud de un código binario (es el número de bits que utiliza para su representación). 4. Número máximo del conjunto de caracteres (2 longitud ). En estos códigos en general, se representa cada carácter por medio de 8 bits, con lo cual todo tipo de información puede ser utilizada internamente formando cadenas de bytes sucesivos que representan cadenas de caracteres. En la actualidad se utilizan los códigos EBCDIC, el ASCII y el UNICODE. 7

8 Código EBCDIC: Extended Binary Coded Decimal Interchange Code Es un código de 8 bits con 256 caracteres muy utilizado en la arquitectura de IBM. Código ASCII: American Standard Code for Information Interchange Es el más utilizado hoy en día por las PC y otros ordenadores. Es un código de 8 bits con 256 caracteres. Código UNICODE: Código Único de Transmisión de Datos Es el que se utiliza para transmitir información en Internet a diferencia de los otros utiliza 16 bits con caracteres. UNICODE es una norma de codificación de caracteres. Su objetivo es asignar a cada posible carácter de cada posible lenguaje un número y nombre único, a diferencia de los otros Sistemas de Codificación, que sólo definen los necesarios para un idioma o zona geográfica. UNICODE se representa con tres tipos de codificación, según el número de bits necesarios para identificar cada carácter: UTF-8 (8 bit - Unicode Transformation Format), UTF-16, UTF-32. UTF-8, UTF-16, UTF-32 permiten representar los mismos caracteres, y Unicode define la relación biyectiva entre los tres. Actualmente coincide con el estándar ISO/IEC Su utilización más frecuente, UTF-8, es compatible con el juego de caracteres ASCII. El UTF-8 tiene la ventaja de ser parcialmente compatible con los programas anteriores que funcionaban con caracteres de 8 bits. Los sistemas Windows utilizan la codificación UTF-16, en el sistema de archivos NTFS por ejemplo. Trabajo Práctico Nº 2 a - Taba del CÓDIGO ASCII, // b - Taba del CÓDIGO EBCDIC, // c - Taba del CÓDIGO UNICODE [solo lo correspondiente a Español Internacional o Latin Basic ]. Sistemas Numéricos - 2 da Parte Un ordenador maneja datos en binario con una limitación de longitud referida al número de bits, y además necesita el signo para poder operar con números negativos. Por ello las cuatro formas habituales que se utilizan para estas representaciones son las siguientes: Teorema Fundamental de la Numeración Se trata de un teorema que relaciona una cantidad expresada en cualquier sistema de numeración en la misma cantidad expresada en el sistema decimal. El teorema indica el valor decimal de una cantidad expresada en cualquier base y viene dado por la formula: Donde: N = número en base 10 n = cantidad de dígitos x = dígitos b = base i = posición del dígito n N = x i. b i-1 i = 1 El valor en el sistema decimal de una cantidad expresada en otro sistema cualquiera de numeración, viene dado por la formula: 8

9 + x4*b4 + x3*b3 + x2*b2 + x1*b1 + x0*b0 + x -1 *b -1 + x -2 *b -2 + x -3 *b Ejemplo: Supongamos la cantidad expresada en 654, 321 en base 8 (ver subíndice al final de la cantidad), dicha base utiliza para representar cantidades los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Cuál será el valor correspondiente en el Sistema Decimal? 6* * * * * *8-3 = 6*64 + 5*8 + 4*1 + 3* * * = = 300,48 10 REPRESENTACION DE NUMEROS ENTEROS Existen 4 formas de representar un número entero en un ordenador (todos en sistema binario), ellas son: 1. Módulo y signo 2. Complemento a 1 (C-1) 3. Complemento a 2 (C-2) 4. Exceso a 2 elevado a la N-1 En todos los casos se considera que tenemos un número limitado de dígitos para cada uno elemento numérico. El número de dígitos disponibles lo representa N (8, 16, 32, 64,.. o sea 1, 2, 3, 4. Bytes) Módulo y Signo (MS) En este sistema de representación, el bit que está situado más a la izquierda representa el signo. Y su valor es 0 (cero) para el signo positivo (+) y 1 (uno) para el signo negativo (-). El resto de bits, (N-1) [7, 15, etc] del o los bytes utilizados, representan el módulo del número. La ventaja que representa este sistema frente a otros es la de poseer rango simétrico, mientras que su mayor inconveniente es el de tener dos representaciones para el 0 (cero). Ejemplo1: Ejemplo 2: Signo Mantisa 19 se representa en 8 bits como se representa en 8 bits como se representa en 16 bits como se representa en 16 bits como El conjunto de valores que se puede representar en un método determinado se conoce como rango de representación en un sistema. Para módulo y signo el rango de representación para N dígitos es: - 2 N X 2 N-1 1 9

