Integral de ĺınea. Tema Caminos y curvas en IR n.

Transcripción

1 Tem 3 Integrl de ĺıne 3.1 minos y curvs en IR n. Definición 3.1 Se [, b] IR, diremos que α: [, b] IR n es un cmino en IR n si α es continu en [, b]. A los puntos α y αb de IR n los llmremos extremos del cmino. Si los extremos coinciden, es decir, si α αb, diremos que el cmino es cerrdo. Observción 3.2 Ls funciones α que determinn los cminos son funciones vectoriles de vrible rel, luego α es continu y diferencible si lo son sus funciones componentes. En este último cso, como ls componentes de α α 1,..., α n son funciones reles de vrible rel, son diferencibles si son derivbles y, en consecuenci, suele usrse l expresión α es derivble en lugr de decir diferencible y se escribe α t α 1 t,..., α nt. Ejemplos 3.3 L función α: [, 1] IR n dd por αt x + ty x es continu en [, 1], luego es un cmino en IR n. α x y α1 y, y l imgen de α en IR n es el segmento que une los puntos x e y de IR n. Suele denotrse por x y ó [[x, y]]. L función α: [, 2π] IR 2 definid por αt cos t, sen t es continu en [, 2π], por serlo sus funciones componentes, y α cos, sen cos 2π, sen 2π α2π. Luego es un cmino cerrdo en IR 2. Su imgen α[, 2π] son los puntos de l circunferenci unidd x 2 + y 2 1. Definición 3.4 Dos cminos α: [, b] IR n y β: [c, d] IR n se dice que son equivlentes, y se escribe α β, si existe un plicción biyectiv u: [c, d] [, b] continu en [c, d], de clse 1 en c, d y u t pr todo t c, d, tl que β α u en [c, d]. Not: Es clro que, si u es continu en [c, d] y u es continu y no se nul en c, d, l función es estrictmente creciente o estrictmente decreciente, luego u es inyectiv, por lo que bst con segurrse que u es supryeciv o sobreyectiv, es decir, que imgu [, b]. Además, si α β, tienen el mismo conjunto imgen pues α[, b] β[c, d]. Ejemplo 3.5 Los cminos α: [, 2π] IR 2 y β: [, π] IR 2, con αt cos t, sen t y βt cos 2t, sen 2t, son equivlentes. En efecto, l función u: [, π] [, 2π], dd por ut 2t, verific que α ut αut cos ut, sen ut cos 2t, sen 2t β t; es continu, de clse 1 y u t 2, pr todo t, π; y es biyectiv, pues si s [, 2π], existe t s 2 [, π] tl que ut 2t 2 s 2 s, luego es sobreyectiv. Proposición 3.6 L equivlenci de cminos verific ls siguientes propieddes Integrles de Líne y Superficie. 3

2 3.1 minos y curvs en IR n. Si α β, entonces β α b Si α β y β γ, entonces α γ. Demostrción: Si α β, entonces existe u: [c, d] [, b] tl que β α u. Por ser u continu y biyectiv en [c, d] existe l función invers continu y biyectiv u 1 : [, b] [c, d]; y por ser u de clse 1 y u t pr todo t c, d, por el teorem de l función invers, l función u 1 es de clse 1 y con derivd distint de cero en, b. Además, se verific que β u 1 α u u 1 α u u 1 α. b β α u y γ β v, entonces γ β v α u v α u v α w, donde w u v es continu y de clse 1 por ser composición de funciones continus y de clse 1. Además w t u vtv t pr todo t. Definición 3.7 Al conjunto de todos los cminos equivlentes entre sí y, más comúnmente, l imgen común de todos los cminos equivlentes, se le llm curv en IR n. De cd uno de estos cminos, se dice que es un prmetrizción de l curv o que l curv está descrit o recorrid por dicho cmino. Observción 3.8 Si α y β son equivlentes, l función u que d l equivlenci es estrictmente creciente o estrictmente decreciente, según que l derivd se positiv o negtiv. En consecuenci, pr u: [c, d] [, b], si u > entonces uc y ud b y si u <, se tiene que uc b y ud. Definición 3.9 Sen α y β cminos equivlentes con β α u. Si u > se dice que α y β son positivmente equivlentes y si u < se dice que son negtivmente equivlentes. Se dice entonces, que α y β recorren l curv en el mismo sentido si son positivmente equivlentes y en sentidos contrrios si son negtivmente equivlentes. Proposición 3.1 Se α: [, b] IR n, entonces el cmino α : [, b] IR n α t α + b t es negtivmente equivlente α. ddo por Demostrción: Se u: [, b] [, b] l función dd por ut + b t. L función u es continu, derivble y u t 1 pr todo t, b, luego l derivd es continu y u < en, b. Es sobreyectiv, pues cd c [, b] es imgen por u del punto + b c [, b], es decir, u + b c + b + b c c. omo α t α + b t αut pr todo t, los cminos α y α son negtivmente equivlentes Longitud de un curv. Se un curv prmetrizd por α: [, b] IR n, P { t < t 1 < < t m b} un prtición de [, b] y x i αt i IR n pr i,..., m. onstruimos l poligonl Π P que ps por los sucesivos puntos x i de. omo l longitud de cd segmento [[x k 1, x k ]] es x k x k 1, l longitud de tod l poligonl LΠ P m x k x k 1 k1 m αt k αt k 1 k1 Integrles de Líne y Superficie. 31

