Examen Ordinario (10 puntos) 3

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1 Examen Ordinario puntos de junio de 5 Fundamentos de Matemáticas { x x x Sean hx = x x x x+x fx = x+ x, si x Domh x, si x / Domh a Obtener el dominio, la continuidad las asíntoras de f. Está acotada la función f? b Estudiar la derivabilidad de f hallar su derivada h x = x x donde tenga sentido x c Encontar todos los puntos candidatos a albergar extremo, resuelve, para cada uno de ellos si se alcanza o no d Esbozar la gráfica de la función f, marcando la monotonía, las asíntotas los extremos e Sean las funciones F a x = x a fx dx, cuál es el dominio de F, F, F F? f La función F, es continua?, es derivable en los puntos x = x =?, en su dominio? g Gx = x 7 fx dx alcanza extremo en x = 7? Y en x =? h Sabiendo que, para los x Domh, es h x =, obtener el polinomio de Talor de h x en a = de orden 5. Si evaluamos h con este polinomio, dar una cota del error cometido Solución: Como h es cociente de polinomios, su dominio en R {, }, a que el denominador se anula ahí; es continua derivable en ese dominio. Recordemos además, que k = ±k según sea k > o k a Como f = = f = =, es Domf = R es continua, seguro en R {±} pues h lo es el valor absoluto también. Veamos esos dos puntos i ii x x+ x x x+ x fx x x x+ x x x+ x ± x = 8 = ± x x+ x x x x+ fx x x x+ x x x x ± x+ = 6 ± = luego en, no es continua ĺımites laterales distintos, distintos de f = pero sí está acotada; en tampoco es continua ni acotada, tiene en x = asíntotas verticales: fx x + fx x +. No tiene más asíntotas verticales a que está acotada donde es continua. Veamos las asíntotas = mx + n en + : m = fx x x+ x x x x x+ x x n fx + x = x x+x x x x+ x+xx x+ x+ x x x fx m x x x+ x x x x+ x x n fx + x = x x+x x x+ x+ x x = = xx+ x+xx x+ x+x = Por ser x + serán x = x x + = x + x x+ x+xx x+ x+ x x x = x+ x+ x x = = xx+ x+xx x x+x Si x serán x = x x+ = x b f es derivable en el Domg {}, pues h es derivable el valor absoluto también lo es salvo donde se anula, luego en x =. Y además, f tampoco puede ser derivable en ± puesto que ahí no es continua. { { x, si x < x +, si x < Como x = x, si x x + =, en el Domh, las funciones f h x +, si x solo difieren en el signo: f = h en,, + f = h en,. En consecuencia, f x = h x en,, + f x = h x en,, c Pueden albergar extremo los puntos +,, donde no ha derivación los puntos con f x =. Como f = ±h h x = si x x =, se obtienen los puntos x = ± 6 8 = ±. Si h x = x + x x, es h > para los x, + h < en el resto. Luego f = h f = h f = h f = h f = h f = h,,,,, + + +, + h < h < h < h > h > h < f < f > f < f > f > f < f f M f m f f M f la monotonía continuidad de f aseguran los máximos f f+ el mínimo f.

