Guía 3: Factorización

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Susana Carmona Márquez
hace 6 años
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1 Departamento de Matemática Guía 3: Factorización Definición: Factorizar una expresión algebraica (o suma de términos algebraicos) consiste en escribirla en forma de multiplicación. Veremos los siguientes casos: Factor común (monomio y polinomio) Aquí, todos los términos de la expresión presentan un factor común, que puede ser un monomio o un polinomio, por el cual se factoriza, es decir, el término común es uno de los factores de la multiplicación. El otro se determina aplicando la multiplicación algebraica. Factoricemos la expresión 5a6 3b 10a 1b 0a3 9b 4 El término o factor común de los numeradores es 5a y el de los denominadores es 3b; por lo tanto, el factor común de la expresión es 5a 3b y escribimos: 5a 6 3b 10a 1b 0a3 9b 4 = 5a 3b ( a 4 b 7 4a ) 3b 3 Factoricemos la expresión m(a + b) 3n(a + b) Aquí podemos considerar el paréntesis (a + b) como un solo término y podemos factorizar por él. Entonces nos queda: Observaciones m(a + b) 3n(a + b) = (a + b)(m 3n) El proceso está completo si no es posible seguir factorizando dentro de los paréntesis (o factores) obtenidos. Por la propiedad conmutativa de la multiplicación no importa el orden en que se entregue el resultado. 1

2 Actividad 1: Factoriza las siguientes expresiones identificando el factor común 1) 9a + 9b + ab + a b = ) 3xy 6xz + 7x = 3) a 9 + a 10 + a 11 = 4) 3xy + x 7x 3 y = 5) 4a x 7 7b 3 x 4 5a 3 x 9 + x 3 = 6) 0, 5x + 0, 5x + x 3 = 7) a b c + 4ab c 5a 3 b 3 c 3 = 8) 9xy + 3x y + 90x y = 9) 9a 6a 6 b 4 + 1a 5 b 1 15a 8 b 9 = 10) 1a 6 14a a 7 = 11) 3a b 6a 3 b 1ab 3 = 1) a b x + a3 b 3 x a b x 3 = 13) x 6 y 9 z 1 + x 6 y 8 z 6 + z 5 y 8 z 10 = 14) 15 a 4 16 ab 5 5 abc = Factor común compuesto Ej: 5xy + 5x z 5xz = 5x(y + 5xz z) Muchas veces, no todos los términos de una expresión algebraica contienen un factor común, pero haciendo una adecuada agrupación de ellos podemos encontrar factores comunes de cada grupo. Factoricemos ac + ad + bc + bd Si observamos, vemos que el primer y segundo término tienen el factor común a y el tercer y el cuarto término tienen b como factor común. Asociamos y factorizamos por parte: ac + ad + bc + bd = (ac + ad) + (bc + bd) = a(c + d) + b(c + d) = (c + d)(a + b)

3 Factoricemos la expresión ax + bx + cx + ay + by + cy az bz cz Asociemos en el orden natural los tres primeros términos, los tres siguientes y los tres últimos: ax+bx+cx+ay+by+cy az bz cz = (ax+bx+cx)+(ay+by+cy) (az+bz+cz) = x(a + b + c) + y(a + b + c) z(a + b + c) = (a + b + c)(x + y z) Observación: La forma de asociar no es única, pero la factorización si lo es. Actividad : Factoriza las siguientes expresiones identificando el factor común compuesto Ej: ac + ad + bc + bd = (ac + ad) + (bc + bd) = a(c + d) + b(c + d) = (c + d)(a + b) 1) ac ad + bc bd = ) xu xv yu + yv = 3) bd 3bf + cd 6cf = 4) a c + a d + b c + b d = 5) 1 + b + a + ab = 6) a x y + b x y a b = 7) a b + ax bx = 8) 4 + c + d + a + ac + ad + b + bc + bd = 9) 6y 4x 3xy + x = 10) 3a 3 1 a + 3a = 11) x + x xy y = 1) 4a 3 x 4a b + 3bm 3amx = 13) 10a aq 8q = 14) x 7 y 8 z x 8 y 8 z + x + 0, 5x 0, 5z = 3

4 Diferencia de cuadrados Recordemos que el producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de ambos términos. Aplicamos lo anterior en factorizaciones: Factoricemos 9m 16p 9m es el cuadrado de 3m y 16p es el cuadrado de 4p. Entonces: 9m 16p = (3m + 4p)(3m 4p) Factoricemos 1 a 5 4b Usando el mismo razonamiento anterior vemos que la expresión se factoriza: 1 a 5 ( 1 4b = a + 5 ) ( 1 b a 5 ) b Actividad 3: Factoriza las diferencias de cuadrados 1) a 4b = ) 4m 16n = 3) m n p 4) 5 k = 5) 81c 4 9d 4 = 6) a b 81b 4 7) 64p 4 100q 6 = 8) 5 a = 9) 49u v 4 144t 8 = 10) 5x 4 y 36z 6 = 11) 169a 6 b 4 56c d 10 = 1) x 4 0, 16y z 8 = 13) 0, 5x y 4 0, 36z 6 = 14) m n n 8 = Ej: y 4 = (y )(y + ) 4