3 3.1 minos y curvs en IR n. αt 4 αt 3 αb αt 2 αt 1 α Fig Aproximción por poligonles. será un proximción por defecto l longitud de l curv. Si Q es un prtición de [, b] más fin que P, se verific que LΠ P LΠ Q, pues si t Q y no P se tiene que t i 1 < t < t i pr lgún i y, entonces, αt i αt i 1 αt i αt + αt αt i 1. Es decir, prticiones más fins producen mejores proximciones l longitud de l curv. Definición 3.11 Se un curv prmetrizd por α: [, b] IR n. Diremos que l curv es rectificble si existe M > tl que LΠ P M pr tod prtición P P[, b]. Existe, entonces, el vlor L, b LΠ P que llmremos longitud de l curv. sup P P[,b] Observción 3.12 Es obvio que l longitud no puede depender de l prmetrizción elegid. Si α β existe u tl que α β u y, pr cd prtición de [, b], los vlores s i ut i son un prtición de [c, d] tl que x i αt i βut i β s i ; y vicevers. Tmbién es clro que si < c < b, se tiene que L, b L, c + Lc, b. Proposición 3.13 Se un curv descrit por α: [, b] IR n. Si α es de clse 1, entonces es rectificble y L, b b α t dt. Demostrción: Se P P[, b], entonces LΠ P m αt k αt k 1 k1 cd intervlo [t k 1, t k ], existe e k [t k 1, t k ], tl que y, como α es derivble en αt k αt k 1 α e k t k t k 1. Luego LΠ P m α e k t k t k 1 k1 m α e k t k t k 1 k1 m α e k t k t k 1. Por otr prte, α : [, b] IR es continu por serlo α y, si m k y M k son respectivmente el mínimo y máximo de l función α en [t k 1, t k ], se tiene que m k α e k M k k1 Integrles de Líne y Superficie. 32

4 3.1 minos y curvs en IR n. de donde y, por tnto, m L α, P α e k t k t k 1 U α, P k1 b α sup L α, P P P[,b] sup LΠ P P P[,b] inf U α, P b α. P P[,b] Luego es rectificble. Además, como α es integrble por ser continu, l integrl superior e inferior coinciden, y se tiene que L, b b sup LΠ P α u du. P P[,b] Definición 3.14 Se un curv { rectificble descrit por α: [, b] IR n. L función, si t s: [, b] IR definid por st se denomin función longitud de L, t, si t > rco de l curv. Proposición 3.15 Se un curv descrit por α: [, b] IR n de clse 1, entonces st t α u du, pr cd t [, b]. b s es derivble en, b y s t α t, pr todo t, b. Demostrción: Aplicndo l proposición nterior cd intervlo [, t] con t b, se tiene que, pr cd t [, b], st L, t t α u du. b Por ser α continu y el teorem fundmentl del cálculo integrl. Observción 3.16 Si α es un prmetrizción de l curv y es derivble en t, el vector α t es un vector tngente l curv en el punto αt. El sentido de ese vector tngente indic el sentido del recorrido de l curv y l norm indic, en un cierto sentido, cuánto se curv cerc de ese punto. t 2 3 t 3 t 1 t 2 t 1 Ejemplo 3.17 Hllr l longitud y l función longitud de rco de l cicliode prmetrizd por α: [, 2π] IR 2 con αt t sen t, 1 cos t. En [, 2π], se tiene α t 1 cos t, sen t 21 cos t 2 sen t 2 2 sen t 2, luego t t st α u du 2 sen u 2 du 4 1 cos t 2 y L s2π 8. Integrles de Líne y Superficie. 33

