CÁLCULO INTEGRAL. Víctor Manuel Sánchez de los Reyes. Departamento de Análisis Matemático Universidad Complutense de Madrid

Transcripción

1 CÁLCULO INTEGRL Vítor Mnuel Sánhez de los Reyes Deprtmento de nálisis Mtemátio Universidd Complutense de Mdrid

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3 Índie 1. Integrión Funiones integrbles El teorem de Lebesgue Propieddes de l integrl El teorem de Fubini El teorem del mbio de vribles Integrles impropis Integrl de líne y de superfiie L integrl de tryetori L integrl de líne Cmpos onservtivos El teorem de Green Integrles de superfiie El teorem de Stokes El teorem de Guss Bibliogrfí 59 3

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5 Tem 1 Integrión 1.1. Funiones integrbles Se f : R n R un funión otd siendo otdo. Elijmos un retángulo B = [ 1, b 1 ] [ n, b n ] que onteng. demás, definmos l funión f sobre todo B dándole el vlor 0 fuer de. Se P un prtiión de B obtenid l dividir d [ i, b i ] medinte los puntos i = x i 0 < x i 1 < < x i m i = b i formndo los m 1... m n subretángulos [x 1 j 1, x 1 j 1 +1] [x n j n, x n j n+1] on 0 j i m i 1. Definimos el volumen de B, v(b), omo el produto de ls longitudes de ls rists de B, es deir, v(b) = (b 1 1 )... (b n n ). Definimos l sum inferior de f pr P, s(f, P ), omo s(f, P ) = R P ínf f(x) v(r) x R donde l sum se reliz sobre todos los subretángulos R de P. nálogmente, definimos l sum superior de f pr P, S(f, P ), omo S(f, P ) = R P sup f(x) v(r). x R lguns propieddes de s(f, P ) y de S(f, P ) son ls siguientes: 1. s(f, P ) S(f, P ). 5

6 2. s(f, P ) s(f, P ) y S(f, P ) S(f, P ) donde P es un refinmiento de P, es deir, d subretángulo de P está ontenido en uno de P. Esto es debido que el ínfimo (supremo) de f en un retángulo es menor (myor) o igul que el ínfimo (supremo) de f en un retángulo ontenido en él. 3. s(f, P ) S(f, P ) siendo P y P dos prtiiones ulesquier de B. En efeto, si P es un prtiión de B que refin P y P, lo ul podemos onseguir usndo todos los puntos de división de mbs, entones s(f, P ) s(f, P ) S(f, P ) S(f, P ). 4. Los onjuntos {s(f, P ) : P prtiión de B} y {S(f, P ) : P prtiión de B} están otdos inferiormente por ínf f(x) v(b) y superiormente por sup f(x) v(b). Esto x B x B se tiene gris que f y B están otdos. Usndo l propiedd nterior se tiene que sup{s(f, P ) : P prtiión de B} ínf{s(f, P ) : P prtiión de B}. Definiión Si f es un funión otd definid en un onjunto otdo, se define l integrl inferior de f sobre omo f = sup{s(f, P ) : P prtiión de B} y l integrl superior de f sobre omo f = ínf{s(f, P ) : P prtiión de B} donde B es ulquier retángulo que onteng. sí, f es integrble (Riemnn) sobre si f = f y definimos l integrl de f sobre, f, omo su vlor omún. Proposiión (Condiión de Riemnn). Se f : R n R un funión otd on otdo. Entones f es integrble si y solo si pr todo ɛ > 0 existe un prtiión P ɛ tl que S(f, P ɛ ) s(f, P ɛ ) < ɛ. Demostrión. Supongmos en primer lugr que f es integrble. Ddo ɛ > 0 existe un prtiión P ɛ tl que S(f, P ɛ) < f + ɛ 2. Esto es debido que f = ínf{s(f, P ) : P prtiión de B}. nálogmente existe un prtiión P ɛ tl que s(f, P ɛ ) > f ɛ 2. 6

7 Se P ɛ = P ɛ P ɛ. Entones f ɛ 2 < s(f, P ɛ) S(f, P ɛ ) < de lo que se obtiene el resultdo. f + ɛ 2 Reípromente, ddo ɛ > 0 existe un prtiión P ɛ tl que S(f, P ɛ ) s(f, P ɛ ) < ɛ, on lo que f f < ɛ pr todo ɛ > 0 y, por tnto, f = f. Ejemplo Tod funión f : R n R ontinu siendo un retángulo, es integrble. En efeto, por l ontinuidd uniforme de f en, ddo ɛ > 0 existe δ > 0 tl que si x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) y x i y i < δ pr todo 1 i n, entones f(x) f(y) < ɛ v(). Si = [ 1, b 1 ] [ n, b n ], se P i un prtiión de [ i, b i ] tl que l distni entre dos puntos onseutivos de l mism se menor que δ. Tomndo P ɛ = P 1 P n se tiene que S(f, P ɛ ) s(f, P ɛ ) = ) (sup f(x) ínf f(x) x R x R R P ɛ v(r) ɛ v() v() = ɛ on lo que plindo l proposiión nterior obtenemos que f es integrble. Existe un importnte rterizión de l integrbilidd Riemnn, dd por el siguiente teorem: Teorem (Drboux). Se f : R n R un funión otd on otdo y ontenido en lgún retángulo B y extendmos f B definiéndol omo 0 fuer de. Entones f es integrble on integrl I si y solo si pr todo ɛ > 0 existe δ > 0 tl que si P es ulquier prtiión de B en subretángulos B 1,..., B N on ldos de longitud menor que δ y x i B i pr todo 1 i N, entones N f(x i )v(b i ) I < ɛ. Deimos que N f(x i )v(b i ) es un sum de Riemnn de f. 7

