Métodos Numéricos Grado en Informática Tema 5: Diferenciación e Integración Numérica

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1 Métodos Numéricos Grado en Informática Tema 5: Diferenciación e Integración Numérica Luis Alvarez León Univ. de Las Palmas de G.C. Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 1 / 43

2 Contenido 1 Introducción a la Diferenciación Numérica 2 Fórmulas para calcular la derivada primera 3 Fórmulas para calcular la derivada segunda 4 Derivadas de funciones de varias variables 5 Integración Numérica 6 Métodos de Cuadratura de Gauss de Integración Numérica 7 Fórmulas de Integración para Integrales Múltiples 8 Fórmulas de Integración Numérica Compuestas 9 Práctica 5. Implementación del Método de Simpson Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 2 / 43

3 Contenido 1 Introducción a la Diferenciación Numérica 2 Fórmulas para calcular la derivada primera 3 Fórmulas para calcular la derivada segunda 4 Derivadas de funciones de varias variables 5 Integración Numérica 6 Métodos de Cuadratura de Gauss de Integración Numérica 7 Fórmulas de Integración para Integrales Múltiples 8 Fórmulas de Integración Numérica Compuestas 9 Práctica 5. Implementación del Método de Simpson Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 3 / 43

4 El método de Muller para calcular ceros de una función El método de Muller para calcular ceros de una función utiliza las siguientes fórmulas basadas en 3 puntos para calcular la primera y segunda derivada de una función: f (x n 1 ) 2 f (x n 2 ) f (x n 3 ) x n 2 x n 3 f (x n 1) f (x n 2 ) x n 1 x n 2 x n 3 x n 1 f (x n 1 ) f (x n 1) f (x n 2 ) + f (x n 1 ) (x n 1 x n 2 ) x n 1 x n 2 2 Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 4 / 43

5 Contenido 1 Introducción a la Diferenciación Numérica 2 Fórmulas para calcular la derivada primera 3 Fórmulas para calcular la derivada segunda 4 Derivadas de funciones de varias variables 5 Integración Numérica 6 Métodos de Cuadratura de Gauss de Integración Numérica 7 Fórmulas de Integración para Integrales Múltiples 8 Fórmulas de Integración Numérica Compuestas 9 Práctica 5. Implementación del Método de Simpson Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 5 / 43

6 Fórmula para calcular la derivada primera con 2 puntos La manera habitual de aproximar la derivada de una función f (x) en un punto x i consiste en utilizar el desarrollo de Taylor centrado en x i : f (x) = f (x i ) + f (x i ) 1! (x x i ) + f (x i ) 2! (x x i ) f N) (x i ) (x x i ) N +... N! Si tomamos un punto x j = x i, y despejamos f (x i ) obtenemos: f (x i ) = f (x j) f (x i ) f (x i ) (x j x i )... = f (x j) f (x i ) + O ( ) xj x i x j x i 2! x j x i donde O ( ) x j x i indica, básicamente, que el error cometido es una suma de potencias de x j x i en la que la potencia más pequeña es 1.. Se denomina orden de la aproximación a la potencia más pequeña que aparece en el término del error. Por lo tanto, en este caso, diremos que el orden de aproximación es 1. Si x j > x i, entonces la derivada se calcula hacia adelante, mientras que si x j < x i, la derivada se calcula hacia atrás. Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 6 / 43

7 Fórmula para calcular la derivada primera con 2 puntos Ejemplo f (x) = x 3 + x f (x) = 3x x i = 1 f (1) = 4 x j = 0 f (1) f (x j ) f (x i ) x j x i x j = 2 f (1) f (x j ) f (x i ) x j x i = = 2 = = 8 x j = 1.1 f (1) f (x j ) f (x i ) x j x i = = 4.31 x j = 1.01 f (1) f (x j ) f (x i ) x j x i = = Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 7 / 43

