,y 1,y 2,...,y N. ... f N. ) x N. , con la condición y = (y 1,y 2,...,y N Es más cómodo escribir también x = (x 1,x 2,...,x N

Transcripción

1 Lección 20 Función implícita Planteamiento del problema Puede decirse que el teorema de la función inversa nos permite resolver localmente ciertos sistemas de ecuaciones. Para usar la misma notación que en la generalización que buscamos, intercambiamos los nombres de las variables. Dada una función f = f 1, f 2,..., f N ) : Ω R N, donde Ω es un abierto de R N, consideramos el sistema de N ecuaciones f 1 y 1,y 2,...,y N ) x 1 = 0 f 2 y 1,y 2,...,y N ) x 2 = f N y 1,y 2,...,y N ) x N = 0 1) en las 2N variables reales x 1,x 2,... x N,y 1,y 2,...,y N, con la condición y = y 1,y 2,...,y N ) Ω. Es más cómodo escribir también x = x 1,x 2,...,x N ) R N, con lo que el sistema se resume en una sola ecuación vectorial f y) x = 0 2) en dos variables vectoriales, cuyas soluciones son pares x,y) R N Ω tales que f y) = x. El problema que nos interesaba era tratar de invertir la función f, que es tanto como expresar y como función de x, es decir, intentar que la igualdad 2) sea equivalente a una igualdad de la forma y = gx) para conveniente función g. Digamos que resolver la ecuación 2) con y como incógnita, o lo que es lo mismo, resolver en sistema 1), en las incógnitas y 1,y 2,...,y N, es tanto como encontrar la función g. Olvidando cuestiones de diferenciabilidad, esto es fácil cuando f es inyectiva, y el resultado se puede expresar como una equivalencia del tipo indicado, con g = f 1 : x,y) R N Ω, f y) x = 0 x f Ω), y = f 1 x) 3) Podemos decir que hemos resuelto globalmente la ecuación 2), pues en ambos miembros aparecen todas sus soluciones o, si se quiere, la función g está definida en el conjunto más grande posible. 126

2 20. Función implícita 127 Como f no tiene por qué ser inyectiva, en general sólo resolvemos localmente la ecuación 2), gracias al teorema de la función inversa local). Partiendo de una solución a,b) de la ecuación 2), es decir, b Ω y a = f b), y con adecuadas hipótesis sobre f, el teorema nos da dos abiertos V y U de R N, con b V Ω, tales que la restricción de f a V es una biyección de V sobre U. Escribamos este resultado de forma que pueda compararse con 3). Tomando W = U V tenemos un abierto de R N R N tal que a,b) W R N Ω y si g : U V es la función inversa de la restricción de f a V, hemos obtenido: x,y) W, f y) x = 0 x U, y = gx) 3 ) Obsérvese por qué esta equivalencia sólo resuelve localmente la ecuación 2). A diferencia de 3), la función g no está definida en el conjunto más grande posible f Ω), sino solamente en el abierto U, un entorno del punto a, que está contenido en f Ω). Este carácter local del resultado también se refleja en el primer miembro de 3 ), pues en él no aparecen todas las soluciones de la ecuación 2), sino solamente las que pertenecen a W = U V, un entorno de la solución de partida a,b). Pues bien, hacemos ahora un planteamiento mucho más ambicioso, sustituyendo la ecuación 2) por otra más general, que será de la forma Fx,y) = 0 4) donde x e y son variables vectoriales, en principio independientes, y queremos saber hasta qué punto esta igualdad equivale a expresar una de ellas como función de la otra, tanto da si queremos y como función de x o a la inversa, pues la asimetría ha desaparecido. Nótese que seguimos trabajando con sistemas de ecuaciones, así que 4) será la ecuación vectorial que resuma un sistema de, digamos M ecuaciones, luego la función F tomará valores en R M y tendrá M componentes: F = F 1,...,F M ). El sistema será formalmente indeterminado, es decir, con más incógnitas que ecuaciones, lo que significa que F será función de, digamos N + M variables reales, es decir, estará definida en un abierto Ω R N+M = R N R M. Nótese que el número de incógnitas ya no tiene por qué ser el doble que el de ecuaciones, es decir, podemos tener M N. Como disponemos de M ecuaciones, podemos aspirar a despejar M incógnitas que, sin perder generalidad pueden ser las M últimas, denotadas por y 1,...,y M, a las que queremos expresar como funciones de las N primeras, que serán x 1,...,x N. Así pues, tenemos el sistema de M-ecuaciones F 1 x 1,...,x N, y 1,...,y M ) = 0 F 2 x 1,...,x N, y 1,...,y M ) = F M x 1,...,x N, y 1,...,y M ) = 0 5) con N + M incógnitas, que escribiendo x = x 1,...,x N ) R N e y = y 1,...,y M ) R M se resume en la ecuación vectorial 4), en la que nos centramos a partir de ahora. Sus soluciones son pares x,y) Ω tales que Fx,y) = 0. Pretendemos ahora que la igualdad Fx,y) = 0 sea equivalente a una igualdad de la forma y = ϕx) para conveniente función ϕ. Digamos que resolver la ecuación 4) es tanto como encontrar la función ϕ.

