Electricidad y calor. Concepto de campo eléctrico. Temas. 7. Campo eléctrico y Ley de Gauss. Webpage:

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1 lecticidad y calo Webpage: 7 Depatamento de Física Univesidad de Sonoa 1 Temas 7. ampo eléctico y Ley de Gauss. i. oncepto de campo eléctico. ii. alculo de la intensidad de campo eléctico. iii. Líneas de campo eléctico. iv. Dipolos elécticos. v. aga y flujo eléctico. vi. Ley de Gauss. vii. Aplicaciones de la ley de Gauss. oncepto de campo eléctico. l concepto de ampo es de gan impotancia en ciencias y, paticulamente en la Física. La idea consiste en atibuile popiedades al espacio, en vez de considea a los vedadeos causantes de los fenómenos que ocuen en dicho espacio. aa compende esto veamos algunos ejemplos: Un campo de tempeatuas (scala) Un campo de velocidades (Vectoial) ampo gavitacional (Vectoial) Homogéneo No homogéneo 1

2 oncepto de campo eléctico. ampo de tempeatuas (scala) Temómeto º º stufa 7º 6º 5º 4º ueta Líneas de ampo de tempeatuas 4 oncepto de campo eléctico. La intensidad del ampo de Tempeatuas en el punto coesponde a lo que mide el temómeto que está en él. s una magnitud escala puesto que no posee una diección asociada. La causa vedadea de que la tempeatua de las isotemas sea 4º se debe a una gan vaiedad de factoes como la estufa, la pueta, la tempeatua eteio, las dimensiones de la sala, etc. videntemente no depende del instumento con que se mide la Intensidad del ampo de Tempeatuas; es deci, no depende del Temómeto. 4º 5 oncepto de campo eléctico. ampo de velocidades (vectoial) Río o coiente de agua n cada punto el agua se mueve con una velocidad específica (diección y módulo) 6

3 oncepto de campo eléctico. ampo gavitacional homogéneo (en ealidad es un campo de aceleaciones gavitacionales) Todos los puntos del salón de clases tienen la popiedad de que masas colocadas en ellos epeimentan la misma aceleación; es deci, g = cte. Salón de clases ste ampo gavitacional depende del planeta en que se encuente el salón de clases, ya que el valo de g no es el mismo. 7 oncepto de campo eléctico. ampo gavitacional no homogéneo Si consideamos el planeta Tiea en su totalidad; entonces el ampo gavitacional pesenta oto aspecto. GM g = Tiea La intensidad del campo g, ahoa depende de M y. 8 oncepto de campo eléctico. on las ideas anteioes, a continuación vamos a eploa el concepto de campo eléctico. Sea un punto del espacio. aa dicho punto se define la intensidad del ampo léctico, que designaemos po, del modo siguiente: oloquemos en dicho punto una caga de pueba positiva q que haemos cada vez mas pequeña en magnitud. Si F e es la fueza eléctica que actúa sobe ella, poducida po las otas cagas elécticas que eisten en el espacio y de las que desconocemos sus caacteísticas, el campo eléctico se define como: F lim e q q 9

4 oncepto de campo eléctico. omo se puede ve, el ampo léctico es un campo vectoial ya que se define como el cociente de un vecto (la fueza eléctica) ente un escala (la caga de pueba). osee, en cada punto, la diección y sentido en que actúa la fueza eléctica, F e. Su unidad en el Sistema Intenacional de unidades (SI) es el N/ (Newton/oulomb). Del mismo modo que el campo de tempeatuas no depende del temómeto, el campo eléctico no depende ni del valo de la fueza que se mida (F e ) ni del valo de la caga de pueba que se use (q ). F lim e q q 1 álculo de la intensidad de campo eléctico. Sea un punto del espacio. uál seá la intensidad de ampo léctico en dicho punto? aa esponde esta pegunta, pocedamos de la siguiente foma: oloquemos en una caga q =.1; Supongamos que sobe ella actúa una fueza eléctica igual a F e =1N en la diección mostada. n este caso tenemos que =1N/.1=1N/, en la misma diección y sentido de F e tal como se muesta. q =.1 =1N/ F e =1N 11 álculo de la intensidad de campo eléctico. on esto, hemos calculado la intensidad del ampo léctico en el punto, a sabe ; peo qué significa? =1N/ Significa que en el espacio eisten otas cagas elécticas que genean un ampo léctico en el punto (y que ejecieon la fueza F e sobe la caga de pueba). uede eisti, po ejemplo, una caga positiva. + Q 1 4

