Diferenciabilidad. Capítulo Derivada

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1 Capítulo 3 Diferenciabilidad 1. Derivada Recordemos que si f : R R es diferenciable en x 0 y f (x 0 ) es su derivada en x 0, entonces f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) es una aproximación lineal de f cerca de x 0. Esta observación nos motiva a definir diferenciabilidad de una función en R n de la siguiente manera. Definición 3.1. Sea D abierto en R n y f : D R m. Decimos que f es diferenciable en x 0 D si existe una transformación lineal T : R n R m tal que, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si x x 0 < δ entonces (3.1) f(x) f(x 0 ) T (x x 0 ) < ε x x 0. En otras palabras, f es diferenciable en x 0 si o, de forma equivalente, f(x) f(x 0 ) T (x x 0 ) = 0, x x 0 x x 0 f(x + h) f(x) T h = 0. h 0 Teorema 3.2. Si f es diferenciable en x 0, entonces la función lineal T en (3.1) es única. Demostración. Supongamos que S : R n R m es lineal y f(x 0 + h) f(x 0 ) Sh = 0. h 0 25

2 26 3. Diferenciabilidad Demostraremos primero que T h Sh 0 cuando h 0. Ahora bien T h Sh = T h (f(x 0 + h) f(x 0 )) + (f(x 0 + h) f(x 0 )) Sh T h (f(x 0 + h) f(x 0 )) + (f(x 0 + h) f(x 0 )) Sh 0 cuando h 0. Ahora, sea x R n y x 0. Si hacemos h = tx, t R, entonces Como T y S son lineales, así que T x = Sx. T (tx) S(tx) = 0. t 0 tx T (tx) S(tx) tx = T x Sx, x La función lineal T es llamada la derivada de f en x 0, y se denota por Df(x 0 ). Ejemplo 3.3. Sea f : R 2 R dada por f(x, y) = sen x y (x 0, y 0 ) R 2. Demostraremos que f es diferenciable en (x 0, y 0 ) y la función lineal T está dada por T (x, y) = x cos x 0. Sea (h, k) R 2, con (h, k) (0, 0). Entonces f((x 0, y 0 ) + (h, k)) f(x 0, y 0 ) T (h, k) (h, k) porque sen(x 0 + h) sen x 0 h 0 h sen(x 0 + h) sen x 0 h cos x 0 = cos x 0. 0 Como todas las transformaciones lineales se pueden expresar como multiplicación por una matriz, lo mismo sucede para la transformación Df(x 0 ). En el ejemplo anterior, ( ) x Df(x 0 )(x, y) = (x cos x 0 ) = (cos x 0, 0), y así que Df(x 0 ) induce la matriz, de 1 2, dada por (cos x 0, 0).

3 1. Derivada 27 A la matriz inducida por la transformación Df(x 0 ) se le llama Jacobiano, y se denota por f (x 0 ). En el ejemplo anterior, f (x 0 ) = (cos x 0, 0). La siguiente proposición establece la diferenciabilidad de las funciones básicas. Proposición Si f : R n R m es constante, entonces para cada x 0 R n. Df(x 0 ) = 0 2. Si f : R n R m es lineal, entonces para cada x 0 R n. Df(x 0 ) = f 3. Si sum : R 2 R está dada por sum(x, y) = x + y, entonces para cada (x 0, y 0 ) R 2. D sum(x 0, y 0 ) = sum 4. Si mult : R 2 R está dada por mult(x, y) = xy, entonces para cada (x 0, y 0 ) R 2. D mult(x 0, y 0 )(x, y) = y 0 x + x 0 y Demostración. 1. Si f es constante, para todo x 0, h R n. f(x 0 + h) f(x 0 ) = 0 2. Si f es lineal, f(x 0 + h) = f(x 0 ) + f(h), así que para todo x 0, h R n. f(x 0 + h) f(x 0 ) f(h) 3. Se sigue inmediatamente de la anterior. 4. Tenemos, = 0 mult(x 0 + h, y 0 + k) mult(x 0, y 0 ) (y 0 h + x 0 k) (h, k) (x 0 + h)(y 0 + k) x 0 y 0 y 0 h x 0 k h 2 + k 2 = cuando (h, k) 0. = hk h 2 + k 2 1/2(h2 + k 2 ) h 2 + k 2 = (h, k) 0