8 Demostrión. Supongmos que f es integrble on integrl I. En primer lugr, ddos un prtiión P de B y ɛ > 0, demostrremos que existe δ > 0 tl que pr d prtiión P en subretángulos on ldos menores que δ, l sum de los volúmenes de los subretángulos de P que no están totlmente ontenidos en lgún subretángulo de P es menor que ɛ. En efeto, pr n = 1 bst tomr δ = ɛ/n siendo N el número de puntos de P. De heho, l longitud de los subintervlos de P que no están ontenidos en un subintervlo de P es lo sumo Nδ = ɛ. Si n > 1, denotndo por T l áre totl de ls rs situds entre ulesquier dos subretángulos de P, bst tomr δ = ɛ/t pues si P es ulquier prtiión de B en subretángulos on ldos menores que δ, l sum de los volúmenes de los subretángulos de P que no están totlmente ontenidos en lgún subretángulo de P es menor que δt = ɛ. Como f es otd, existe M > 0 tl que f(x) < M pr todo x B. Existen prtiiones P 1 y P 2 de B tles que I s(f, P 1 ) < ɛ/2 y S(f, P 2 ) I < ɛ/2. Elegimos un refinmiento P de mbs on lo que I s(f, P ) < ɛ/2 y S(f, P ) I < ɛ/2. Existe δ > 0 tl que pr tod prtiión P en subretángulos on ldos menores que δ, l sum de los volúmenes de los subretángulos de P que no están totlmente ontenidos en lgún subretángulo de P es menor que ɛ/4m. Sen B 1,..., B N un prtiión de B en subretángulos on ldos de longitud menor que δ y x i B i pr todo 1 i N. Entones, si B 1,..., B k son los subretángulos no ontenidos en lgún subretángulo de P, se tiene que N (f(x i ) + M)v(B i ) = k (f(x i ) + M)v(B i ) + S(f + M, P ) + 2M ɛ 4M = S(f + M, P ) + ɛ 2 N (f(x i ) + M)v(B i ) i=k+1 on lo que nálogmente, on lo que N f(x i )v(b i ) S(f, P ) + ɛ 2 < I + ɛ. N f(x i )v(b i ) s(f, P ) ɛ 2 > I ɛ N f(x i )v(b i ) I < ɛ. Probemos hor el reíproo. Mostrremos que I = f = f. 8

9 Pr ello, ddo ɛ > 0 onstruiremos un prtiión P tl que S(f, P ) I < ɛ on lo que f I. nálogmente, tendremos I f. Pr ello, elegimos δ > 0 tl que si P es un prtiión de B en subretángulos B 1,..., B N on ldos de longitud menor queδ y x i B i pr todo 1 i N, entones N f(x i )v(b i ) I < ɛ 2. Elegimos los x i tles que f(x i) sup f(x) < x B i ɛ 2Nv(B i ). Entones N S(f, P ) I S(f, P ) f(x i )v(b i ) + N f(x i )v(b i ) I < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. El so de ls sums inferiores es nálogo. Ejeriios 1. Se f : [0, 1] [0, 1] R definid por 0 si x Q f(x, y) = 0 si x Q e y Q si x Q e y = p Q irreduible q Prueb que f es integrble y lul su integrl. 2. Se f : [0, 1] [0, 1] R definid por { 1 si x Q f(x, y) = 2y si x Q Estudi l integrbilidd de f. 1 q 3. Se f : R n R integrble siendo un retángulo, on f(x) > 0 pr todo x. Prueb que 1/f es integrble. 4. Sen R n un retángulo y f : R un funión integrble. Prueb que pr d R n l funión f (x) = f(x ) esintegrble sobre + y f = f. + 9

10 1.2. El teorem de Lebesgue Definiión Se R n un onjunto otdo. Deimos que tiene volumen o ontenido (o que es medible Jordn) si l funión rterísti de definid por { 1 si x χ (x) = 0 si x es integrble, y el volumen de es v() = Si n = 1 deimos que v() es l longitud de, y si n = 2 el áre. Deimos que tiene volumen ero o ontenido ero si v() = 0. Esto es equivlente que pr d ɛ > 0 existe un reubrimiento finito de medinte retángulos, B 1,..., B m (es deir, m B i ) tl que χ. m v(b i ) < ɛ. En efeto, supongmos que tiene volumen ero y se ɛ > 0. Se B un retángulo que ontiene. Por hipótesis existe un prtiión P de B tl que S(χ, P ) < ɛ. Se P 0 l oleión de los subretángulos de P que intersen. Entones S(χ, P ) = R P 0 v(r) obteniendo lo que busábmos. Reípromente, supongmos que ddo ɛ > 0 existe un reubrimiento finito de medinte retángulos, B 1,..., B m tl que m v(b i ) < ɛ. Sen B un retángulo que ontiene y P un prtiión de B tl que d subretángulo está ontenido en lgún B i o lo más tiene fronter omún on lgunos B i (definimos l prtiión usndo tods ls rists de los B i ). Entones m S(χ, P ) v(b i ) < ɛ on lo que Como ínf{s(χ, P ) : P prtiión de B} = 0. 0 sup{s(χ, P ) : P prtiión de B} ínf{s(χ, P ) : P prtiión de B} = 0 10

11 se tiene que tiene volumen ero. Es útil permitir el uso de reubrimientos numerbles l igul que finitos: Definiión Un onjunto R n (no neesrimente otdo) tiene medid ero si pr d ɛ > 0 existe un reubrimiento de, B 1, B 2,..., medinte un ntidd numerble (o finit) de retángulos (es deir, B i ) tl que v(b i ) < ɛ. Este onepto depende del espio en el que se trbje omo muestr el siguiente ejemplo: Ejemplo L ret rel onsiderd omo subonjunto de R 2 tiene medid ero, pero omo subonjunto de R no. En efeto, ddo ɛ > 0 tommos pr d i N el retángulo [ B i = [ i, i] ɛ i2, ɛ ]. i+3 i2 i+3 Es lro que B 1, B 2,... reubren. demás se tiene que v(b i ) = ɛ 2 i+1 = ɛ 2 < ɛ. Está lro que R omo subonjunto de sí mismo no tiene medid ero y que l reubrirl medinte intervlos l longitud totl de los mismos será +. Es evidente que si tiene volumen ero, entones tiene medid ero, y que si tiene medid ero y B, entones B tmbién tiene medid ero. L prinipl ventj de l medid ero sobre el volumen ero pree en el siguiente teorem: Teorem Si los onjuntos 1, 2,... tienen medid ero en R n, el onjunto tmbién. i Demostrión. Se ɛ > 0. Pr d i N existe un reubrimiento de i, B i1, B i2,..., tl que v(b ij ) < ɛ 2. i j=1 11

12 L oleión numerble {B ij : i, j N} es un reubrimiento de i y v(b ij ) = i,j=1 v(b ij ) < j=1 ɛ 2 i = ɛ donde l primer iguldd se tiene gris que l serie doble se puede reordenr pr que se un serie bsolutmente onvergente on lo que l serie doble tmbién lo es (ver [, Theorem 8.42]). Del teorem nterior se obtiene que ulquier onjunto formdo por un ntidd numerble de puntos tiene medid ero, omo por ejemplo Q en R. Estudiemos hor uno de los resultdos más importntes de l teorí de integrión: el teorem de Lebesgue. Teorem (Teorem de Lebesgue). Se f : R n R un funión otd on otdo. Extiéndse f todo R n definiéndol omo 0 fuer de. Entones f es integrble si y solo si los puntos de disontinuidd de f formn un onjunto de medid ero. Demostrión. Considérese lgún retángulo B que onteng. Entones debemos demostrr que f es integrble si y solo si los puntos de disontinuidd de l funión g que es igul f en y 0 fuer formn un onjunto de medid ero. Definimos l osilión de un funión h en x 0 omo O(h, x 0 ) = ínf{sup{ h(x 1 ) h(x 2 ) : x 1, x 2 U} : U entorno (bierto) de x 0 }. Se tiene que O(h, x 0 ) 0. demás, O(h, x 0 ) = 0 si y solo si h es ontinu en x 0. En efeto, h es ontinu en x 0 si y solo si pr todo ɛ > 0 existe un entorno U de x 0 tl que y esto es equivlente que O(h, x 0 ) = 0. sup{ h(x 0 ) h(x 1 ) : x 1 U} < ɛ Supongmos primero que los puntos de disontinuidd de l funión g formn un onjunto de medid ero. sí, si on ɛ > 0, y D ɛ = {x B : O(g, x) ɛ} D = {x B : g es disontinu en x} entones D ɛ D. Si y es un punto de umulión de D ɛ, d entorno de y ontiene un punto de D ɛ. Entones d entorno U de y es un entorno de un punto de D ɛ, luego sup{ g(x 1 ) g(x 2 ) : x 1, x 2 U} ɛ. 12