10 Para el caso de n = 8 bits, el rango de representación es: X X = -127 X 127 Para 1 Byte (8 bits) es -127 x 127 Para 2 Byte (16 bits) es x Para 4 Byte (32 bits) es x Este método tiene la ventaja de poseer un rango simétrico, pero la desventaja de poseer dos representaciones para el número Complemento a 1 (C-1) Este sistema de representación utiliza el bit situado más a la izquierda para el signo, correspondiendo 0 para el signo positivo (+) y el 1 para el signo negativo (-). Para los números positivos, los N-1 bits de la derecha, representan el módulo (igual que en MS). El negativo de un número se obtiene complementando todos sus dígitos (es decir, cambiando los ceros por unos y viceversa), incluido el bit de signo. Este sistema posee la ventaja de tener rango opuesto, y la desventaja de tener dos representaciones para el 0 (cero). Para representar un número positivo es igual al método MS. Pero para los negativos, se obtiene complementando al positivo (cambiando 1 por 0 y viceversa) Ejemplo: Signo Mantisa 19 se representa en 8 bits como se representa en 8 bits como se representa en 16 bits como se representa en 16 bits como Para complemento a 1 el rango de representación para N dígitos es: Para 1 Byte (8 bits) es -127 x 127 Para 2 Byte (16 bits) es x Para 4 Byte (32 bits) es x N X 2 N-1-1 Este método presenta iguales ventajas y desventajas que el anterior 10

11 Por ejemplo: Número binario = (2) = 86 (10) Complemento a uno = (2) = 86 (10) Complemento a 2 (C-2) Se trata de otro de los métodos muy utilizados por el cual se pueden realizar restas sumando, con lo que se consigue hacer tanto sumas como restas con los mismos circuitos sumadores. El C-2 de un número se obtiene restándole 2 n, siendo n el número de bits del módulo (N-1). Este sistema utiliza el bit situado más a la izquierda para el signo, correspondiendo el 0 para el signo positivo (+) y el 1 para el signo negativo (-). Este sistema es similar al anterior, la representación de los números positivos los N-1 dígitos de la derecha representan el módulo (igual que en MS y C-1), Pero los negativos se obtienen en dos pasos: 1 Se complementa el número positivo en todos sus bits, incluido el bit de signo. (se complementa a 1 [C-1]) 2 Al resultado obtenido en el primer paso se le suma 1 en binario, despreciando el último número acarreado si existiese. PASO 1) 19 se representa en 8 bits como se representa en 8 bits como (C-1) PASO 2) El rango de representación en este caso no es ni simétrico ni opuesto, lo que representa su mayor inconveniente: Para 1 Byte (8 bits) es -128 x 127 Para 2 Byte (16 bits) es x Para 4 Byte (32 bits) es x N-1 X 2 N-1-1 La principal ventaja es la de tener una única representación del 0 (cero). La Unidad Aritmética lógica del microprocesador solo suma, no resta Ejemplo: Exceso 2 N-1 En este método se dispone de n bit para representar a un número entero (n) positivo o negativo, dicho número se representa como N + 2 n-1. Que para una representación de 8 bits es 128 El rango de representación es asimétrico: 11