4 28 3. Diferenciabilidad Proposición 3.5. Sea f : R n R m y x 0 R n. Entonces f es diferenciable en x 0 si y sólo si cada f i : R n R, i = 1,..., m, es diferenciable en x 0. En tal caso, Df(x 0 )(x) = ( Df 1 (x 0 )(x),..., Df m (x 0 )(x) ). Demostración. Supongamos primero que f es diferenciable en x 0, y sea, para cada i, T i = π i Df(x 0 ). Entonces f i (x 0 + h) f i (x 0 ) T i h f(x 0 + h) f(x 0 ) Df(x 0 )(h) cuando h 0, así que cada f i es diferenciable en x 0. 0 Supongamos ahora que cada f i es diferenciable en x 0 y sea T : R n R m la transformación Entonces f(x 0 + h) f(x 0 ) T h cuando h 0. T x = (Df 1 (x 0 )(x),..., Df m (x 0 )(x)). m = 1 m (f i (x 0 + h) f i (x 0 ) Df i (x 0 )(h)) 2 m i=1 i=1 f i (x 0 + h) f i (x 0 ) Df i (x 0 )(h) 0 Ejemplo 3.6. Si f : R 2 R 2 está dada por f(x, y) = (sen x, xy), entones Df(x 0, y 0 )(x, y) = (x cos x 0, y 0 x + x 0 y), es decir, el vector cuyas coordenadas son las derivadas de sen x y xy en (x 0, y 0 ), respectivamente. El Jacobiano está dado por ( ) f cos x0 0 (x 0, y 0 ) =. y 0 x 0 Si queremos, sin embargo, calcular la derivada de f(x, y) = sen xy en algún punto (x 0, y 0 ), si es que existe, entonces ya sea utilizamos la definición de la derivada, u observamos que sen xy = sen(mult(x, y)) = sen mult(x, y), es decir, (x, y) sen xy es la composición de sen con la multiplicación mult. Teorema 3.7 (Regla de la cadena). Sea f : R n R m diferenciable en x 0, g : R m R p diferenciable en f(x 0 ). Entonces g f : R n R p es diferenciable en x 0 y D(g f)(x 0 ) = Dg(f(x 0 )) Df(x 0 ).

5 1. Derivada 29 Es decir, la derivada de la composición de dos funciones está dada por la composición de las derivadas. Esto implica, desde luego, que expresión familiar en el cáculo en R. (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 ))f (x 0 ), Demostración. Definimos y 0 = f(x 0 ), T = Df(x 0 ) y S = Dg(y 0 ). Sean ϕ(x) = f(x) f(x 0 ) T (x x 0 ), ψ(y) = g(y) g(y 0 ) S(y y 0 ), ρ(x) = g f(x) g(y 0 ) S T (x x 0 ). Como f y g son diferenciables en x 0 y y 0, respectivamente, x x 0 y queremos demostrar que Observemos primero que ϕ(x) = 0, x x 0 y y 0 x x 0 ρ(x) x x 0 = 0. ψ(y) y y 0 = 0, ρ(x) = g(f(x)) g(y 0 ) S(T (x x 0 )) = g(f(x)) g(y 0 ) S(f(x) y 0 ) + S(ϕ(x)) = ψ(f(x)) + Sϕ(x). Por ser lineales, existen M 1, M 2 > 0 tales que T x M 1 x y Sy M 2 y para todo x R n y y R m. Así que, primero, Sϕ(x) x x 0 M ϕ(x) 1 x x 0 0 cuando x x 0. También tenemos que, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que ψ(y) ε y y 0 para y y 0 < δ. Además, existe η tal que x x 0 < η implica que f(x) y 0 < δ. Entonces, si x x 0 < η, ψ(f(x)) ε f(x) y 0 = ε ϕ(x) + T (x x 0 ) ε ϕ(x) + εm 1 x x 0, así que, para 0 < x x 0 < η, Por lo tanto ψ(f(x)) x x 0 ε ϕ(x) x x 0 + εm 1. Ψ(f(x)) x x 0 x x 0 = 0.

6 30 3. Diferenciabilidad Ejemplo 3.8. Si f : R 2 R está dada por f(x, y) = sen xy, entonces f = sen mult, así que Df(x 0, y 0 )(x, y) = D sen(x 0 y 0 )(xy 0 + yx 0 ) = (xy 0 + yx 0 ) cos(x 0 y 0 ). El Jacobiano está dado por f (x 0, y 0 ) = cos(x 0 y 0 )(y 0, x 0 ) = (y 0 cos(x 0 y 0 ), x 0 cos(x 0 y 0 )). Corolario 3.9. Sean f, g : R n R diferenciables en x 0. Entonces 1. f + g es diferenciable en x 0 y 2. fg es diferenciable en x 0 y D(f + g)(x 0 ) = Df(x 0 ) + Dg(x 0 ). D(fg)(x 0 ) = f(x 0 )Dg(x 0 ) + g(x 0 )Df(x 0 ). Demostración. 1. Si F (x) = (f(x), g(x)), f +g = sum F. Entonces D(f + g)(x 0 ) = D sum(f (x 0 )) DF (x 0 ). Es decir, como DF (x 0 )(x) = (Df(x 0 )(x), Dg(x 0 )(x)), D(f + g)(x 0 )(x) = Df(x 0 )(x) + Dg(x 0 )(x). 2. fg = mult F, así que D(fg)(x 0 )(x) = D mult(f(x 0 ), g(x 0 ))(Df(x 0 )(x), Dg(x 0 )(x)) = Ejemplo Sea f : R + R R dada por f(x, y) = x y. Entonces f(x, y) = e y log x. Si F (x, y) = (log x, y), f = exp mult F g(x 0 )Df(x 0 )(x) + f(x 0 )Dg(x 0 )(x). Entonces ( x ) ( 1 ) DF (x 0, y 0 )(x, y) =, y, F (x 0, y 0 ) = x 0 0, x y D mult(log x 0, y 0 ) = xy 0 + ylogx 0, mult (log x 0, y 0 ) = (y 0, log x 0 ), D exp(y 0 log x 0 )(x) = xe y 0 log x 0 = xx y 0 0, exp (y 0 log x 0 ) = x y 0 0. Entonces Df(x 0 )(x, y) = D exp(y 0 log x 0 ) D mult(log x 0, y 0 )(x/x 0, y) = D exp(y 0 log x 0 )(xy 0 /x 0 + y log x 0 ) = x y 0 0 (xy 0/x 0 + y log x 0 ) = xy 0 x y yx y 0 0 log x 0,