5 álculo de la intensidad de campo eléctico. on esto, hemos calculado la intensidad del ampo léctico en el punto, a sabe ; peo qué significa? =1N/ - -Q Significa que en el espacio eisten otas cagas elécticas que genean un ampo léctico en el punto (y que ejecieon la fueza F e sobe la caga de pueba). O eisti, po ejemplo, una caga negativa. 1 álculo de la intensidad de campo eléctico. on esto, hemos calculado la intensidad del ampo léctico en el punto, a sabe ; peo qué significa? =1N/ - -Q Significa que en el espacio eisten otas cagas elécticas que genean un ampo léctico en el punto (y que ejecieon la fueza F e sobe la caga de pueba). O, una caga positiva y una negativa. + Q 14 álculo de la intensidad de campo eléctico. on esto, hemos calculado la intensidad del ampo léctico en el punto, a sabe ; peo qué significa? =1N/ - -Q Significa que en el espacio eisten otas cagas elécticas que genean + un ampo léctico en el punto (y Q que ejecieon la fueza F e sobe la caga de pueba). O, vaias cagas que poducen el mismo efecto. + Q + Q + Q 15 5

6 álculo de la intensidad de campo eléctico. pesión vectoial a pati de la Ley de oulomb onsideando una caga puntual q colocada en el oigen de un sistema de coodenadas, podemos calcula la fueza que ejece sobe una caga de pueba q colocada en el punto, tal como se muesta z q q y on base en el esquema, encontamos que qq F = ke ˆ k e : onstante de oulomb 16 álculo de la intensidad de campo eléctico. pesión vectoial a pati de la Ley de oulomb onocida la epesión paa la fueza eléctica, usamos la definición de campo eléctico, a sabe F lim e q q z de donde podemos escibi la epesión vectoial paa el campo eléctico en el punto, a una distancia de la caga puntual q, como q y q ˆ = ke 17 álculo de la intensidad de campo eléctico. onsideemos un aeglo de vaias cagas: cómo calculamos el campo eléctico poducida po todas ella en un punto? A continuación se muesta el pocedimiento que debemos segui. - 1 q 1 incipio de supeposición - q + q imeo calculamos los campos elécticos poducidas po cada una de las cagas en el punto. 18 6

7 álculo de la intensidad de campo eléctico. Total - 1 A continuación, y con la finalidad de enconta el campo eléctico total en el punto, sumamos vectoialmente todos los campos elécticos calculados peviamente. q 1 incipio de supeposición - q + q 19 álculo de la intensidad de campo eléctico. l pocedimiento ecién desaollado se conoce como incipio de supeposición del campo eléctico y establece que el campo eléctico en el punto, poducido po un aeglo de cagas se obtiene a pati de la suma vectoial de los campos poducidos po cada una de las cagas del sistema, de manea independiente. Matemáticamente, se puede escibi como q = = k i Total i i i i i agas discetas q Total = d= k dq Distibución continua de caga álculo de la intensidad de campo eléctico. jecicios. Dos cagas puntuales de.μ se localizan sobe el eje, una en =1.m y la ota en =-1.m. a) Detemine el campo eléctico en un punto ubicado sobe el eje y, en y=.5m. b) alcule la fueza eléctica sobe una caga de -.μ ubicada en el punto. 1 7