12 - 2 N-1 X 2 N-1-1 Supongamos n = 8 bits, el exceso es de = 2 7 = 128, con lo cual el número 10 vendrá representado por = 138 (en binario) y para el caso del número -10 tendremos = 118 (en binario). Número 10: Número -10: Nota: si trabajamos en simple precisión es: = 2 7 = 128 si trabajamos en Doble precisión es: = 2 10 = 1024 Para obtener un número en un exceso dado, se realiza la suma algebraica del exceso más el número. Solo se puede representar valores en módulos menores o iguales al exceso. Ejemplo: Exceso 128 -> > en exceso 128 -> Por ejemplo 19 se representa en 8 bits como se representa en 8 bits como En este método el 0 tiene única representación, el rango de representación es asimétrico Resulta interesante observar que todo número representado en exceso es igual a su correspondiente en Complemento a 2 (C-2) con el primer digito de la izquierda cambiado. Ejemplo: Para representar +10 y 10 en 8 bits (un byte) el exceso es Desbordamiento (Overflow) Este hecho se puede producir cuando se suman dos números en un método de representación y el resultado no puede ser representado por el método, dándonos un resultado erróneo. Para el ejemplo usaremos la notación MS Ejemplo 52 (10) = (2) = 52 (10) + 97 (10) = (2) = 97 (10) 149 (10) = (2) = -21 (10) Operaciones Aritméticas Binarias Un ordenador opera internamente en binario de muy diversas formas según sus datos. Las operaciones aritméticas binarias elementales son las siguientes: Suma binaria Es semejante a la suma en el sistema decimal, con la diferencia (como ya sabemos) de que se maneja solo con dos símbolos (0 y 1) y que cuando el resultado excede de los símbolos utilizados se agrega el exceso (acarreo) a la suma parcial 12

13 siguiente hacia la izquierda. Ejemplo: = = = = 0 con acarreo de 1 [10] Resta binaria La resta es similar a los números en decimal, con la diferencia de que se tienen solo 2 símbolos. Si el minuendo es mayor que el sustraendo, la resta parcial se realiza igual que en la forma decimal. Si el minuendo es menor que el sustraendo (incluyendo el posible arrastre) al minuendo se le suma la base y se resta el sustraendo (incluido el arrastre) y genera un arrastre en la columna siguiente. Cuando Ejemplo1 Ejemplo = = 1 con acarreo negativo de 1 [11] 1 0 = = 0 0 < 1 ( ) 1 = 1 con arrastre de 1 1 < ( ) ( ) ( ) = 1 con arrastre de 1 0 < ( ) ( ) ( ) = 0 con arrastre de Minuendo Sustraendo 1 1 Acarreos Resultado Minuendo Sustraendo Acarreos Resultado Código BCD El código BCD (decimal codificado en binario) utiliza un nibble para la representación de cada cifra decimal. Es un sistema que codifica cifra a cifra del 0 (cero) al 9(nueve) con 4 bits su valor en binario. La tabla de equivalencia entre el sistema decimal y el BCD es: Cifra Decimal Cifra en BCD A

14 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111 Suma en BCD El BCD (el binario decimal codificado) es una forma directa asignada a un equivalente binario. Es posible asignar cargas a los bits binarios de acuerdo a sus posiciones. Las cargas en el código BCD son 8, 4, 2, 1. Ejemplo: Para representar el digito decimal 6 en código BCD sería: Ya que 0 x x x = 6 La suma en BCD se realiza cifra a cifra (como en decimal), de tal forma que es necesario tener en cuenta los correspondientes acarreos entre una suma parcial y la siguiente. Al sumar dos cifras se pueden presentar tres casos: 1. El resultado de la suma es una de las diez combinaciones válidas aceptadas en el código BCD y no se produce acarreo El resultado de la suma es una de las seis combinaciones no utilizadas por el código BCD y no se produce acarreo En este caso se necesita realizar una corrección consistente en sumar 6 (0110) al resultado para obtener el resultado correcto. Se suma 6 (0110) dado que es la diferencia de las cifras representadas en el código BCD y el sistema numérico hexadecimal que se toma como procedencia [Forma correcta de expresar el resultado] 3. El resultado de la suma genera arrastre. En este caso se tiene que realizar la misma corrección que en el caso anterior. Se realiza la corrección: [Forma correcta de expresar el resultado] 14