3 20. Función implícita 128 Claramente, este problema es mucho más general que el de la función inversa, luego no debemos esperar nada mejor que lo obtenido en ese caso particular. Dicho de otra forma, no podemos aspirar a resolver globalmente la ecuación 4), sino tan sólo localmente. Comparando con la ecuación 2), no podemos esperar una equivalencia análoga a 3) sino a 3 ). Para ello debemos disponer de una solución de partida, es decir, de un par a,b) Ω tal que Fa,b) = 0, cuya existencia no está ahora garantizada. Supondremos que tal solución existe, pues en otro caso, el conjunto de soluciones de la ecuación 4) es vacío y no hay nada que estudiar. Nuestro objetivo es, por tanto, encontrar un abierto W de R N R M, con a,b) W Ω, otro abierto U de R N y una función ϕ : U R M tales que x,y) W, Fx,y) = 0 x U, y = ϕx) 6) Se dice entonces que la ecuación 4) define a y como función implícita de x en un entorno del punto a, con y = b para x = a. Naturalmente, deberemos hacer algunas hipótesis acerca de la diferenciabilidad de F, y esperamos que ϕ resulte ser diferenciable en todo punto de U. Queda claro que esperamos, para el problema general de existencia de una función implícita, exactamente la misma repuesta local que tenemos para el problema de la función inversa. Pues bien, con hipótesis enteramente análogas a las del teorema de la función inversa, esto es lo que asegurará el teorema de la función implícita que vamos a obtener. Su demostración consiste en aplicar el teorema de la función inversa a una función construida a partir de F, luego el nuevo teorema es consecuencia fácil del que ya conocemos, pero a su vez es más general, luego en realidad ambos teoremas son equivalentes. Nótese finalmente que el problema de la existencia de una función implícita tiene interés incluso en el caso N = M = 1 y, aunque buscamos una función real de variable real ϕ, el resultado se escapa del ámbito del cálculo en una variable, puesto que la función F está definida en un abierto Ω de R Teorema de la función implícita Vamos a probar exactamente el resultado que hemos anunciado: Teorema. Sea Ω un abierto de R N R M y F : Ω R M una función diferenciable en todo punto de Ω. Sea a,b) Ω tal que Fa,b) = 0 y supongamos que la función diferencial DF : Ω LR N+M,R M ) es continua en el punto a,b). Considerando el abierto Ω a R M y la función F a : Ω R M, dados por Ω a = {y R M : a,y) Ω} y F a y) = Fa,y) y Ω a suponemos finalmente que la diferencial DF a b) es biyectiva. Entonces existen un abierto W de R N R M, con a,b) W Ω, un abierto U de R N y una función ϕ : U R M, diferenciable en todo punto de U, tales que: x,y) W, Fx,y) = 0 x U y = ϕx) 6)