8 álculo de la intensidad de campo eléctico. jecicios. onsidee el dipolo eléctico mostado en la figua.. a) alcule el campo eléctico que poduce en un punto ubicado sobe el eje +. l campo eléctico en cualquie punto ubicado a una distancia a la deecha del dipolo está dado po kqiˆ ˆ ( 4 e () kq e ( i) kq e a) = + = () iˆ ( a) ( + a) ( a ) álculo de la intensidad de campo eléctico. jecicios. onsidee el dipolo eléctico mostado en la figua.. b) uánto vale el campo eléctico poducido po el dipolo en un punto ubicado sobe el eje +y a una distancia y? y l campo eléctico en cualquie punto ubicado a una distancia y pependicula al eje del dipolo está dado po kq ˆ ˆ ˆ ˆ ( e ( ai+ yj) kq e ( ai yj) kq e a) = = ( iˆ ) ( a + y ) ( a + y ) ( a + y ) Líneas de campo eléctico. Visualiza la distibución de un campo eléctico en una egión del espacio mediante líneas de campo fue una idea intoducida po el físico inglés Michael Faaday ( ). La idea consiste en taza líneas de tal foma que la tangente a una línea de campo en cualquie punto es la diección del campo eléctico en ese punto. el númeo de líneas po unidad de áea tansvesal (pependicula a las líneas) es popocional a la magnitud del campo eléctico en esa egión. 4 8

9 Líneas de campo eléctico. Las líneas de campo son una manea de pode visualiza la distibución de un campo eléctico en una egión del espacio; po ejemplo, a pati de la idea mencionada anteiomente y con base en la figua anea, podemos establece: en cualquie punto, la tangente a una línea de campo coesponde a la diección del campo eléctico en ese punto. como la densidad de líneas en la egión A (númeo de líneas que 1 ataviesan el áea sombeada) es mayo que en la egión B, entonces en la egión A, la magnitud del campo es mayo que en la egión B. 5 Líneas de campo eléctico. n el caso de una caga puntual podemos taza las líneas de campo, consideando que el campo eléctico está dado po paa obtene q ˆ = ke aa una caga positiva aa una caga negativa Imagen de patículas pequeñas suspendidas en aceite, alededo de una punta conductoa cagada. 6 Líneas de campo eléctico. Las eglas paa constui las líneas de campo (consideando que la tangente a una línea de campo en cualquie punto es la diección del campo eléctico en ese punto, y que el númeo de líneas po unidad de áea tansvesal es popocional a la magnitud del campo eléctico) son las siguientes: 1.Las líneas deben empeza en cagas positivas y temina en cagas negativas; en caso de eisti un eceso en un tipo de caga, la línea empezaá o teminaá en infinito (ve el caso de una caga puntual mostado anteiomente)..las líneas se dibujan de tal foma que a mayo densidad de líneas, mayo intensidad (magnitud) del campo eléctico..las líneas NO se cuzan, poque en cada punto el valo del campo es único y un cuce significaía que eisten dos valoes paa el campo total. 7 9

10 q Líneas de campo eléctico. n el caso de dos cagas puntuales de igual magnitud y signos opuestos (aeglo que ecibe el nombe de dipolo eléctico) podemos taza las líneas de campo, paa obtene Líneas de campo paa un dipolo eléctico (aeglo fomado po dos cagas: positiva y negativa de igual magnitud) Imagen de patículas pequeñas suspendidas en aceite, alededo de dos puntas conductoas con cagas opuestas. 8 Líneas de campo eléctico. n el caso de dos cagas puntuales de igual magnitud y signos iguales podemos taza las líneas de campo, paa obtene q q Líneas de campo paa un aeglo fomado po dos cagas positivas de igual magnitud. Imagen de patículas pequeñas suspendidas en aceite, alededo de dos puntas conductoas con cagas opuestas. Si las cagas son negativas, el esquema de líneas de campo es idéntico al mostado aquí (paa cagas positivas). 9 Líneas de campo eléctico. Resumiendo, paa dos cagas puntuales las líneas de campo eléctico tenemos Líneas de campo paa un dipolo eléctico Líneas de campo paa dos cagas positivas 1