8 Fórmula para calcular la derivada primera con 3 puntos f (x r ) = f (x i ) + f (x i ) 1! (x r x i ) + f (x i ) 2! (x r x i ) 2 + f (x i ) 3! (x r x i ) f (x l ) = f (x i ) + f (x i ) 1! (x l x i ) + f (x i ) 2! (x l x i ) 2 + f (x i ) 3! (x l x i ) Despejamos la derivada primera y nos preguntamos por que factores hay que multiplicar las igualdades para que al sumar desaparezca el término en la derivada segunda (x l x i ) f (x i ) = (f (xr ) f (x i )) x r x i f (x i ) 2! (x r x i ) f (x i ) 3! (x r x i ) 2... (x r x i ) f (x i ) = (f (x l ) f (x i )) x l x i f (x i ) 2! (x l x i ) f (x i ) 3! (x l x i ) 2... Sumando las 2 ecuaciones y despejando obtenemos : donde h = x r x i x l x i f (x i ) = (x i x l ) f (xr ) f (x i ) x r x i + (x r x i ) f (x i ) f (x l ) x i x l + O(h 2 ) x r x l Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 8 / 43

9 Fórmula para calcular la derivada primera con 3 puntos En el caso de que los puntos esten equiespaciados, es decir x r = x i +h y x l = x i h la fórmula para calcular la primera derivada se simplifica obteniendo f (x i ) = f (x i + h) f (x i h) 2h + O(h 2 ) Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 9 / 43

10 Fórmula para calcular la derivada primera con 3 puntos Ejemplo f (x) = x 3 + x f (x) = 3x x i = 1 f (1) = 4 h = 1 f (1) f (x i +h) f (x i h) 2h = 10 0 h = 0.1 f (1) f (x i +h) f (x i h) 2h h = 0.01 f (1) f (x i +h) f (x i h) 2h 2 = 5 = = 4.01 = 2, , = Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 10 / 43

11 Contenido 1 Introducción a la Diferenciación Numérica 2 Fórmulas para calcular la derivada primera 3 Fórmulas para calcular la derivada segunda 4 Derivadas de funciones de varias variables 5 Integración Numérica 6 Métodos de Cuadratura de Gauss de Integración Numérica 7 Fórmulas de Integración para Integrales Múltiples 8 Fórmulas de Integración Numérica Compuestas 9 Práctica 5. Implementación del Método de Simpson Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 11 / 43

12 Fórmula para calcular la derivada segunda con 3 puntos Partimos de nuevo de los desarrollos en serie de Taylor y nos planteamos por que factores hay que multiplicar las ecuaciones para que al sumar desaparezca el término en derivada primera (x l x i ) f (x r ) = f (x i ) + f (x i ) 1! (x r x i ) + f (x i ) 2! (x r x i ) 2 + f (x i ) 3! (x r x i ) (x r x i ) f (x l ) = f (x i ) + f (x i ) 1! (x l x i ) + f (x i ) 2! (x l x i ) 2 + f (x i ) 3! (x l x i ) Sumando las 2 ecuaciones obtenemos : (x l x i )(f (x r ) f (x i )) (x r x i )(f (x l ) f (x i )) = f (x i ) ( 2 (xr x i ) 2 (x l x i ) (x l x i ) 2 (x r x i ) ) + ( (xr x i ) 3 (x l x i ) (x l x i ) 3 (x r x i ) ) +... f (x i ) 3! despejando f (x i ) y agrupando términos obtenemos: f (x r ) f (x i ) f x (x i ) = 2 r x i f (x i ) f (x l ) x i x l + O(h) x r x l Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 12 / 43

13 Fórmula para calcular la derivada segunda con 3 puntos En el caso de que los puntos esten equiespaciados, es decir x r = x i +h y x l = x i h, la fórmula para calcular la segunda derivada se simplifica obteniendo f (x i ) = f (x i + h) + f (x i h) 2f (x i ) h 2 + O(h 2 ) Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 13 / 43

14 Diferenciación e Integración Numérica Fórmula para calcular la derivada segunda con 3 puntos Ejemplo f (x) = x 3 + x f (x) = 6x x i = 1 f (1) = 6 h = 1 f (1) f (x i +h)+f (x i h) 2f (x i ) h 2 = = La fórmula para la derivada segunda es exacta para polinomios de grado 3. Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 14 / 43

