UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO

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1 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO - MATEMÁTICAS II Instrucciones: a) Duración: hora y minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. Opción A (Junio.) Ejercicio.- [ puntos] Sabiendo que ln( ) a sen ( ) cos() lim Es finito, calcula a y el valor del límite (ln denota logaritmo neperiano). Ejercicio.- [' puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f en el punto ( ) de abscisa sabiendo que f() y f () para >. Ejercicio.- Considera las matrices A y B a) [ puntos] Halla la matriz X que verifica AX + B A. b) [ puntos] Calcula B y B. Ejercicio.- Considera el punto P(,, ) y la recta r dada por y z a) [ punto] Determina la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r. b) [' puntos] Calcula la distancia de P a la recta r y el punto simétrico de P respecto a r.

2 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO - MATEMÁTICAS II Instrucciones: a) Duración: hora y minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. Opción B (Junio.) Ejercicio.- Sea f : R R la función definida por f(). a) [ puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Calcula los puntos de corte de dichas asíntotas con la gráfica de f. b) [ puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). c) [ puntos] Esboza la gráfica de f. Ejercicio.- Sea f : (, +) R la función dada por f() ln() (ln representa logaritmo neperiano). a) [ puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. b) [ puntos] Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de f, la recta y y la recta. Calcula su área. ( ) y Ejercicio.- Se considera el sistema de ecuaciones lineales y y a) [ puntos] Discútelo según los valores del parámetro. b) [ punto] Resuélvelo para y determina en dicho caso, si eiste, alguna solución donde. Ejercicio.- Considera las rectas r y s dadas por r y y s y z z a) [' puntos] Comprueba que ambas rectas son coplanarias y halla la ecuación del plano que las contiene. b) [ punto] Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas r y s, calcula su área.

3 PAU Matemáticas II Junio de OPCIÓN A SOLUCIONES Ejercicio.- [ puntos] Sabiendo que ln( ) a sen ( ) cos() lim Es finito, calcula a y el valor del límite (ln denota logaritmo neperiano). ln( ) a sen ( ) cos() lim Como tanto las funciones del numerador como las del denominador son derivables en un entorno de, aplicamos L Hôpital: a cos ( ) cos() sen() lim a a Si a, el límite valdría infinito. Luego forzosamente a. Siendo numerador y denominador derivables, puede volver a aplicarse L Hôpital: sen ( ) sen() sen() 9cos() ( ) lim sen() sen() 9cos() ( ) lim Ejercicio.- [' puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f en el punto ( ) de abscisa sabiendo que f() y f () para >. f() debe ser una primitiva de f '(), concretamente la que verifica f(). Calculamos su integral. Como se trata de una integral racional, procedemos con el procedimiento habitual. Para empezar, dividimos numerador entre denominador: Por tanto: ( ) ( )( ) ( )( ) f() d d d + d + C ln C Y como f() ln + C C. ( ) d + ln IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

4 PAU Matemáticas II Junio de IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de En definitiva, f() ln. Procedemos a calcular la recta tangente solicitada: Punto de tangencia: f() ) ln( ln(). Es: ln(), Pendiente de la tangente: m f '(). Ecuación de la recta tangente: y ln() ( ) y ln(). Ejercicio.- Considera las matrices A y B a) [ puntos] Halla la matriz X que verifica AX + B A. Suponiendo que eiste la inversa de A, podemos despejar: AX + B A (Restando B en ambos miembros): AX A B (Multiplicando poer A a la izquierda de ambos miembros): X A (A B). Como A + A. La calculamos: A t Adj(A t ) A ) ( t A Adj A A B X 9 b) [ puntos] Calcula B y B. B I Por tanto: B (B ) (I ) I. Es decir, la matriz identidad de orden.

5 PAU Matemáticas II Junio de Ejercicio.- Considera el punto P(,, ) y la recta r dada por y z a) [ punto] Determina la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r. Si el plano es perpendicular a r, el vector de dirección de ésta es normal al plano. Para calcular dicho vector, pasamos la recta a paramétricas, simplemente llamando z t y despejando: r y t d r n (,, ). z t Como debe pasar por P, el plano es: ( ) (y ) + (z ) y + z. b) [' puntos] Calcula la distancia de P(,, ) a la recta r y el punto simétrico de P respecto a r. El punto medio M del segmento que une a P con su simétrico P ' es la intersección de la recta con el plano π perpendicular a la misma que P r contiene a P. Dicho plano se calculó en el apartado anterior. Sustituyendo M en su ecuación la forma general de un punto de r, que nos la dan sus P ' ecuaciones paramétricas, que también tenemos: ( t) + t t t M(,, ). Entonces: d(p, r) d(p, M) ( ) ( ) ( ) u Y si llamamos P (a, b, c): a a b b c c El simétrico es: P'(,, ). IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