11 Líneas de campo eléctico. De igual manea, podemos dibuja las líneas de campo en tes dimensiones: sfea con caga negativa Simetía esféica lano cagado positivamente Simetía plana 1 Líneas de campo eléctico. Un ejecicio. La figua muesta las líneas de campo eléctico paa dos cagas puntuales sepaadas po una distancia pequeña. (a) Detemine la azón q 1 /q. (b) uáles son los signos de q 1 y q? Acode al hecho de que el númeo de líneas es popocional a la intensidad del campo eléctico, podemos infei que q 1 /q =-6/18=-1/ ya que entan 6 líneas a q 1 y salen 18 líneas de q. Tomando en cuenta que las líneas inician en cagas positivas y teminan en cagas negativas, establecemos que q 1 es negativa y q es positiva. Líneas de campo eléctico. Oto ejecicio. La figua muesta las líneas de campo eléctico paa dos cagas puntuales sepaadas po una distancia pequeña. (a) Detemine la azón q 1 /q. (b) uáles son los signos de q 1 y q? q 1 q q 1 /q =- ya que salen 1 líneas de q 1 y llegan 6 líneas a q. q 1 es positiva y q es negativa. 11

12 Dipolos elécticos. Hay muchas azones po las cuales estudiamos el dipolo eléctico. Una de las mas impotantes es que muchas cosas en la natualeza se compotan como dipolos elécticos. n paticula, en muchas moléculas la caga no está distibuida de manea unifome. o ejemplo, paa el caso de la molécula de agua aunque la molécula total es neuta, su estuctua tiene las caacteísticas Molécula de agua (H de un dipolo eléctico. O) Muchas de las popiedades elécticas de vaias moléculas están dominadas po esta estuctua dipola. 4 Dipolos elécticos. Se define un dipolo eléctico como un aeglo fomado po dos cagas de igual magnitud y signos opuestos, sepaadas una distancia d, tal como se muesta +q d -q La molécula de agua se puede epesenta mediante el esquema de un dipolo eléctico!! Molécula de agua (H O) 5 Dipolos elécticos. álculo del campo. aa calcula el campo eléctico de un dipolo, vamos a considea el dipolo mostado en la figua.. aa un punto sobe la línea en que se ubican las cagas (el eje ), se puede mosta que está dado po kq e ( 4a) = () iˆ a ( ) aa puntos lejos del dipolo, o sea, >>a, podemos hace un desaollo en seie del denominado y apoima a pime oden. De tal foma que el campo de un dipolo medido a gandes distancias está dado po kq e ( 4a) = () iˆ 6 1

13 Dipolos elécticos. Momento dipola. n este punto es impotante defini el momento dipola eléctico p como un vecto con magnitud dada po el poducto de la caga q del dipolo po la sepaación ente las cagas, es deci p = aq y que va de la caga negativa a la caga positiva, sobe la línea que las une. Las unidades de p son caga po distancia, es deci m. on esta definición, es posible escibi finalmente el campo eléctico de un dipolo en un punto sobe su eje, como kp = e 7 aga y flujo eléctico. l flujo es una popiedad de cualquie campo vectoial. Resulta conveniente considea el flujo de un campo vectoial deteminado, como si fuese una medida del flujo o intensidad de penetación de los vectoes de campo a tavés de una supeficie fija imaginaia en el campo. Kal Fiedeich Gauss epeso el concepto de líneas de campo, peviamente intoducido po Michael Faaday, en foma cuantitativa e intodujo una cantidad llamada flujo paa elaboa la imagen de las líneas que fluyen a tavés de una supeficie ceada. 8 aga y flujo eléctico. onsidea un campo eléctico unifome en magnitud y diección, tal como se muesta en la figua, donde las líneas de campo penetan pependiculamente a un ectángulo de áea A. Recodando que la densidad, o númeo de líneas, en una egión es popocional al campo en dicha egión, podemos establece que el númeo de líneas que penetan la egión de áea A es popocional al poducto = A donde ecibe el nombe de flujo eléctico. 9 1