5 Trinomios ordenados Definición: Llamamos trinomio ordenado (según el grado) a una expresión de la forma ax + bx + c, donde a, b, c, y x representan números reales. En general, los trinomios pueden proceder: de la multiplicación de un binomio por sí mismo (o un cuadrado de binomio); por ejemplo: (a + 7) = a + 14a + 49 de la multiplicación de dos binomios con un término común; por ejemplo: (a+)(a+ 6) = a + 8a + 1 o de la multiplicación de dos binomios de términos semejantes: (x + 1)(x + ) = x + 5x + Factoricemos x + 10x + 5 Observamos que el primer término (x ) y el último (5) son los cuadrados de x y 5, respectivamente, y además el término central (10x) corresponde al doble del producto de x y 5; entonces la expresión es un cuadrado de binomio y así: x + 10x + 5 = (x + 5) Factoricemos y + 13y + 36 Aquí vemos que tanto el primer término como el tercero corresponden a cuadrados exactos (de y y de 6, respectivamente), pero el término central (13y) no corresponde al doble del producto entre y y 6 (es decir, a 1y); en este caso, el trinomio puede corresponder al producto de dos binomios con un término común, que sería y. Buscamos entonces dos números cuyo producto sea igual a 36 (el último término del trinomio) y el producto del término común (y) por la suma de estos números sea igual al término central (13y). Los números son +9 y +4. En efecto: = 36 y = 13 Entonces: y + 13y + 36 = (y + 9)(y + 4) Factoricemos x 3x En este ejemplo, el primer término no es cuadrado exacto de un término entero. Amplifiquemos por el cociente de x (en este caso, por ) para obtener un primer término como en los ejemplos anteriores, es decir, un cuadrado exacto. x 3x / 4x 6x 4 5

6 Podemos aplicar al numerador el razonamiento de los ejemplos anteriores (porque el primer término ya es un cuadrado exacto) y entonces trataremos de factorizar como producto de dos binomios con un término común que en este caso es x. Buscamos dos números que multiplicados sean igual a 4 y cuya suma sea igual a 3 (pues al multiplicar la suma por el término común x se debe obtener 6x). Los números son 4 y 1 y así, la factorización de la expresión simplificada es: 4x 6x 4 = (x 4)(x + 1) = (x )(x + 1) = (x )(x + 1) Actividad 4: Factoriza el trinomio identificando el término común Ej: z 13z + 4 = (z 7)(z 6) 1) a 1a + 0 = ) y + 8y 0 = 3) x 13x + 4 = 4) m + m 1 = 5) x x 6 = 6) a 5a 6 = 7) s 5s 84 = 8) r + 16r + 60 = 9) z + z 63 = 10) x + 7 x + 3 = 11) b b 5 9 = 1) x 0, 7x + 0, 1 = 6

7 Actividad 5: Factoriza los trinomios cuadrados perfectos 1) x + 14x + 49 = ) a + 18a + 81 = 3) x x + 11 = 4) a 1a + 36 = 5) 4x + 0x + 5 = 6) x + 14xy + 49y = 7) x 4x + 4 = 8) p 8p + 16 = 9) 4k + 8k + 49 = 10) z 4 10z w + 5w = 11) 36a b 1abc + c = 1) m 8 16m 4 n + 64n 4 = 13) 9 1l + 4k = 14) 16x 4 + 4x y + 9y = Ej: x 1x + 36 = (x 6) Actividad 6: Factoriza el trinomio de la forma ax + bx + c 1) 6z + 13z 5 = ) 3m + 8m 3 = 3) 5x + 3x = Ej: x + 7x + 6 = x + 7x + 6/ = 4x + 14x + 1 (x + 4)(x + 3) = (x + )(x + 3) = = (x + )(x + 3) 7

8 4) 6x x = 5) 4a + 43a 56 = 6) 100m 4 136m 56 = Sumas o diferencias de cubos Los factores de una diferencia de cubos son: x 3 y 3 = (x y)(x + xy + y ) Los factores de una suma de cubos son: x 3 + y 3 = (x + y)(x xy + y ) Factoricemos a 3 8 Observamos que a 3 es el cubo de a y que 8 es el cubo de. Se trata de una diferencia de cubos, por lo tanto: a 3 8 = (a )(a + a + 4) Factoricemos x El término x 3 es el cubo x y 7 es el cubo de 3. Aquí tenemos una suma de cubos y por lo tanto: x = (x + 3)(x 3x + 9) Actividad 7: Factorice las siguientes sumas o diferencias de cubos 1) x 3 + p 3 = ) 1 b 3 = 3) 8a b = 3 4) 15t 3 1 z = 3 5) x 1 y 1 = 6) a 7 + b 7 = 8

9 7) 0, 001 a6 b 3 = 8) a 6 1 = Cubo de binomio Los factores de un cubo de binomio son: (a + b) 3 = (a + b)(a + b)(a + b) = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (a b) 3 = (a b)(a b)(a b) = a 3 3a b + 3ab b 3 Actividad 8: Factorice las siguientes expresiones como un cubo de binomio 1) x 3 + 3x + 3x + 1 = ) 8 1y + 6y y 3 = 3) 8a a b + 54ab + 7b 3 = Ej: 7x 3 7x y + 9xy y 3 = (3x) 3 (y) 0 3 (3x) (y) + 3 (3y) (y) (3x) 0 (y) 3 = (3x y) 3 4) m 6 15m 4 n + 75m n 4 15n 6 = 5) 1 + 1a b 6ab 8a 3 b 3 = 6) a 6 + 3a 4 b 3 + 3a b 6 + b 9 = 9

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