13 Esto impli que y D ɛ, es deir, D ɛ es un onjunto errdo. Como D ɛ B, D ɛ es otdo y, por lo tnto, ompto. Como es de medid ero existe un reubrimiento finito de D ɛ medinte retángulos biertos, B 1,..., B m tl que m v(b i ) < ɛ. Elíjse hor un prtiión de B. Refinándol sufiientemente podemos onseguir que d retángulo de ell pertenez un de ls dos siguientes oleiones (o ls dos): C 1 = {los retángulos ontenidos en un B i } y C 2 = {los retángulos disjuntos on D ɛ }. Pr d retángulo S C 2 se tiene que O(g, x) < ɛ pr todo x S. Por lo tnto, existe un entorno U x de d x S de modo que sup g(y) ínf g(y) < ɛ. y U x y U x Como S es ompto, un ntidd finit de onjuntos biertos U xi reubre S. Elíjse un prtiión refind de S, P S, de modo que d retángulo de l prtiión esté ontenido en lgún U xi. Si hemos esto pr d S C 2 obtenemos un prtiión P tl que S(g, P ) s(g, P ) ) (sup g(x) ínf g(x) v(s) x S x S S C 1 + ( ) sup g(x) ínf g(x) v(r) x R x R S C 2 R P S < ɛ v(b) + S C 1 2Mv(S) < ɛ (v(b) + 2M) donde M es un ot de f. Como ɛ es rbitrrio, l ondiión de Riemnn muestr que g, y por lo tnto f, es integrble. Supongmos hor que g es integrble. El onjunto de puntos de disontinuidd de g es el onjunto de puntos de osilión positiv, es deir, D 1/i. Ddo ɛ > 0 existe un prtiión P de B tl que S(g, P ) s(g, P ) < ɛ. Por otro ldo, los puntos de D 1/i están en S o en int(s) pr lgún S de P. El primero de estos onjuntos, S 1, tiene medid ero. Se C l oleión de retángulos de P que tienen un punto de D 1/i en su interior. Entones 1 v(s) ( i S C S C sup g(x) ínf g(x) x S x S Por lo tnto, C reubre l segundo onjunto, S 2, y v(s) < iɛ S C ) v(s) S(g, P ) s(g, P ) < ɛ. luego S 2, y entones D 1/i, tiene medid ero on lo que onluye l demostrión. 13

14 Corolrio Un onjunto otdo R n tiene volumen si y solo si l fronter de tiene medid ero. Demostrión. Bst ver que el onjunto de puntos de disontinuidd de χ es. Si x, entones ulquier entorno de x interse y. Por lo tnto, existen puntos y en diho entorno tles que χ (x) χ (y) = 1 on lo que χ no es ontinu en x. Si x, entones existe un entorno de x totlmente ontenido en o en on lo que χ es onstnte en diho entorno y, por tnto, ontinu en x. Corolrio Se R n otdo y on volumen. Un funión otd f : R on un ntidd finit o numerble de puntos de disontinuidd es integrble. Demostrión. Los puntos de disontinuidd de l extensión de f son los de f y tl vez lguno más ontenido en. Como mbos onjuntos tienen medid ero, se obtiene el resultdo. Teorem Sen R n otdo y on medid ero, y f : R ulquier funión integrble. Entones f = Sen R n otdo y f : R integrble, no negtiv y on f = 0. Entones el onjunto {x : f(x) 0} tiene medid ero. Demostrión. 1. Se B un retángulo que ontiene y extendmos f B de l mner usul. Se P ulquier prtiión de B en subretángulos B 1,..., B m y M un ot superior de f. Entones s(f, P ) M m ínf χ (x) v(b i ). x B i Los retángulos de P no pueden estr ontenidos en on lo que s(f, P ) 0. Y que S(f, P ) = s( f, P ) se tiene que S(f, P ) 0. Como P er rbitrri f 0 y l ser f integrble obtenemos el resultdo. 2. Ddo m N onsideremos el onjunto m = {x : f(x) > 1/m}. Se ɛ > 0. Se B un retángulo que ontiene y extendmos f B de l mner usul. Se P 14 f

15 un prtiión de B tl que S(f, P ) < ɛ/m. Si B 1,..., B k son los subretángulos de P que ortn m, entones k v(b i ) < m k sup f(x) v(b i ) < ɛ. x B i Por tnto, m tiene volumen ero. Y que se obtiene el resultdo. {x : f(x) 0} = m=1 m Ejemplo Se f(x, y) = { x 2 + sen 1 y si y 0 x 2 si y = 0 Se tiene que f es integrble en = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 1}. En efeto, esto es debido l teorem de Lebesgue ombindo on el Ejemplo Ejeriios 1. Demuestr que = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1} tiene volumen ero. 2. Se f : R n R integrble. Prueb que su gráfi tiene volumen ero en R n+1. G(f) = {(x, y) R n R : x, f(x) = y} 3. Demuestr que el plno XY en R 3 tiene medid ero. 4. Prueb que l definiión de onjunto de medid ero es equivlente l que result de sustituir retángulos errdos (los utilizdos hst hor) por biertos. 5. Se f(x, y) = { 1 si x 0 0 si x = 0 Demuestr que f es integrble en = [0, 1] [0, 1]. 6. Clul f donde f y son omo en el ejeriio nterior. 7. Sen R n un onjunto bierto on volumen y f : R un funión ontinu no negtiv tl que f(x 0 ) > 0 pr lgún x 0. Demuestr que f > 0. 15

