Universidad Austral de Chile Escuela de Ingeniería Comercial

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1 Escuela de Ingeniería Comercial Ayudantía # 01, Incertidumbre y Seguros Profesor: Carlos R. Pitta 1 1

2 Problema # 01: Durante el último clásico Colo-Colo vs la U Jorge el hincha apostó $ a que la U ganaba. Si Jorge tiene una función de utilidad esperada logarítmica, y su riqueza total es de $ , Cuál es la probabilidad p mínima con la que Jorge estima que la U ganará? Solución: p debe ser lo suficientemente grande como para que la utilidad esperada con la apuesta sea mayor, o por lo menos igual, que sin la apuesta: p Ln( ) + (1 p) Ln (900,000) > Ln ( ) 13,9108p + 13,7102(1 p) > 13,8155 0,2006p > 0,1053 p > 0,525 Problema # 02: Para ilustrar la conexión entre riesgo y seguro, suponga a una persona con una riqueza W o de $ que enfrenta una probabilidad del 25% de perder su automóvil que cuesta $ en un asalto. Suponga que esta persona tiene un índice de utilidad de Von Neumann-Morgenstern del tipo U(W o) = Ln(W o). a) Cuál es la utilidad esperada de esta persona sin comprar seguro? Utilidad Esperada (UE) = 0.75 U( ) U(80.000) UE = 0.75 Ln Ln = 11, b) Cuál es el valor de una prima actuarialmente justa? P = 0,25*$ = $5.000 c) Cuál será su utilidad esperada después de tomar un seguro con cobertura completa pagando una prima actuarialmente justa? EU = U(95.000) = Ln (95.000) = 11, d) Cuál es el valor máximo que esta persona está dispuesta a pagar para adquirir un seguro de cobertura completa? El monto máximo a pagar será hasta el punto en donde se encuentre indiferente entre tomar seguro o no. En ese punto el individuo logra un nivel de utilidad de 11,45714, por lo tanto: EU = U( X) = Ln ( X) = 11, Esto significa que la persona contrataría el seguro de cobertura completa, si existiese una compañía capaz de ofrecerlo. De hecho, estaría dispuesto a pagar incluso más que la prima actuarialmente justa. e) Ahora suponga que la compañía ofrece un seguro de cobertura completa que cuesta $4.900 pero que requiere, en caso de robo, que el cliente asuma los primeros $1.000 a manera de un deducible. Comprará el seguro la persona? En este caso, tenemos dos posibilidades, de acuerdo a si ocurre el Estado de la Naturaleza 1 o el Estado de la Naturaleza 2. EN1= = EN2= = Y la utilidad esperada es de: UE = 0,75 Ln ,25 Ln = 11,46004 Prof. Carlos R. Pitta 2

3 Dado que la utilidad es mayor que en el estado sin seguro (11,46004 > 11,45714), el individuo sí contratará el seguro. Problema # 03: Un individuo compra una docena de huevos y debe llevarlos a casa. Aun cuando el viaje a casa en sí no tiene costo, existe un 50% de probabilidad de que todos los huevos que lleve en un viaje se rompan. El individuo tiene que considerar dos estrategias: Estrategia 1: Llevar los 12 huevos en un solo viaje. Estrategia 2: Hacer dos viajes y llevar 6 huevos en cada viaje. a) Liste los posibles resultados de cada estrategia y las probabilidades de dichos resultados. Demuestre que en promedio, 6 huevos permanecerán intactos después del viaje, bajo cualquier estrategia. Estrategia 1 Resultado Probabilidad 12 Huevos 0,5 0 Huevos 0,5 Valor Esperado 0,5*12 + 0,5*0 = 6 Estrategia 2 Resultado Probabilidad 12 Huevos 0,25 6 Huevos 0,5 0 Huevos 0,25 Valor Esperado = 0,25*12 + 0,5*6 + 0,25*0 = = 6 b) Dibuje un gráfico para mostrar la utilidad obtenible bajo cada estrategia. Cuál estrategia es preferible? c) Puede mejorarse la utilidad si se toman más de dos viajes? Cómo se altera esta nueva estrategia si los costos de viaje son positivos? Solución: Piense! Prof. Carlos R. Pitta 3