15 Como se representan en números más grandes Se utiliza la tabla de correspondencias de la tabla siguiente, en donde se puede ver que a cada dígito decimal se le hace corresponder su codificación en Binario Puro con cuatro bits. Figura. Tabla de correspondencias entre los dígitos de los Sistemas Decimal y BDC. Ejemplo: Si se quiere pasar el número a BCD, utilizando la tabla de correspondencias entre los dígitos de los Sistemas Decimal y BCD, se obtiene que: Por tanto, = BCD Decimal Desempaquetado y Empaquetado Son los dos sistemas de codificación basados en el código BCD. En el sistema decimal desempaquetado, un número se almacena con un byte por cada una de sus cifras en BCD. Cada byte lleva en su nibble de la izquierda cuatro 1 (unos), que es una combinación no utilizada dentro del código BCD, y el de la derecha el del código BCD. El nibble de la izquierda de la última cifra representa el signo, conteniendo 1100 (C en hexadecimal) para representar número positivos (+) y 1101 (D en hexadecimal) para representar los número negativos (-). Ejemplo: (+1992) (-1992) En el sistema decimal empaquetado, se elimina el nibble de la izquierda del sistema anterior, en el que este no tiene información significativa salvo en el de la última cifra. En este caso cada nibble lleva una cifra en BCD, salvo el primero de la derecha que lleva el signo (se utiliza la misma representación que en el desempaquetado) Ejemplo: (+1992) (-1992) Trabajo Práctico Nº 6 y Dados los mismos pares de número del Trabajo Práctico Nº 3, realizar la suma en BCD. 15

16 7 - Dados los resultados del Trabajo Práctico Nº 6, expresarlos en Decimal Desempaquetado y Empaquetado. Representación de Números en Coma Flotante La Coma Flotante, también conocido como Punto Flotante, aparece para la representación de números reales con un rango de representación mayor que el que ofrece la representación en Coma Fija (o Punto Fijo), permitiendo el tratamiento de números muy grandes y muy pequeños. Se basa en la representación en notación científica utilizada en matemáticas, en la que una cantidad se representa de la forma: N ro = m * b c Donde: N ro : número representado m : mantisa (es una fracción con signo) b : base de exponenciación o raíz c : exponente o característica (número entero sin signo) Un número en esta notación tiene infinitas representaciones, de las que se toma como representación del mismo la normalizada, que es aquella en la que la mantisa no tiene parte entera y la primera cifra o dígito de la derecha de la coma es distinto de 0 (cero), salvo en la representación del número 0 (cero). Ejemplo 1: 123,4 = 12,34 * 10 1 = 0,1234 * 10 3 = 0, * 2 7 Ejemplo 2: 86953,51 = 0, * 10 5 A ESTE PROCESO SE LO DENOMINA NORMALIZACION En muchos libros se menciona a este tipo de representación de números como Notación Exponencial. Como la base también es fija [decimal (10) para nosotros y binario (2) para la máquina], suele expresarse el número como: 1234 E E 7 Cada fabricante de ordenador define para la arquitectura de sus máquinas un formato de coma flotante para lo que se denomina simple precisión, donde el número de bits corresponden a una palabra, y otro para doble precisión, donde se utiliza una doble palabra. En general, se suele seguir las siguientes reglas: a) el exponente se representa en las notaciones MS o exceso a 2 N-1, siendo un número entero con signo. b) La mantisa es un número real normalizado (sin parte entera) con la coma implícita a la izquierda representada en MS, C-1 o C-2. el signo suele estar situado en el bit de más a la izquierda. c) La base de exponenciación, también denominada raíz, es la potencia de 2 (dos) determinada por el fabricante. Para este método les voy a explicar dos formas de representación simple y doble precisión, pero existen otros formatos como real, extended, o comp. Formatos estándar Los formatos de coma flotante normalizados para ordenadores de 32 bits, según el estándar IEEE 754 (Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos - Institute of Electrical and Electronics Engineers, IEEE), son: Simple precisión (palabra de 32 bits): Signo 1 (uno) bit Exponente 8 (ocho) bits 16