7 2. Derivadas parciales 31 y el Jacobiano está dado por f (x 0, y 0 ) = x y 0 0 (y 0, log x 0 ) 2. Derivadas parciales ( 1 x ( = x y 0 y0 ) 0, log x 0 = (y 0 x y 0 1 0, x y 0 0 x log x 0). 0 Definición Sean f : R n R, x 0, u R n. Si el ite t 0 ) f(x 0 + tu) f(x 0 ), t R, t existe, le llamamos la derivada direccional en la dirección u y se denota por D u f(x 0 ). Si u = e i, D ei f(x 0 ) es llamada la i-ésima derivada parcial de f en x 0, y se denota por D i f(x 0 ). Ejemplo Si f : R 2 R está dada por f(x, y) = sen xy, entonces f(x 0 + t, y 0 ) f(x 0, y 0 ) D 1 f(x 0, y 0 ) = = y 0 cos(x 0 y 0 ). t 0 t Como lo muestra el ejemplo anterior, las derivadas parciales son esencialmente derivadas en R, asumiendo las demás variables como constantes. No es sorpresa, entonces, que las derivadas parciales satisfagan las propiedades de la derivada en R. Decimos que f : R n R tiene un mínimo local en x 0 si existe un rectángulo abierto R que contiene a x 0 y f(x 0 ) f(x) para todo x R. De manera similar, decimos que f tiene un máximo local en x 0 si existe un rectángulo abierto R que contiene a x 0 y f(x 0 ) f(x) para todo x R. Proposición Si f : R n R tiene un mínimo o máximo local en x 0 y sus derivadas parciales existen, entonces D i f(x 0 ) = 0, i = 1,..., n. Proposición 3.14 (Teorema del Valor Medio). Si las derivadas parciales de f : R n R existen, x 0 R n y t R, entonces existe c entre x i 0 y xi 0 + t tal que f(x 1 0,..., x i 0 + t,..., x n 0 ) f(x 1 0,..., x i 0,..., x n 0 ) = td i f(x 1 0,..., c,..., xn 0 ).

8 32 3. Diferenciabilidad Las demostraciones de estas proposiciones se siguen directamente de sus versiones en una variable, y las dejamos como ejercicio (ejercicios 4 y 5). Si una función es diferenciable, entonces sus derivadas parciales existen, como lo enuncia el siguiente teorema. Teorema Sea f : R n R diferenciable en x 0. Entonces cada D i f(x 0 ) existe y f (x 0 ) = (D 1 f(x 0 ),..., D n f(x 0 )). Demostración. Para demostar que D i f(x 0 ) existe, sea h : R R n dada por h(t) = f(x 1 0,..., xi 0 + t,..., xn 0 ) = x 0 + te i. Entonces f(x 0 + te i ) = f h(t). Como h es diferenciable en 0 y f es diferenciable en x 0 = h(0), la regla de la cadena implica que f h es diferenciable en 0. Pero (f h) (0) es D i f(x 0 ) y (f h) (0) = f (x 0 )h (0) = f (x 0 )e i, así que D i f(x 0 ) es la i-ésima componente de f (x 0 ). Nota que la inversa de este teorema es falsa, como lo muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo Sea f : R 2 R dada por { 1 si 0 < y < x 2 ; f(x, y) = 0 de otra forma. Entonces f(x, 0) = f(0, y) = 0 para todo x, y, por lo que D 1 f(0, 0) = D 2 f(0, 0) = 0. Sin embargo, f ni siquiera es continua en (0, 0). De hecho, para cualquier u R 2, f(tu) = 0 para un intervalo alrededor de 0, así que D u f(0, 0) = 0. Corolario Si f : R n R m es diferenciable en x 0, entonces cada D j f i (x 0 ) existe y f (x 0 ) es la matriz de m n con entradas D j f i (x 0 ). Ejemplo Consideremos de nuevo f(x, y) = (sen xy, x y ). Del corolario se obtiene inmediatamente ( ) f y0 cos(x 0 y 0 ) x 0 cos(x 0 y 0 ) (x 0, y 0 ) = y 0 x y x y 0 0 log x. 0 Teorema Sea f : R n R tal que cada una de las D i f(x) existen en un rectángulo abierto que contiene a x 0 y son continuas en x 0. Entonces f es diferenciable en x 0 y f (x 0 ) = (D 1 f(x 0 ),..., D n f(x 0 )).