4 Problema # 04: La Srita. Paty Dog se encuentra planeando un viaje por todo lo largo de Chile el próximo verano. Dado que es estudiante de la UACh no tiene mucho dinero en realidad y planea gastar únicamente $ La utilidad que obtiene del viaje está en función de cuánto gasta (Y), y se encuentra dado por U(Y) = Ln Y. a) Si existe un 25% de probabilidad de que la Srita. Dog pierda $1.000 de la plata que tiene destinado para su viaje, Cuál es la utilidad esperada del viaje? RESPUESTA: E(U) = 0,75 Ln (10.000) + 0,25 Ln(9.000) = 9,1840 b) Suponga que la Srita. Dog puede asegurarse contra la pérdida de dichos $1.000 (Comprando cheques de viajeros, por ejemplo) a un precio actuarialmente justo de $250. Demuestre que su utilidad esperada es más alta si ella compra el seguro que si se enfrenta al riesgo de perder los $1.000 sin adquirir seguro. RESPUESTA: E(U s ) = Ln (9.750) = 9,1850 Dado que U s > U, comprar el seguro es preferible. c) Cuál es el máximo monto que la Srita. Dog estará dispuesta a pagar para asegurar sus $1,000? RESPUESTA: Ln (10,000 p) = 9, ,000 p = e 9,1840 p = 10,000 e 9,1840 p = 260 Problema # 05: Un agricultor cree que existe un 50% de probabilidades de que la próxima temporada de recolección sea excepcionalmente lluviosa. Su función de utilidad esperada tiene la forma: UE = ½ Ln Y lln + ½ Ln Y ll En dónde Y lln e Y ll representan la renta del agricultor en los estados de la naturaleza «lluvia normal» y «lluvioso», respectivamente. a) Suponga que le agricultor debe elegir entre dos cultivos que prometen las siguientes perspectivas de renta. Cuál de los productos sembrará? b) Suponga que el agricultor puede sembrar la mitad de la tierra de cada cultivo. Decidirá hacer eso? Explique porqué. c) Qué combinación de trigo y maíz reportará la máxima utilidad esperada a este agricultor? Prof. Carlos R. Pitta 4

5 d) Cambiará sus planes si hubiera un seguro para los cultivos destinado a los agricultores que solo cultivan trigo, que cuesta $4.000 y paga $8.000 si la temporada de recolección fuera lluviosa? Problema # 06: La cosecha de tomates de un agricultor está marchitándose, por lo que debe decidir si la riega o no. Si riega los tomates o si llueve, la cosecha generará unos beneficios de $1.000; pero, si los tomates no reciben agua, sólo rendirán $500. Poner en funcionamiento el sistema de riego del agricultor cuesta $100. Este trata de maximizar los beneficios esperados de las ventas de tomates. a) Si el agricultor cree que hay un 50% de probabilidades de que llueva, regará? RESPUESTA: La utilidad esperada de no regar es 0,5(1.000)+0,5(500)=750. Si riega, la utilidad con certeza es de 900. Entonces el agricultor debería regar. b) Cuál es la cantidad máxima que pagará para obtener información de un meteorólogo ambulante que puede hacer predicciones con un 100% de exactitud? RESPUESTA: Si el agricultor conoce el clima con certeza, las utilidades serian de con lluvia y 900 si no llueve. La utilidad esperada es de 950. Entonces lo máximo que está dispuesto a pagar el agricultor por la información es 50. c) Cómo varía su respuesta en la pregunta (b) si el meteorólogo solo acierta un 75% de las veces? Prof. Carlos R. Pitta 5

6 Problema # 07: Suponga que Mónica es deportista y desea comprar un televisor de alta definición para ver la competencia de lucha grecorromana en las olimpiadas de Londres Su renta actual es de $ y sabe donde puede comprar el televisor que quiere por $ Ha oído que este mismo aparato puede comprarse en el Loco Félix (quien acaba de salir de una quiebra) por $1.700, pero no está segura que ese rumor sea cierto. Suponga que la utilidad de esta persona viene dada por Utilidad = ln(y), en donde Y es la renta que tiene después de comprar el televisor. a) Cuál es la utilidad de Mónica si compra en la tienda que conoce? b) Cuál es la utilidad si el Loco Félix ofrece realmente un precio más bajo? c) Suponga que Mónica cree que hay una probabilidad de 50 % de que el Loco Félix ofrezca el televisor al precio más bajo, pero le cuesta $100 desplazarse a la tienda de descuentos para cerciorarse con seguridad (la tienda está lejos y tiene el teléfono desconectado). Vale la pena invertir el dinero en el desplazamiento? Prof. Carlos R. Pitta 6

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