14 aga y flujo eléctico. on base en lo anteio, podemos deci que el flujo eléctico, dado po = A tiene unidades de ampo eléctico po Áea, así que en el SI su unidad es N m /. Un poblema que se nos pesenta con la epesión anteio suge cuando consideamos un campo eléctico en el cual las líneas de campo NO son pependiculaes a la supeficie de inteés paa el cálculo del flujo, tal como se muesta en el esquema. 4 aga y flujo eléctico. n una situación como la mostada, paa pode aplica la epesión de flujo eléctico mencionada anteiomente, debemos considea el áea pependicula a que equivale nuesta áea de intees. Si consideamos que nuesta áea de inteés es A, vemos que si esta foma un ángulo θ con el campo, entonces usando tigonometía podemos ve que el áea pependicula A, necesaia paa calcula el flujo está dada po A' = Aosθ on lo que encontamos que la epesión geneal paa calcula el flujo eléctico es = Aosθ 41 aga y flujo eléctico. De la epesión anteio podemos conclui que, paa un áea dada A y una intensidad de campo constante, el flujo puede se máimo si la supeficie es pependicula al campo eléctico, lo que implica que θ = y entonces Aosθ = A; positivo si el ángulo θ se ubica ente y 9 ; nulo si la supeficie es paalela al campo eléctico, lo que implica que el ángulo θ = 9 y entonces Aosθ = ; o negativosi el ángulo θ se ubica ente 9 y 18. θ A A θ 4 14

15 aga y flujo eléctico. Hasta este punto hemos asumido un campo eléctico unifome, así como un áea plana, en una situación más geneal el campo puede vaia al considea una supeficie más compleja. La pegunta es cómo genealizamos nuesta discusión aceca de flujo eléctico? on base en el esquema aneo, la espuesta se puede constui de la siguiente manea: onsideemos a la supeficie divididada en un gan númeo de elementos, cada uno de áea ΔA i, lo suficientemente pequeño paa que la vaiación del campo en tal elemento se pueda despecia; esto paa que podamos toma el campo como constante en dicho elemento. 4 aga y flujo eléctico. s conveniente defini al vecto ΔA i cuya magnitud epesenta el áea del i-ésimo elemento de la supeficie y cuya diección se define pependicula al áea y saliendo de ella, tal como se muesta. l campo eléctico i foma un ángulo θ i con el vecto ΔA i, con lo que el flujo a tavés del elemento está dado po Δ = iδ Aos i θi = i ΔA i donde se ha usado la definición del poducto escala. 44 aga y flujo eléctico. Si a continuación sumamos todas las contibuciones Δ obtenemos el flujo eléctico total a tavés de la supeficie: = Δ = i ΔAi i La sumatoia puede sustituise po una integal si consideamos el límite en el que el aea de los elementos se hace tende a ceo, a sabe lim ΔA ΔAi i o lo que = i S i S 45 15