9 2. Derivadas parciales 33 Si las derivadas parciales de f existen un rectángulo alrededor de x 0 y son continuas en x 0, se dice que f es continuamente diferenciable en x 0. Demostración. Supongamos que las derivadas parciales D i f(x) existen para x R, donde R es un recatángulo abierto que contiene a x 0. Si h es tal que x 0 + h R, por la proposición 3.14, f(x h 1, x h 2,..., x n 0 + h n ) f(x 1 0, x 2 0,..., x n 0 ) = f(x h1, x h2,..., x n 0 + hn ) f(x 1 0, x2 0 + h2,..., x n 0 + hn ) + f(x 1 0, x2 0 + h2,..., x n 0 + hn ) f(x 1 0, x2 0, x3 0 + h3,..., x n 0 + hn ) f(x 1 0, x 2 0,..., x n 0 + h n ) f(x 1 0, x 2 0,..., x n 0 ) = D 1 f(c 1 )h D n f(c n )h n, donde cada uno de los c i R están entre x i 0 y hi, por lo que c i x i 0 cuando 0. Entonces f(x 0 + h) f(x 0 ) i D if(x 0 )h i n D i f(c i ) D i f(x 0 ) hi i=1 n D i f(c i ) D i f(x 0 ), i=1 y f(x 0 + h) f(x 0 ) i D if(x 0 )h i h 0 porque las D i f son continuas en x 0. = 0, Definición Decimos que f : R n R m es continuamente diferenciable en x 0 si cada una de las derivadas parciales D j f i (x) existe en un rectángulo abierto alrededor de x 0 y es continua en x 0. Corolario Si f : R n R m es continuamente diferenciable en x 0, entonces es diferenciable en x 0. La inversa a este corolario es falsa, como lo muestra el siguiente y bien conocido ejemplo. Ejemplo Sea f : R R dada por { 0 x = 0; f(x) = x 2 sen 1 x x 0. Entonces f es diferenciable en R, pero D 1 f(x) no es continua en 0. Para terminar esta sección, establecemos la siguiente versión, clásica, de la regla de la cadena.

10 34 3. Diferenciabilidad Corolario Sea g : R n R m continuamente diferenciable en x 0, y f : R m R diferenciable en g(x 0 ). Entonces m (3.2) D i (f g)(x 0 ) = D j f(g(x 0 ))D i g j (x 0 ). j=1 Demostración. Como g es continuamente diferenciables en x 0, g es diferenciable en x 0 y por la regla de la cadena f g es diferenciable en x 0. Además (f g) (x 0 ) = f (g(x 0 ))g (x 0 ) D 1 g 1 (x 0 )... D n g 1 (x 0 ) = ( D 1 f(g(x 0 ))... D m f(g(x 0 )) ) D 1 g 2 (x 0 )... D n g 2 (x 0 )....., D 1 g m (x 0 )... D n g m (x 0 ) de donde la ecuación (3.2) se sigue inmediatamente. 3. Teorema de la función inversa Si f : R R es continuamente diferenciable en una vecindad de x 0 R y f (x 0 ) 0, sabemos que existe una vecindad de x 0, digamos U, tal que f es invertible en U, f 1 es diferenciable en f(u) y (f 1 ) (f(x)) = 1 f (x). A continuación estableceremos la versión de este resultado para funciones en R n. Teorema 3.24 (Función Inversa). Sea f : R n R n continuamente diferenciable en una vecindad de x 0 R n, tal que det(f (x 0 )) 0. Entonces existe una vecindad V de x 0 y una vecindad W de f(x 0 ) tales que f : V W tiene inversa f 1 : W V, es diferenciable y, para cada y W, (f 1 ) (y) = [f (f 1 (y))] 1. Es decir, la inversa f 1 es diferenciable y su matriz Jacobiana es la inversa la matriz Jacobiana de f. Para la demostración del Teorema de la Función Inversa haremos uso del siguiente lema, el cual se sigue del Teorema del Valor Medio. Lema Sea R R n un rectángulo, f : R R n continuamente diferenciable y M > 0 tal que D j f i (x) M para i, j = 1,..., n, x R. Entonces f(x) f(y) n 2 M x y, x, y R.