16 1.3. Propieddes de l integrl Ls propieddes de l integrl de Riemnn están ontenids en el siguiente resultdo: Teorem Sen, B R n otdos, R y f, g : R funiones integrbles. Entones: 1. f + g es integrble y (f + g) = f + g. 2. f es integrble y (f) = f. 3. Si f g, entones f g. 4. f es integrble y f f. 5. Si tiene volumen y f M, entones f Mv(). 6. (Teorem del vlor medio pr integrles) Si f es ontinu y tiene volumen y es ompto y onexo, entones existe x 0 tl que f = f(x 0 )v(). 1 f se le denomin promedio de f sobre. v() 7. Se f : B R. Si B tiene medid ero y f, f B y f B son integrbles, entones f tmbién lo es y f = f + f. B Demostrión. Se R un retángulo que ontiene y extendmos f y g R de l mner usul. B 1. Se ɛ > 0. Y que f y g son integrbles existen prtiiones P y P de R tles que S(f, P ) s(f, P ) < ɛ 2 y S(g, P ) s(g, P ) < ɛ 2. Tomndo un refinmiento de P y de P, P, se tiene que S(f + g, P ) s(f + g, P ) S(f, P ) + S(g, P ) s(f, P ) s(g, P ) S(f, P ) + S(g, P ) s(f, P ) s(g, P ) < ɛ 16

17 on lo que f + g es integrble. L iguldd integrl se obtiene tomndo ínfimos y supremos respetivmente en P en ls desigulddes S(f + g, P ) S(f, P ) + S(g, P ) y s(f + g, P ) s(f, P ) + s(g, P ). 2. L demostrión de est propiedd es similr l de Bst on tomr ínfimos en P en l desiguldd S(f, P ) S(g, P ). 4. Si f es ontinu en un punto tmbién lo es f luego el teorem de Lebesgue nos d l integrbilidd de f. hor, y que f f f, plindo 2 y 3 se obtiene el resultdo. 5. Dd un prtiión P de R, f on lo que onluye l prueb. f S( f, P ) MS(χ, P ) 6. Sen f(x 1 ) = ínf f(x) y f(x 2) = sup f(x). Y que x x f(x 1 ) 1 v() f f(x 2 ) el teorem de los vlores intermedios demuestr l firmión. 7. Y que f = f + f B f B, por 1 y 2 se tiene l integrbilidd de f y l iguldd integrl, esto último gris que B f = 0. Con un demostrión nálog l del teorem del vlor medio pr integrles se prueb el siguiente resultdo: Proposiión Dds dos funiones f, g : R siendo f ontinu, g integrble y no negtiv y ompto y onexo, existe x 0 tl que (fg) = f(x 0 ) g. Observión El teorem del vlor medio pr integrles se puede ver omo un orolrio del resultdo nterior onsiderndo g = χ. 17

18 En unto l intermbio de un operión de integrión y un de derivión se tiene el siguiente resultdo de derivión bjo el signo integrl: Proposiión Se f : [, b] [, d] R ontinu tl que f y Se Entones F es derivble y F (y) = F (y) = b b f(x, y) dx. f (x, y) dx. y existe y es ontinu. Demostrión. Se tiene que F (y + h) F (y) h b f y (x, y) dx = = b b ( f(x, y + h) f(x, y) f h y ( f y (x, x,h) f ) (x, y) dx y ) (x, y) dx pr lgún x,h entre y e y + h, usndo el teorem del vlor medio. es uniformemente ontinu l ser ontinu en un ompto, ddo ɛ > 0 existe δ > 0 tl que f y (x 0, y 0 ) f (x, y) y < ɛ b Como f y siempre que x x 0, y y 0 < δ. Si h < δ, entones F (y + h) F (y) h lo que onluye l prueb. b f y (x, y) dx ɛ (b ) = ɛ b Corolrio (Regl de Leibniz pr l derivión de integrles). Dds un funión f : [, b] [, d] R ontinu tl que f existe y es ontinu en [, b] [, d], dos y funiones u, v : [, d] [, b] derivbles y se tiene que F (t) = v(t) u(t) f(x, t) dx F (t) = f(v(t), t)v (t) f(u(t), t)u (t) + 18 v(t) u(t) f (x, t) dx. t

19 Demostrión. Bst plir deudmente l regl de l den. sí, Sen u = u(t), v = v(t) y w = t. Entones F (t) = g(u, v, w) = v u f(x, w) dx. F (t) = g u u (t) + g v v (t) + g w w (t). Ls derivds priles de g on respeto u y v se obtienen medinte el teorem fundmentl del álulo y l derivd pril on respeto w se obtiene derivndo bjo el signo integrl medinte el resultdo nterior, onsiguiendo on todo ello l fórmul desed. Ejeriios 1. Si n tiene volumen pr todo n N y = n=1 n está otdo, tiene volumen? 2. Sen, B onjuntos on volumen y B de medid ero. Demuestr que v( B) = v() + v(b). 3. Demuestr que 2π 0 x sen(tx) dx = sen(2πt) 2πt os(2πt) t 2 onsiderndo l derivd de 2π 0 os(tx) dx on respeto t. 4. Deriv 2π 0 x os(tx) dx on respeto t El teorem de Fubini Teorem (Teorem de Fubini). Sen R n y B R m retángulos y l funión f : B R integrble. Si f(x, y) dy existe pr d x, entones B ( ) f = f(x, y) dy dx. B nálogmente, si f(x, y) dx existe pr d y B, entones ( ) f = f(x, y) dx dy. B B B 19

20 Demostrión. Nos reduiremos l so n = m = 1 y que pr dimensiones superiores l demostrión es nálog. Por tnto = [, b] y B = [, d]. En el primer so, se g : [, b] R l funión dd por g(x) = d f(x, y) dy. Debemos demostrr que g es integrble y que f = b g(x) dx. Se P = P B 1 P 2 un prtiión de B formd por los subretángulos S ij = V i W j. Entones s(f, P ) = i Pr d x V i se tiene que tnto, luego ínf f(x, y)v(w j )v(v i ). (x,y) S ij j ínf f(x, y) ínf f x (y) donde f x (y) = f(x, y). Por lo (x,y) S ij y W j ínf f(x, y)v(w j ) (x,y) S ij j j s(f, P ) i ínf f x (y)v(w j ) g(x) y W j ínf g(x)v(v i ) = s(g, P 1 ). x V i prtir de un rgumento similr pr ls sums superiores obtenemos que L integrbilidd de f nos d el resultdo. El otro so es nálogo. S(g, P 1 ) S(f, P ). Como es usul, podemos plir este resultdo un región no udrd extendiendo f omo ero fuer y plindo el teorem un retángulo que l onteng, unque l her l extensión f puede desrrollr disontinuiddes en l fronter de B. Corolrio Sen ϕ, ψ : [, b] R ontinus tles que ϕ ψ, = {(x, y) R 2 : x b, ϕ(x) y ψ(x)} y f : R ontinu. Entones f = b ϕ(x) ( ) ψ(x) f(x, y) dy dx. Demostrión. Bst on extender f de l mner usul y plir el resultdo nterior. L integrbilidd nos l d el teorem de Lebesgue teniendo en uent que ls gráfis de ϕ y ψ tienen volumen ero. Existe un resultdo nálogo en el que se intermbin los ppeles de x e y. 20

