Ximo Beneyto. Apuntes. Gènius, a good idea in Maths Ximo Beneyto APUNTES. Tema : Derivabilidad. Teorema de Rolle.

Transcripción

1 Apuntes Gènius, a good idea in Maths

2 1. Dada la función f(x) = x 3-3x + 2, comprobar si cumple el Teorema de Rolle en el interval [-2, 1] y, en caso afirmativo, hallar "c". Sea f(x) = x 3-3x + 2 y el intervalo [-2, 1] Comprobando las hipótesis del teorema. f(x) es una función POLINÓMICA Y f(x) es CONTINUA en [-2, 1] f'(x) = 3x 2-3 Y f'(x 0 ) = 3x œ x 0 0 ]-2, 1[ Y f(x) es DERIVABLE en ]-2, 1[ Y f(x) cumple el teorema de Rolle en [-2, 1] Y c 0 ]-2, 1[ / f'(c) = 0 Hallando "c" Puesto que f'(x) = 3x 2-3 Y 3x 2-3 = 0 Y x = ± 1, puesto que el valor de c debe pertenecer al intervalo ]-2, 1[, c = Dada la función f(x) =, comprobar si cumple el Teorema de Rolle en [0, 2] y, en caso afirmativo, hallar el valor "c". Sea f(x) = y el intervalo [0, 2] Comprobando las hipótesis del teorema. Excepto si x 0 = 1, valor para el cual no existe f'(1) Y f(x) no es derivable en ]0, 2[ f(x) = no cumple el Teorema de Rolle en el intervalo [0, 2] 3. La función alcanza valores iguales en los extremos del intervalo [-1, 1], en cambio, f'(x) no se anula para ningún valor de ]-1, 1[. Contradice

3 este hecho el Teorema de Rolle?. Comentar el resultado. En efecto y tanto -2 como 2 no pertenecen a ]-1, 1[. De la fórmula obtenida para f'(x), f'(0) no existe y, puesto que 0 0 ]-1, 1[, f(x) no es derivable en ]-1, 1[ y no cumple la hipótesis del teorema de Rolle Hecho éste que no nos permite afirmar que no vaya a tener soluciones f'(x) = 0 en ]-1, 1[, pues recordemos que no cumplir las hipótesis de un teorema no significa necesariamente que no se vaya a cumplir su tesis. 4. Demostrar que, para cualquier valor de m 0 ú, la función f(x) = x 3-3x + m, no puede tener dos raíces reales distintas en el intervalo [0, 1] Razonaremos por reducción al absurdo Vamos a suponer dos valores a,b 0 [0,1] a b que sean CEROS de la función, es decir, f(a) = 0 y f(b) = 0. Ordenemos, 0 # a < b # 1, por ejemplo, y consideremos la función f(x) = x 3-3x + m, en el intervalo [a,b]. f(x) es una función POLINÓMICA Y f(x) es continua en [a, b] f'(x) = 3x 2-3 Y f'(x 0 ) = 3-3 œ x 0 0 ]a, b[ Y f(x) es DERIVABLE en ]a, b[ f(a) = 0 f(b) = 0 => f(a) = f(b) 0. Por lo tanto f(x) cumple el teorema de Rolle en [a,b] Y c 0 ]a, b[ / f'(c) = Pero f'(x) = 3x 2-3 ; si 3x 2-3 = 0 ] x = ± 1 y, tanto los valores x = -1 como x = 1 ó ]a, b[ d ] 0, 1[ Rolle ( Recordemos 0 # a < b # 1 ), lo cual contradice la tesis del teorema de Y La suposición es absurda y, por tanto, œ m 0 ú f(x) = x 3-3x + m no puede tener dos raíces distintas en ]0,1[ [ Tal vez era impensable emplear el Teorema de Rolle en este problema ]

