Universidad de Antioquia

Transcripción

1 1. Introducción Expresiones algebraicas Instituto de Matemáticas * Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Unviersidad de Anquioquia Medellín, 24 de julio de 2011 El álgebra es la disciplina de la matemática que tiene como objeto generalizar las estructuras y relaciones que se pueden establecer entre cantidades (números). Es una de las principales ramas de la matemática por medio de la cual podemos generalizar muchas de las relaciones que estudiamos en aritmética. Las expresiones algebraicas son expresiones formadas por números y letras; las letras suelen representar cantidades desconocidas (incógnitas) y se relacionan con los números por medio de operaciones aritméticas. La palabra álgebra es de origen árabe, deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-jwarizmi, titulado Kitab alyabr wa-l-muqabala (figura 1) que significa Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado, el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la palabra álgebra, proviene del árabe y significa reducción. 2. Expresiones polinomiales Figura 1 Una expresión algebraica es una expresión que contiene letras, números y operaciones aritméticas. Muchas expresiones del lenguaje habitual las podemos las podemos enunciar por medio de expresiones algebraicas. Es común usar la notación y la terminología de la Teoría de Conjuntos para describir relaciones matemáticas. Paradenotar los conjuntos se usan letras mayúsculas A, S,... Las letras minúsculas son usadas para representar los elementos de los conjuntos. Notación a T S T Significado a es un elemento del conjunto T a pertenece al conjunto T Todo elemento de S está en T S es un subconjunto de T Una letra o símbolo que represente un elemento específico se denomina constante. Por ejemplo, 5, π son constantes. Una letra o símbolo que represente a cualquier elemento de un conjunto se denomina variable o incógnita. Ejemplo 2.1 En la expresión Sea x un número real, x está representando a cualquier elemento de los números reales. * Esta obra es distribuida bajo una licencia Creative Commons Atribución - No comercial 2.5 Colombia. 1

2 2 Instituto de Matemáticas, Si x es una variable, entonces: Monomio en x es una expresión de la forma ax n, donde a R y n es un entero no-negativo. Binomio es una suma de dos monomios. Trinomio es una suma de tres monomios. Polinomio en x es una suma de cualquier número de monomios en x. Un Polinomio en x es una suma de la forma a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 donde n es un entero no-negativo y cada coeficiente a k es un número real. Cuando a n 0 decimos que el polinomio tiene grado n. El coeficiente a k de la potencia más alta de x es el coeficiente principal del polinomio. Ejemplo 2.2. En el polinomio 8x 4 +5x 2 +x 3, el coeficiente principal es 8 y el grado es 4. La expresión x+2 x 2 1 no es un polinomio (es una expresión fraccionaria). Un polinomio en dos variables, x y y, es una suma de términos de la forma ax m y n, donde a R y m y n son enteros no-negativos. Por ejemplo, 2x 3 y + 5xy 4 es un polinomio en la variables x y y de grado 3 para x y de grado 4 para y. Ejemplo 2.3 (operaciones entre polinomios). Suma de polinomios: (x 2 +y)+(8y 3x 2 ) = 2x 2 +9y Resta de polinomios: (x 2 +y) (8y 3x 2 ) = 5x 2 7y Multiplicación de polinomios (6w 3z 2 )(5z +2w 2 ) = (6w)(5z)+(6w)(2w 2 ) (3z 2 )(5z) (3z 2 )(2w 2 ) = 30wz +12w 3 15z 3 6z 2 w 2 División de un polinomio entre un monomio: 15x 4 y 5 +2x 3 y 6 3x 10 y 8 6x 2 y 3 = 15x4 y 5 6x 2 y 3 + 2x3 y 6 6x 2 y 3 3x10 y 8 6x 2 y 3 = 5 2 x2 y xy3 1 2 x8 y Fórmulas de algunos productos de polinomios (x+y)(x y) = x 2 y 2 (x+y) 2 = x 2 +2xy +y 2 (x y) 2 = x 2 2xy +y 2 (x±y) 3 = x 3 ±3x 2 y +3xy 2 ±y 3 Ejemplo 2.4. (3a 2b) 3 = (3a) 3 3(3a) 2 (2b)+3(3a)(2b) 2 (2b) 3 = 27a a 2 b ab 2 8b 3 = 27a 3 54a 2 b+36ab 2 8b 3