17 Mantisa 23 (veintitrés) bits Doble precisión (palabra de 64 bits): Signo 1 (uno) bit Exponente 11 (once) bits Mantisa 52 (cincuenta y dos) bits Estándar IEEE 754 (Precisión simple): 32 Bits - Signo (1 bit). Mantisa en Signo Magnitud (23 bit). Exponente en Exceso a 2 n-1-1 (8 bit) bits 23 bits Signo Exponente mantisa El exponente se codifica en exceso 2 n-1-1 (el cero es 127= ). El mayor exponente positivo que podemos almacenar es = = 128 y el mayor exponente negativo (número más próximo a cero): = = -127 EJEMPLO: Ejemplos de pasajes de Decimal a Flotante 57 a Flotante 1) Paso 57 a Binario 57! ) Normalizo el Binario ! 1,11001 * 2 5 3) Paso el exponente a Binario 5! 101 -> ( = 133) 4) Si trabajo en Simple Precisión (SP) lo expreso como excedente de (128) (por los 8 bits), si es de doble precisión como excedente a (por los 11 bits). el Exponente nos queda así ) Como el número es positivo el bit de signo es 0 Signo Exponente Mantisa SP En la mantisa, debería agregar 0 hasta completar los 23 bits El número queda estructurado de la siguiente manera Ejemplo 2 Codifiquemos el número decimal -118,625 (ver como se hace la parte fraccionaria pag. siguiente) usando el sistema de la IEEE 754. Necesitamos obtener el signo, el exponente y la fracción. Dado que es un número negativo, el signo es "1". Busquemos los demás valores: Primero, escribimos el número (sin signo) usando notación binaria.. El resultado es Ahora, movamos el punto decimal a la izquierda, dejando sólo un 1 a su izquierda = * 2 6 Esto es un número en coma flotante normalizado. 17

18 El exponente es 6, pero necesitamos convertirlo a binario y desplazarlo (de forma que el exponente más negativo es 0, y todos los exponentes son solamente números binarios no negativos). Para el formato IEEE 754 de 32 bits, el desplazamiento es 127, así es que = 133. En binario, esto se escribe como La mantisa es la parte a la derecha del punto decimal, rellenada con ceros a la derecha hasta que obtengamos todos los 23 bits. Es decir S Exponente mantiza Ejemplo 2: p.ej.{float en java y C} Ejemplo Cómo se representaría el número 25,3 en real corto? 25,3 = 11001, = 1, x 2 4 > signo + ==> 0 > exponente: 4, que en exceso 128 será: 4+127=131 > mantisa: Sólo se almacena la parte fraccionaria, pues la parte entera siempre es 1 Solución: 25,3 = =

19 USÉ EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA NUMERACIÓN (Pag. 8 de este apunte) Bits Fracción Multiplicación 1 0,3 * 2 = 0, ,6 * 2 = 1,2 3 0,2 * 2 = 0,4 4 0,4 * 2 = 0,8 5 0,8 * 2 = 1,6 6 0,6 * 2 = 1,2 7 0,2 * 2 = 0,4 8 0,4 * 2 = 0,8 9 0,8 * 2 = 1,6 10 0,6 * 2 = 1,2 11 0,2 * 2 = 0,4 12 0,4 * 2 = 0,8 13 0,8 * 2 = 1,6 14 0,6 * 2 = 1,2 15 0,2 * 2 = 0,4 16 0,4 * 2 = 0,8 17 0,8 * 2 = 1,6 18 0,6 * 2 = 1,2 19 0,2 * 2 = 0,4 20 0,4 * 2 = 0,8 21 0,8 * 2 = 1,6 22 0,6 * 2 = 1,2 23 0,2 * 2 = 0,4 19

20 Tabla de conversión Decimal Binario Octal Hexadecimal A B C D E F A B C D E F Como convierto de decimal a los distintas potencias??? Usamos siempre el Teorema fundamental de la numeración??? O por medio de divisiones por la base dada?? Ayuda tengo el número 12 en Decimal y quiero pasarlo a Octal A pensar

