E A PREDICCIÓN NO-LINEAL DE TIPOS DE CAMBIO. APLICACIÓN DE UN ALGORITMO GENÉTICO. MARCOS ÁLVAREZ-DÍAZ Department of Economics, Columbia University

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1 Revisa de Economía Aplicada E Número 35 (vol. XII), 2004, págs. 55 a 64 A PREDICCIÓN NO-LINEAL DE TIPOS DE CAMBIO. APLICACIÓN DE UN ALGORITMO GENÉTICO MARCOS ÁLVAREZ-DÍAZ Deparmen of Economics, Columbia Universiy ALBERTO ÁLVAREZ Insiuo Medierráneo de Esudios Avanzados-IMEDEA (CSIC-UIB) En ese rabajo se ha aplicado un Algorimo Genéico para modelar y predecir la evolución de los ipos de cambio semanales del marco, yen, libra y pesea respeco al dólar esadounidense. La principal moivación del rabajo consisió en comprobar si el empleo de esa écnica permie mejorar la capacidad prediciva del modelo referene en la lieraura, el paseo aleaorio. La comparación se llevó a cabo ano en el caso de la predicción punual como en el de la predicción de una devaluación o apreciación. Palabras clave: ipos de cambio, predicción no-lineal, algorimos genéicos. Clasificación JEL: C4, C53. Se puede observar en la lieraura exisene el esfuerzo llevado a cabo por los economisas para conocer los facores deerminanes de la evolución del ipo de cambio. A pesar del esfuerzo, poco se ha avanzado en el conocimieno de su dinámica y en la capacidad para mejorar las predicciones de un paseo aleaorio. En la lieraura se han desarrollado varios modelos eóricos caracerizados por considerar que la evolución emporal del ipo de cambio puede ser explicada por una dinámica lineal perurbada exógenamene por un proceso esocásico. Por ano, las complejas oscilaciones observadas serían explicadas por la exisencia de shocks exógenos, aleaorios e impredecibles. El análisis y la verificación empírica de esos modelos muesran muy a menudo signos incorrecos y baja significaividad de los parámeros esimados, así como un escaso poder predicivo. Por ejemplo, en el conocido rabajo llevado a cabo por Meese y Rogoff (983) se comprobó cómo la capacidad prediciva de muchos modelos esrucurales y univarianes no eran capaces de mejorar las predicciones fuera de la muesra de un simple paseo aleaorio. Recienes resulados empíricos y eóricos parecen soporar la idea de la exisencia de no-linealidades predecibles en el comporamieno de los ipos de cambio [Fernández-Rodríguez y Sosvilla-Rivero (998)]. Los rabajos de Takens (98) y Casdagli (989), enre oros, han esablecido la meodología necesaria para la mo- 55