15 Fórmula para calcular la derivada segunda con 3 puntos Ejemplo f (x) = x 4 f (x) = 12x 2 x i = 1 f (1) = 12 h = 1 f (1) f (x i +h)+f (x i h) 2f (x i ) h 2 = = 14 h = 0.1 f (1) f (x i +h)+f (x i h) 2f (x i ) h 2 h = 0.01 f (1) f (x i +h)+f (x i h) 2f (x i ) h 2 = 1, = = = Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 15 / 43

16 Contenido 1 Introducción a la Diferenciación Numérica 2 Fórmulas para calcular la derivada primera 3 Fórmulas para calcular la derivada segunda 4 Derivadas de funciones de varias variables 5 Integración Numérica 6 Métodos de Cuadratura de Gauss de Integración Numérica 7 Fórmulas de Integración para Integrales Múltiples 8 Fórmulas de Integración Numérica Compuestas 9 Práctica 5. Implementación del Método de Simpson Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 16 / 43

17 Derivadas de funciones de varias variables Consideremos una función de 2 variables como por ejemplo : F(x, y) = x 3 y 2 Las derivadas parciales de F(x, y) son : F x (x, y) = 3x 2 y 2 F y (x, y) = 2x 3 y Para aproximar numéricamente la derivada parcial en una dirección se pueden utilizar las mismas fórmulas que en una dimensión dejando el resto de variables constantes. Por ejemplo F x (x, y) (x + h)3 y 2 (x h) 3 y 2 2h F y (x, y) x 3 (y + h) 2 x 3 (y h) 2 2h Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 17 / 43

18 Derivadas de funciones de varias variables Podemos considerar que una imagen digital es una función de 2 variables donde (x, y) representa la posición de un pixel y F(x, y) el nivel de gris o color. Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 18 / 43

19 Derivadas de funciones de varias variables La derivada en la dirección horizontal de una imagen detecta los bordes verticales Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 19 / 43

20 Derivadas de funciones de varias variables La derivada en la dirección vertical de una imagen detecta los bordes horizontales Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 20 / 43

21 Contenido 1 Introducción a la Diferenciación Numérica 2 Fórmulas para calcular la derivada primera 3 Fórmulas para calcular la derivada segunda 4 Derivadas de funciones de varias variables 5 Integración Numérica 6 Métodos de Cuadratura de Gauss de Integración Numérica 7 Fórmulas de Integración para Integrales Múltiples 8 Fórmulas de Integración Numérica Compuestas 9 Práctica 5. Implementación del Método de Simpson Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 21 / 43

22 Integración Numérica b a f (x)dx =? Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 22 / 43

23 Integración Numérica b a f (x)dx = Area encerrada por la curva y el eje x en [a,b] Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 23 / 43

24 Contenido 1 Introducción a la Diferenciación Numérica 2 Fórmulas para calcular la derivada primera 3 Fórmulas para calcular la derivada segunda 4 Derivadas de funciones de varias variables 5 Integración Numérica 6 Métodos de Cuadratura de Gauss de Integración Numérica 7 Fórmulas de Integración para Integrales Múltiples 8 Fórmulas de Integración Numérica Compuestas 9 Práctica 5. Implementación del Método de Simpson Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 24 / 43

25 Métodos de Cuadratura de Gauss Sea f (x) una función definida en un intervalo [a, b], vamos a aproximar el valor de la integral de f (x) en [a, b] utilizando la evaluación de f (x) en ciertos puntos de [a, b]. Es decir, una fórmula de integración numérica se puede escribir como b a f (x)dx N 1 k=0 w k f (x k ) donde x k representa los puntos de evaluación de f (x) y w k el peso de cada punto de evaluación. Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 25 / 43

26 Métodos de Cuadratura de Gauss. Ejemplo Veamos como se construye la fórmula de Cuadratura de Gauss utilizando un sólo punto 1 1 f (x)dx w 0 f (x 0 ) Para calcular w 0 y x 0 vamos a exigir que la fórmula se exacta para polinomios de grado 0 y dx = 2 = w 0f (x 0 ) = w 0 = w 0 = 2 ] xdx = x 2 2 = 0 = w 0f (x 0 ) = x 0 = 0 1 Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 26 / 43