21 Es interesnte ver ómo un demostrión del teorem de Fubini pr un funión f : [, b] [, d] R ontinu se puede bsr en el proeso de derivión bjo el signo integrl: L funión h(t, y) = t f(x, y) dx es ontinu en [, b] [, d], l igul que su derivd pril h(t, y) = f(t, y). L integrl g(x) = d f(x, y) dy es un funión ontinu en t [, b]. hor solo neesitmos onsiderr l funión H(t) = t ( d ) f(x, y) dy dx d ( t ) f(x, y) dx on t [, b]. Es obvio que H() = 0 y queremos mostrr que H(b) = 0. Pero de modo que H(t) = t H (t) = g(t) g(x) dx d d h(t, y) dy h (t, y) dy = 0 t pr todo t [, b]. sí, H es onstnte en [, b] on lo que H(b) = 0, omo querímos demostrr. dy Ejeriios 1. Clul f en los siguientes sos: ) f(x, y) = (x+y)x y es el udrdo ddo por = {(x, y) R 2 : 0 x, y 1}. b) f(x, y) = 1 y es el triángulo ddo por = {(x, y) R 2 : x, y 0, x+y 1}. ) f(x, y) = y sen x y = [0, π] [0, 1]. d) f(x, y) = y3 2xy 2 +x 2 y+x 1 (x y) 2 (x 1) y = [2, 3] [0, 1]. e) f(x, y) = x y = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 2x}. f ) f(x, y) = x 1 x 2 y 2 y = {(x, y) R 2 : x, y 0, x 2 + y 2 1}. 2. Clul f en los siguientes sos: ) f(x, y, z) = (x+y +z) 2 y es el tetredro de vérties (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1). b) f(x, y, z) = x y es l región de R 3 otd por los plnos x = 0, y = 0 y z = 2 y l superfiie z = x 2 + y En l integrl 1 1 xy dy dx ámbiese el orden de integrión y evlúese. 0 x 21

22 4. Dibújese l región orrespondiente l integrl 1 (x + y) dy dx y evlúese. 0 1 Comprueb que l intermbir el orden de integrión l respuest no se lter. 5. Clul el volumen de l bol biert de R n de entro el origen y rdio r. 6. Sen = [0, 1] [0, 1] y f : R l funión definid por { x si x > y f(x, y) = y 2 si x y Prueb que f es integrble y lulr su integrl. 7. Se f : [0, 2] [0, 2] R definid por f(x, y) = e x { x [y] y [x] si x 0 e y 0 0 si x = 0 o y = 0 Prueb que f es integrble y lulr su integrl El teorem del mbio de vribles Teorem (Teorem del mbio de vribles). Sen R n un onjunto bierto, otdo y on volumen y g : R n un trnsformión C 1 e inyetiv tl que pr todo x, Jg(x) 0. Supongmos que Jg y Jg 1 están otdos en y que g() tiene volumen. Si f : g() R está otd y es integrble, entones (f g) Jg es integrble en y f = (f g) Jg. g() L demostrión de este resultdo requiere el estbleimiento de vrios lems previos: El primer pso es estbleer l fórmul undo g = L es un trnsformión linel, en uyo so JL = det L. Esto proporion l interpretión geométri de det L: es el ftor de mbio de los volúmenes bjo l trnsformión L. Lem Si L : R n R n es un trnsformión linel y R n tiene volumen, entones L() tiene volumen y v(l()) = det L v(). Demostrión. Primero onsidermos el so prtiulr en que es un retángulo y L es un trnsformión linel uy mtriz expresd en l bse nóni es de uno de los dos 22

23 tipos siguientes: o L 1 = L 2 = L mtriz L 1 se obtiene reemplzndo un 1 de l digonl de l mtriz identidd por un onstnte, y L 2 se obtiene esribiendo un 1 en l mtriz identidd en ulquier prte fuer de l digonl. Ésts son ls mtries elementles. Si = [ 1, b 1 ] [ n, b n ] y está en l i-ésim fil, entones L 1 () = [ 1, b 1 ] [ i, b i ] [ n, b n ] on lo que v(l 1 ()) = v() = det L 1 v(). Si el 1 fuer de l digonl está en l posiión (i, j), entones L 2 () = {(x 1, x 2,..., x i 1, x i + x j, x i+1, x i+2,..., x n ) R n : x k [ k, b k ], 1 k n}. plindo el teorem de Fubini se tiene que n ( bj xj +b i v(l 2 ()) = (b k k ) k = 1 k i, j j x j + i dx i ) dx j = v() = det L 2 v(). Sen hor un onjunto rbitrrio on volumen y L i un de ls mtries elementles on det L i 0. Se B un retángulo que ontiene y, ddo ɛ > 0, se P un prtiión de B en subretángulos B 1,..., B N de modo que ɛ S(χ, P ) v() < 2 det L i 23

24 y ɛ v() s(χ, P ) < 2 det L i. Si V ɛ = {B i : B i } y W ɛ = {B i : B i }, entones y on lo que y, por tnto, L i () tiene volumen y v(l i (V ɛ )) = det L i s(χ, P ) v(l i (W ɛ )) = det L i S(χ, P ) v(l i (W ɛ )) v(l i (V ɛ )) < ɛ v(l i ()) = det L i v(). Si det L i = 0, entones v(l i (B)) = 0 pr ulquier retángulo B y v(l i ()) = 0 pr ulquier onjunto on volumen. Si L es un trnsformión linel y es un onjunto on volumen, entones, y que ulquier mtriz es el produto de mtries elementles, plindo repetidmente lo que bmos de demostrr se tiene que L() tiene volumen y v(l()) = det L v(). Lem Si el teorem es ierto pr l funión onstnte 1, entones tmbién es ierto pr ulquier funión integrble f. Demostrión. Si el teorem es ierto pr l funión onstnte 1, entones es ierto pr ulquier funión onstnte. Sen f un funión integrble en g(), B un retángulo que ontiene g() y P un prtiión de B en retángulos B 1,..., B N. Entones Por lo tnto, s(f, P ) = = = = N ínf f(x)v(b i ) x B i N N N g() B i ínf f(x) x B i g 1 (B i ) g 1 (B i ) (f g) Jg. f L desiguldd ontrri se obtiene on S(f, P ). 24 ( ) ínf f(x) g Jg x B i (f g) Jg (f g) Jg.