2 Revisa de Economía Aplicada delización no-lineal de series emporales. En concreo, el Teorema de Takens (98) esablece que, dada una serie emporal deerminisa {x } N =, exise una función F : R m Ral que x = F(x τ, x 2τ,..., x mτ ) [] donde τ es el facor reardo y m la dimensión de incrusación. Por ano, para un m suficienemene grande, el eorema garaniza la posibilidad de predecir la dinámica de una serie emporal deerminisa a parir de sus valores pasados. Durane la úlima década se han aplicado disinas écnicas no-lineales para aproximar la función F( ) en el caso de diferenes ipos de cambio. Las aproximaciones más empleadas fueron aquéllas basadas en generalizaciones del méodo de ocurrencias análogas [Diebold y Nason (990), Soofi y Cao (999)]. En los úlimos años se puede observar una ciera predominancia del empleo de redes neuronales [Walzack (200)]. Recienemene se ha aplicado en el ámbio cienífico un procedimieno de búsqueda funcional basado en las eorías darwinianas de selección naural y supervivencia. Esos procedimienos, denominados algorimos genéicos (AG), ya han demosrado su robusez para aproximar explíciamene la forma funcional F( ) en el análisis no-lineal de series emporales [Szpiro (997), Yadavalli e al. (999), Álvarez e al. (200)]. Los AG presenan cieras venajas con respeco a oros méodos aneriormene empleados para predecir el ipo de cambio: permien una mayor flexibilidad funcional en comparación con los méodos ARIMA, son más robusos y manejables que las redes neuronales y, con respeco al méodo de ocurrencias análogas, deerminan explíciamene una ecuación maemáica que aproxima la dinámica de los Tipos de Cambio. A pesar de su desconocimieno generalizado en economía, los AG ya han sido uilizados para resolver cieros problemas económicos [Koza (995)]. En ese rabajo uilizamos un AG, denominado DARWIN [Álvarez e al. (200)], para aproximar la función F( ) en el caso específico del ipo de cambio semanal del marco, yen, libra y pesea respeco al dólar esadounidense. El objeivo perseguido consise en comprobar si el empleo de un AG permie mejorar la capacidad prediciva del modelo referene en la lieraura: el paseo aleaorio. El rabajo se esrucura en 3 secciones. En la primera de ellas se explican las venajas y el funcionamieno del algorimo genéico. A coninuación se presenan los resulados obenidos y, por úlimo, se finaliza con una sección dedicada a conclusiones.. VENTAJAS Y FUNCIONAMIENTO DE UN ALGORITMO GENÉTICO Un AG iene por objeivo el buscar una expresión maemáica que, denro del espacio de posibles soluciones, mejor describa la dinámica presenada por una serie emporal. Esa écnica presena oda una serie de venajas frene a los radicionales méodos no-lineales de predicción. En primer lugar, a diferencia de las redes neuronales y de las écnicas basadas en ocurrencias análogas, los AG obienen explíciamene una ecuación maemáica como aproximación a la verdadera dinámica de la serie. Además, se presenan como un méodo predicivo más flexible que las redes neuronales ya que no requieren la especificación de una arquiecura previa. 56

3 Predicción no-lineal de ipos de cambio. Aplicación de un algorimo genéico DARWIN, el AG empleado en ese rabajo, ya ha demosrado su capacidad prediciva ano eórica como empíricamene [Álvarez e al. (200)]. Su funcionamieno se basa en la simulación en un ordenador del proceso evoluivo observado en la Nauraleza y puede ser explicado por medio de una serie de pasos ieraivos. En el primer paso se genera de forma aleaoria una población inicial de N ecuaciones maemáicas (cromosomas) por medio de una sencilla combinación aleaoria de operadores y operandos de la forma S j = ((A B) (C D)) j N [2] en donde A, B, C y D son los argumenos (genes operandos) y el símbolo represena a los operadores maemáicos (genes operadores). Los argumenos considerados pueden ser números reales perenecienes a un inervalo (coeficienes de las ecuaciones) o bien valores reardados de la variable (x τ, x 2τ,..., x mτ ). Por su pare, los operadores maemáicos ( ) empleados serán la suma (+), resa (-), muliplicación ( ) y división ( ), ese úlimo operador esará proegido para eviar cocienes enre 0 o números muy pequeños. También cabe la posibilidad de incluir oros operadores maemáicos (como el logarímico o los rigonoméricos, por ejemplo) pero a cosa de incremenar la complejidad en el proceso de opimización funcional. Además, rabajos previos llevados a cabo con DARWIN así como con oros AG [Szpiro (997), Yadavalli e al. (999)] han demosrado la posibilidad de describir dinámicas complejas por medio de expresiones maemáicas consruidas simplemene con los operadores ariméicos. En el segundo paso, una vez deerminada la población inicial, comienza el proceso evoluivo seleccionando aquellas ecuaciones que presenan una mayor foraleza según algún crierio de ajuse. Para el caso de la predicción punual se ha deerminado como crierio de foraleza el Error Cuadráico Medio Normalizado definido como [ x xˆ ] = m+ ECMN j = Var ( x ) M donde ECMN j es el Error Cuadráico Medio Normalizado presenado por la ecuación j-ésima ( j N), Var(x ) es la varianza de la serie emporal, xˆ el valor predicho y M el número oal de observaciones desinadas a enrenar el AG. Una generalización de esa expresión ya ha sido empleada como crierio de foraleza en los AG de Szpiro (997) y Yadavalli e al. (999). A coninuación, odas las ecuaciones de la población inicial son clasificadas en orden decreciene según su ECMN j. Las ecuaciones con valores muy elevados del ECMN son aniquiladas mienras que, por el conrario, las que poseen un valor más pequeño ienen una mayor probabilidad de supervivencia consiuyendo la base de la siguiene generación. Una vez concluido el proceso de selección, las ecuaciones supervivienes son empleadas para generar a los individuos de una nueva generación (proceso de reproducción). Para ello se les aplican los denominados operadores genéicos: Clonación, Cruzamieno y Muación. Con la clonación las mejores ecuaciones son M 2 [3] 57