16 aga y flujo eléctico. La integal = = osθ S define el flujo eléctico a tavés de la supeficie S. S sta definición epesenta una integal de supeficie, lo que significa que debe se evaluada sobe la supeficie en cuestión. Su valo depende del patón que pesente el campo, así como de la foma que tenga la supeficie donde se está calculando el flujo eléctico. 46 aga y flujo eléctico. Un ejemplo. z onsidee una supeficie en foma de cuña, inmesa en un campo eléctico unifome =N/ en diección +, tal como se muesta en la figua. alcule el flujo eléctico en cada una de las supeficies, así como el flujo total. 5cm y A B D 5cm cm aa calcula el flujo en la supeficie mostada, sepaémosla en cada una de las caas que la confoman, A sabe: aa A: Réctángulo vetical aa B: Tiángulo vetical aa : Rectángulo hoizontal aa D: Tiángulo vetical aa : Rectángulo inclinado. 47 aga y flujo eléctico. Un ejemplo. z onsidee una supeficie en foma de cuña, inmesa en un campo eléctico unifome =N/ en diección +, tal como se muesta en la figua. alcule el flujo eléctico en cada una de las supeficies, así como el flujo total. y aa A: Réctángulo vetical. n este caso el flujo eléctico osθ 5cm A 5cm cm A = A esulta se = os18 A A A = ( N )( 1)(.m)(.5m ) de donde = 15 N m A 48 16

17 aga y flujo eléctico. Un ejemplo. z onsidee una supeficie en foma de cuña, inmesa en un campo eléctico unifome =N/ en diección +, tal como se muesta en la figua. alcule el flujo eléctico en cada una de las supeficies, así como el flujo total. y aa B: Tiángulo vetical n este caso el flujo eléctico 5cm B 5cm cm de donde B = B osθ esulta se = os9 B = B B 49 aga y flujo eléctico. Un ejemplo. onsidee una supeficie en foma de cuña, inmesa en un campo eléctico unifome =N/ en diección +, tal como se muesta en la figua. alcule el flujo eléctico en cada una de las supeficies, así como el flujo total. y aa : Rectángulo hoizontal n este caso el flujo eléctico 5cm 5cm cm esulta se = 9 os de donde = osθ = z 5 aga y flujo eléctico. Un ejemplo. z onsidee una supeficie en foma de cuña, inmesa en un campo eléctico unifome =N/ en diección +, tal como se muesta en la figua. alcule el flujo eléctico en cada una de las supeficies, así como el flujo total. y aa D: Tiángulo vetical n este caso el flujo eléctico 5cm D 5cm cm esulta se = 9 os D de donde D = D osθ = D 51 17

18 aga y flujo eléctico. Un ejemplo. z onsidee una supeficie en foma de cuña, inmesa en un campo eléctico unifome =N/ en diección +, tal como se muesta en la figua. alcule el flujo eléctico en cada una de las supeficies, así como el flujo total. y aa : Rectángulo inclinado. n este caso el flujo eléctico = osθ φ esulta se 5cm 5cm φ cm ( 9 φ ) = os l ángulo φ se obtiene del esquema, esultando se 1 5cm φ = tan = cm 5 aga y flujo eléctico. Un ejemplo. z onsidee una supeficie en foma de cuña, inmesa en un campo eléctico unifome =N/ en diección +, tal como se muesta en la figua. alcule el flujo eléctico en cada una de las supeficies, así como el flujo total. y o oto lado, paa calcula el áea advetimos que el lago del ectángulo coesponde a la hipotenusa del tiángulo lateal, de donde 5cm φ 5cm φ φ 1 5cm = tan = cm cm L = ( 5cm) + ( 5cm) = cm ( N )( os ( )) Así que = (.m)(.55917m) de donde = 15 N m 5 aga y flujo eléctico. Un ejemplo. onsidee una supeficie en foma de cuña, inmesa en un campo eléctico unifome =N/ en diección +, tal como se muesta en la figua. alcule el flujo eléctico en cada una de las supeficies, así como el flujo total. y on lo anteio, los difeentes flujos son A = 15 N m = = = B D = 15 N m 5cm cm de donde el flujo total, esultado de la suma de todos los flujos, es ceo. z 5cm 54 18