6 PAU Matemáticas II Junio de OPCIÓN B SOLUCIONES Ejercicio.- Sea f : R R la función definida por f(). a) [ puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Calcula los puntos de corte de dichas asíntotas con la gráfica de f. Asíntotas Verticales: Las puede tener en puntos de discontinuidad. Como el denominador no se anula nunca, f es continua en todo R No tiene asíntotas verticales. Asíntotas Horizontales: lim lim lim La recta y es asíntota horizontal. Asíntotas Oblicuas: Al eistir asíntota horizontal tanto por como por +, sin intentásemos calcular asíntotas oblicuas obtendríamos la horizontal ya conocida. Hallemos la intersección entre gráfica y asíntota, que es, en realidad, el corte con OX. Sustituyendo y en la fórmula de f:, que es válida porque no anula el denominador El corte es (, ). b) [ puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). f '() ( ) ( ) ( ) Discontinuidades de f o de f ': No hay. f '() +. Por tanto: (, ) f ' f (, ) + (decrec) mín (crec) (, + ) (decrec) má f( ) / Mínimo relativo en (, /). f() / Máimo relativo en (, /). c) [ puntos] Esboza la gráfica de f. Nótese que la función es impar: f( ) f(). ( ) Con la puntuación que otorgan a este apartado, no esperan que hagamos más estudio de la función. Llevando lo que sabemos al gráfico, nos queda: IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

7 PAU Matemáticas II Junio de Ejercicio.- Sea f : (, +) R la función dada por f() ln() (ln representa logaritmo neperiano). a) [ puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. Punto de tangencia: f() ln() (, ). Pendiente de la tangente: f '() / m f '() Ecuación de la tangente: y ( ) y. b) [ puntos] Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de f, la recta y y la recta. Calcula su área. La función f tiene una gráfica conocida. La dibujamos junto a las dos rectas. Y según lo que sabemos: ln( ) + d A [( ) ln( )] d u ln( ) dv d ln( ) d d du v ln( ) ln( ) 9 ln() ln( ) ln() u ( ) y Ejercicio.- Se considera el sistema de ecuaciones lineales y y a) [ puntos] Discútelo según los valores del parámetro. F F La matriz ampliada es: A' F F Si, la última ecuación es, que no es cierta para ningún valor de las incógnitas. Por tanto, es un sistema incompatible. Si A' La última fila se elimina y la primera es la opuesta de la segunda. Por tanto, el sistema queda reducido a la ecuación segunda: + y. Al haber más incógnitas que ecuaciones, es un sistema compatible indeterminado. Veamos otra forma de hacerlo. En A', tomamos como primer menor no nulo (primera fila intersección con segunda columna). Lo orlamos con fila y columna : IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

8 PAU Matemáticas II Junio de : El menor anterior es no nulo r(a), porque A es la matriz de los coeficientes, que es A' sin la última columna, que sólo tiene columnas, por lo que no es posible encontrar un menor de orden. Estudiemos, en este caso, r(a'), orlando el menor anterior con fila y columna : (F F ) ( ) Como estudiamos el caso, este determinante es no nulo r(a') como r(a) r(a') Sistema incompatible (no tiene solución). : A' Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones). Como F y F F r(a') < nº de incógnitas b) [ punto] Resuélvelo para y determina en dicho caso, si eiste, alguna solución donde. Llamando t en la ecuación que ha quedado: y t. La forma de las infinitas ecuaciones es (t, t). Si t, la solución es: (, ). Ejercicio.- Considera las rectas r y s dadas por r y y s y z z a) [' puntos] Comprueba que ambas rectas son coplanarias y halla la ecuación del plano que las contiene. t Si pasamos s a paramétricas: s y t ya vemos que los vectores de dirección son z opuestos, por lo que son paralelas o coincidentes. Como el punto (,, ) de r no verifica s, tienen puntos no comunes, luego son paralelas. Por tanto, determinan un plano Son coplanarias. Con el vector de dirección de una de ellas (,, ), un punto (,, ) y el vector que va de un punto a otro: (,, ) (,, ) (,, ) tomado como vector de dirección, tenemos la ecuación del plano que determinan: y ( ) (y ) + (z ) y + z + + z + y z IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

9 PAU Matemáticas II Junio de b) [ punto] Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas r y s, calcula su área. La distancia entre las rectas es lo que mide el lado del cuadrado. Dicha distancia es la de, por ejemplo, punto P(,, ) de s a la recta r. Si A(,, ) r AP (,, ) (,, ) (,, ). Y siendo d (,, ), se tiene: i j k d AP De donde: d(p, r) Por tanto, el área del cuadrado (,, ) d AP d Área del paralelogr amo base u d AP d A u P d(p,r) d r IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

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