4 Revisa de Economía Aplicada copiadas exacamene a la siguiene generación. Por su pare, con el operador cruzamieno se seleccionan parejas de ecuaciones con pequeños valores de ECMN j para inercambiar pares de sus argumenos y operadores maemáicos. Por úlimo, la muación implica el reemplazamieno aleaorio de algún operador o argumeno en un porcenaje reducido de ecuaciones. En definiiva, la nueva población generada a parir de la población inicial esará consiuida por individuos clonados, muados y cruzados. A parir de ese momeno el proceso evolucionará repiiendo los pasos de selección y reproducción de forma ieraiva en busca de aquella expresión maemáica que menor ECMN presene. Después de un número deerminado de generaciones del proceso evoluivo, la ieración erminará y el AG ofrecerá explíciamene como resulado una ecuación maemáica que considera ópima para represenar la verdadera dinámica de la serie emporal. 2. RESULTADOS 2.. Daos y Deerminación de Parámeros Se ha aplicado el AG DARWIN al logarimo del ipo de cambio semanal del marco, yen, libra y pesea respeco al dólar esadounidense. Los daos empleados, obenidos a parir del Pacific Exchange Rae Service (Universidad de Briish Columbia), abarcan un periodo comprendido enre la primera semana de 973 hasa la primera semana de Julio de 2000 (435 observaciones en oal). En nuesro ejercicio se han reservado las úlimas 435 observaciones de los diferenes ipos de cambio considerados (aproximadamene 8 años) para llevar a cabo la predicción fuera de la muesra. La elección de una periodicidad semanal se jusifica para minimizar los sesgos originados por el efeco día de la semana [LeBaron (993)]. Además, se asume que una periodicidad semanal coniene suficiene información como para capurar la dinámica mosrada por los ipos de cambio [Yao and Tan (2000)]. Por oro lado, siguiendo a Casdagli (989), la medida de ajuse del error de predicción fue el ECMN definido en la ecuación [3]. Un aspeco fundamenal en el ejercicio predicivo consise en deerminar un valor ópimo para el facor de reardo (τ) y para la dimensión de incrusación (m). Exisen diferenes méodos para seleccionar τ y m a parir de una serie emporal. Sin embargo, para el facor de reardo los mejores resulados predicivos se han obenido de forma generalizada considerando un valor τ =. Para la deerminación de m, empleando el AG y para cada caso, se seleccionó aquel valor que reporaba el error de predicción más bajo [Casdagli (989)] Predicción Punual En ese aparado se analiza la capacidad del AG para obener predicciones precisas a un periodo emporal. En el gráfico se presena la sensibilidad del ECMN obenido con el AG ane diferenes dimensiones de incrusación permiiendo, de esa manera, seleccionar el m ópimo para los disinos ipos de cambio. Por su pare, en el cuadro se muesran las dimensiones de incrusación finalmene seleccionadas y las ecuaciones supervivienes al proceso evoluivo para 58