5 3.2 Integrl de ĺıne pr funciones reles. 3.2 Integrl de líne pr funciones reles. Definición 3.18 Se un curv de IR n prmetrizd por α: [, b] IR n de clse 1 y ϕ: IR cotd. Se define l integrl de ϕ respecto l longitud de rco lo lrgo de y recorrid en el sentido ddo por α, como ϕ ϕ ds b ϕαts t dt b ϕαt α t dt. Proposición 3.19 Se un curv de IR n y ϕ: IR cotd. Si α: [, b] IR n y β: [c, d] IR n son dos prmetrizciones de equivlentes, entonces b ϕαt α t dt d c ϕβt β t dt. Es decir, l integrl no depende de l prmetrizción elegid. Demostrción: Si β t αut en [c, d], se tiene β t α utu t α ut u t, luego I d c ϕβt β t dt d c ϕαut α ut u t dt. Hciendo el cmbio u ut, se tiene que du u t dt. u t u t, uc y ud b, de donde Entonces, si u > se tiene que I d c ϕαut α ut u t dt b ϕαu α u du; y, si u <, se tiene que u t u t, uc b y ud, de donde d I c b ϕαut α ut u t dt ϕαu α u du b ϕαu α u du Aplicciones álculo de áres. Sen un curv en IR 2, prmetrizd por α: [, b] IR 2 de clse 1, y ϕ: IR un función cotd y positiv. Si considermos l curv {x, y, ϕx, y : x, y } de IR 3, el áre de l superficie verticl S encerrd entre y, viene dd por AS ϕ ϕ ds b ϕαt α t dt. Generlizndo esto, si ϕ 1, ϕ 2 : IR, con ϕ 1 ϕ 2 en, entonces el áre verticl S encerrdo entre ls curvs 1 {x, y, ϕ 1x, y : x, y } y 2 {x, y, ϕ 2x, y : x, y } es AS ϕ 2 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 ds b ϕ 2 αt ϕ 1 αt α t dt. Integrles de Líne y Superficie. 34

6 3.2 Integrl de ĺıne pr funciones reles. Fig Áre verticl entre curvs. Ejemplo 3.2 lculr el áre de l superficie S del cilindro x 2 + y 2 4 limitd por los plnos z y x + z 2. L curv bse de l superficie es {x, y : x 2 + y 2 4} y α: [, 2π] IR 2 con αt 2 cos t, 2 sen t un prmetrizción suy; l función ϕ: IR viene dd por l ltur de cd punto del plno x + z 2, es decir, ϕx, y z 2 x. Entonces AS ϕ ds 2π ϕαt α t dt 2π 2 2 cos t2 dt 8π Aplicciones l mecánic. Si considermos un lmbre delgdo que tiene l form de un curv rectificble en IR n n 2 ó n 3, α: [, b] IR n es un prmetrizción de y l densidd del lmbre en cd punto x viene ddo por un función ϕ: IR, entonces: l ms totl de lmbre se obtiene de M ϕx ds. El centro de ms del lmbre ξ ξ 1,..., ξ n, de ξ k 1 x k ϕx ds; pr cd 1 k n, con n 2 ó n 3. M El momento de inerci l girr lrededor de l rect L, por I L δ 2 xϕx ds, donde δx es l distnci del punto x l rect L. Ejemplo 3.21 Un lmbre tiene l form de l circunferenci x 2 + y 2 2. Determinr su ms y su momento de inerci respecto uno de sus diámetros, si l densidd en cd punto x, y es x + y. Un prmetrizción del lmbre es α: [, 2π] IR 2, donde αθ cos θ, sen θ, y ϕx, y x + y es l función densidd. Entonces, ϕαθ cos θ + sen θ y α θ sen θ, cos θ, luego M ϕx, y ds 2π π cos θ + sen θ dθ cos θ + sen θ dθ 8 2. Integrles de Líne y Superficie. 35

7 3.3 Integrl de ĺıne pr funciones vectoriles. Si tommos L el diámetro y, se tiene que δx, y y, luego I L δ 2 x, yϕx, y ds 2π sen θ 2 cos θ + sen θ dθ 2π 2π 4 sen 2 θ cos θ dθ + 4 sen 2 θ sen θ dθ π 3π 4 2 sen 2 2 2π θ cos θ dθ sen 2 θ cos θ dθ + sen 2 θ cos θ dθ+ π 3π 2 2 π 2π + sen 2 θ sen θ dθ sen 2 θ sen θ dθ 4 4. π 3.3 Integrl de líne pr funciones vectoriles. El trbjo relizdo por un cmpo de fuerzs f l mover un prtícul lo lrgo de un tryectori dd por α: [, b] IR n es T b fαt α t dt. En efecto, si l prtícul se desplz lo lrgo de l tryectori, es impulsd por l componente del cmpo en l dirección del vector tngente l curv en cd punto, y su vlor en cd punto se obtiene del producto esclr del vector fuerz con el véctor tngente normlizdo de norm 1, luego α t ϕαt fαt α t y, por tnto, el trbjo totl relizdo será T ϕ ds b α t b fαt α α t dt fαt α t dt. t Est plicción físic de l integrl de líne, nos sugiere extender l definición de integrl de líne ls funciones vectoriles. Definición 3.22 Un cmino α: [, b] IR n se llm regulr si α es de clse 1 en, b y α t pr todo t, b. Definición 3.23 Un cmino α: [, b] IR n se dice que es regulr trozos si existe un prtición P { t < t 1 < < t m b} de [, b] tl que l restricción de α cd uno de los intervlos [t k 1, t k ] es regulr. Observción 3.24 Si α: [, b] IR n es un cmino regulr trozos y P l prtición socid por l definición, podemos considerr α como un conctención de subcminos regulres cuy curv imgen qued construid pegndo trozos de curvs. Si P { t < t 1 < < t m b} y denotmos por α k α [tk 1,t k ] los subcminos, podemos describirlo usndo el símbolo pr indicr l conctención medinte l expresión α α 1 α 2 α m. Si β: [c, d] IR n es un cmino regulr trozos equivlente α, con β α u, entonces su prtición socid P es de l form P {c s < s 1 < < s m d}, donde us k t k si son positivmente equivlentes y us k t m k si son negtivmente equivlentes. Es decir, usndo l notción de conctención, Integrles de Líne y Superficie. 36