11 3. Teorema de la función inversa 35 Demostración. Por el Teorema del Valor Medio, existen z 1,..., z n R tal que f i (x 1, x 2,..., x n ) f i (y 1, y 2,..., y n ) = f i (x 1, x 2,..., x n ) f i (y 1, x 2,..., x n ) + f i (y 1, x 2,..., x n ) f i (y 1, y 2,..., x n ) así que f i (y 1, y 2,...y n 1, x n ) f i (y 1, y 2,..., y n ) = D 1 f i (z 1 )(x 1 y 1 ) + D 2 f i (z 2 )(x 2 y 2 ) D n f i (z n )(x n y n ), f i (x) f i (y) n D j f i (z j ) x j y j nm x y. j=1 Por lo tanto f(x) f(y) n 2 M x y. Demostración del Teorema de la Función Inversa. Sea T = Df(x 0 ). Para la demostración empezaremos por observar que podemos asumir que T es la identidad. Como det(f (x 0 )) 0, T es invertible. Por la regla de la cadena, D(T 1 f)(x 0 ) = DT 1 (f(x 0 ))Df(x 0 ) = T 1 T = Id. Es claro que, si el teorema es cierto para T 1 f, entonces será cierto para f. De ahora en adelante, asumimos que T es la transformación identidad. Dividiremos la demostración en una serie de pasos. Paso 1. Existe un rectángulo cerrado R tal que x 0 R 0 y, para todo x R, x x 0, f(x) f(x 0 ). Esto es cierto porque, si f(x) = f(x 0 ), f(x) f(x 0 ) T (x x 0 ) x x 0 = x x 0 x x 0 = 1. Pero el ite cuando x x 0 es cero, lo cual inmediatamente implica el paso 1. De hecho, podemos escoger R tal que 1. det(f (x)) 0 para x R; y 2. D j f i (x 1 ) D j f i (x 2 ) 1 2n 2 para x 1, x 2 R, porque f es continuamente diferenciable en una vecindad de x 0. Paso 2. Para x 1, x 2 R, x 1 x 2 2 f(x 1 ) f(x 2 ).

12 36 3. Diferenciabilidad Sea g : R R n dada por g(x) = f(x) x. Entonces g es continuamente diferenciable y D j g i (x 0 ) = 0, porque { D j f i 1 i = j, (x 0 ) = 0 i j. Entonces D j g i (x) = D j g i (x) D j g i (x 0 ) = D j f i (x) D j f i (x 0 ) 1 2n 2 para todo x R. Entonces, por el lema 3.25, g(x 1 ) g(x 2 ) = n 2 1 2n 2 x 1 x 2 = 1 2 x 1 x 2. Ahora bien, si x 1, x 2 R, x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 (f(x 1 ) f(x 2 )) 1 2 x 1 x 2, y por lo tanto 1 2 x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Paso 3. Existe un abierto W R n, f(x 0 ) W, tal que, si x R, entonces para todo y W. y f(x 0 ) < y f(x) Como x 0 R 0, entonces f(x) f(x 0 ) para x R. Como R es compacto, f( R) es compacto, por lo que existe r > 0 tal que f(x 0 ) f(x) r para todo x R. Sea W = B 0 r/2 (f(x 0)). Entonces, si y W y x R, y f(x) f(x) f(x 0 ) f(x 0 ) y > r r/2 > f(x 0 ) y. Paso 4. Para cada y W existe un único x R tal que f(x) = y. Dado y W, sea h : R R dada por h(x) = y f(x) 2. Mostraremos que h toma un mínimo y que este mínimo es 0. Como R es compacto, h tiene un mínimo y, digamos, lo toma en x. Por el paso 3, x / R, ya que h(x 0 ) < h(x) para x R. Así que x R 0, y entonces, por la proposición 3.13, D j (h( x)) = 0 para todo j. Esto significa que n 2(y i f i ( x))d j f i ( x) = 0 i=1

13 3. Teorema de la función inversa 37 para cada j = 1,..., n. Pero, como la matriz (D j f i ( x)) es no singular, y i f i ( x) = 0 para todo i. Por lo tanto, f( x) = y. La unicidad se sigue del paso 2. Paso 5. Para y 1, y 2 W, f 1 (y 1 ) f 1 (y 2 ) 2 y 1 y 2. Se sigue fácilmente del paso 2. Además, cuando restringimos f a V = f 1 (W ) R 0, f 1 : W V. Llegamos entonces al final de la demostración. Paso 6. f 1 : W V es diferenciable y, para y W, D(f 1 )(y) = Df(f 1 (y)) 1. Sean y W, x = f 1 (y) y S = Df(x). Queremos demostrar que f 1 es diferenciable en y y que Df 1 (y) = S 1, es decir Sea u = f 1 (z), y definimos Entonces Pero es decir, f 1 (z) f 1 (y) S 1 (z y) = 0. z y z y ϕ(u) = f(u) f(x) S(u x). u x ϕ(u) u x = 0. S 1 ϕ(u) = S 1 (z y) (f 1 (z) f 1 (y)), f 1 (z) f 1 (y) S 1 (z y) = S 1 ϕ(u). Lo que queremos mostrar entonces es que S 1 ϕ(f 1 (z)) = 0. z y z y Sea M > 0 tal que S 1 v M v para todo v R n. Entonces, por el paso 5, S 1 ϕ(f 1 (z)) z y M ϕ(f 1 (z)) f 1 (z) f 1 (y) f 1 (z) f 1 (y) z y 2M ϕ(f 1 (z)) f 1 (z) f 1 (y) para todo z R, z y, lo cual converge a 0 cuando z y.