19 lecticidad y calo D. Robeto edo Duate Zamoano Webpage: aga y flujo eléctico. Oto ejemplo. Supongamos que tenemos una caga positiva Q con sus líneas de campo. eamos la caga en difeentes supeficies ceadas. on base a lo anteio, es posible establece que el flujo eléctico total, debido al campo geneado po una caga y que ataviesa cualquie supeficie ceada es independiente de la supeficie que enciea a la caga. Ahoa, el cálculo coesponde a una integal ceada sobe el áea S. +Q = S 56 Ley de Gauss. l flujo neto a tavés de una supeficie ceada es popocional a la caga enceada. onsideando el esquema aneo l flujo a tavés de S sólo depende del valo de la caga q 1. Similamente, el flujo a tavés de la supeficie S sólo depende de las cagas enceadas, a sabe q y q. n cambio, paa la supeficie S no hay flujo neto, ya que no enciea caga. Finalmente, la caga q 4, al no esta enceada po ninguna de las supeficies, no contibuye en el cálculo de los flujos totales

20 Ley de Gauss. La ley de Gauss establece una elación geneal ente el flujo (total) a tavés de una supeficie ceada y la caga enceada po la misma. Lo anteio popociona una heamienta paa el cálculo del campo eléctico debido a una caga o a una distibución de caga. Sin embago, ecodemos que el campo electostático debido a una distibución continua de caga siempe puede encontase usando la ley de oulomb, aunque el calculo equeido pueda se complicado. La ley de Gauss es una afimación geneal sobe las popiedades de los campos elécticos y no esta estingida a los campos electostáticos, como la ley de oulomb. 58 Ley de Gauss. uando una distibución de caga tiene suficiente simetía, la ley de Gauss puede popociona un camino elegante paa detemina el campo electostático en unos pocos pasos simples. Kal Fiedich Gauss ( ) La ley de Gauss establece que el flujo neto a tavés de cualquie supeficie ceada enceando una caga puntual q está dado po q/ε y es independiente de la foma de dicha supeficie, es deci qenceada = = ε Que puede escibise como ε = qenceada S S 59 Ley de Gauss. Un ejecicio. uato supeficies ceadas (S 1 a S 4 ), junto con las cagas -Q, Q y -Q se esquematizan en la figua (Las líneas coloeadas epesentan las intesecciones de las difeentes supeficies con el plano del esquema). ncuenta el flujo eléctico total a tavés de cada supeficie. 6

21 Ley de Gauss. A continuación veamos la equivalencia ente la ley de Gauss y la ley de oulomb. aa ello tomemos una caga puntual positiva con caga q. Supeficie gaussiana onsideemos una supeficie gaussiana esféica, centada en la caga q y con un adio. odemos obseva que en todos los puntos sobe la supeficie gaussiana, tanto el campo eléctico, como el difeencial de aea i son paalelos, de tal foma que q = = k e ( ) S S 61 Ley de Gauss. aa evalua la integal, vemos que esta se puede escibi como q = ke ( ) S La integal ceada sobe coesponde al áea de una esfea de adio, a sabe ( ) = 4π Supeficie gaussiana S on esto el flujo total es q = ke ( 4π ) = 4πkeq que, al considea que k e =1/4πε, podemos escibi como 1 q = 4π q = 4πε ε que coesponde a la ley de Gauss. 6 Aplicaciones de la ley de Gauss. omo se mencionó anteiomente, la ley de Gauss es muy útil paa calcula el campo eléctico de una distibución de caga si esta pesenta suficiente simetía. Las simetías más comunes son esféica, que coesponde a cagas puntuales o esféicas. n tal caso, la ley de gauss se escibe como qenceada ε = ε( 4π ) = qenceada () = S 4πε cilíndica, que coesponde a distibuciones lineales o cilíndicas (como alambes). n tal caso, la ley de gauss se escibe como ε = ε( πl) = q qenceada enceada () = S πε L 6 1