8 3.3 Integrl de ĺıne pr funciones vectoriles. β β 1 β 2 β m, donde β k α k u si son positivmente equivlentes y β k α m k u si son negtivmente equivlentes. Definición 3.25 Se α: [, b] IR n un cmino regulr trozos y α[, b] IR n. Si f: IR n es cotd, se define l integrl de líne de f lo lrgo de α por f f dα b siempre que l integrl del segundo miembro exist. fαt α t dt, Ejemplo 3.26 Se α: [, 2π] IR 2 definid por αt t sen t, 1 cos t y fx, y 2 y, x. Entonces, 2π f dα 2π 2π fαt α t dt 2π 1 + cos t, t sen t 1 cos t, sen t dt t sen t dt 2π. ft sen t, 1 cos t 1 cos t, sen t dt 2π 1 cos 2 t + t sen t sen 2 t dt Observción 3.27 Aunque en l construcción de est integrl de líne se indic l necesidd de que α de hí l introducción de los cminos regulres, l definición es válid y coherente pr cminos regulres trozos, pues el vlor de es integrl se obtiene como l sum de los vlores de integrles sobre cminos regulres. Es decir, si α: [, b] IR n es un cmino regulr trozos, con α α 1 α 2 α m se tiene que En efecto, b f dα t1 f dα fαt α t dt f dα 1 + t fαt α t dt + t1 t2 f dα f dα m t 1 fαt α t dt + + t1 fα 1 t α 1t dt + fα 2 t α 2t dt + + t t m f dα 1 + f dα f dα m f dα i. k1 m f dα i. k1 tm t m 1 fαt α t dt tm t m 1 fα m t α mt dt En consecuenci, los resultdos pr cminos regulres trozos, bstrá probrlos pr regulres, extendiendo el resultdo por linelidd cminos regulres trozos. Propieddes de l integrl de ĺıne 3.28 Sen α: [, b] IR n un cmino regulr trozos, f, g: α[, b] IR n cotds y λ, µ IR. λf + µg dα λ f dα + µ g dα. Integrles de Líne y Superficie. 37

9 3.3 Integrl de ĺıne pr funciones vectoriles. b Si < c < b y α 1 α [,c] y α 2 α [c,b], entonces f dα f dα 1 + f dα 2 Demostrción: λf + µg dα λ b b b b b Ver l observción 3.27 nterior. λfαt + µgαt α t dt λfαt α t + µgαt α t dt b λfαt α t dt + fαt α t dt + µ b µgαt α t dt gαt α t dt λ f dα + µ g dα. Proposición 3.29 Sen α: [, b] IR n y β: [c, d] IR n cminos regulres trozos, dos prmetrizciones de un curv. Entonces, pr culquier función f: IR n se tiene que f dα ± f dβ según que α y β sen positiv o negtivmente equivlentes. Demostrción: Se αt β ut y supongmos que α y β son regulres, pues si no lo fuern bst con dividir l integrl de líne en sum de integrles donde si son regulres. Entonces, b b f dα fαt α t dt fβut β utu t dt b fβut β ut c u t dt I Hciendo el cmbio u ut, se tiene que du u tdt. Entonces, si u > se tiene que u c y ub d, de donde d I fβ u β u du f dβ ; y, si u <, se tiene que u d y ub c, de donde c d I fβu β u du fβu β u du f dβ. d c Ejemplo 3.3 lculr l integrl de líne de fx, y, z yz, xz, yx + x lo lrgo del triángulo de vértices,,, 1, 1, 1, b 1, 1, 1 recorrido en ese sentido. Por ls propieddes nteriores, si α 1 es un prmetrizción del segmento [[, ]], α 2 un prmetrizción del segmento [[, b]] y α 3 un prmetrizción del segmento [[b, ]], entonces, f dα f dα 1 + f dα 2 + f dα 3 omo α 1 : [, 1] IR 3, con α 1 t t t, t, t; α 2 : [, 1] IR 3, con α 2 t +tb 1 2t, 1, 1 2t; y α 3 : [, 1] IR3, con α 3 t tb t, t, t, se tiene que f dα f dα 1 + f dα 2 f dα 3 3t 2 +t dt + 12t 6 dt 3t 2 +t dt. Integrles de Líne y Superficie. 38