14 38 3. Diferenciabilidad 4. Teorema de la función implícita Teorema 3.26 (Función Implícita). Sea f : R n R m R m continuamente diferenciable alrededor de (x 0, y 0 ) R n R m y f(x 0, y 0 ) = 0. Sea M la matriz de m m dada por (D n+j f i (x 0, y 0 )), i, j = 1,... m, y suponemos que det M 0. Entonces existe un abierto U R n R m, x 0 U, y un abierto V R m, y 0 V, tales que, para cada x U, existe un único g(x) V tal que f(x, g(x)) = 0. Más aún, g es diferenciable. Es decir, la ecuación f(x, y) = 0 define implícitamente y como función de x, siempre y cuando las derivadas en y formen una matriz no singular. La demostración del Teorema de la Función Implícita se sigue del Teorema de la Función Inversa. Demostración. Sea F : R n R m R n R m la función definida por F (x, y) = (x, f(x, y)). Entonces la matriz Jacobiana F (x 0, y 0 ) está dada por , D 1 f 1 (x 0, y 0 )... D n f 1 (x 0, y 0 ) D n+1 f 1 (x 0, y 0 )... D n+m f 1 (x o, y 0 ) D 1 f m (x 0, y 0 )... D n f m (x 0, y 0 ) D n+1 f m (x 0, y 0 )... D n+m f m (x o, y 0 ) es decir, es de la forma así que det F (x 0, y 0 ) = det M 0. ( ) F Id 0 (x 0, y 0 ) =, M Por el teorema de la función inversa, existe un abierto U V alrededor de (x 0, y 0 ) y un abierto W alrededor de F (x 0, y 0 ) tales que F : U V W tiene inversa F 1 : W U V y es diferenciable. No es difícil ver que esta inversa es de la forma F 1 (u, v) = (u, h(u, v)), Para (u, v) W, y h : W V es diferenciable.

15 4. Teorema de la función implícita 39 Como F 1 (x, y) = (x, h(x, y)), (x, y) = F (x, h(x, y)) = (x, f(x, h(x, y))), por lo que (3.3) f(x, h(x, y)) = y. Así que f(x, h(x, 0)) = 0, y por lo tanto podemos escoger g(x) = h(x, 0). Es fácil calcular Dg(x) para cada x U: Como f(x, g(x)) = 0, f i (x, g(x)) = 0 para cada i = 1, 2,..., m. Calculando la j-ésima derivada parcial utilizando la regla de la cadena, m (3.4) D j f i (x, g(x)) + D n+l f i (x, g(x))d j g l (x) = 0. l=1 Ahora bien, 3.4 es un sistema lineal con m ecuaciones y m variables, y, además, det ( D n+l f i (x, g(x)) ) i,l 0. Así que podemos resolver, de forma unívoca, para cada D j g l (x). Veamos esto a través de un ejemplo. Ejemplo Consideremos la ecuación x 2 y + 2xy 2 = 0, alrededor del punto (1, 1). Como D 2 f(1, 1) = x 2 + 4xy 0, (1,1) la ecuación define implícitamente y como función de x, digamos y = g(x), en una vecindad de (1, 1). Sean Entonces es decir f(x, y) = x 2 y + 2xy 2 y F (x) = f(x, g(x)). de donde obtenemos que Usualmente se escribe F (x) = D 1 f(x, g(x)) + D 2 f(x, g(x))g (x) = 0, (2xg(x) + 2g(x) 2 + (x 2 + 4xg(x))g (x) = 0, g (x) = 2xg(x) + 2g(x)2 x xg(x) dy + 2y2 = 2xy dx x 2 + 4xy.

16 40 3. Diferenciabilidad El Teorema de la Función Implícita, a través de la ecuación (3.3), implica que la función f es localmente una proyección sobre el espacio R m. Este resultado es conocido como el Teorema del Rango. Recordemos que, si M es una matriz de n m, su rango ρ(m) es el número máximo de columnas linealmente independientes de M. Es decir, la dimensión de su imagen en R m. Teorema 3.28 (Rango). Sea f : R n R m continuamente diferenciable alrededor de x 0 y f(x 0 ) = 0. Suponemos que m n y que f (x 0 ) tiene rango igual a m. Entonces existe un abierto U R n, x 0 U, y una función Ψ : U R n diferenciable tal que f Ψ(x 1,..., x n ) = (x n m+1,..., x n ). Demostración. Como ρ(f (x 0 )) = m, f (x 0 ) tiene m columnas linealmente independientes, digamos las columnas j 1 < j 2 <... < j m. Sea g : R n R n una permutación tal que (x 1, x 2,..., x n ) = g(..., x j 1,..., x jm ). Es decir, g manda las últimas m coordenadas de cada punto en R n a las coodernadas j 1,..., j m. Entonces f g : R n m R m R m satisface las hipótesis del Teorema de la Función Implícita, así que existe H : R n R n tal que f g H(x 1,..., x n ) = (x n m+1,..., x n ). Nota que H es de la forma (x, x ) (x, h(x, x )), como en la ecuación (3.3). Entonces tomamos Ψ = g H. 5. Derivadas de orden mayor Si la función f : R n R m es diferenciable, las derivadas parciales D i f(x) existen, y pueden ser ellas mismas diferenciables. Si cada D i f(x) es diferenciable, entonces sus derivadas parciales existen y se denominan derivadas parciales de segundo orden de f. Éstas se denotan por D ij f(x) = D j (D i f)(x). Similarmente, las derivadas parciales de orden k se denotan por D i1 i 2...i k f(x) = D ik (D i2 (D i1 f))(x). En general, D ij f(x) D ji f(x), como lo muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo Sea f : R 2 R dada por xy(x 2 y 2 ) f(x, y) = x 2 + y 2 (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0).