21 Protección contra errores En la transferencia de información entre computadoras a larga o corta distancia, en la línea de transmisión, así como en la codificación y decodificación de la información, aparecen errores que es necesario detectar y en algunos casos corregir. Por ello se utilizan una serie de códigos detectores y correctores de errores. Para entender fácilmente como puede funcionar un código detector de errores definiremos el término distancia en un código binario. Distancia entre dos combinaciones binarias es un número de bits que deben ser modificados en una de las combinaciones para obtener la otra. Distancia de un código binarios es la menor de las distancias entre dos combinaciones binarias cualquiera del mismo. Para que un código pueda detectar errores, su distancia debe ser superior a la unidad, ya que si es 1, los errores de un bit pueden llevar a otra combinación válida sin que pueda detectarse. Cualquier error de 1 bit se detecta por producir un dato que no pertenece al código. La distancia de un código está íntimamente ligada al número de errores capaz de detectar. Los códigos correctores, además de detectar el error lo corrigen, pero con el inconveniente de necesitar mayor número de bits que los anteriores. La distancia mínima que debe tener un código para poder corregir errores de 1 bit es 3. En general, para corregir errores de n bits es necesario que la distancia del código sea al menos 2n + 1. Código de Paridad Son códigos detectores de errores cuya distancia es 2, por lo que permiten controlar errores de un bit. Se obtienen añadiendo a las combinaciones del código un bit que se denomina de paridad. El criterio que se utiliza es el número de bits que se encuentran en 1 (uno) dentro de cada combinación, incluyendo el de paridad. Existen dos tipos de códigos de paridad: Paridad PAR: el número de bits a 1 es par (el más utilizado) Paridad IMPAR: el número de bits a 1 es impar Ejemplo de paridad par: Combinación Bit de Paridad

22 Método de Paridad Horizontal Vertical En este método se va enviando, por cada palabra de datos, un bit de paridad (Paridad Horizontal). Después de que se ha enviado un número determinado de palabras de datos, se añade una palabra completa de paridad (Paridad Vertical), que comprueba la paridad verticalmente de las palabras de datos enviadas. Por ejemplo: Palabra de datos Palabra de paridad vertical Bit de paridad horizontal Se observa un error de paridad en el cuarto bit de paridad horizontal, y en el tercero de paridad vertical. Podemos entonces determinar exactamente la posición del bit erróneo (señalado con un doble círculo), y por lo tanto poder corregirlo. Si cambiamos un bit de la trama de datos, podemos observar que cambian un mínimo de tres bits más en la trama total (el de paridad horizontal, el vertical y el horizontal vertical). Vemos pues que la palabra legal (considerando así a la palabra del código a trama completa) más cercana a otra palabra legal está a una distancia de Hamming de 4. Se respeta, pues la desigualdad d 2x + 1, con x = 1 y d = 4. Código de Hamming Son códigos correctores de errores cuya distancia mínima es 3 (tres) y permite detectar errores de 2 (dos) bits y corregir errores de 1 (uno) bit. Se forma añadiendo al código a proteger una serie de bits para detectar varias paridades. El conjunto de bits que se añade forman un número en binario puro que indica la posición del bit erróneo. Caso de no haber error, el número será 0 (cero). Distancia de Hamming entre dos palabras de un código: Es el número de bits en que se diferencian ambas palabras. Para hallarla, podemos hacer la operación EXOR (OR exclusivo) entre las dos palabras, y se cuenta el número de unos del resultado. Por ejemplo, las palabras y se diferencian en 3 bits, cosa que podemos comprobar con la operación exclusive-or: Difieren en tres bits (número de unos del resultado), que es lo que se llamará distancia de Hamming. Antes de describir detalladamente como funciona este método, trataremos de explicar intuitivamente cómo funciona, gráficamente: Supongamos que tenemos palabras de datos de 4 bits, con tres bits de verificación, y tenemos el valor de datos Colocaremos los bits de datos de la palabra en las posibles intersecciones de tres conjuntos A, B y C: Esto es AB, AC, ABC y BC (siempre en este orden). Los bits de paridad irán en las zonas de los conjuntos sin intersección: A, B y C. De esta manera, cada bit de paridad controla un subconjunto de los bits de datos. En caso de error, los bits de paridad erróneos indicarán la posición del bit erróneo. 22