10 3.4 Teorems fundmentles de ls integrles de ĺıne. 3.4 Teorems fundmentles de ls integrles de líne. Recordemos que si S IR n es bierto y ϕ: S IR es un función que dmit derivds prciles en cd punto de S, l función ϕ : S IR n dd por ϕ x D 1 ϕx, D 2 ϕx,..., D n ϕx ϕ x 1 x, ϕ x 2 x,..., ϕ x n x se denomin función grdiente de ϕ y se denot hbitulmente por ϕ ó grd ϕ. Definición 3.31 Se f: S IR n. Se dice que f es un grdiente en S, si existe un función ϕ: S IR tl que fx ϕx, x S. De ϕ, se dice entonces que es un función potencil de f en S. Definición 3.32 Se dice que un conjunto S IR n es conexo si no existen dos biertos disjuntos A 1 y A 2 tles que A 1 S, A 2 S S A 1 A 2. Se dice que un conjunto S IR n es conexo por rcos si pr cd pr de puntos x, y S existe un cmino que los une cuy imgen está contenid en S. Es decir, si existe un cmino α: [, b] IR n tl que α x, αb y y α[, b] S. Not: Todo conjunto conexo por rcos es tmbién conexo pero no l revés, sin embrgo, un conjunto bierto y conexo es conexo por rcos. Segundo teorem fundmentl de ls integrles de ĺıne 3.33 Se S IR n bierto y conexo luego conexo por rcos y ϕ: S IR de clse 1 en S. Entonces, pr todo pr de puntos x, y S y todo cmino regulr trozos α, cuy imgen esté contenid en S, que un x con y se tiene que ϕ dα ϕy ϕx. Demostrción: Se α: [, b] IR n con α x, αb y y α[, b] S y supongmos que α es regulr. onsideremos l función g: [, b] IR definid por gt ϕ αt. L función g es de clse 1 por ser composición de funciones de clse 1 y, pr cd t [, b], g t ϕαt α t es continu. Entonces, b b ϕ dα ϕαt α t dt g t dt gb g ϕαb ϕα ϕy ϕx. Si α es regulr trozos y α α 1 α 2 α m, plicndo lo nterior cd un de ls curvs α k regulres y teniendo en cuent que el punto finl de l curv dd por α k es el punto inicil de l curv dd por α k+1, se obtiene el resultdo. Ejemplo 3.34 Se fx, y, z yz, xz, xy y el segmento que une los puntos 1, 1, 1 y b 2,, 5. lculr f. Pr ϕx, y, z xyz, se tiene que ϕx, y, z yz, xz, xy fx, y, z, pr todo punto de IR 3, luego f ϕ ϕb ϕ 1 1. Integrles de Líne y Superficie. 39

11 3.4 Teorems fundmentles de ls integrles de ĺıne. Definición 3.35 Se S IR n un conjunto bierto y conexo y f: S IR n continu. Se dice que l integrl de líne de f es independiente del cmino en S, si pr todo pr de puntos x, y S y culesquier cminos α: [, b] IR n y β : [c, d] IR n en S que unn x con y, se verific que f dα f dβ. Primer teorem fundmentl 3.36 Sen S IR n, bierto y conexo, y f: S IR n continu. Supongmos que l integrl de líne de f es independiente del cmino en S, entonces existe un función ϕ: S IR de clse 1 tl que ϕx fx, pr todo x S. Demostrción: Se x un punto fijo de S. Pr cd x S considermos l función ϕx f dα x, donde α x es un cmino regulr trozos en S que une x con x. El cmino α x existe pr todo x por ser S conexo por rcos. ϕ está bien definid, pues l integrl es independiente del cmino en S, y sólo depende del punto x. Vemos que D k ϕx f k x, pr cd x S y pr cd k 1,..., n: ϕx + he k ϕx 1 D k ϕx lim lim f dα x+hek h h h h f dα x. Ahor bien, como S es bierto, existe δ > tl que el Ex, δ S y pr los h IR tles que < h < δ el segmento que une el punto x con x + he k está contenido en Ex, δ S ; si prmetrizmos dicho segmento por α h : [, 1] IR n, con α h t x + the k y α h t he k, como l integrl es independiente del cmino en S podemos tomr α x+hek α x α h y entonces ϕx + he k ϕx 1 h h 1 1 h 1 h h f dα x + f dα h fx + the k he k dt 1 h f k x + ue k du f dα x 1 f dα h h 1 f k x + the k h dt { } th u hdt du tomndo límites y teniendo en cuent que l función f k es continu y, entonces, es derivble su función integrl, se tiene ϕx + he k ϕx D k ϕx lim h h lim h h f k x + ue k du h En consecuenci, ϕ f en S y, como f es continu, ϕ es de clse 1. f k x + he k lim h 1 f k x. Ejemplo 3.37 Se sbe que l función fx, y, z yz, xz, xy es independiente del cmino en IR 3. Encontrr ϕ tl que ϕ f en IR 3. Se,, fijo y se, pr cd x x, y, z en IR 3, α x : [, 1] IR 3 definid por α x t + tx tx tx, ty, tz. Entonces 1 1 ϕx f dα x ftx, ty, tz x, y, z dt tytz, txtz, txty x, y, z dt 1 t 2 xyz + t 2 xyz + t 2 xyz dt 1 3t 2 xyz dt xyz 1 3t 2 dt xyz. Integrles de Líne y Superficie. 4