17 5. Derivadas de orden mayor 41 Sus derivadas parciales están dadas por x 4 y + 4x 2 y 3 y 5 D 1 f(x, y) = (x 2 + y 2 ) 2 (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0), x 5 4x 3 y 2 xy 4 D 2 f(x, y) = (x 2 + y 2 ) 2 (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0). Para (x, y) (0, 0), Sin embargo, y D 12 f(x, y) = D 21 f(x, y) = x6 + 9x 4 y 2 9x 2 y 4 y 6 (x 2 + y 2 ) 3. D 12 f(0, 0) = h 0 D 1 f(0, h) D 1 f(0, 0) h = 1, D 2 f(h, 0) D 2 f(0, 0) D 21 f(0, 0) = = 1, h 0 h por lo que D 12 f(0, 0) D 21 f(0, 0). Nota que, en el ejemplo anterior, D 12 f y D 21 f no son continuas en (0, 0). De hecho, ni siquiera tienen limite en (0, 0). Sin embargo, tenemos el siguiente el teorema. Teorema Si D ij f y D ji f existen en una vecindad de x 0 y son continuas en x 0, entonces D ij f(x 0 ) = D ji f(x 0 ). Demostración. Suponemos primero que f : R 2 R, i = 1, j = 2, y definimos F : R 2 R, por Tenemos entonces que F (x) = f(x 0 + x). D 1 F (0) = D 1 f(x 0 ), D 2 F (0) = D 2 f(x 0 ) D 12 F (0) = D 12 f(x 0 ), D 21 F (0) = D 21 f(x 0 ). Si definimos G : R 2 R por G(x 1, x 2 ) = F (x 2, x 1 ), D 1 G(0) = D 2 F (0) y D 12 G(0) = D 21 F (0). Queremos demostrar entonces que D 12 G(0) = D 12 F (0). En búsqueda de una contradicción, suponemos que es falso y, sin pérdida de generalidad, D 12 F (0) > D 12 G(0).

18 42 3. Diferenciabilidad Como ambas derivadas son continuas en (0, 0), existe un rectángulo R = [ ε, ε] [ ε, ε] tal que para x R. Entonces D 12 F (x) D 12 G(x) > 0 D 2 (D 1 (F G))(x 1, x 2 ) > 0 para (x 1, x 2 ) [ ε, ε] [ ε, ε], así que x 2 D 1 (F G)(x 1, x 2 ) es estrictamente creciente en [ ε, ε] para cada x 1 [ ε, ε]. En particular, tenemos que D 1 (F G)(x 1, ε) > D 1 (F G)(x 1, ε). Si definimos H : [ ε, ε] R por H(x 1 ) = (F G)(x 1, ε) (F G)(x 1, ε), H (x) > 0 en [ ε, ε], por lo que es estrictamente creciente en [ ε, ε] y entonces (3.5) H(ε) > H( ε). Pero y H(ε) = F (ε, ε) G(ε, ε) F (ε, ε) + G(ε, ε) H( ε) = F ( ε, ε) G( ε, ε) F ( ε, ε) + G( ε, ε), y, como G(x 1, x 2 ) = F (x 2, x 1 ), H(ε) = F (ε, ε) + F ( ε, ε) = H( ε) = F ( ε, ε) F (ε, ε), por lo que H(ε) = H( ε), lo cual es una contradicción con (3.5). En el caso general, definimos φ : R 2 R por i-ésimo jésimo φ(u, v) = f(x 1 0,..., {}}{{}}{ u,..., v,..., x n 0 ). Entonces D ij f(x 0 ) = D 12 φ(x i 0, xj 0 ) y D jif(x 0 ) = D 21 φ(x i 0, xj 0 ), y el teorema se sigue. Definición Decimos que f : R n R es de clase C k, k = 1, 2,..., y escribimos f C k, si las derivadas parciales de orden k D i1 i 2...i k f(x) existen y son continuas. Decimos que f es de clase C 0, o simplemente de clase C, y escribimos f C 0 (f C, respectivamente), si f es continua. Decimos que f es de clase C, denotado f C, si todas las derivadas parciales de cualquier orden existen. Es decir, f C k para todo k 1.

