Guía Semana 7 1. RESUMEN 2. EJERCICIOS PROPUESTOS. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática

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1 . RESUMEN FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo en Varias Variables 08- Guía Semana 7 Teorema de la función inversa. Sea f : Ω Ê N Ê N, Ω abierto, una función de clase C (Ω y x 0 Ω. Supongamos que la matriz f (x 0 es invertible. Entonces existe un abierto U Ω que contiene a x 0, tal que V = f(u es un abierto y la restricción de f a U es biyectiva. Más aun, la función f : V U es continuamente diferenciable en V con (f (y = f (f (y y V. Teorema de la función implícita. Sean Ω Ê N y Λ Ê m conjuntos abiertos y f : Ω Λ Ê m, (x, y f(x, y una función de clase C (Ω Λ. Supongamos que (x 0, y 0 Ω Λ es tal que f(x 0, y 0 = 0 y que la matriz f y (x 0, y 0 es invertible. Entonces existe un abierto U con x 0 U Ω y una única función φ : U λ de clase C (U tal que f(x, φ(x = 0 x U. Nota: Tanto el Teorema de la Función Inversa como el de la Función Implícita siguen siendo válidos si se reemplaza la hipótesis f de clase C por f de clase C k (k >, obteniéndose la misma regularidad (C k en la conclusión. Funciones Lipschitz y Teorema del Punto Fijo de Banach. Decimos que una función f : Ω Ê N Ê m es Lipschitz en Ω de constante K > 0, si ( x, x 2 Ω : f(x f(x 2 K x y. Tal función es automáticamente continua relativamente a Ω. Si lo anterior vale con K < decimos que f es contractante. Sea f : Ω Ê N Ê N una función contractante. Supongamos además que Ω es cerrado, y que f(x Ω para todo x Ω. Entonces existe un único x Ω tal que x = f( x. En otras palabras, f posee un único punto fijo en Ω (Teorema del punto fijo de Banach. 2. EJERCICIOS PROPUESTOS Teorema de la Función Inversa P.- Demuestre que la hipótesis f continuamente diferenciable (C es necesaria para la validez del Teorema de la Función Inversa incluso en el caso N =. Para ello considere f : Ê Ê definida por f(x =

2 x + 2x 2 sen(/x para x 0 y f(0 = 0. Probar que f (0 0, f es acotada en (, pero no es localmente invertible en x = 0. P2.- Sea f(x, y = (x 2 y 2, 2xy. a Demuestre que para todo (a, b (0, 0, f es invertible localmente en (a, b. b Demostrar que f no es inyectiva. c Calcular aproximadamente f ( 3,0, 3,98. Hint: Use Taylor de primer orden y note que f(, 2 = ( 3, 4. P3.- a Considere f : Ê 2 Ê 2 dada por: f(x, y = (x 3 3xy 2, y 3 + 3x 2 y Pruebe que para todo (x 0, y 0 (0, 0 existe δ > 0 tal que f posee inversa local en B((x 0, y 0, δ. Encuentre un valor aproximado de f (,, 0, para el caso (x 0, y 0 = (, 0. b Sea g : Ê 2 Ê 2 dada por: g(u, v = (u 2 + u 2 v + 0v, u + v 3 Pruebe que, restringida a una vecindad del punto (,, f posee una inversa diferenciable. Calcule la derivada de esta inversa en f(, y úsela para calcular un valor aproximado de una solución del sistema: u 2 + u 2 v + 0v =, 8 u + v 3 = 2, 2 P4.- Sean f, g : Ê 3 Ê diferenciables y F : Ê 3 Ê 3 definida por F(x, y, z = (f(x, y, z, g(x, y, z, f(x, y, z+ g(x, y, z. Probar que F no posee inversa diferenciable. P5.- a Sea f : Ê 2 Ê una función diferenciable. Mostrar que f no es inyectiva. f Hint: Si x = 0 en un abierto A Ê2 considere g(x, y = (f(x, y, y, g : A Ê 2. b Probar el mismo resultaso si ahora f : Ê N Ê m con m < N. P6.- Sea Φ : Ê 2 Ê 2 (r, θ (x, y = (r cosθ, r sen θ 2