25 Lem El teorem es ierto si g es un trnsformión linel. Demostrión. Por el Lem 1.5.2, Luego, por el Lem 1.5.3, g() 1 = g() f = det g = (f g) Jg. Jg. Proposiión Si el teorem es ierto pr g : R n y pr h : B R n, donde g() B, entones el teorem es válido pr h g : R n. Demostrión. Bst on her el álulo siguiente: f = (f h) Jh = (f h g)( Jh g) Jg = (h g)() g() (f (h g)) J(h g). Si x = (x 1,..., x n ) R n, se x = máx x i. Y si : R n R n es l trnsformión 1 i n linel on mtriz ij, definimos = máx 1 i n n ij. sí, se tiene que (x) x. Tmbién utilizremos l mtriz jobin j(x) = (j ik (x)) de l trnsformión g(x) = (g 1 (x),..., g n (x)) donde j=1 j ik (x) = g i x k (x). Si C es el ubo en el onjunto bierto ddo por C = {x R n : x r} pr iertos R n y r R, entones v(c) = (2r) n. Por el teorem del vlor medio, n g i (x) g i () = j ik ( + θ i (x)(x ))(x k k ) k=1 donde 0 θ i (x) 1 pr todo 1 i n. sí, g(x) g() r máx y C j(y) de modo que si g(c) tiene volumen, entones ( ) n v(g(c)) máx j(y) v(c). y C Pr grntizr que g(c) tiene volumen demostrremos el lem siguiente: 25

26 Lem Si h : U R n R n es un trnsformión C 1 e inyetiv tl que Jh(x) 0 pr todo x U, siendo U un onjunto bierto y otdo, y C es un onjunto on volumen tl que C U, entones h(c) tiene volumen. Demostrión. Bst probr que h(c) tiene volumen ero. Pr ello, mostrremos en primer lugr que h(c) h( C). En efeto, sen x h(c), y = h 1 (x) y V un entorno bierto de y tl que V U. Entones h(v ) es un entorno bierto de x, y que h 1 es ontinu. Como x h(c), h(v ) ontiene puntos de h(c) y de su omplementrio. Y omo h es inyetiv, V ontiene puntos de C y de su omplementrio, de modo que y C, luego x h( C). plindo este rgumento h 1 se tiene que h(c) = h( C). hor, ddo ɛ > 0, reubrimos C on retángulos B 1,..., B N de volumen totl lo sumo ɛ. Por l otión previ l lem, h( C) está reubierto on retángulos de volumen totl lo sumo ( máx Jh(x) x B 1 B N on lo h( C) y, por tnto, h(c) tienen volumen ero. Demostrión del Teorem. Si L es un trnsformión linel y U tiene volumen, entones Si U = g(c), entones on lo que ) n ɛ v(l 1 (U)) = det (L 1 ) v(u). det (L 1 ) v(g(c)) ( ) n máx y C L 1 j(y) v(c) ( ) n v(g(c)) det L máx y C L 1 j(y) v(c). Subdividmos el ubo C en un onjunto finito C 1,..., C M de ubos que no se solpen, entrdos en x 1,..., x M y supóngse que δ es myor que l longitud de un ldo de ulquier de ellos. plindo l desiguldd nterior d C i, tomndo L = j(x i ) y sumndo obtenemos M ( ) n v(g(c)) det (j(x i )) máx j 1 (x i )j(y) v(c i ). y C i Como j(x) es un funión ontinu, j 1 (z)j(y) tiende l mtriz identidd undo z y y, por lo tnto, ( ) n máx j 1 (x i )j(y) 1 + φ(δ) y C i donde φ(δ) tiende 0 on δ. sí, v(g(c)) (1 + φ(δ)) M det (j(x i )) v(c i ). 26

27 Cundo δ tiende 0 l sum de l dereh tiende Jg(x) dx, y l desiguldd qued C v(g(c)) Jg(x) dx. L demostrión del Lem junto on l desiguldd nterior produe f (f g) Jg. g() Est desiguldd se puede plir tmbién g 1 obteniéndose (f g) Jg (f g g 1 ) Jg g 1 Jg 1 es deir, y el teorem qued demostrdo. g() C (f g) Jg Existen l menos dos forms de mejorr el teorem del mbio de vribles: Teorem Sen B R n un onjunto bierto y g : B R n un trnsformión C 1 e inyetiv tl que Jg(x) 0 pr todo x B. Supongmos que B y g(b) tienen volumen y se g(b) on volumen. Si f : R es integrble, entones f = (f g) Jg. g 1 () Demostrión. Extendemos f g(b) definiéndol omo 0 fuer de. Por el teorem del mbio de vribles f = (f g) Jg. g(b) B Como f se nul fuer de, f g se nul fuer de g 1 (), de donde se sigue l onlusión. g() f Teorem Sen, B R n on volumen y g : int int B un trnsformión C 1 y biyetiv tl que Jg(x) 0 pr todo x int. Si f : B R es integrble, entones f = (f g) Jg. B Demostrión. Como B tiene volumen y (int B) B, entones int B tiene volumen. demás, int B ( B B) = B, de modo que f = f. int B B Por lo tnto, obtenemos el resultdo por el teorem del mbio de vribles. 27

28 Un pliión del teorem del mbio de vribles viene dd por ls oordends polres. L funión que ps de ells oordends retngulres es uyo jobino es r. g(r, θ) = (r os θ, r sen θ) Otro mbio de vribles de grn utilidd lo dn ls oordends esféris. L funión que ps de ells oordends retngulres es g(r, ϕ, θ) = (r sen ϕ os θ, r sen ϕ sen θ, r os ϕ) uyo jobino es r 2 sen ϕ. El ángulo ϕ es el formdo on l prte positiv del eje OZ. Finlmente, l funión que ps de oordends ilíndris retngulres es uyo jobino es r. g(r, θ, z) = (r os θ, r sen θ, z) Ejeriios 1. Clul (x4 y 4 ) dx dy usndo el mbio de vribles u = x 2 y 2, v = 2xy. 2. Clul f en los siguientes sos: ) f(x, y) = x 2 +y 2 y es el diso unidd ddo por = {(x, y) R 2 : x 2 +y 2 1}. b) f(x, y) = (y 2 x 2 ) xy (x 2 + y 2 ) y on 0 < b. = {(x, y) R 2 : x, y > 0, xy b, y 2 x 2 1, x y} ) f(x, y) = (x 2 + y 2 ) 3/2 y = {(x, y) R 2 : x y, x + y 1, x 2 + y 2 1}. d) f(x, y) = x 2 + y 2 y = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 2y, x 2 + y 2 1, x 0}. e) f(x, y) = x 2 + y 2 y = {(x, y) R 2 : (x 2 + y 2 ) 2 4(x 2 y 2 ), x 0}. 3. Clul f en los siguientes sos: ) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 y = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 < 1}. b) f(x, y, z) = ze x2 y 2 y = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 1, 0 z 1}. ) f(x, y, z) = (1 + x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 y l bol unidd. d) f(x, y, z) = x 2 y = {(x, y, z) R 3 : x 0, x 2 + y 2 + (z 1) 2 1, 4z 2 3(x 2 + y 2 )}. 28

