2. Cual es el contexto histórico y evolución de la investigación de operaciones?

Transcripción

1 1. Que es la Investigación de operaciones? Es una rama de las Matemáticas consistente en el uso de modelos matemáticos, estadística y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones. Frecuentemente, trata el estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) el funcionamiento del mismo. La investigación de operaciones permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para determinar cómo se pueden maximizar o minimizar los recursos. 2. Cual es el contexto histórico y evolución de la investigación de operaciones? Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a muchas décadas, cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada investigación de operaciones, casi siempre se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra mundial. Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma más efectiva. Por esto, las administraciones militares americana e inglesa hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el método científico a éste y a otros problemas estratégicos y tácticos. De hecho, se les pidió que hicieran investigación sobre operaciones (militares). Estos equipos de científicos fueron los primeros equipos de IO. Con el desarrollo de métodos efectivos para el uso del nuevo radar, estos equipos contribuyeron al triunfo del combate aéreo inglés. A través de sus investigaciones para mejorar el manejo de las operaciones antisubmarinas y de protección, jugaron también un papel importante en la victoria de la batalla del Atlántico Norte. Esfuerzos similares fueron de gran ayuda en la isla de campaña en el pacifico. Al terminar la guerra, el éxito de la investigación de operaciones en las actividades bélicas generó un gran interés en sus aplicaciones fuera del campo militar. Como la explosión industrial seguía su curso, los problemas causados por el aumento en la complejidad y especialización dentro de las organizaciones pasaron de nuevo a primer plano. Comenzó a ser evidente para un gran número de personas, incluyendo a los consultores industriales que habían trabajado con o para los equipos de IO durante la guerra, que estos problemas eran básicamente los mismos que los enfrentados por la milicia, pero en un contexto diferente. Cuando comenzó la década de 1950, estos individuos habían introducido el uso de la investigación de operaciones en la industria, los negocios y el gobierno. Desde entonces, esta disciplina se ha desarrollado con rapidez. Un segundo factor que dio ímpetu al desarrollo de este campo fue el advenimiento de los computadores. Para manejar de una manera efectiva los complejos problemas inherentes a esta disciplina, por lo general se requiere un gran número de cálculos. Llevarlos a cabo a mano puede resultar casi imposible. Por lo tanto, el desarrollo de la computadora electrónica digital, con su capacidad para realizar cálculos aritméticos, miles o tal vez millones de veces más rápido que los seres humanos, fue una gran ayuda para la investigación de operaciones. Un avance más tuvo lugar en la década de 1980 con el desarrollo de las computadoras personales cada vez más rápidas, acompañado de buenos paquetes de software para resolver problemas de IO, esto puso las técnicas al alcance de un gran número de personas. Hoy en día, literalmente millones de individuos tienen acceso a estos paquetes. En consecuencia, por rutina, se usa toda una gama e computadoras, desde las grandes hasta las portátiles, para resolver problemas de investigación de operaciones. PROGRAMACION LINEAL 3. Que es la Programación Lineal? La Programación Lineal (PL) es una de las principales ramas de la Investigación Operativa. En esta categoría se consideran todos aquellos modelos de optimización donde las funciones que lo