4 20. Función implícita 129 Demostración. Consideramos la función H : Ω R N R M definida por Hx,y) = x, Fx,y) ) x,y) Ω que claramente verifica Ha,b) = a,0), y aplicaremos a H el teorema de la función inversa, en el punto a,b). Empezamos observando que H es diferenciable en todo punto de Ω, pues sus dos componentes lo son. Pero conviene calcular explícitamente la diferencial de H en cada punto de Ω. Para ello, consideramos las proyecciones lineales naturales de R N R M sobre R N y R M, que denotamos por π 1 y π 2 respectivamente, es decir, escribimos: π 1 x,y) = x y π 2 x,y) = y x,y) R N R M Por otra parte J 1 y J 2 serán las inyecciones lineales de R N y R M en R N R M, dadas por J 1 x) = x,0) x R N y J 2 y) = 0,y) y R M De esta forma, para todo x,y) Ω, tenemos claramente Hx,y) = x,0) + 0, Fx,y) ) = J 1 x) + J 2 Fx,y) ) = J1 π1 x,y) ) + J 2 Fx,y) ) lo que se resume escribiendo H = J 1 π 1 + J 2 F Para todo x, y) Ω, como F es diferenciable en x, y) lo mismo le ocurre a H, con DHx,y) = J 1 π 1 + J 2 DFx,y) 7) y deducimos que DHx,y) DHa,b) = J2 DFx,y) DFa,b) ) J2 DFx,y) DFa,b) también para todo x,y) Ω. Como por hipótesis, DF es continua en el punto a,b), vemos que DH también lo es. Para aplicar el teorema de la función inversa, sólo queda comprobar que DHa,b) es biyectiva, para lo cual usaremos la hipótesis sobre la función F a. Observamos que para todo y Ω a se tiene F a y) = F a,0)+0,y) ) = F J 1 a)+j 2 y) ), y la regla de la cadena nos da DF a y) = DFa,y) J 2 y Ω a, luego DF a b) = DFa,b) J 2 8) Para comprobar que DHa, b) es biyectiva, bastará ver que es inyectiva, es decir, que la igualdad DHa,b)u,v) = 0,0) con u,v) R N R M, sólo se cumple para u = v = 0. En efecto, usando 7) tenemos 0,0) = DHa,b)u,v) = u,0) + 0, DFa,b)u,v) ), de donde deducimos, por una parte que u = 0, y por otra que 0 = DFa,b)u,v) = DFa,b)0,v) = [ DFa,b) J 2 ] v) = [ DFa b) ] v) donde, para la última igualdad, hemos usado 8). Como por hipótesis, DF a b) es biyectiva, tenemos v = 0, como queríamos.