12 3.4 Teorems fundmentles de ls integrles de ĺıne. Proposición 3.38 Se S IR n bierto y conexo por rcos y f: S IR n continu. Entonces, son equivlentes los siguientes sertos: L integrl de líne de f es independiente del cmino en S. b Existe ϕ: S IR de clse 1 tl que ϕ f en S. c L integrl de líne de f lo lrgo de culquier cmino en S cerrdo y regulr trozos es cero. Demostrción: b Es el primer teorem fundmentl. b c Por el segundo teorem fundmentl, f dα ϕ dα ϕx ϕx. c Se α: [, b] IR n y β: [c, d] IR n dos cminos en S regulres trozos que unen x con y. El cmino β t βc + d t que recorre l mism curv que β pero en sentido contrrio, une el punto y con x, luego el cmino γ α β es un cmino cerrdo regulr trozos. Entonces, f dγ f dα + f dβ f dα f dβ. En consecuenci, f dα f dβ y l integrl es independiente del cmino en S Estudio de l función potencil. ondición necesri pr l existenci 3.39 Sen S IR n bierto, f: S IR n de clse 1 y ϕ: S IR n tl que ϕ f en S. Entonces, si f f 1,..., f n, pr todo x S y pr todos i, j, se verific que D i f j x D j f i x. Demostrción: omo f es de clse 1 en S, ϕ es de clse 2 en S y, por el teorem de Schwrtz, se tiene que D ij ϕx D ji ϕx pr todo x y todos i, j. Luego D i f j x D i D j ϕx D ji ϕx D ij ϕx D j D i ϕx D j f i x. Ejemplos 3.4 L función f: IR 3 IR 3 dd por fx, y, z yz, xz, xy es un grdiente en IR 3, es de clse 1 y se verific, pr todo x, y, z IR 3, que D 1 f 2 x, y, z z D 2 f 1 x, y, z z D 1 f 3 x, y, z y D 3 f 1 x, y, z y D 2 f 3 x, y, z x D 3 f 2 x, y, z x. Por otr prte, l función f: IR 3 IR 3 dd por fx, y, z y, z, x, no puede ser un grdiente en IR 3, puesto que f es de clse 1 y D 1 f 2 x, y, z D 2 f 1 x, y, z 1. Observción 3.41 L condición nterior es necesri pero no es suficiente, como puede verse en el siguiente contrejemplo ontrejemplo.- Se S IR 2 {, } y f: S IR 2 definid por fx, y y x,. x 2 +y 2 x 2 +y 2 Integrles de Líne y Superficie. 41

13 3.4 Teorems fundmentles de ls integrles de ĺıne. L función f es de clse 1 en S y se verific que D 1 f 2 x, y y2 x 2 x 2 +y 2 2 D 2 f 1 x, y, pr todo x, y S. Sin embrgo, pr est función no puede existir función potencil y que si tommos es S el cmino cerrdo α: [, 2π] IR 2, con αt cos t, sen t, se tiene que f dα 2π fαt α t dt 2π sen t, cos t sen t, cos t dt 2π 1 dt 2π Definición 3.42 Un conjunto S IR n se dice que es convexo si pr culesquier x, y S el segmento que los une está contenido en S. Es decir, si l imgen del cmino α: [, 1] IR n ddo por αt x + ty x está contenid en S. ondición suficiente pr l existenci 3.43 Sen S IR n bierto y f: S IR n de clse 1. Si S es convexo y D i f j D j f i en S pr todos i, j, entonces existe ϕ: S IR de clse 2 tl que ϕ f en S. Demostrción: Se S. Pr cd x de S, el segmento que une y x está contenido en S y es l imgen del cmino α: [, 1] IR n con αt + tx. Definimos entonces, l función ϕ: S IR por ϕx f dα 1 fαt α t dt 1 f + tx x dt onsideremos ψx, t f + tx x con ψ: S [, 1] IR, luego ϕx 1 ψx, t dt. omo D k ψx, t existe pr todo k y es ] D k ψx, t D k [f + tx x ] ] D k [f + tx x + f + tx D k [x por l regl de l cden se tiene que ] f + tx D k [ + tx como D k x i i si i k y D k x k k 1 nos qued ] x + f + tx D k [x f + tx te t k x + f + tx e k t D k f 1 + tx,..., D k f n + tx x + f k + tx usndo l condición necesri, D i f j D j f i en S, t D 1 f k + tx,..., D n f k + tx x + f k + tx t f k + tx x + f k + tx, l función D k ψx, t es continu por ser f de clse 1 en S. Se, entonces, A un rectángulo, con x A S, tl que D k ψx, t es continu en A [, 1], por l proposición 2.7 sobre integrles dependientes de un prámetro, pr todo k, existe D k ϕx y D k ϕx 1 D k ψx, t dt 1 t f k + tx x + f k + tx dt. Integrles de Líne y Superficie. 42

