Ecuaciones lineales de segundo orden

Transcripción

1 Ecuaciones lineales de segundo orden Considere la ecuación lineal general de segundo orden A( xy ) + Bxy ( ) + Cxy ( ) = Fx ( ) donde las funciones coeficientes A, B, C y abierto I. F son continuas en el intervalo Suponemos, además que A( x) 0, en cada punto de I, así que podemos dividir cada término, en la ecuación diferencial dada, entre A( x ) y escribirla en la forma y + p( x) y + q( x) y = f( x). Primero analizaremos la ecuación homogénea asociada y + p( x) y + q( x) y = 0

2 Teorema. Principio de superposición Sean y y y dos soluciones de la ecuación lineal homogénea y + p( x) y + q( x) y = 0, en el intervalo I. Si c y c son constantes, la combinación lineal y = c y + c y también es solución de la ecuación diferencial dada, en el intervalo I. Ejemplo Por inspección podemos ver que y = cos x y y = sin x son dos soluciones de la ecuación y + y = 0. El teorema anterior nos dice que y = c cos x+ c sin x Es solución de la ecuación diferencial, cualesquiera que sean los valores de las constantes c y c.

3 Teorema. Existencia y unicidad Suponga que las funciones p, q y f son continuas en el intervalo abierto I que contiene al punto a. Entonces, dados cualesquiera dos números b 0 y b, la ecuación y + pxy ( ) + qxy ( ) = f( x) tiene una solución única (es decir, una y sólo una) en el intervalo I que satisface las condiciones iniciales ya ( ) = b0, y ( a) = b. Ejemplo Verifique que las funciones ( ) x y x = e y ( ) x y x = xe son soluciones de la ecuación diferencial y y + y = 0, y luego determine una solución que satisfaga las condiciones iniciales y (0) = 3, y (0) =.

4 Definición: Independencia lineal de dos funciones Dos funciones definidas en un intervalo abierto I se dice que son linealmente independientes en I si se cumple que ninguna es un múltiplo constante de la otra. Ejemplo 3 Es claro que los siguientes pares de funciones son linealmente independientes en toda la recta real: sin x y cos x x e y e x x x e y xe x + y x x y x Las funciones f( x) = sinx y gx ( ) = sinxcosx son linealmente dependientes en cualquier intervalo puesto que f( x) = g( x).

5 Teorema 3. Wronskiano de soluciones Suponga que y y y son dos soluciones de la ecuación lineal homogénea de segundo orden y + p( x) y + q( x) y = 0 en el intervalo abierto I en el que p y q son continuas. a) Si y y y son linealmente dependientes, entonces W( y, y) 0 en I. b) Si y y y son linealmente independientes, entonces W( y, y) 0 en cada punto de I. En donde el wronskiano de y y y (determinante de wronski), se define como W( y, y ) y y. y y

6 Teorema 4. Soluciones generales Sean y y y dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea y + p( x) y + q( x) y = 0 con p y q continuas en el intervalo abierto I. Si Y es cualquier solución de la ecuación homogénea en I, entonces existen números c y c tales que para toda x en I. Y( x) = c y ( x) + c y ( x)

7 Ejemplo 4 Es claro que y x = e y ( ) x y x = e ( ) x son soluciones independientes de y 4y = 0. También y ( x) = coshx 3 y y ( x) = sinh x 4 son soluciones de la ecuación homogénea dada. Esto no es una sorpresa ya que sabemos que cosh x= e + e y x x sinh x= e e. x x

8 Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes Estudiaremos la ecuación lineal homogénea de segundo orden ay + by + cy = 0. Una solución natural de la ecuación diferencial tiene la forma si reemplazamos z = e λx, ya que z = e λx, z = λe λx y en la ecuación diferencial, se obtiene z = λ x e λ x x x a( λ e λ ) + b( λe λ ) + c( e λ ) = 0, de donde ( aλ + bλ+ c) e λx = 0. Resolviendo la ecuación característica aλ + bλ+ c= 0, obtenemos dos soluciones, linealmente independientes z x = e λ y z e λ x =. Donde λ y λ son las raíces de la ecuación característica.

9 Teorema 5. Raíces reales distintas Si las raíces λ y λ de la ecuación característica son reales y distintas, entonces yx ( ) = ce + ce λ x λ x es la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea ay + by + cy = 0. Ejemplo 5 Determine la solución general de y 7y + 3y = 0. Ejemplo 6 Determine la solución general de y + y = 0.