5 20. Función implícita 130 El teorema de la función inversa nos da un entorno W de a,b) y un entorno V de a,0), ambos abiertos de R N R M, tales que W Ω y la restricción de H a W es una biyección de W sobre V, cuya inversa es diferenciable en todo punto de V. Dicha inversa es por tanto una biyección K : V W que es diferenciable en todo punto de V y verifica que H Kx,z) ) = x,z) x,z) V Tomando U = J 1 1 V ) = {x RN : x,0) V }, tenemos un abierto de R N tal que a U y la última igualdad nos dice que H Kx,0) ) = x,0) x U 9) Consideremos ahora las dos componentes de la función x Kx,0), de U en W, pues la segunda es la función ϕ : U R M que buscamos. Más concretamente, definimos ) ) ψx) = π 1 Kx,0) y ϕx) = π 2 Kx,0) x U Claramente ϕ es diferenciable en todo punto de U, pues basta observar que ϕ = π 2 K J 1. Sólo queda comprobar que W, U y ϕ verifican la equivalencia 6). Para todo x U, tenemos que ψx), ϕx) ) = Kx,0) W Ω y 9) nos dice que x,0) = H ψx),ϕx) ) = ψx), F ψx),ϕx) ) x U de donde deducimos que ψx) = x, y entonces también que x,ϕx)) W y F x, ϕx) ) = 0 Tenemos así la implicación hacia la izquierda de la equivalencia 6). Recíprocamente, si x,y) W y Fx,y) = 0, tenemos que x,0) = Hx,y) V, luego x U. Además, también sabemos que Kx,0) W y H Kx,0) ) = x,0), pero H es inyectiva en W, luego x,y) = Kx,0) = x, ϕx) ), de donde y = ϕx) como queríamos demostrar. Conviene comentar brevemente las hipótesis del teorema anterior. Que F sea diferenciable en todo punto de Ω y que DF sea continua, no ya en el punto a,b), sino incluso en todo punto de Ω, son hipótesis muy poco restrictivas. Se trata simplemente de que la ecuación Fx,y) = 0 sea manejable con técnicas de cálculo diferencial. En la práctica estas dos hipótesis se suelen comprobar con un simple vistazo a la función F. Piénsese por ejemplo que cuando las componentes de F son funciones polinómicas en N + M variables, estas hipótesis se cumplen sobradamente y, aún en este caso tan particular, el sistema de ecuaciones 5) que estamos estudiando puede ser extraordinariamente complicado, por no hablar de lo que ocurre cuando las componentes de F involucran funciones trascendentes como la exponencial o las trigonométricas. La tercera hipótesis, que DF a b) sea biyectiva, parece más rebuscada, pero es muy natural y también suele ser fácil de comprobar. Naturalmente DF a b) será biyectiva si, y sólo si, su matriz jacobiana tiene determinante no nulo, así que veamos cual es esa matriz jacobiana.

6 20. Función implícita 131 De la igualdad 8) se deduce claramente que F a b) = F a,b) y j y j j I M cosa que también se comprueba directamente, sin más que escribir la definición de las derivadas parciales de ambas funciones vectoriales, pues ambas definiciones son idénticas. Por tanto, las columnas de la matriz jacobiana de F a en el punto b son las M últimas columnas de la matriz jacobiana de F en el punto a, b). Por tanto, no hay necesidad de considerar la función F a, basta considerar la matriz JFa,b) M M N+M) y comprobar que el determinante de la submatriz M M formada por sus últimas M columnas no se anula. Pensemos además que en la práctica, lo que pretendemos es expresar M variables, que no tienen por qué ser las M últimas, como funciones implícitas de la restantes. Por tanto, la auténtica hipótesis para poder aplicar el teorema de la función inversa es que la matriz JFa,b) tenga rango M, pues entonces habrá M columnas que forman una matriz cuadrada con determinante no nulo y esas columnas nos indican las variables que podemos expresar como funciones implícitas de las restantes. Se comprende ahora el papel que juega esta hipótesis, por analogía con el caso en que F es lineal y DFa,b) = F. Dicho intuitivamente, que la matriz DFa,b) tenga rango menor que M, significa intuitivamente que una o más de las ecuaciones de nuestro sistema es consecuencia de las restantes, al menos en un entorno del punto a,b). Digamos que el rango de la matriz DFa, b) es el máximo número de ecuaciones verdaderamente independientes, y esto explica que sea también el máximo número de variables que el teorema anterior nos permite expresar como funciones implícitas de las restantes. Por poner un ejemplo muy obvio, si añadimos una ecuación al sistema repitiendo una ecuación, el sistema pasará a tener M + 1 ecuaciones, pero eso no nos va a permitir despejar más variables. Finalmente, merece la pena destacar el caso particular N = M = 1 del teorema anterior: Sea Ω un abierto de R 2, F : Ω R una función diferenciable en todo punto de Ω y a,b) Ω tal que Fa,b) = 0. Supongamos que las dos derivadas parciales de F son continuas en el punto a,b) y que F y a,b) 0. Entonces existen un abierto W de R2, con a,b) W Ω, un abierto U de R y una función ϕ : U R, derivable en todo punto de U, tales que: x,y) W, Fx,y) = 0 x U y = ϕx)