2 Para los puntos, donde no ha continuidad, se tiene en x = : por la izquierda es fx x + por la derecha se tiene que fx x +, luego f= no es extremo + >> en x = : cuando x, fx siendo <f =; cuando va x +, fx, luego f es un máximo local <> e Como fx no está acotada en, ni por la derecha ni por la izquierda, no será integrable Riemman en ningún intervalo que lo tenga por extremo o lo contenga; como en el resto es acotada continua salvo en, F a estará definida en cualquier x de manera que / [a, x] / [x, a]. Así: DomF =, DomF =, d DomF =, DomF =, + f La función F, es continua en su dominio por ser una función integral, derivable seguro en los puntos de continuidad de f Th Fund. Cálculo Integral, luego en, { } en particular en x =. Además, ese teorema dice que F x = fx es esos puntos. Para el punto x = la función f no es continua, pero como F sí, podemos aplicar el resultado: Si g es continua en b existen los ĺımites laterales de g en b, entonces g es derivable en b si solo si esos ĺımites coinciden pero F x = x F no es derivable en x = g La función es Gx = fx = x no coincide con F x = x + x 7 fx = x + fx dx = F x 7. Luego será DomG={x R : x 7 DomF }, es decir x 7 < x < 9 < x <. Como el polinomio es derivable siempre, G será derivable en cada x, con x 7 pues F no es derivable ahí G x = F x 7 x = fx 7 x. Como 7 = 6 G = f 6 no se alcanza extermo en él. 7 7 = G 7 = f 7 = pues f = puede haber extremo en el punto. Pero como f < f + < no ha extremo f crece hasta f = decrece desde f = h Nota: En realidad, es h x = x, pero como no era necesaria para lo anterior, preferí ofreceros el valor h x = x para simplificar un poco las cuentas Por la fórmula de Talor, tenemos el polinomio+el resto de Lagrange: hx = h+ h! x + h! x + h! x + h! x + h5 5! x 5 + h6 c 6! x 6 h =, h =, si usamos h x = x, h = h x = x con h = 8; h x = x con h = ; h 5 x = x 5 con h 5 =! h 6 x = 5x 6. Luego sustituendo P,5 x = + x + x x + x 5 x 5 Si hacemos h = P,5, el error estará acotado por pues, como h 6 c 6 6! = 5! c 6 6! 6 = 6 c 6 < 6 = 96 =.6666 < c < = < c < = > c > = < c < Consideremos la corona limitada por las circunferencias x + = x + = a Para la parte de la corona situado en el primer cuadrante, i Plantear sólo con integrales el cálculo del área ii Calcular el volumen de girarla alrededor del eje X b Plantear sólo con integrales el cálculo del volumen obtenido al girar la corona completa alrededor del eje Y,

3 Solución: = x = x, 5 x = + x = x = + x = + a En el primer cuadrante, la semicircunferencia maor va desde x = a x = tiene por ecuación = f x = x ; la semicircunferencia menor es completa va de x = a x = con ecuación = f x = x ver a imagen, las curvas en azul suman las magenta restan. Luego el área entre las dos será A = x dx x dx Si lo giramos respecto al eje X basta encontrar el volumen engendrado por la parte correspondiente del círculo grande restarle el hueco que produce el círculo pequeño V = π dx dx x π x = π x dx π = π x x ] π x x ] = π x dx b Si giramos la corona alrededor del eje, la parte de la corona a la derecha del eje genera volumen, pero la parte a la izquierda también ver a imagen, por lo que para el cálculo del volumen es como girar la figura a nos quedará azules suman magenta restan la suma/resta de volúmenes: V = π + d π + d π d + π 5 d π + 5 d + π d π d Una de las ecuaciones diferenciales siguientes es lineal. Encontarla resolverla usando un factor de integración adecuado para convertirla en exacta a x + dx x + d = b x d + x + dx = c x x d + dx = d x + dx = x d Solución: En realidad, dos de ellas son lineales a lineal en que, en consecuencia, admite un factor integral tipo µx c lineal en x con factor µ: x+ dx x+d = x+ x+ = x x x d + dx = x x x+ + + x = x x x+ = + x+ = x + x = x + x x = x+ Elijamos, por ejemplo la segunda busquemos el factor. Como luego vamos aconvertirla en exacta, busquemos el factor directamente desde la forma diferencial dx + x x d = : dm d dn dx M = = = µ µ = lnµ = µ d µ = d Luego µ = e d = e ln = e e ln = e que multiplicando en la ecuación nos da la ecuación exacta e dx + x x d = = e dx + e x x Como tiene que ser M = dϕ dx Para cumplir la segunda, e Luego K = N = dϕ d, será ϕx, = x x Mx, dx = d = e dx = e x + K = N = dϕ d = e x + e x + K K = e e d = e + C la solucion de la ecuación es: e x + e C = Nota: Falta la solución =, que lo es de la ecuación inicial, pero la hemos eliminado al dividir por