14 3.4 Teorems fundmentles de ls integrles de ĺıne. Si llmmos gt f k + tx, l función g: [, 1] IR es de clse 1 por serlo f k g t f k + tx x. Luego 1 1 { } 1 D k ϕx tg t + gt dt tg u t, dv g t dt + gt dt tdt du dt, v gt tgt ] 1 1 gt dt + En consecuenci, ϕ f en S. 1 gt dt g1 f k + 1x f k x. y Ejercicio 3.44 Demostrr que l función f: IR 3 IR 3 dd por fx, y, z y 2 cos x + z 3, 2y sen x 4, 3xz es un grdiente en IR 3 y determinr un función potencil de f. f es de clse 1 en IR 3 que es convexo y D 1 f 2 x, y, z x 2y sen x 4 2y cos x y y2 cos x + z 3 D 2 f 1 x, y, z D 1 f 3 x, y, z x 3xz z 2 z y2 cos x + z 3 D 3 f 1 x, y, z D 2 f 3 x, y, z y 3xz2 + 2 z 2y sen x 4 D 3f 2 x, y, z. Luego existe ϕ: IR 3 IR 3 tl que ϕ f. Pr clculr ϕ, como existe, podemos hcerlo de l siguiente mner: ϕ debe verificr que D 1 ϕx, y, z y 2 cos x + z 3, luego considerndo y y z como constntes, debe ser un primitiv de est, es decir, ϕx, y, z y 2 cos x + z 3 dx y 2 sen x + z 3 x + hy, z siendo hy, z constnte respecto x l constnte de integrción. ϕ tmbién debe verificr que D 2 ϕx, y, z 2y sen x 4, luego debe verificrse que 2y sen x 4 y y2 sen x + z 3 x + hy, z 2y sen x + y hy, z. Por tnto, y hy, z 4 y considerndo z como constnte, hy, z debe ser un primitiv de 4, es decir, hy, z 4 dy 4y + kz siendo kz constnte respecto y l constnte de integrción. Luego ϕx, y, z y 2 sen x + z 3 x + hy, z y 2 sen x + z 3 x 4y + kz. Por último, ϕ tmbién debe verificr que D 3 ϕx, y, z 3xz 2 + 2, luego debe verificrse que 3xz z y2 sen x + z 3 x 4y + kz 3z 2 x + z kz. Por tnto, z kz k z 2 y por consiguiente, kz 2 dz 2z + siendo IR l constnte de integrción. Se tiene entonces que ϕx, y, z y 2 sen x + z 3 x 4y + kz y 2 sen x + z 3 x 4y + 2z +. Integrles de Líne y Superficie. 43

15 3.5 Teorem de Green Otrs notciones. Es bstnte común l notción medinte forms diferenciles, en el siguiente sentido: Si denotmos por dx igulmente pr dy y dz l diferencil de l función proyección sobre l vrible π x x, y, z x igulmente π y x, y, z y y π z x, y, z z, el diferencil de culquier función ϕ diferencible, se puede expresr en l form dϕ ϕ ϕ ϕ dx + dy + x y z dz es decir, medinte sus coordends en l bse {dx, dy, dz}. Entonces, cd cmpo vectoril f f 1, f 2, f 2 se le puede socir un form diferencible f f 1 dx + f 2 dy + f 3 dz y, se dice que f es exct, o dmite primitiv, si existe un función diferencible ϕ tl que dϕ f. on est notción, si α: [, b] IR 3 es un cmino regulr trozos, y l imgen de α, se define l integrl curvilíne lo lrgo de un cmino por f f 1 x, y, z dx + f 2 x, y, z dy + f 3 x, y, z dz pero esto no es más que b b b 3.5 Teorem de Green. f 1 αtα 1t dt + f 2 αtα 2t dt + f 3 αtα 3t dt f 1 αt, f 2 αt, f 3 αt α 1t, α 2t, α 3t dt fαt α t dt f dα. Definición 3.45 Se un curv prmetrizd por α: [, b] IR n. Diremos que l curv es simple si αt 1 αt 2 cundo t 1 t 2, pr todo t 1, b y t 2 [, b]. Es decir, si l curv no se cort si mism slvo en los extremos cundo es un curv cerrd. Teorem de Green 3.46 Se un curv simple, cerrd y regulr trozos de IR 2, A el conjunto encerrdo por y f: A IR 2 de clse 1. Entonces, si α: [, b] IR n es un cmino regulr trozos que recorre en sentido positivo ntihorrio, se verific que f f dα D 1 f 2 x, y D 2 f 1 x, y dx dy. A Ejemplo 3.47 lculr l integrl de líne de l función fx, y y 2, x lo lrgo de l fronter del cudrdo A [ 1, 1] [ 1, 1], recorrid en sentido positivo. L fronter del cudrdo form un curv simple cerrd y regulr 1 trozos, l función f es de clse 1 en IR 2, luego en A fra. Entonces, si α es un prmetrizción de fra, A fra f f dα A 1 2y dx dy A D 1 f 2 x, y D 2 f 1 x, y dx dy y dy dx Integrles de Líne y Superficie. 44