22 Aplicaciones de la ley de Gauss. aa pode aplica cualquiea de las dos fomas anteioes de la ley de Gauss, en la esolución de poblemas debemos segui el siguiente pocedimiento: 1. Selecciona la simetía que coesponda al poblema que buscamos esolve: esféica o cilíndica.. Taza la supeficie gaussiana que coesponda, centada en la caga, de foma que pase po el punto donde necesitemos calcula el campo eléctico..alcula la caga enceada po la supeficie gaussiana. n caso de se necesaio, ealiza la integación ente los límites adecuados. 4. Sustitui la caga (o la epesión que la popociona) en la foma de la ley de Gauss que hayamos escogido con base en la simetía, tal como se mencionó en el punto Aplicaciones de la ley de Gauss. aa calcula la caga enceada, en el caso de una distibución continua, se usa: paa una distibución lineal (en una dimensión): q enceada = línea λdl donde λ es la densidad lineal de caga. paa una distibución supeficial (en dos dimensiones): qenceada = σ da donde σ es la densidad supeficial de caga. áea paa una distibución volumética (en tes dimensiones) qenceada = ρdv donde ρ es la densidad volumética de caga volumen 65 Aplicaciones de la ley de Gauss. álculos típicos de campos elécticos usando Ley de Gauss Distibución de caga sfea aislante de adio R, densidad de caga unifome y caga total Q. ascaón esféico de adio R y caga total Q Línea muy laga de caga po unidad de longitud, λ. lano muy gande con densidad supeficial de caga σ. onducto con una densidad supeficial de caga σ. ampo eléctico Q ke Q ke R Q ke λ k e σ ε σ ε Ubicación >R <R >R <R Fuea de la línea Fuea del plano Fuea del conducto Dento del conducto 66

23 Aplicaciones de la ley de Gauss. Una esfea aislante tiene un diaméto de 8.cm y contiene una caga de 5.7μ distibuida unifomemente en su volumen inteno. alcule la caga enceada po una supeficie esféica concéntica con adio (a) =.cm y (b) =6.cm. on estos valoes calcule la intensidad del campo eléctico a una distancia (c) =.cm y (d) =6.cm medida desde el cento. La densidad de caga volumética ρ es 6 Q ρ = = = π R π (.4m ) m = ( ) ( 4 )( π ( ) ) 4 (a) qenceada ρ π 4 (b) qenceada ρ π m = = m = ( ) ( 4 )( π ( ) ) m = = m 67 Aplicaciones de la ley de Gauss. Una esfea aislante tiene un diaméto de 8.cm y contiene una caga de 5.7μ distibuida unifomemente en su volumen inteno. alcule la caga enceada po una supeficie esféica concéntica con adio (a) =.cm y (b) =6.cm. on estos valoes calcule la intensidad del campo eléctico a una distancia (c) =.cm y (d) =6.cm medida desde el cento. aa el cálculo de la intensidad del campo, usaemos qenceada () = 4πε (c) (d) = 1 4π ( )(.m) N m = 1 4π ( )(.4m) N m 7 = N 7 = N 68 Aplicaciones de la ley de Gauss. Una esfea sólida de adio R=4.cm tiene una caga total positiva de 6.μ distibuida unifomemente en todo su volumen. alcula la magnitud del campo eléctico a (a) cm, (b) 1cm, (c) 4cm, y (d) 6cm del cento de la esfea. aa el cálculo de la intensidad del campo, usaemos qenceada q () = < R () = R 4πε R 4πε enceada (a) (b) (c) (d) = N = 65,65 N = N = N 69

24 Aplicaciones de la ley de Gauss. La caga po unidad de longitud, en un filamento ecto, es -9μ/m. ncuenta el campo eléctico a (a) 1cm, (b) cm, y (c) 1cm del filamento, donde la distancia se mide pependicula a la longitud del filamento. aa el cálculo de la intensidad del campo, usaemos qenceada λ () = = ke R πε L (a) (b) (c) = N = N = N 7 4