2 componen, es decir, función objetivo y restricciones, son funciones lineales en las variables de decisión. Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización. 4. Que es un modelo de Programación Lineal? Un modelo de programación lineal proporciona un método eficiente para determinar una decisión óptima, (o una estrategia óptima o un plan óptimo) escogida de un gran número de decisiones posibles. 5. Como se plantea un Modelo de Programación Lineal? De forma obligatoria se deben cumplir los siguientes requerimientos para construir un modelo de Programación Lineal. Requerimiento 1. Función objetivo. (F.O). Debe haber un objetivo (o meta o blanco) que la optimización desea alcanzar. Requerimiento 2. Restricciones y decisiones. Debe haber cursos o alternativas de acción o decisiones, uno de los cuáles permite alcanzar el objetivo. Requerimiento 3. La F.O y las restricciones son lineales. Deben utilizarse solamente ecuaciones lineales o desigualdades lineales. Modelo standard de Programación Lineal Optimizar Z = C1X1+ C1X2 +.+ Cn Xn). Función objetivo. Sujeta a a11x1+ a11x a1nxn) b1 a21x1+ a21x a2nxn) b1 Restricciones am1x1+ am1x amnxn) bm Debiendo ser X1 ³ 0, X2 ³ 0,.. Xn ³ 0 Donde: Xj : variables de decisión, j = 1,2.., n. n : número de variables. m : número de restricciones. aij, bi, cj constantes, i = 1,2.., m. Pasos para la construcción del modelo 1. Definir las variables de decisión. 2. Definir el objetivo o meta en términos de las variables de decisión. 3. Definir las restricciones. 4. Restringir todas las variables para que sean no negativas. 6. Cuales son las suposiciones y Características de un modelo de Programación Lineal? PROPORCIONALIDAD La contribución de cada actividad al valor de la función objetivo Z es proporcional al nivel de actividad xj, como lo representa el término cjxj en la función objetivo. De manera similar, la

3 contribución de cada actividad al lado izquierdo de cada restricción funcional es proporcional al nivel de la actividad xj, en la forma en que lo representa el término aijxj en la restricción. En consecuencia, esta suposición elimina cualquier exponente diferente a 1 para las variables en cualquier término de las funciones (ya sea la función objetivo o la función en el lado izquierdo de las restricciones funcionales) en un modelo de programación lineal. ADITIVIDAD Establece que la entrada y salida de un recurso en particular al conjunto de actividades, deben ser la misma cantidad; o sea, que las actividades transforman los recursos y no los crean o destruyen. Esta suposición garantiza que la contribución total tanto a la función objetivo como a las restricciones, es igual a la suma de las contribuciones individuales. Cuando en un problema dado no se tenga la aditividad puede recurrirse al empleo de otras técnicas de la programación matemática, dependiendo de cada caso en particular. Cada función en un modelo de programación lineal (ya sea la función objetivo o el lado izquierdo de las restricciones funcionales) es la suma de las contribuciones individuales de las actividades respectivas. DIVISIBILIDAD Las variables de decisión en un modelo de programación lineal pueden tomar cualquier valor, incluyendo valores no enteros, que satisfagan las restricciones funcionales y de no negatividad. Así, estas variables no están restringidas a sólo valores enteros. Como cada variable de decisión representa el nivel de alguna actividad, se supondrá que las actividades se pueden realizar a niveles fracciónales. 7. Cuales son los modelos mas aplicados de programación lineal? Método Simplex Método Gráfico 8. Cómo se soluciona gráficamente un modelo de programación lineal? El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o imposible. Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan las restricciones tecnológicas se denomina método gráfico en recursos. Los pasos necesarios para realizar el método son nueve: 1. graficar las soluciones factibles, o el espacio de soluciones (factible), que satisfagan todas las restricciones en forma simultánea. 2. Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confían todos los valores posibles. 3. El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta. 4. trazar cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada.

4 5. Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones satisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto factible. 6. Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo. 7. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo. Ejemplo. Maximizar Z = 3X1 + 2X2 restricciones: X1 + 2X2 <=6 (1) 2X1 + X2 <=8 (2) -X1 + X2 <=1 (3) X2 <= 2 (4) X1 >= 0 (5) X2 >= 0 (6) Convirtiendo las restricciones a igualdad y representando las gráficamente se tiene: X1 + 2X2 = 6 (1) 2X1 + X2 = 8 (2) -X1 + X2 = 1 (3) X2 = 2 (4) X1 = 0 (5) X2 = 0 (6) Figura 1 Espacio de solución presentada con WinQsb 9. Que es el método simplex?