4 { } Sean u =,,, R, el subespacio W = x R : x u = la aplicación f: R W dada por la fórmula fx,, z = x, + z, x + z, x + + z a Comprobar que para cualquier x R se cumple que fx W es decir, que Imgf W b Encontrar una base B de W una base de Imgf qué dimensiones tienen esos subespacios? c Tomar una base B de R la base B de W. Si A es la matriz de la aplicación f referida a esas bases B B, qué tamaño tendrá? Hallarla d Considerar la base de la imagen obtenida antes completarla, si es necesario, hasta una base B de W distinta de B. Encontrar la matriz de cambio de base Q de B a B e Encontar una base del kerf completarla, si es necesario, hasta una base B de R distinta de B. Encontrar P, la matriz de paso de B a B f Cómo hallarías la matriz de f referida a las bases B B? la referida a B B? g Obtener la matriz A de la aplicación f referida a las bases B B Solución: a fx W si cumple la condición, es decir, si fx u = para cualquier x. Veamos que sí lo hace: fx u = x, + z, x + z, x + + z,,, = z + x + z x + + z = b Los vectores de W han de cumplir la ecuación = x, x, x, x,,, = x +x +x, luego son las soluciones de ese sistema de ecuaciones homogéneo. Como la matriz del sistema,,, tiene rango incógnitas, será dimw = = resolverlo nos da la base B = {w, w, w }: x x x x = x x + x x x = x + x + x = x w + x w + x w x Para la Imgf: como fx,, z = + z x + z = x + + z x + + z vectores [] generan la imagen dado que la matriz que les tiene por filas tiene rg = rg = rg = la dimimg f = las dos primeras filas iniciales {,,,,,,, } forman una base. estos []: esos vectores obtenidos de f son además, las imágenes de los vectores de la base canónica: fe, fe fe c Tomemos como B la base canónica de R. La matriz A será de tamaño dim W dim R será A = [fe ] B [fe ] B [fe ] B = Para buscar las coordenadas, ha que resolver los sistemas: fe = λ w + λ w + λ w, fe = λ w + λ w + λ w fe = λ w + λ w + λ w. Y juntándolos, en el sistema : F F F F B = A = B d Como la base de la imagen tiene vectores, necesitamos añadir otro de W dimw = que no sea de la imagen. Como a conocemos los vectores de la base de W, basta comprobar si alguno de ellos no está en la imagen: F F F F F F por ejemplo, sea B =,, B

5 valdría cualquiera de los tres. Como B = {fe, fe, w }, encontrar la matriz de paso Q de la base B en la base B es inmediato, pues a conocemos esas coordenadas Q = [fe ] B [fe ] B [w ] B = entonces Q = Q Q I F +F F F así tenemos la matriz Q pedida F F F +F F F e Si tomamos la matriz A, las soluciones del sistema A X = son las coordenadas en la base canónica de los vectores del kerf. Además dimker f = dimimg f =, luego F +F x F F F F = = = z Así {,, } es base del ker, porejemplo B = {,,,,,,,, } base de R al ser B la canónica, es P = f Como sabemos que A [x] B = [fx] B, P [x] B = [x] B Q [x] B = [x] B La matriz de f referida a B B será A P, pues A P [x] B = A [x] B = [fx] B La matriz de f en B B será Q A, pues Q A [x] B = Q [fx] B = [fx] B g Entonces, la matriz de la aplicación f asociada a las base B B será Q A P, pues Q A P [x] B = Q A [x] B = Q [fx] B = [fx] B Q A P = 5 Dada la matriz A = a Estudiar si diagonaliza A, si lo hace ortogonalmente b Construir la matriz de la forma cuadrática Qx = x t Ax en la base canónica clasificar Q Solución: a Ortogonalmente no diagonaliza la matriz A puesto que no es simétrica. Veamos si diagonaliza normalmente λ + λi A = λ + = λ + λ + λ λ = λ + λ + λ + = λ + λ + Luego dos autovalores λ = conmultiplicidad λ = con multiplicidad. Como m =, se cumple la condición dim V = = m pues dim m = para λ = se tiene que rg I A = rg = rg = = dim V = = = m que la matriz A es diagonalizable b La matriz de Qx = x t Ax en la base canónica es la matriz simétrica tal que Qx = [x] t B c S[x] Bc ; pero como en la canónica [x] Bc = x, la matriz S será tal que x t Sx = x t Ax, luego S = A+At S = F F C C F 6 F C 6 C Luego la forma cuadrática Q es indefinida +, +, F + F C + C

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