3 Instituto de Matemáticas, Factorización La factorización es el proceso de expresar una suma de términos como un producto. Por ejemplo x 2 25y 2 = (x+5y)(x 5y) es la factorización del polinomio x 2 25y 2 en dos factores (x+5y) y (x 5y). Proposición 2.1 Algunas fórmulas de factorización: 1. Diferencia de cuadrados: 2. Diferencia de dos cubos: 3. Suma de dos cubos: 3. Expresiones fraccionarias x 2 y 2 = (x+y)(x y) a 3 b 3 = (a b)(a 2 +ab+b 2 ) a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 ab+b 2 ) Una expresión fraccionaria es el cociente de dos expresiones algebraicas. Una expresión racional es el cociente de dos polinomios. El dominio (valores posibles) de este cociente está formado por todos los números reales, excepto por los que hacen cero al denominador. Por ejemplo, en el cociente 4x 2 8y 3, 6x el denominador se hace 0 cuando reemplazamos x por 0. Entonces, decimos que el dominio de este cociente son todos los reales, excepto el cero. Una expresión racional está simplificada o reducida a su mínima expresión cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes. Ejemplo x 2 5x 2 x Expresiones polinomiales = (3x+1)(x 2) (x+2)(x 2) = (3x+1) (x+2), x 2 Una expresión algebraica es una expresión que contiene letras, números y operaciones aritméticas. Muchas expresiones del lenguaje habitual las podemos las podemos enunciar por medio de expresiones algebraicas. Es común usar la notación y la terminología de la Teoría de Conjuntos para describir relaciones matemáticas. Paradenotar los conjuntos se usan letras mayúsculas A, S,... Las letras minúsculas son usadas para representar los elementos de los conjuntos. Notación a T S T Significado a es un elemento del conjunto T a pertenece al conjunto T Todo elemento de S está en T S es un subconjunto de T Una letra o símbolo que represente un elemento específico se denomina constante. Por ejemplo, 5, π son constantes.

4 4 Instituto de Matemáticas, Una letra o símbolo que represente a cualquier elemento de un conjunto se denomina variable o incógnita. Ejemplo 4.1 En la expresión Sea x un número real, x está representando a cualquier elemento de los números reales. Si x es una variable, entonces: Monomio en x es una expresión de la forma ax n, donde a R y n es un entero no-negativo. Binomio es una suma de dos monomios. Trinomio es una suma de tres monomios. Polinomio en x es una suma de cualquier número de monomios en x. Un Polinomio en x es una suma de la forma a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 donde n es un entero no-negativo y cada coeficiente a k es un número real. Cuando a n 0 decimos que el polinomio tiene grado n. El coeficiente a k de la potencia más alta de x es el coeficiente principal del polinomio. Ejemplo 4.2. En el polinomio 8x 4 +5x 2 +x 3, el coeficiente principal es 8 y el grado es 4. La expresión x+2 x 2 1 no es un polinomio (es una expresión fraccionaria). Un polinomio en dos variables, x y y, es una suma de términos de la forma ax m y n, donde a R y m y n son enteros no-negativos. Por ejemplo, 2x 3 y + 5xy 4 es un polinomio en la variables x y y de grado 3 para x y de grado 4 para y. Ejemplo 4.3 (operaciones entre polinomios). Suma de polinomios: (x 2 +y)+(8y 3x 2 ) = 2x 2 +9y Resta de polinomios: (x 2 +y) (8y 3x 2 ) = 5x 2 7y Multiplicación de polinomios (6w 3z 2 )(5z +2w 2 ) = (6w)(5z)+(6w)(2w 2 ) (3z 2 )(5z) (3z 2 )(2w 2 ) = 30wz +12w 3 15z 3 6z 2 w 2 División de un polinomio entre un monomio: 15x 4 y 5 +2x 3 y 6 3x 10 y 8 6x 2 y 3 = 15x4 y 5 6x 2 y 3 + 2x3 y 6 6x 2 y 3 3x10 y 8 6x 2 y 3 = 5 2 x2 y xy3 1 2 x8 y Fórmulas de algunos productos de polinomios (x+y)(x y) = x 2 y 2 (x+y) 2 = x 2 +2xy +y 2 (x y) 2 = x 2 2xy +y 2 (x±y) 3 = x 3 ±3x 2 y +3xy 2 ±y 3 Ejemplo 4.4. (3a 2b) 3 = (3a) 3 3(3a) 2 (2b)+3(3a)(2b) 2 (2b) 3 = 27a a 2 b ab 2 8b 3 = 27a 3 54a 2 b+36ab 2 8b 3

5 Instituto de Matemáticas, Factorización La factorización es el proceso de expresar una suma de términos como un producto. Por ejemplo x 2 25y 2 = (x+5y)(x 5y) es la factorización del polinomio x 2 25y 2 en dos factores (x+5y) y (x 5y). Proposición 4.1 Algunas fórmulas de factorización: 1. Diferencia de cuadrados: 2. Diferencia de dos cubos: 3. Suma de dos cubos: 5. Expresiones fraccionarias x 2 y 2 = (x+y)(x y) a 3 b 3 = (a b)(a 2 +ab+b 2 ) a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 ab+b 2 ) Una expresión fraccionaria es el cociente de dos expresiones algebraicas. Una expresión racional es el cociente de dos polinomios. El dominio (valores posibles) de este cociente está formado por todos los números reales, excepto por los que hacen cero al denominador. Por ejemplo, en el cociente 4x 2 8y 3, 6x el denominador se hace 0 cuando reemplazamos x por 0. Entonces, decimos que el dominio de este cociente son todos los reales, excepto el cero. Una expresión racional está simplificada o reducida a su mínima expresión cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes. Ejemplo 5.1. Referencias 3x 2 5x 2 x 2 4 = (3x+1)(x 2) (x+2)(x 2) = (3x+1) (x+2), x 2 [1] E.W. Swokowski, J.A. Cole, Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, undécima edición, editorial Thomson, [2] M. Sullivan., Álgebra y Trigonometría, séptima edición, editorial Pearson, [3] F.D. Demana, B.K. Waits, G.D. Foley, D. Kennedy, Precálculo, séptima edición, editorial Pearson, 2006.