27 Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss Definición Una fórmula de integración numérica se denomina exacta de orden M si, para cualquier polinomio P(x) de grado menor o igual que M, la fórmula es exacta. Es decir b a P(x)dx = N 1 k=0 w k P(x k ) La fórmula de cuadratura de Gauss que utiliza N puntos es exacta de orden M = 2N 1 Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 27 / 43

28 Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss Definición Se denominan polinomios de Legendre L N (x) a la familia de polinomios dada por L 0 (x) = 1, L 1 (x) = x, y para N = 2, 3,... NL N (x) = (2N 1)xL N 1 (x) (N 1)L N 2 (x) Teorema Sean{ x k } k=1,..,n los ceros del polinomio de Legendre L N (x). Si definimos 1 Π i =k (x x i) w k = dx 1 Π i =k ( x k x i) entonces la fórmula de integración numérica generada por los puntos x k y los pesos w k es exacta hasta el orden 2N 1 para el intervalo [ 1, 1]. Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 28 / 43

29 Métodos de Cuadratura de Gauss Ejemplo A continuación se exponen algunos valores de raíces x k y coeficientes w k en función del grado del polinomio L N (x) : N x k w k 2 0, , , , , , , , , , , , , , , Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 29 / 43

30 Métodos de Cuadratura de Gauss Problema (2 puntos) Aproximar el valor de la siguiente integral, utilizando las fórmulas de Legendre para N = 2 y N = 3: 1 1 ( x 3 x 4) N 1 dx w k f (x k ) Solución: 1 N = 2 w k f (x k ) = 1 f (0, ) + 1 f ( 0, ) = k=0 k=0 N = 3 2 w k P (x k ) = 0,555 f (0,774) +0,888 f (0) + 0,555 f ( 0,774) =. 4 k=0 El valor exacto de la integral es 1 1 ( x 3 x 4) dx = 2 5 =. 4 Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 30 / 43

31 Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss Cuando el intervalo [a, b] es infinito, es decir, a = o b =, hay que emplear otros métodos para aproximar las integrales. En el caso [a, b] = (, ), se utilizan los ceros de los denominados polinomios de Hermite. En este caso, la fórmula de integración numérica aproxima la integral de la siguiente forma: N 1 f (x)e x 2 dx w k f (x k ) k=0 Los puntos que se utilizan para calcular los integrales son : N x k w k Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 31 / 43

32 Métodos de Cuadratura de Gauss Problema (2 puntos) Aproximar, utilizando dos puntos de aproximación, el valor de la integral: x 2 dx Solución: 1 dx = arctan(x)] 1+x 2 = π 2 π 2 = π = e x2 e x 2 dx 1+x 2 f (x) = ex2 1+x x 2 dx w 1 f (x 1 ) + w 2 f (x 2 ) = 0, f ( 0, ) + +0, f (0, ) = Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 32 / 43

33 Diferenciación e Integración Numérica Métodos de Cuadratura de Gauss. Polinomios de Laguerre Para el intervalo (0, ), se utilizan los polinomios de Laguerre. En este caso, la fórmula de integración numérica aproxima: Los puntos y pesos de integración son 0 N 1 f (x)e x dx w k f (x k ) k=0 N x k w k Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 33 / 43

34 Métodos de Cuadratura de Gauss Problema A partir de los ceros y de los pesos asociados a los polinomios de Legendre, y dado un intervalo [a, b] cualquiera, encontrar los puntos x k, y los pesos w k que hacen exacta hasta el orden 2N 1 una fórmula de integración numérica sobre el intervalo [a, b] Solución: Tenemos que hacer un cambio de variable en la integral para llevarla al intervalo [ 1, 1] b a 1 f (x) dx = f 1 ( (b a) t + b + a 2 ) b a 2 dt Buscamos un cambio de variable x(t) tal que x( 1) = a y x(1) = b. Dicho cambio viene dada por una recta que tiene por ecuación : x(t) a b a = t ( 1) 1 ( 1) x(t) = (b a) t + b + a 2 Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 34 / 43

35 Contenido 1 Introducción a la Diferenciación Numérica 2 Fórmulas para calcular la derivada primera 3 Fórmulas para calcular la derivada segunda 4 Derivadas de funciones de varias variables 5 Integración Numérica 6 Métodos de Cuadratura de Gauss de Integración Numérica 7 Fórmulas de Integración para Integrales Múltiples 8 Fórmulas de Integración Numérica Compuestas 9 Práctica 5. Implementación del Método de Simpson Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 35 / 43