5 Predicción no-lineal de ipos de cambio. Aplicación de un algorimo genéico Gráfico : DETERMINACIÓN DE LA DIMENSIÓN DE INCRUSTACIÓN. PREDICCIÓN PUNTUAL cada uno de los ipos de cambio considerados, así como su capacidad prediciva fuera de la muesra en érminos del ECMN. Asimismo, ambién se presena el ECMN obenido por un modelo paseo aleaorio. Las esrucuras de odas las soluciones halladas por el AG ienen un carácer similar. Por una pare, una fuere dependencia respeco al reardo x - y, por ora, la presencia de una esrucura no-lineal responsable de una leve mejora prediciva respeco al modelo paseo aleaorio. En ese senido, nuesros resulados parecen corroborar las conclusiones obenidas por Diebold y Nason (990). Esos auores consideraron que la presencia de esrucuras no-lineales en los ipos de cambio no puede ser exploada para mejorar susancialmene las predicciones fuera de la muesra a un periodo Porcenaje de Acieros de Signo Una aproximación complemenaria a la predicción punual consise en predecir si el ipo de cambio sufrirá una apreciación o depreciación en el fuuro. Auores como Walzack (200) consideran muy adecuado el empleo de esa perspeciva de análisis en el mercado cambiario en donde la exisencia de errores predicivos muy pequeños pero en la dirección equivocada puede originar imporanes pérdidas de capial. 59

6 Revisa de Economía Aplicada Cuadro : RESULTADOS PREDICCIÓN PUNTUAL A PERIODO Algorimo genéico Paseo aleaorio Precisión Predicción Fuera de la Muesra Dimensión (x0-5 ) Tipo de Incrusación cambio Ecuación (m) ECMN ag ECMN pa x = { x ( x x ) ( x ( x x ) + x } Marco/$ 3 2,995 3,747 02, 07, 968, x = { x + x x x } Yen/$ 2 3,445 3,3852 0, 0406 ( ) 2 x = x ( x x ) (, x x x + x x + x Libra/$ 8 8,2946 8, x = x ( x x ) x x x + x x Pesea/$ 6,664,7764 (, ,

7 Predicción no-lineal de ipos de cambio. Aplicación de un algorimo genéico La aplicación del AG DARWIN a ese problema específico nos ha llevado a rabajar con renabilidades y, por oro lado, a susiuir el crierio de foraleza definido en la ecuación [3]. Ahora las ecuaciones son evaluadas y seleccionadas en función de la expresión SR j M θ[ x ˆ x> 0] = m+ = M [4] donde SR j es el raio de acieros de signo (Success Raio) presenado por la ecuación j-ésima, x es la renabilidad observada, xˆ es la renabilidad predicha, θ( ) es la función Heaviside (θ( ) = si x xˆ > 0 y θ( ) = 0 si x xˆ < 0) y M es el número oal de observaciones desinadas a enrenar el AG. Como en el caso de la predicción punual, el gráfico 2 muesra la baja sensibilidad del porcenaje de signos predichos correcamene por el AG variando la dimensión de incrusación. En el cuadro 2 se presena la dimensión finalmene seleccionada, la expresión maemáica superviviene al proceso evoluivo y el porcenaje de acieros para cada uno de los ipos de cambio analizados. También se Gráfico 2: DETERMINACIÓN DE LA DIMENSIÓN DE INCRUSTACIÓN. PORCENTAJE ACIERTOS SIGNO (a) (c) (b) (d) 6

8 Revisa de Economía Aplicada Cuadro 2: RESULTADOS PREDICCIÓN SIGNO Algorimo genéico Dimensión Precisión Predicción Tipo de Incrusación Fuera de la muesra Tes Pesarancambio Ecuación (m) (porcenaje de acieros) Timmermann x x x = x + x x [ x x ] Marco/$ 3 58,89 3, , 3 3, 7 8, 94 3, x x x = x + x x + x x + x Yen/$ 7 60,05 4, , 953, 7 86, 2 x = x + x + x Libra/$ 9 57,97 3,328 x x x + x 9 9, 05 0, 58 3, 53 ) 4 ( x x = x + x + x x + x + x Pesea/$ 3 60,74 4,