16 Ejercicio 3.48 Se fx, y y x,. lculr l integrl x 2 +y 2 x 2 +y 2 es un curv cerrd que no rode l origen ni ps por él. b es un curv cerrd que rode n veces l origen. L función f es de clse 1 en IR 2 {, } y verific que D 1 f 2 x, y y2 x 2 x 2 + y 2 2 D 2f 1 x, y 3.5 Teorem de Green. f, cundo: Si es simple, consideremos A el conjunto encerrdo por y. omo no rode l origen, l función f es de clse 1 en A IR 2 {}, luego por el teorem de Green, f D 1 f 2 x, y D 2 f 1 x, y dxdy dxdy A A Si, no es simple, puede descomponerse en curvs cerrds y simples y, plicndo cd un de ells lo nterior, tmbién l integrl es cero. b Si es simple, como rode l origen, f no es de clse uno en A y, por tnto, no puede plicrse Green. Sin embrgo, consideremos un circunferenci H centrd en el origen de rdio tl que esté totlmente encerrd por y consideremos los segmentos del eje de bciss, α y β, que están entre mbs curvs, como en l figur siguiente. Sen A 1 y A 2 los conjuntos encerrdos, respectivmente por ls curvs γ 1 y γ 2 formds por 1 A 1 γ 1 1 α H1 β H γ 2 2 β H2 1 α, donde por α, β, H1 y H2 denotmos ls 3 H 2 curvs α, β, H 1 y H 2 pero recorrids en sentido contrrio. Entonces, como ls curvs no 2 A 2 roden l origen, plicndo l prte nterior, se tiene que f f ; luego que f + f, de donde f + 1 f + 1 f + 1 f + f + f + f + H 1 2 H 2 f f f + f H 1 2 f H 2 f f f f f f. 2 H 1 H 2 H Luego l integrl de f en coincide con l integrl en H recorrids en el mismo sentido y entonces, como α: [, 2π] IR 2 con αθ r cos θ, r sen θ, es un prmetrizción de H, se tiene que 2π f f H r sen θ r 2, r cos θ 2π r 2 r sen θ, r cos θ dθ 1 dθ 2π. 3 Integrles de Líne y Superficie. 45

17 3.6 Ejercicios. Por consiguiente, si d n vuelts lrededor del origen, puede descomponerse en n trozos simples cd uno de ellos dndo un vuelt lrededor del origen, luego se tiene que f n 2π 2nπ. 3.6 Ejercicios. 3.1 L form del muro que rode un estdio circulr se h diseñdo cortndo el cilindro con bse l circunferenci del estdio, x 2 + y 2 4, con el cilindro prbólico z x lculr l superficie de dicho muro. 3.2 lculr el áre de l superficie del cilindro x 2 + y 2 2x limitd por el cono circulr z 2 x 2 + y Hllr l ms, el centro de mss y los momentos de inerci respecto los ejes coordendos, de un muelle que tiene l form de l hélice descrit por l función α: [, 2π] IR 3 dd por αt cos t, sen t, 2t y cuy densidd es homogéne, b proporcionl l cudrdo de su distnci l origen. 3.4 Se fx, y, z x, y, xz y. lculr l integrl de líne de f lo lrgo del segmento de extremos,, y 1, 2, Sen α: [, π] IR 2, dd por αt cos 2t, sen 2t, y β: [ π, π] IR 2, dd por βt cosπ t, senπ t, y se f: IR 2 IR 2 definid por fx, y y, x. Probr que α y β son negtivmente equivlentes y comprobr clculndo dichos vlores que f dα f dβ. 3.6 lculr l integrl de líne de l función fx, y lnx 2 + y 2, rctg y x lo lrgo de l fronter del conjunto A {x, y : y x, 4 x 2 + y 2 9} recorrid en sentido positivo. 3.7 Se fx, y x y,. lculr f, donde es un curv cerrd que no ps x 2 +y 2 x 2 +y 2 por el origen y está recorrid en sentido negtivo. 3.8 lculr f siendo fx, y 2x 2 + 3y 2, 4xy y el cmino cerrdo formdo medinte ls curvs y, x 2 + y 2 2x e y 2 x situds en el primer cudrnte y recorrido en sentido positivo. 3.9 Un fluido se desplz en el plno XY de modo que cd prtícul se mueve en line rect desde el origen. Si un prtícul está distnci r del origen, el módulo de su velocidd es v r 3, donde > es un constnte. Probr que l velocidd es un grdiente en IR 2 y determinr un función potencil de v. 3.1 Probr que si l curv es l fronter del conjunto A, entonces xdy ydx AA. 2 Aplicr este resultdo pr encontrr el áre encerrdo por l crdioide r 1 + cos θ con θ [, 2π]. Integrles de Líne y Superficie. 46