4 5. Dada la función f(x) = xa(x-1)a(x-2)a(x-3), demostrar que la ecuación f'(x) = 0 tiene exactamente tres raíces reales. Obviamente, la primera idea sería desarrollar f(x), hallar f'(x) y resolver f'(x) = 0 por las técnicas habituales. Pero f'(x) = 0 tiene alguna dificultad para obtener sus raíces, por tanto, buscaremos otro razonamiento. Puesto que buscamos raíces de la derivada, trataremos de razonar mediante el teorema de Rolle. Apoyándonos en las raíces de f(x), x = 0, x = 1, x = 2, x = 3 construiremos los intervalos, asegurándonos de esta manera que en sus extremos la función coincidirá. i) Sea f(x) = xa(x-1)a(x-2)a(x-3) y el intervalo [0, 1] f(x) es una función POLINÓMICA Y f(x) es CONTINUA en [0, 1] f(x) es una función POLINÓMICA Y f'(x 0 ) existe œ x 0 0 ]0, 1[ y f(x) es DERIVABLE en ]0, 1[ 0 Y f(x) cumple el teorema de Rolle en [0, 1] Y c 1 0 ]0, 1[ / f'(c 1 ) = Y c 1 0 ]0, 1[ es una raíz real de la ecuación f'(x) = 0 ii) Sea la función f(x) = xa(x-1)a(x-2)a(x-3), y el intervalo [1,2] f(x) es una función POLINÓMICA Y f(x) es CONTINUA en [1, 2] f(x) es una función POLINÓMICA Y f'(x 0 ) existe œ x 0 0 ]1, 2[ y f(x) es DERIVABLE en ]1, 2[ Y f(x) cumple el teorema de Rolle en [1, 2] Y c 2 0 ]1, 2[ / f'(c 2 ) = 0

5 Y c 2 0 ]1, 2[ es una raíz real de la ecuación f'(x) = 0 iii) Sea la función f(x) = xa(x-1)a(x-2)a(x-3), y el intervalo [2,3] f(x) es una función POLINÓMICA Y f(x) es CONTINUA en [2, 3] f(x) es una función POLINÓMICA Y f'(x 0 ) existe œ x 0 0 ]2, 3[ y f(x) es DERIVABLE en ]2, 3[ Y f(x) cumple el teorema de Rolle en [2, 3] Y c 3 0 ]2, 3[ / f'(c 3 ) = 0 Y c 3 0 ]2, 3[ es una raíz real de la ecuación f'(x) = 0 Reuniendo los tres resultados obtenidos en los tres apartados anteriores : 6 c 1 c 2 c 3 pues pertenecen a intervalos disjuntos ( no tienen puntos en común ) tres raíces reales 6 f'(x) = 0 representa una ecuación de tercer grado Y a lo sumo tendrá 6 f'(x) = 0 tiene exactamente tres raíces reales: c 1, c 2, c 3 6. Demostrar que la ecuación e x = x + 1 tiene una única solución real x = 0 Gráficamente interpretaríamos el problema diciendo que las gráficas de las funciones f(x) = e x y g(x) = x + 1 se cortan únicamente en el punto de abscisa x = 0. Con un gráfico :

6 Veamos como plantear la demostración... Razonemos, de nuevo, por reducción al absurdo. Supongamos a > 0, a 0 ú otra raíz de la ecuación e a = x + 1, e a = a+1 Consideremos ahora la función auxiliar: f(x) = e x - x - 1 y el intervalo [0, a] 6 Comprobando las hipótesis del teorema de Rolle : en [0, a] ]0, a [ f(x) es una suma de funciones CONTINUAS Y f(x) es CONTINUA f'(x) = e x -1 Y œ x 0 0 ]0, a [ Y f(x) es DERIVABLE en Y f(x) cumple el teorema de Rolle en [0, a ] Y c 0 ]0, a [ / f'(c) = 0 Pero, f'(x) = e x - 1 = 0 ] e x = 1 ] x = 0 ( única raíz de f'(x)) y 0 ó ]0, a[ que,claramente contradice la tesis del teorema de Rolle cumpliendo sus hipótesis. Y La hipótesis es falsa, y por lo tanto no existe a > 0, a 0 ú raíz de la ecuación e x = x + 1. Razonando de la misma forma con una solución negativa ( b < 0, b 0 ú ) en el intervalo [b, 0], llegamos a la conclusión de que x = 0 es la única solución real de la ecuación e x = x + 1.