19 5. Derivadas de orden mayor 43 Ejemplo Sea, para k = 0, 1, 2,..., x k sen 1 f k (x) x x 0 0 x = 0. La diferenciabilidad de cada f k es descrita por la siguiente tabla. k En 0, f k es Clase 0 discontinua ninguna 1 continua C 2 diferenciable, f k no continua C 3 diferenciable con f k continua C1 4 f k diferenciable, f k no continua C1 5 f k continua, pero no diferenciable C 2 2n f (n 1) k diferenciable, pero f (n) k no continua C n 1 2n + 1 f (n) k continua, pero no diferenciable C n Sea f : R n R una función de clase C k. Definimos φ : R R por φ(t) = f(x 0 + t(x x 0 )) = f(x t(x 1 x 1 0),..., x n 0 + t(x n x n 0 )). Entonces φ(0) = f(x 0 ) y φ(1) = f(x). Como f C k (R n ), φ C k (R) y n k φ (k) (t) = D i1 i 2...i k f(x 0 + t(x x 0 )) (x i l x i l 0 ). i 1,i 2,...,i k =1 Por el teorema de Taylor, existe c [0, 1] tal que donde l=1 φ(1) = φ(0) + φ (0) φk 1 (0) (k 1)! + R k, R k = φk (c). k! Estas observaciones implican el siguiente teorema. Teorema Si f C k, x 0, x R n, entonces existe y entre x 0 y x tal que n (3.6) f(x) = f(x 0 ) + D i f(x 0 )(x i x i 0 ) donde i=1 1 (k 1)! R k (x) = 1 k! n i 1,i 2,...,i k =1 n i 1,i 2,...,i k =1 k 1 D i1 i 2...i k 1 f(x 0 ) (x i l x i l 0 ) + R k(x), D i1 i 2...i k f(y) l=1 k (x i l x i l 0 ). l=1

20 44 3. Diferenciabilidad Al polinomio de la ecuación (3.6) se le llama polinomio de Taylor alrededor de x 0 de f. Si f C, podemos calcular tantos sumandos como queramos, y a la serie así obtenida se le llama expansión de Taylor alrededor de x 0. Si esta serie converge a f(x), es decir R k (x) 0, en una vecindad de x 0, entonces decimos que f es analítica real en x 0. Ejemplo Sea f(x, y) = sen xy. Entonces f(0, 0) = 0, y D 1 f(x, y) = y cos xy, D 1 f(0, 0) = 0 D 2 f(x, y) = x cos xy, D 2 f(0, 0) = 0 D 11 f(x, y) = y 2 sen xy, D 11 f(0, 0) = 0 D 12 f(x, y) = cos xy xy sen xy, D 12 f(0, 0) = 1 D 21 f(x, y) = cos xy xy sen xy, D 21 f(0, 0) = 1 D 22 f(x, y) = x 2 cos xy, D 22 f(0, 0) = 0. Entonces, los primeros términos de la expansión de Taylor alrededor de (0, 0) de sen xy son 1 (1(x 0)(y 0) + 1(y 0)(x 0)) = xy. 2 Nota que coinciden con el primer término de la expansión de sen w, con w = xy. Si una función es de clase C, entonces no necesariamente es analítica. De hecho, es posible que la expansión converja a un ite distinto de f(x), como lo muestra que el siguiente ejemplo. Ejemplo Consideremos la función f : R R dada por f(x) = {e 1 x 2 x 0 0 x = 0. Entonces f es de clase C, pero f (k) (0) para todo k. Entonces la expansión Taylor de f alrededor de 0 es idénticamente 0, pero f(x) 0 para todo x 0.

21 Ejercicios 45 Ejercicios 1. Demuestra que las derivadas direccionales de f : R n R en x 0 satisfacen D tu f(x 0 ) = td u f(x 0 ), D u+v f(x 0 ) = D u f(x 0 ) + D v f(x 0 ) si f es diferenciable en x Decimos que f : R n R es homogénea de grado α si f(tx) = t α f(x), para x R n, t > 0. Si además f es diferenciable, muestra la fórmula de Euler n x i D i f(x) = αf(x). i=1 3. Si f : R n R es diferenciable y f(0) = 0, demuestra que existen g i : R n R tal que n f(x) = x i g i (x). 4. Demuestra la proposición Demuestra la proposición i=1 6. Sea A R n abierto y f : A R n inyectiva y continuamente diferenciable tal que det f (x) 0 para todo x A. Muestra que f(a) es abierto y f 1 : f(a) A es diferenciable. Muestra además que f(b) es abierto para todo B A abierto. 7. a) Sea f : R 2 R continuamente diferenciable. Muestra que f no es inyectiva. (Sugerencia: Considera la función g(x, y) = ( f(x, y), y ).) b) Generaliza este resultado a funciones continuamente diferenciables f : R n R m, con m < n. 8. a) Muestra que si f : R R satisface f (x) 0 para todo x R, entonces f es inyectiva. b) Sin embargo, muestra que f : R 2 R 2 dada por f(x, y) = (e x cos y, e y sen y) satisface det f (x, y) 0 para todo (x, y) R 2, pero no es inyectiva. 9. Sea f : R n R n continuamente diferenciable tal que existe c > 0 tal que f(x) f(y) c x y para todo x, y R n. Muestra que a) f es inyectiva; b) det f (x) 0 para todo x R n ; y

22 46 3. Diferenciabilidad c) f(r n ) = R n. (Sugerencia: Como en la demostración del Teorema de la Función Inversa, considera la función g(x) = y f(x) 2.) 10. Sea f : R R dada por f(x) = {e 1 x 2 x 0 0 x = 0. Muestra por inducción que, para x 0, k = 1, 2,..., f (k) (x) = P k(x) Q k (x) e donde P k y Q k son polinomos. Concluye que f C y f (k) (0) = 0 para todo k. 1 x 2,