3 a Pruebe que Φ es localmente invertible en torno a cada punto de Ê 2 con r 0. b Calcule el diferencial de la inversa en torno a cada punto de la circunferencia x 2 + y 2 =. Teorema de la Función Implícita P7.- Pruebe que las ecuaciones en a y b definen y como una función diferenciable de x en P, y encuentre el valor de y x en dicho punto. a x y 2 sen(xy = 0, P = (0, b 2xy + e x+y 2 = 0, P = (0, ln 2 P8.- La ecuación de Dietereci del estado de un gas es: p(v be a/rtv = RT donde a,b y R son constantes. Suponiendo que es posible definir V como una función diferenciable de T y p, calcule el gradiente de V. Suponiendo que a = b = 0, calcule la ecuación del plano tangente al grafo de V en el punto (T 0, p 0 = (/R,. P9.- Sea n Æ y sea y 0 Ê una raíz simple del polinomio con coeficientes reales P(y = a 0 + a y a n y n, es decir, P(y 0 = 0 y P (y 0 0. Sea x = (x 0, x,..., x n Ê n+. Pruebe que en una vecindad de (0, y 0, la ecuación F(x, y = (a 0 + x 0 + (a + x y (a n + x n y n = 0 admite una única solución y = g(x de clase C tal que: g(0 = P (y 0 (, y 0, y 2 0,..., yn 0 P0.- ( a Pruebe que la ecuación xy = ln x y admite una única solución y = φ(x de clase C 2 definida en un entorno de x 0 = e y verificando φ(x 0 = e. b Deduzca que la función φ presenta un máximo local en x 0. 3

4 P2.- a Considere la función: F(x, x 2, y = y arctan( y 2 +3x +5y 8x 3 2 = 0 y el punto (x, x 2, y = (,, Pruebe que se satisfacen las condiciones del Teorema de la función implícita y calcule y y x (,, x 2 (,. b Sea f : Ê 5 Ê 2 talque f(u, v, w, x, y = ( uvw + x + y + 2 ux vy + w 2 Muestre que se puede despejar (x, y en términos de (u, v, w entorno a (u 0, v 0, w 0 = (, 2, 3. Calcule x v (, 2, 3, y w (, 2, 3. Teorema del Punto Fijo de Banach P3.- Sea A M nn (Ê con A <. El objetivo es probar que I A es invertible. a Pruebe que B es la inversa de I A, ssi B es punto fijo de T : M nn (Ê M nn (Ê, definida mediante: T(B = I + AB. b Demuestre que T tiene un único punto fijo en M nn (Ê. c Verifique que para la sucesión definida por: se tiene que T(B k = k+ B k+ = T(B k, B 0 = I j=0 A j, y que entonces (I A = lím k+ A j k j=0 Hint: En este problema se considera la norma Euclideana A = n n i= j= a2 ij, para la cual se satisface AB A B, para todo par de matrices A, B. P4.- Supongamos que f : [a, b] Ê es una función de clase C 3, tal que f(a < 0, f(b > 0, estrictamente creciente tal que f (x δ > 0 y 0 f (x M, x [a, b]. Entonces existe un único punto ξ (a, b tal que f(ξ = 0. La idea es mostrar un algoritmo (llamado el Método de Newton convergente a ξ. Definamos la función g(x = x f(x f (x 4

5 a Muestre que g(x = x x = ξ b Determine g (x y muestre que g alcanza su mínimo en ξ. c Muestre que g verifica si x 0 [ξ, b] ξ g(x x 0, x (ξ, x 0 ], d Sea x 0 (a, b tal que 0 < f(x 0 < δ2 f(x0m M, y sea s = δ <. 2 Muestre que g : [ξ, x 0 ] [ξ, x 0 ] es una contracción con constante de Lipschitz s. e De lo anterior, justifique que la sucesión {g n (x 0 } n Æ es convergente y converge a ξ. 3. PROBLEMAS RESUELTOS P5.- (P2 C2 OT 2002, C. Pérez a Pruebe que la función f : Ê 2 Ê definida por: f(x, y = (s, t = (x + 2 arctany, y + 2 arctanx admite una inversa local f de clase C alrededor de todo punto (x 0, y 0 Ê 2. Calcule la aproximación afín de f en una vecindad de (s 0, t 0 = f(0,. b Pruebe que el sistema de ecuaciones: e u + xy 2 + v = 2 senu + x 2 y + v 3 = define a u y v como funciones implícitas diferenciables de las variables x e y en una vecindad de (x 0, y 0, u 0, v 0 = (0, 2, 0,. Sean u = u(x, y y v = v(x, y las funciones implícitas cuya existencia se ha probado. Calcule:. Solución u u(0, 2, v(0, 2, x (0, 2, u y (0, 2, v x (0, 2, v (0, 2 y a Basta aplicar el Teorema de la Función Inversa. En efecto, es claro que f es clase de C (pues es C. Además para todo punto (x 0, y 0 Ê 2, se tiene que: 5