23 A B A B A B C C C Añadimos los bits de paridad en los conjuntos A, B y C Si hay un error, se ve donde no se cumple la paridad : En los conjuntos B y C el error estaba en el bit de datos de la zona BC. Se observa que la idea principal es hacer que cada bit de paridad controle subconjuntos de los bits de datos, y que las combinaciones de bits de paridad erróneos nos determinen unívocamente la posición del bit de datos erróneo. El algoritmo de Hamming no hace sino generalizar esta idea para palabras de longitud arbitraria: En un código Hamming se agregan r bits de paridad a los m bits de la palabra, formando una palabra de m + r bits. Los bits se numeran comenzando por el 1, siendo el primer bit el que se ubica más a la izquierda (aunque esto da igual; podemos empezar, si queremos, a numerar por la derecha). Todos los bits cuya posición sea potencia de dos, son bits de paridad y el resto se utilizan para datos. Deberá cumplirse la relación m+r+1 2 r, porque sólo así aseguraremos que las 2 r posibles combinaciones distintas de bits de paridad podrán determinarnos si el error está en alguno de los m bits de datos, o en alguno de los r bits de paridad, o sencillamente no hubo un error (por eso el sumar uno). La fórmula anterior equivale a m + r < 2 r. Por ejemplo: Si tenemos una palabra de datos de 16 bits (m), según la fórmula anterior, le corresponden 5 bits de paridad (r), puesto que con r=4 no se cumple que 16+4<2 r, pero sí que 16+5<2 5. Observar que este límite coincide con el límite inferior teórico que deducimos anteriormente. Por lo tanto, el código de Hamming es lo más eficiente posible que se puede ser, en el sentido de disminuir la cantidad de bits de verificación, dentro de los códigos que corrigen un error. Debemos ahora asociar a cada bit de paridad (en posición potencia de dos) una serie de posiciones de bits de datos a verificar (en el resto de posiciones). En general, un bit b i es verificado por un subconjunto S de todos los bits de paridad P ( S P = {b 1, b 2, b 4, b 8,...,b r-2 2,b r-1 2 } ) tal que: j = i bj S Por ejemplo, el bit b 5 es verificado por los bits de paridad b 1 y b 4, puesto que para expresar 5 como suma de potencias de dos hay que sumar 1 y 4. 1 Supongamos que queremos enviar la palabra de datos de 16 bits , y que queremos que pueda detectarse y corregirse un error en el destino, para lo cual le añadiremos una serie de bits de verificación usando el método de Hamming. Utilizando la fórmula que vimos anteriormente, m + r < 2 r, vemos que con m = 16 debemos elegir r = 5. La longitud total de la palabra será, por tanto, n = m + r = = 21. Los bits de paridad los pondremos en las posiciones: 1, 2, 4, 8 y 16, que resultan de efectuar las operaciones 2 0, 2 1, 2 2, 2 3 y 2 4. En el resto de posiciones irán los bits de datos: VALOR BIT POSICIÓN Siguiendo la fórmula vista anteriormente, el bit 3 es verificado por los bits 1 y 2. Así mismo, el bit 5 es verificado por los bits 4 y 1, el bit 6 por los bits 4 y 2, el bit 7 por los bits 4, 2 y 1, etc., o, lo que es lo mismo, pero dándole la vuelta a las frases: El bit de paridad 1 verifica a los bits 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 y 21. El bit de paridad 2 verifica a los bits 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 18 y 19. El bit de paridad 4 verifica a los bits 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15, 20 y 21. El bit de paridad 8 verifica a los bits 9, 10, 11, 12, 13, 14 y 15. El bit de paridad 16 verifica a los bits 17, 18, 19, 20 y La notación usada para denominar a los bits dentro de la palabra en el libro de Tanembaum referenciado en la bibliografía es ligeramente distinta, si bien el funcionamiento del algoritmo es exactamente el mismo. 23