5 El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución. El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: Si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta. Deberá tenerse en cuenta que este método sólo trabaja para restricciones que tengan un tipo de desigualdad " " y coeficientes independientes mayores o iguales a 0, y habrá que estandarizar las mismas para el algoritmo. En caso de que después de éste proceso, aparezcan (o no varíen) restricciones del tipo " " o "=" habrá que emplear otros métodos, siendo el más común el método de las Dos Fases. 10. Cómo se construye una tabla simplex? En la primera columna de la tabla aparecerá lo que llamaremos base, en la segunda el coeficiente que tiene en la función objetivo cada variable que aparece en la base (llamaremos a esta columna Cb), en la tercera el término independiente de cada restricción (P0), y a partir de ésta columna aparecerán cada una de las variables de la función objetivo (Pi). Para tener una visión más clara de la tabla, incluiremos una fila en la que pondremos cada uno de los nombres de las columnas. Sobre ésta tabla que tenemos incluiremos dos nuevas filas: una que será la que liderará la tabla donde aparecerán las constantes de los coeficientes de la función objetivo, y otra que será la última fila, donde tomará valor la función objetivo. Nuestra tabla final tendrá tantas filas como restricciones. Tabla C1 C2... Cn Base Cb P0 P1 P2... Pn Pi1 Ci1 Bi1 a11 a12... a1n Pi2 Ci2 Bi2 a21 a22... a2n Pim Cim bim Am1 am2... amn Z Z0 Z1-C1 Z2-C2... Zn-Cn Los valores de la fila Z se obtienen de la siguiente forma: El valor Z0 será el de sustituir Cim en la función objetivo (y cero si no aparece en la base). El resto de columnas se obtiene restando a este valor el del coeficiente que aparece en la primera fila de la tabla. Se observará al realizar el método Simplex, que en esta primera tabla, en la base estarán las variables de holgura. Condición de parada: Comprobaremos si debemos de dar una nueva iteración o no, que lo sabremos si en la fila Z aparece algún valor negativo. Si no aparece ninguno, es que hemos llegado a la solución óptima del problema. - Elección de la variable que entra: Si no se ha dado la condición de parada, debemos seleccionar una variable para que entre en la base en la siguiente tabla. Para ello nos fijamos en los valores estrictamente negativos de la fila Z, y el menor de ellos será el que nos de la variable entrante.

6 - Elección de la variable que sale: Una vez obtenida la variable entrante, obtendremos la variable que sale, sin más que seleccionar aquella fila cuyo cociente P0/Pj sea el menor de los estrictamente positivos (teniendo en cuenta que sólo se hará cuando Pj sea mayor de 0). La intersección entre la columna entrante y la fila saliente nos determinará el elemento pivote. - Actualización de la tabla: Las filas correspondientes a la función objetivo y a los títulos permanecerán inalterados en la nueva tabla. El resto deberá calcularse de dos formas diferentes: Si es la fila pivote cada nuevo elemento se calculará: Nuevo Elemento Fila Pivote = Elemento Fila Pivote actual / Pivote. Para el resto de elementos de filas se calculará: Nuevo Elemento Fila=Elemento Fila Pivote actual-(elemento Columna Pivote en la fila actual*nuevo Elemento Fila) 11. Qué relación existe entre el método simplex y el método gráfico? Una vez resuelto el modelo original, por el método simplex interesa saber qué sucede frente a cambios que se produzcan en los parámetros del modelo, sin que esto involucre resolver el modelo nuevamente. En este sentido, para un modelo que considera 2 variables, el análisis gráfico es una herramienta que nos permite realizar este tipo de análisis. 12. Qué es el concepto de dualidad en el método simplex? El dual se obtiene de un problema primal dado, y están relacionados hasta el punto que la solución de uno dará también la solución del otro. El estudio del problema dual permite tener una mayor profundidad en el análisis de sensibilidad. Los siguientes puntos muestran como obtener un modelo dual a partir de un primal: 1. Cada restricción primal representa una variable dual (m variables: Y1, Y2,..., Ym). 2. Cada variable del modelo primal pasa a ser una restricción en el modelo dual (n restricciones que corresponden a: X1, X2,..., Xn). 3. Los coeficientes de las restricciones de una variable primal pasan a ser los coeficientes del lado izquierdo de la restricción dual correspondiente, con el lado derecho igual al coeficiente de la variable en la función Z. Los coeficientes de las variables duales en la función objetivo son los lados derechos de las restricciones en el modelo primal.