6 a f(x 0, y 0 = (s 0, t 0 ( 2(+y0 b J(f, (x 0, y 0 = 2 2(+x 2 0 es invertible ya que det(j(f, (x 0, y 0 = 4( + x 2 0 ( + y2 0 > 0 Entonces por el Teorema de la Función Inversa, existen vecindades U y V de (x 0, y 0 y (s 0, t 0, respectivamente, tales que F : U V es biyectiva, 2 si F : V U es la inversa local de f, entonces f es de clase C y J(f, (x 0, y 0 = [J(f, (x 0, y 0 ] La aproximación afín de f en una vecindad de W de (s 0, t 0 = (π/8, 0 = f(0, es la función B : W V Ê 2 definida por: ( B(s, t = f (π/8, 0 + J(f s π/8, (π/8, 0 t Ahora bien, ( /4 J(f, (π/8, 0 = [J(f, (0, ] = = ( /2 8 /4 = 2 ( 4 7 / Por lo tanto, B(s, t = (0, ( ( s π/8 t = (0, + 2 (4s π/2 t +, 2s + π/4 + 4t 4 7 = ( 8s 2t π + 2, 7 8t 4s + π/2 7 b Basta aplicar el Teorema de la Función Implícita. En efecto, consideremos F : Ê 2+2 Ê 2 la función definida por F((x, y, (u, v = e u + xy 2 + v 2, senu + x 2 y + v 3 Es claro que F es de clase C (pues es C. Además, a F((0, 2, 0, = (0, 0 ( e u b F (u,v ((x, y, (u, v = cosu 3v 2, y luego ( F (u,v ((0, 2, (0, =, es invertible. 3 6

7 Entonces por el Teorema de la Función Implícita, existen vecindades U y W de ((0, 2(0, y (0,, respectivamente, y una única función: g : W Ê 2 de clase C, definida por g(x, y = (u(x, y, v(x, y tal que a F((x, y, g(x, y = 0, (x, y W b g(0, 2 = (u(0, 2, v(0, 2 = (0,, y luego u(0, 2 = 0 y v(0, 2 =. Además, ( u u (0, 2 (0, 2 J(g, (0, 2 = x v x (0, 2 v y y (0, 2 = [F (u,v ((0, 2, 0, ] F (x,y ((0, 2, (0, ( = 3 = 2 = ( 3 ( de donde encontramos que ( ( u x (0, 2 = 6, u y (0, 2 = 0, v x (0, 2 = 2, v (0, 2 = 0. y ( ( y 2 2xy pues F (x,y ((x, y, (u, v = 2xy x 2 P.- (P C OT 2006, A. Jofré Sean p, V, T variables reales positivas, conectadas por la relación pv = kt, con k una constante positiva. Entonces cada variable p, V, T es una función (definida implícitamente por las otras dos variables. a Demuestre que p V V T T p = b Muestre que para que ésta ecuación sea válida basta asumir la relación F(x, x 2, x 3 = 0, x, x 2, x 3 en el dominio de F, para alguna función F de clase C, con F x j (x, x 2, x 3 0, (x, x 2, x 3 y j =, 2, 3. Solución a De la ecuación del enunciado se pueden realizar las derivaciones implícitas en forma directa: p = kt V 7 = p V = kt V 2

8 V = kt p T = pv k = V T = k p = T p = V k Por lo tanto: p V T V T p = ( ( kt k ( V V 2 p k = pv V = kt V p = b Usaremos el teorema de la función implícita para justificar la existencia de las funciones a utilizar y su diferenciabilidad. Sean (x, x 2, x 3 e i, j, k {, 2, 3} tales que i, j, k son distintos y F(x, x 2, x 3 = 0. Probaremos que es posible encontrar x i como función implícita de x j y x k localmente. En efecto, como tenemos que F x i 0, por el Teorema de la Función Implícita existen vecindades U y W de (x i, x j, x k y (x j, x k (con un eventual cambio de orden de las variables respectivamente, y una función g i de clase C tales que: F(g i (x j, x k, x j, x k = 0, g i (x j, x k = x i, ( F Dg i (x j, x k = D x F(x xj,xk i, x j, x k i (recordar que en esta parte se realiza un abuso de notación al no respetar el orden de (x i, x j, x k ya que a priori no se conoce En particular tendremos las ecuaciones: Por lo que: x x 2 x 2 x 3 x 3 x = x = g ( F F = x 2 x 2 x x 2 x 2 = g ( 2 F F = x 3 x 3 x x 2 x 3 = g ( 3 F F = x x x 3 x [ ( ] [ ( ] [ ( ] F F F F F F = x x 2 x x 2 x 3 x p 8