36 Fórmulas de Integración para integrales múltiples Consideremos una fórmula de integración numérica en una variable 1 1 f (x)dx = N w k f ( x k ) k=1 A partir de esta fórmula podemos deducir F (x, y) dxdy = 1 k=1 N w k F ( x k, y)dy = N 1 w k F ( x k, y) dy k=1 1 = N k=1 N w k j=1 w j F ( x ) k, x j = N k,j=1 W k,j F ( x k, x j ), donde W k,j = w k w j Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 36 / 43

37 Contenido 1 Introducción a la Diferenciación Numérica 2 Fórmulas para calcular la derivada primera 3 Fórmulas para calcular la derivada segunda 4 Derivadas de funciones de varias variables 5 Integración Numérica 6 Métodos de Cuadratura de Gauss de Integración Numérica 7 Fórmulas de Integración para Integrales Múltiples 8 Fórmulas de Integración Numérica Compuestas 9 Práctica 5. Implementación del Método de Simpson Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 37 / 43

38 Fórmulas de Integración Numérica Compuestas. Fórmula del rectángulo b a x 0 = a, f (x)dx = M k=0 x M+1 = b xk+1 x k f (x)dx M ( ) xk + x k+1 f (x k+1 x k ) 2 k=0 Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 38 / 43

39 Fórmulas de Integración Numérica Compuestas. Fórmula del trapecio b a x 0 = a, f (x)dx = x M+1 = b M k=0 xk+1 x k f (x)dx M k=0 f (x k ) + f (x k+1 2 (x k+1 x k ) Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 39 / 43

40 Fórmulas de Integración Numérica Compuestas. Fórmula de Simpson b a x 0 = a, f (x)dx = M k=0 x M+1 = b xk+1 x k f (x)dx M f (x k ) + 4f k=0 ( ) xk +x k f (x k+1 ) (x k+1 x k ) Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 40 / 43

41 Fórmulas de Integración Numérica Compuestas. Demostración Fórmula Simpson xk+1 x k f (x)dx xk+1 x k ( f (x m ) + f (x m )(x x m ) + f (x m ) (x x m ) )dx 2 = 2 f (x m )(x k+1 x k ) f (x m ) 3 ( xk+1 x k 2 ) 3 Ahora aproximamos f (x m ) utilizando los puntos x k, x m, x k+1 f (x m ) f (x k+1) 2f (x m ) + f (x k ) ( xk+1 x k 2 Por tanto, sustituyendo este valor en la aproximación anterior obtenemos xk+1 f (x)dx f (x m )(x k+1 x k ) + f (x ( ) k+1) 2f (x m ) + f (x k ) xk+1 x k x k 3 2 ( ) xk +x f (x k+1 ) + f (x k ) + 4f k+1 2 = (x k+1 x k ) 6 ) 2 Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 41 / 43

42 Contenido 1 Introducción a la Diferenciación Numérica 2 Fórmulas para calcular la derivada primera 3 Fórmulas para calcular la derivada segunda 4 Derivadas de funciones de varias variables 5 Integración Numérica 6 Métodos de Cuadratura de Gauss de Integración Numérica 7 Fórmulas de Integración para Integrales Múltiples 8 Fórmulas de Integración Numérica Compuestas 9 Práctica 5. Implementación del Método de Simpson Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 42 / 43

43 Práctica 4. Implementar el método de Simpson Implementar en C el método de Simpson. Los parámetros de la función serán: Los límites del intervalo de integración en precisión real y el número de subintervalos en los que se dividirá el intervalo inicial. La función devolverá el valor de la integral obtenido. Probar el método para aproximar las siguientes integrales con diferentes valores para el parámetro de número de subintervalos y comprobar que el resultado se aproxima al valor exacto de la integral. 1 π 0 sin(x)dx = x 1 x 2 dx = 1 3 e x 2 dx = π = Nota: Las integrales con límites infinitos se aproximarán cambiando el infinito por un número grande. Cambiar la precisión de la aritmética y valorar si hay diferencias en los resultados Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 43 / 43

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