10 Teorema 6. Raíces repetidas Si la ecuación característica tiene raíces iguales (reales) λ = λ, entonces y( x) = ( c + c x) e λ es la solución general de la ecuación x ay + by + cy = 0. Ejemplo 7 Resolver el problema con condiciones iniciales y + y + y = 0; y (0) = 5, y (0) = 3.

11 Teorema 7. Raíces complejas Si la ecuación característica tiene raíces complejas entonces α x yx ( ) = e ( ccosβ x+ csin β x) α ± βi, con β 0, es la solución general de la ecuación ay + by + cy = 0. Ejemplo 8 Determine una solución particular de y 4y + 5y = 0; y (0) =, y (0) = 5.

12 Ecuaciones lineales homogéneas de orden n con coeficientes constantes La solución general de la ecuación lineal homogénea de orden n ( n) ( n ) ay n + an y ay + ay + ay 0 = 0, donde a0, a, a,..., a n son constantes reales con an 0, es una extensión natural de la ecuación lineal homogénea de segundo orden. En este caso la ecuación característica tiene la forma a λ + a λ a λ + aλ+ a = 0. n ( n) ( n ) n 0

13 Teorema. Raíces reales distintas Si las raíces λ, λ,..., λ n de la ecuación característica son reales y distintas, entonces yx ce ce ce λ n ( ) = λ + λ x x x n Es la solución general de la ecuación diferencial dada. Ejemplo Resuelva el problema con condiciones iniciales = 0; y (0) = 7, y (0) = 0, y (0) = 70. (3) y y y

14 Teorema. Raíces repetidas Si la ecuación característica tiene una raíz λ repetida de multiplicidad k, entonces la parte de la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea, correspondiente a λ es de la forma Ejemplo x c c x c x c x e λ k ( k ) Encuentre una solución general de la ecuación diferencial de quinto orden Ejemplo 3 (5) (4) (3) 9y 6y y 0 + =. Determine la solución de ( D 6D 3) y =. Ejemplo 4 Encuentre la solución general de la ecuación diferencial + 0 = 0. (3) y y y

15 Ecuación diferencial lineal de orden n no homogénea Consideremos la ecuación lineal diferencial no homogénea de segundo orden y + pxy ( ) + qx ( ) = f ( x) con ecuación homogénea asociada y + p( x) y + q( x) = 0. El siguiente teorema, permite determinar la solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea. Teorema Sea y P, una solución particular de la ecuación no homogénea y + pxy ( ) + qx ( ) = f ( x) en un intervalo abierto I en el cual las funciones p, q y f son continuas. Sean y y y, soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea asociada y + p( x) y + q( x) = 0. Si Y es una solución cualquiera de la de la ecuación no homogénea sobre I, entonces existen números c y c tales que para toda x de I. Y( x) = c y ( x) + c y ( x) + y ( x) P

16 Ejemplo Es evidente que yp = 3x es una solución particular de la ecuación y + 4y = x, y que y ( x) = c cosx+ c sinx, H Es la solución general de la ecuación diferencial homogénea. Encuentre una solución que satisfaga las condiciones iniciales y (0) = 5, y (0) = 7. A continuación estudiaremos un método que permite hallar una solución particular de la ecuación diferencial no homogénea y + p( x) y + q( x) = f( x).

17 Método de coeficientes indeterminados Este método se puede emplear siempre que todas las derivadas de f( x) tengan la misma forma que f( x ). m Caso : Si f( x ) es de la forma Pm( x) = b0 + bx bmx, la solución s m particular es x ( A0 + Ax Am x ) Ejemplo Encuentre la solución particular de y + 3y + 4y = 3x+. Ejemplo 3 Determine una solución particular de 3 + =. y 4y 3x

18 Caso : Si f( x ) es de la forma acos kx+ bsin kx, la solución particular es s x ( Acoskx+ Bsin kx) Ejemplo 4 Determine una solución particular de 3y + y y = cosx. Ejemplo 5 Determine una solución particular de (3 ) cos D + D y = x.