9 Predicción no-lineal de ipos de cambio. Aplicación de un algorimo genéico muesran los resulados derivados de la aplicación del es no-paramérico propueso por Pesaran y Timmermann (992). Para el caso de las predicciones fuera de la muesra, el es verifica si el raio de acieros definido en la ecuación [4] difiere significaivamene del que se obendría en el caso de que x y xˆ fuesen independienes. El es, bajo la hipóesis nula de independencia, sigue una disribución normal esándar. Las ecuaciones maemáicas finalmene alcanzadas por el AG se caracerizan por una esrucura no-lineal y unos porcenajes de acieros por debajo del umbral del 60% para los casos del marco y la libra, y levemene superior para el yen y la pesea. Según los valores mosrados por el es de Pesaran-Timmermann, exisen argumenos esadísicos para rechazar en odos los casos la hipóesis de independencia enre x y xˆ con un nivel de significaividad del %. En resumen, el AG obiene unos porcenajes de aciero significaivamene superiores a los que se obendrían considerando que la dinámica del ipo de cambio sigue un proceso paseo aleaorio. 3. CONCLUSIÓN En ese rabajo se ha aplicado una novedosa écnica denominada AG para modelar y predecir la evolución de diferenes ipos de cambio. En el caso de la predicción punual, las expresiones alcanzadas por el AG presenaron de forma generalizada una esrucura no-lineal y una leve mejora prediciva en comparación con el paseo aleaorio. Al rabajar con renabilidades, el AG proporcionó unos porcenajes de acieros próximos al 60%. Se puede concluir que, a pesar de aplicar cada vez méodos predicivos más sofisicados y poenes, odavía no se ha conseguido mejorar de forma significaiva las predicciones proporcionadas por el modelo paseo aleaorio. Una posible explicación, ofrecida por Diebold y Nason (990), incidiría en la exisencia de débiles esrucuras no-lineales en la dinámica de los ipos de cambio que no permien grandes mejoras predicivas respeco al paseo aleaorio. E A REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Álvarez, A., A. Orfila y J. Tinore (200): DARWIN- an evoluionary program for nonlinear modeling of chaoic ime series, Compuer Physics Communicaions, 36, págs Casdagli, M. (989): Nonlinear predicion of chaoic ime series, Physica D, 35, págs Diebold, F.X. y J.A. Nason (990): Nonparameric exchange rae predicion?, Journal of Inernaional Economics, 28, págs Fernández-Rodríguez, F. y S. Sosvilla-Rivero (998): Tesing nonlinear forecasibiliy in ime series: heory and evidence from EMS, Economics Leers 59, págs Koza, J.R. (995): Geneic programming for economic modeling, en Inelligen Sysems and Business. Eds. S. Goonailake y P. Treleaven. John Wiley & Sons, págs

10 Revisa de Economía Aplicada LeBaron, B. (993): Forecas improvemens using a volailiy index, en Nonlinear Dynamics, Chaos and Economerics. Eds. M.H. Pesaran y S.M. Poer. John Wiley & Sons, págs Meese, R y K. Rogoff, (983): Empirical exchange rae models of he 970 s: Do hey fi ou of sample?, Journal of Inernaional Economics, 4, págs Pesaran, M.H. y A. Timmermann (992): A simple nonparameric es of predicive performance, Journal of Business & Economic Saisics, 4, págs Soofi, A.S. y L. Cao (999): Nonlinear deerminisic forecasing of daily Pesea-Dollar Exchange Rae, Economics Leers 62, págs Szpiro, G. (997): Forecasing chaoic ime series wih geneic algorihm, Physical Review E, 3, págs Takens, F. (98): Deecing srange aracors in urbulence, en Dynamical Sysems and Turbulence. Ed. Rand y Young, Springer, Berlin, págs Walzack, S. (200): An empirical analysis of daa requiremens for financial forecasing wih neural neworks, Journal of managemen Informaion Sysems, 4, págs Yao, J. y C.L. Tan (2000): A case sudy on using neural neworks o perform echnical forecasing of forex, Neurocompuing, 34, págs Yadavalli, V., R.K. Dahule, S.S. Tambe y B.D. Kulkarni (999): Obaining funcional form for chaoic ime series evoluion using geneic algorihm, American Insiue of Physics 3, págs Fecha de recepción del original: diciembre, 200 Versión final: marzo, 2003 ABSTRACT In his work we have applied a Geneic Algorihm o model and predic he weekly daa on he Marc, Yen, Pound and Pesea exchange raes agains he US Dollar. Our principal aim is o verify wheher or no he use of a geneic algorihm improves on he resuls of a random walk model. The comparison is made considering boh poin predicions and he anicipaion of eiher devaluaions or appreciaions. Key words: exchange raes, non-linear forecasing, geneic algorihms. JEL classificaion: C4, C53. 64

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