29 e) f(x, y, z) = yz x 2 + y 2 y = {(x, y, z) R 3 : 0 z x 2 + y 2, 0 y 2x x 2 }. f ) f(x, y, z) = z y = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 2, x 2 + y 2 z}. g) f(x, y, z) = z 2 y = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 2, x 2 + y 2 + z 2 2z}. 4. Clul el volumen de en los siguientes sos: ) = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 2, x 2 + y 2 z 2 }. b) = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 2, x 2 + y 2 x, z 0} Integrles impropis Ls integrles impropis son de dos tipos dependiendo de si es l funión o el dominio lo que no está otdo. En primer lugr onsideremos el segundo so. Extenderemos ls funiones todo el espio de l mner usul. Definiión Se f : R n [0, ) un funión otd e integrble en d ubo n-dimensionl [, ] n = [, ] [, ]. Si lím f es finito, lo llmmos [,] n f y deimos que f es integrble sobre. Teorem Se f : R n [0, ) un funión otd e integrble en d ubo [, ] n. Entones f es integrble sobre si y solo si pr d suesión no dereiente (B k ) k N de onjuntos otdos on volumen tl que pr d ubo C se tiene que C B k pr k sufiientemente grnde, existe lím k B k f. En este so lím k f = B k Demostrión. Supongmos primero que f es integrble. Si [, ] n B k [ b, b] n, entones, gris que fχ [,] n fχ Bk fχ [ b,b] n, se tiene que f [,] n f B k f [ b,b] n on lo que se tiene el resultdo. ( ) Reípromente, f Bk k N f. es un suesión reiente onvergente C, luego pr d, omo [, ] n B k pr lgún k N sufiientemente grnde, se tiene que [,] n f C on lo que onluye l prueb l ser [,] n f un funión de reiente y otd superiormente, luego onvergente. 29

30 Obsérvese que se tiene un riterio de omprión: si f es integrble, g es integrble en d ubo y 0 g f, entones g tmbién es integrble pues g es reiente [,] n on y está otd por f on lo que onverge undo. ontinuión nlizremos el so de un funión f : R n [0, ) no otd siendo posiblemente no otdo. Reduimos el problem l so y estudido ortndo l gráfi de f pr obtener un funión otd. Definiión Pr d M > 0 se { f(x) si f(x) M f M (x) = M si f(x) > M Cd funión f M está otd por M y 0 f M f. Si f M es integrble pr todo M > 0 y f M es finito, lo llmmos f y deimos que f es integrble sobre. lím M Como ntes, tenemos el siguiente riterio de omprión: si 0 g f y f es integrble, entones g tmbién es integrble. Definiión Dd un funión f : R n R sen { f(x) si f(x) 0 f + (x) = 0 si f(x) < 0 y f (x) = { f(x) si f(x) 0 0 si f(x) > 0 ls prtes positiv y negtiv de f, respetivmente. Si f + y f son integrbles deimos que f es integrble sobre y f = f + f. En el so unidimensionl tenemos el siguiente método pr lulr integrles impropis: Teorem Sen f : [, ) [0, ) otd y ontinu y F un primitiv de f. Entones f es integrble si y solo si es finito lím F (x). En este so, x f = f(x) dx = lím F (x) F (). x [, ) 2. Un funión ontinu f : (, b] [0, ) es integrble si y solo si es finito b lím ɛ 0+ +ɛ f(x) dx. En este so, este límite es igul b f(x) dx. 30

31 Demostrión. 1. Y que b f(x) dx = b f(x) dx pr b >, se obtiene el resultdo. b 2. Demos dos psos preliminres. Ddo ɛ > 0, si M = sup f(x), entones x [+ɛ,b] b +ɛ hor, ddos ɛ, M > 0 se tiene que b f M (x) dx f(x) dx b +ɛ b f(x) dx f M (x) dx. +ɛ f M (x) dx ɛm. Supongmos primero que f es integrble. Es lro por el primer pso que b f(x) dx +ɛ ree undo ɛ 0+ hi lgo menor o igul que b f(x) dx. Ddo δ > 0, elíjse M de modo que Si ɛ = b f(x) dx b δ, entones, por el segundo pso, 2M En onseueni, b b on lo que se tiene el resultdo. f M (x) dx f(x) dx b f M (x) dx < δ 2. +ɛ b +ɛ f(x) dx δ 2. f(x) dx < δ El reíproo se tiene gris que b f M(x) dx es un funión no dereiente en M y otd superiormente por y que pr M sufiientemente grnde b f M (x) dx = b 1 + lím f(x) dx ɛ 0+ +ɛ +1/M f M (x) dx + b +1/M f M (x) dx. Con freueni se die que f onverge en vez de f es integrble. 31

32 Ejeriios 1. Demuestr que ) 1 x p dx onverge si p < 1 y diverge si p 1. b) 0 xp dx onverge si p > 1 y diverge si p 1. ) 1 e x x p dx onverge pr todo p R. d) 0 e1/x x p dx diverge pr todo p R. e) log x dx onverge. 0 f ) 1 g) 1 1 log x 1 x 3 +1 dx diverge. dx onverge. h) 1 0 e x x p dx onverge si p > 1. i) 1 j ) 0 sen x x Clul e x2 dx onverge. x p 1+x p dx onverge si p < 1 y diverge si p 1. dx. 3. Clul f en los siguientes sos: ) f(x, y) = (xy) 1/2 y = (0, 4] (0, 4]. b) f(x, y) = (x 2 + y 2 + 1) 2 y = R 2. ) f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 y = {(x, y, z) R 3 : 0 < x 2 + y 2 + z 2 1}. 32

33 Tem 2 Integrl de líne y de superfiie 2.1. L integrl de tryetori Empeemos definiendo l longitud de un urv: Definiión Se : [, b] R n un urv ontinu. Definimos l longitud de y l denotmos por l() omo { m } l() = sup (t i ) (t i 1 ) : P = { = t 0 < t 1 < < t m = b} prtiión de [, b]. Proposiión Si : [, b] R n es un urv de lse C 1 trozos, entones l() < y l() = b (t) dt. Demostrión. Podemos suponer que = ( 1,..., n ) es de lse C 1 y que si es de lse C 1 trozos l podemos poner omo unión de urvs de lse C 1. Se P = { = t 0 < t 1 < < t m = b} un prtiión de [, b]. Pr d 1 i m se tiene que n (t i ) (t i 1 ) 2 = ( k (t i ) k (t i 1 )) 2 k=1 = (t i t i 1 ) n k(s i )( k (t i ) k (t i 1 )) k=1 (s i ) (t i ) (t i 1 ) (t i t i 1 ) donde l últim iguldd se obtiene plindo el teorem del vlor medio l funión n k (t)( k (t i ) k (t i 1 )) k=1 33