19 rx Caso 3: Si f ( x ) es de la forma e ( acoskx+ bsin kx), la solución particular es s rx xe ( Acoskx+ Bsin kx) Ejemplo 6 Determine una solución particular de + + =. 3x y 6y 3y e sinx Ejemplo 7 Determine una solución particular de + + =. 3x y 6y 3y e cosx

20 Caso 4: Si f( x ) es de la forma x ( A + Ax A x ) e s m rx 0 m Pm ( xe ) rx, la solución particular es Ejemplo 8 Determine una solución particular de 3 y y = e x. Ejemplo 9 Determine una solución particular de y y = e x. Ejemplo 0 Determine una solución particular de 3 x y + 9y = x e.

21 Caso 5: Si f ( x ) es de la forma P ( x)( acoskx+ bsin kx), la solución particular x ( A + Ax A x )cos kx+ ( B + Bx B x )sin kx s m m es 0 m 0 m m Ejemplo Determine una solución particular de + =. 3 y 9y xsinx Ejemplo Determine una solución particular de + =. 3 y 9y xsin3x

22 Si la función f( x) = α( x) + β ( x), podemos usar la linealidad de la ecuación diferencial y determinar dos soluciones particulares, una para α ( x) y otra para β ( x). Esta idea se muestra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 3 Determine una solución particular de 3 x y + 9y = xsinx+ x e. Ejemplo 4 Determine una solución particular de 3 y + y = 3e x + 4x.

23 Variación de parámetros Este método es útil para determinar una solución particular de la ecuación diferencial lineal y + p( x) y + q( x) y = f ( x), a partir de la solución general de la parte homogénea y H ( x) = c y( x) + c y ( x). En este método se supone que la solución particular debe ser de la forma y P x) = c ( x) y ( x) + c ( x) y ( ). ( x Teorema. Variación de parámetros Si y H ( x) = c y( x) + c y ( x) es la solución de la parte homogénea de la ecuación no homogénea y + p( x) y + q( x) y = f ( x), entonces una solución particular está dada por y ( x) f ( x) y( x) f ( x) y P ( x) = y ( x) dx + y ( x) dx W ( x) W ( x) en la que W ( x) = W ( y, y ), es el wronskiano de las dos soluciones independientes y y y de la ecuación homogénea asociada. Ejemplo Determine una solución particular de la ecuación y + y = tan x.

24 Ejemplo Determine una solución particular de la ecuación y 4y = xe Ejemplo 3 Determine una solución particular de la ecuación y + y = sin x Ejemplo 4 Determine una solución particular de la ecuación y + 9y = sec3x x

25 La ecuación lineal de Euler La ecuación diferencial lineal n n d y n d y dy n n n n x + a x a x + a ( ) ny = f x, () dx dx dx r en que la derivada de orden r está multiplicada por x y por una constante, t se llama ecuación lineal de Euler. La sustitución x= e reduce la ecuación a otra lineal con coeficientes constantes, en que t es la variable independiente. Si También x t = e se deduce que dx x dy dx dt = dy dt dy =, y x dt dx dx. Así pues, dy =. dt x d dy d y x = dx dx dt,

26 y, en consecuencia, x d y d y dy d d = = dx dt dt dt dt y. Análogamente y x 3 3 d y d d d = y 3, dx dt dt dt n n d y d d d d x =... n y n +. dx dt dt dt dt r r d y Sustituyendo en () esta expresión para x, la ecuación se transforma dx en en donde,,..., n n n d y d y dy n n n t + b b + b ( ) ny = f e, dt dt dt b b b, son constantes. r

27 Ejemplo Resuelva la ecuación d y dy x 6x 6y + + =. dx dx x Ejemplo Resuelva la ecuación d y dy 4 x x + y = x. dx dx Ejemplo 3 Resuelva la ecuación 3 3 xy + 3xy + xy = 7x.

28 Aplicaciones de las ecuaciones lineales de orden n Vibraciones mecánicas La ecuación diferencial que determina el movimiento de la masa m, sujeta a un resorte con constante del resorte k y a un amortiguador con constante de amortiguamiento c, es: mx + cx + kx = F() t, () donde Ft () es una fuerza externa de forzamiento.