24 Ahora calcularemos, para cada bit de paridad, si es un uno o un cero. Para ello, veremos lo que tiene que valer cada uno de ellos para que ese bit y las posiciones que verifica cumplan el criterio de paridad escogido (par o impar; en este caso usaremos paridad par). Por ejemplo, para el bit 1, contamos los unos de las posiciones que verifica; si es un número par ponemos un cero. En caso contrario, ponemos un uno. En este caso, hay un número par de unos (seis), y por tanto colocamos un cero. Para el bit 2, el número de unos en las posiciones que verifica es también par (seis también). Por tanto, colocamos otro cero en la posición 2. Y así sucesivamente con todos los bits de verificación. La palabra resultante será (en negrita los bits de paridad): VALOR BIT POSICIÓN Luego la palabra total sería: Veamos cómo funciona el algoritmo: Supongamos que el bit de la posición 5, que vale uno, pasa a valer un cero en la retransmisión que llega al receptor. Es decir, la palabra enviada pasa a ser El receptor comprobará que hay un fallo, siguiendo el criterio de paridad de la siguiente manera: contando los unos en las posiciones correspondientes a cada subconjunto de los anteriormente vistos - pero añadiendo la posición de paridad correspondiente - y comprobando que no en todos los subconjuntos se cumple el criterio de paridad par. El proceso que sigue la computadora es el siguiente: Bit de paridad 1: comprueba que es incorrecto (hay 5 unos en las posiciones 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 y 21). Bit de paridad 2: comprueba que es correcto (hay 6 unos en las posiciones 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 18 y 19). Bit de paridad 4: comprueba que es incorrecto (hay 5 unos en las posiciones 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15, 20 y 21). Bit de paridad 8: comprueba que es correcto (hay 2 unos en las posiciones 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 y 15). Bit de paridad 16: comprueba que es correcto (hay 4 unos en las posiciones 16, 17, 18, 19, 20 y 21). Ahora el computador distingue entre los bits de paridad que son correctos y los que no. Con los bits que son incorrectos, hace una intersección entre los subconjuntos de bits verificados por ellos. Al hacer la intersección, sacaremos los elementos que coinciden en todos esos conjuntos. Estamos seguros de que una de esas posiciones es el que ha dado el error. En nuestro ejemplo son las posiciones 5, 7, 13, 15 y 21. Pero ahora el computador mira qué bits de verificación estaban bien. El bit de verificación 2 hemos dicho que es correcto, luego todos los bits que verifican también lo son; los bits 7 y 15 se encuentran en dicha verificación, luego los dos son correctos. Lo mismo pasa con el bit 13, verificado por el bit 8, que también está correcto, y el bit 21, verificado por el bit 16, y que también estaba correcto. El único bit que nos queda es el bit 5, que sí estaba en la intersección. Este es, pues, el bit erróneo. Luego, como el computador ha detectado el error y lo ha localizado, lo único que hace ahora es cambiar el valor que recibió en la posición errónea. Como había un cero, pone un uno y obtiene la palabra que originalmente se envió. En realidad, la elegancia del código de Hamming está en la manera de numerar los bits: Para ver cual es la posición errónea, lo único que se tiene que hacer es ver qué bits de paridad son incorrectos, y sumar los valores de sus posiciones. Se obtiene entonces el valor de la posición errónea. Por ejemplo, para el caso anterior, los bits 1 y 4 eran los bits de paridad incorrectos: Sumamos, pues, 4 y 1, para obtener 5, que es la posición exacta del error. Este sistema sólo corrige un error: es decir, si introducimos más de un error en la palabra, se dará cuenta de que había un error, pero, al intentar corregirlo, lo hará mal, y probablemente deje las cosas peor que estaban. Pueden construirse códigos en los que, aumentando el número de bits de verificación, se aumente el número de posibles errores detectados y corregidos. Pero su estudio queda fuera de nuestros objetivos, y, además, en la práctica ya es difícil que se produzca un error, con lo que las probabilidades de que se produzcan dos simultáneamente en un sólo envío pasan a ser mínimas. 24

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