29 Ejemplo Suponga que m =, k = 9, F 0 = 80 y ω = 5, de modo que la ecuación diferencial es x + 9x= 80cos5t. Determine xt () si x(0) = x (0) = 0. Solución: xt ( ) = 5(cos3t cos5 t). Ejemplo Suponga que m = 0., F 0 = 50, ω 0 = 55 y ω = 45, de modo que la ecuación diferencial es 0.x x= 50cos 45t. Determine xt () si x(0) = x (0) = 0. Solución: xt ( ) = ( cos(45 t) cos(55 t) )

30 Ejemplo 3 k Suponga que m = 5 Kg, k = 500 N/m ( ω 0 = = 0 rad/seg ), F 0 = 50 N m ω = 9.9 rad/seg,de modo que la ecuación diferencial es 5x + 500x= 5cos0t. Determine xt () si x(0) = x (0) = xt ( ) = ( cos 9.9t cos(0 t) ). 99 Solución: ( ), y

31 Ejemplo con Maple En este ejemplo investigaremos las vibraciones forzadas de un sistema masa resorte amortiguador con la ecuación mx + cx + kx = F() t. () Para simplificar la notación, hacemos m= p, c = p y k = p q +, en donde p > 0 y q > 0 : Entonces la solución homogénea de la ecuación () es x t = e C qt+ C qt. t/ p H () ( cos sin ) Tomaremos p = 5, q = 3 y así investigamos las soluciones transitorias y periódicas estacionarias correspondientes a 5x + 0x + 6 x= F( t), x (0) = 0, x (0) = 0.

32 > restart; > de:=5*diff(x(t),t,t)+0*diff(x(t),t)+6*x(t)=900*exp(- t/5)*cos(3*t); > dsolve({de,x(0)=0,d(x)(0)=0},x(t)); > x:=simplify(combine(rhs(%),trig)); > C:=6*t*exp(-t/5); > plot({x,c,-c},t=0..8*pi); Observe que la gráfica de la solución oscila entre las curvas envolventes x=± 6te t /5

33 Sistemas de primer orden Como punto de partida observe que la ecuación diferencial de segundo orden y + py + qy = f (x) puede transformarse en un sistema de ecuaciones, introduciendo las variables dependientes u = y, u = y. Entonces la ecuación diferencial dada se transforma en el sistema de primer orden u u = = y y u = pu qu u = u + f ( x) Este procedimiento también es reversible. Es decir, dado un sistema de primer orden, podemos transformarlo en una ecuación diferencial como las que estudiamos anteriormente.

34 Ejemplo (3) La ecuación de tercer orden x + 3x + x 5x = sin t, usando las sustituciones u = x, u = x, u = x 3, se transforma en el sistema de primer orden Ejemplo u 3 = 3u u u = u u = u 3 El sistema x = 6x + y y = x y + 40sin 3t de ecuaciones de segundo orden, se transforma en el sistema de primer orden u 4 u = 6u = u u = u u = u 3 u 3 + u sin 3t

35 El método de eliminación Ejemplo 3 Resolver el sistema de dos dimensiones x = y y =. x con valores iniciales x ( 0) =, y ( 0) = 0. Ejemplo 4 Encuentre la solución general del sistema x = y. y = x + y Ejemplo 5 Determine la solución particular del sistema x = 4x 3y y = 6x 7y que satisface las condiciones iniciales x ( 0) =, y ( 0) =.

36 Operadores lineales d El uso del operador diferencial D =, es muy útil para resolver sistemas de dt ecuaciones, como se muestra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 6 Encuentre la solución general del sistema x = x + 3 y. y = y Solución: El sistema se transforma en Dx = x + 3y Dy = y La solución, no trivial, del sistema se obtiene de ( D + ) x 3y = 0 ( D ) y = 0 Entonces D + 3 D + 3 x = 0, o de y = 0. 0 D 0 D ( D + )( D ) x = 0.

37 De donde se obtiene la solución general x t ( t) = ce + c e t. Reemplazando x t ( t) = ce + c e t y x t ( t) = ce + c e t en x = x + 3y, obtenemos t t t t c e + ce = ( ce + ce ) + 3y. Despejamos la variable y, y t ( t) = ce.

38 Ejemplo 7 Encuentre la solución general del sistema x = 4x + sint y = 4x 8y Solución: El sistema se transforma en. De aquí se obtiene ( D + 4) x = sin t. 4x + ( D + 8) y = 0 D y D + 8 = sint 0 D 0 + 8, (es mejor que determinar x ). Así, se tiene Entonces etc ( D + 4)( D + 8) y = ( D + 8)(sint). ( D + 4)( D + 8) y = 7sin t