34 definid sobre [t i 1, t i ], y l desiguldd es debid l de Cuhy-Shwrtz. sí, m (t i ) (t i 1 ) m (s i ) (t i t i 1 ) S(, P ). Por tnto, tomndo supremo e ínfimo en tods ls prtiiones de [, b] respetivmente obtenemos que l() b (t) dt <. Vemos hor l desiguldd ontrri. Ddo ɛ > 0 existe δ > 0 tl que si s, t [, b] on s t < δ, entones k(s) k(t) < ɛ n pr todo 1 k n. Se P = { = t 0 < t 1 < < t m = b} un prtiión de [, b] de diámetro menor que δ. Usndo el teorem del vlor medio se tiene que (t i+1 ) (t i ) = = [ n ] 1/2 k(s ik ) 2 (t i+1 t i ) 2 k=1 ( n ) 1/2 k(s ik ) 2 (t i+1 t i ) k=1 [ n ] 1/2 (t ) ( k(t ) k(s ik )) 2 (t i+1 t i ) k=1 ( (t ) ɛ)(t i+1 t i ) on s ik [t i, t i+1 ] pr todo 1 k n y t [t i, t i+1 ] tl que (t ) = Por tnto, l() s(, P ) ɛ(b ). Tomndo supremo en P se obtiene el resultdo. Psemos hor definir l integrl de tryetori: ínf t [t i,t i+1 ] (t). Definiión Sen un funión eslr f : R n R y un tryetori de lse C 1 : [, b] R n tles que f es ontinu en [, b]. Definimos l integrl de f lo lrgo de l tryetori omo b f ds = f((t)) (t) dt. 34

35 Si es C 1 trozos o f es ontinu trozos, definimos f ds prtiendo [, b] en segmentos sobre los ules f((t)) (t) se ontinu y sumndo ls integrles sobre los segmentos. Observión Si f = 1, entones f ds = l(). L definiión de f ds se puede justifir de l siguiente form: dd un prtiión de [, b], P = { = t 0 < t 1 < < t m = b}, f ds se puede proximr, usndo el teorem del vlor medio, por m f((t i )) (t i ) (t i t i 1 ) donde t i [t i 1, t i ] es tl que ti t i 1 (t) dt = (t i ) (t i t i 1 ) pr todo 1 i m. Hiendo que el diámetro de P tiend 0 se obtiene b f((t)) (t) dt. Un so prtiulr importnte de l integrl de tryetori se present undo desribe un urv pln. Supongmos que todos los puntos (t) están en el plno oordendo XY y que f : R 2 [0, ). L integrl de f lo lrgo de l tryetori tiene un interpretión geométri omo el áre de un pred uy bse es l imgen de y ltur f((t)) en (t), reorriendo solo un vez su imgen. Ejemplos físios de funiones eslres f son los mpos de temperturs o presiones, o l densidd de un uerpo. Supongmos que l tryetori represent un lmbre uy funión de densidd de ms es ρ(x, y, z). L ms m del lmbre y su entro de mss (x 0, y 0, z 0 ) se definen omo m = ρ ds y (x 0, y 0, z 0 ) = ( 1 xρ ds, 1 yρ ds, 1 ) zρ ds. m m m Ejeriios 1. Clul l longitud de ls siguientes urvs: ) (t) = (r os t, r sen t) on t [0, 2π]. b) (t) = (os t, sen t, t 2 ) on t [0, π]. 35

36 ) (t) = ( t, t 1, 0) on t [ 1, 1]. 2 d) L iloide (t) = (t sen t, 1 os t) on t [0, 2π]. e) (t) = (os t, sen t, os 2t, sen 2t) on t [0, π]. f ) (t) = (2 os t, 2 sen t, t) si t [0, 2π] y (t) = (2, t 2π, t) si t [2π, 4π]. g) (t) = (t, t sen t, t os t) entre (0, 0, 0) y (π, 0, π). h) (t) = (2t, t 2, log t) on t > 0 entre (2, 1, 0) y (4, 4, log 2). i) L rdioide uy euión en polres es r(t) = 1 os t on t [0, 2π]. j ) y = e x on x [0, 1]. k) y 2 = 4x on y [0, 2]. 2. Clul fds en los siguientes sos: ) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 y (t) = (os t, sen t, t) on t [0, 2π]. b) f(x, y, z) = x + y + z y (t) = (sen t, os t, t) on t [0, 2π]. ) f(x, y, z) = x os z y (t) = (t, t 2, 0) on t [0, 1]. d) f(x, y, z) = e z y (t) = (1, 2, t 2 ) on t [0, 1]. e) f(x, y, z) = yz y (t) = (t, 3t, 2t) on t [1, 3]. f ) f(x, y, z) = x+y y+z y (t) = (t, 2 3 t3/2, t) on t [1, 2]. g) f(x, y, z) = y 3 y (t) = (log t, t, 2) on t [1, e]. h) f(x, y, z) = xyz y (t) = (e t os t, e t sen t, 3) on t [0, 2π]. i) f(x, y, z) = xyz y (t) = (os t, sen t, t) on t [0, 2π]. j ) f(x, y, z) = xyz y (t) = ( 3 2 t2, 2t 2, t) on t [0, 1]. k) f(x, y, z) = xyz y (t) = (t, 1 2 t 2, 1 3 t3 ) on t [0, 1]. l) f(x, y, z) = x + y + yz y (t) = (sen t, os t, t) on t [0, 2π]. m) f(x, y, z) = x + os 2 z y (t) = (sen t, os t, t) on t [0, 2π]. n) f(x, y, z) = x + y + z y (t) = (t, t 2, 2 3 t3 ) on t [0, 1]. ñ) f(x, y) = xy y es el borde del udrdo x + y = 2. o) f(x, y) = (x 2 + y 2 + 4) 1/2 y es el segmento que une (0, 0) y (1, 2). p) f(x, y, z) = 2y 2 + z 2 y es l irunfereni de euiones { x 2 + y 2 + z 2 = 1 x = y 3. Muestr que si l tryetori viene dd en oordends polres por r = r(θ) on θ 1 θ θ 2, entones l integrl de f(x, y) lo lrgo de θ2 f ds = f(r os θ, r sen θ) (r(θ)) 2 + (r (θ)) 2 dθ. θ 1 36

37 4. Hll l ms de un lmbre formdo por l interseión de l esfer x 2 +y 2 +z 2 = 1 y el plno x + y + z = 0 si l densidd en (x, y, z) está dd por ρ(x, y, z) = x 2 grmos por unidd de longitud del lmbre L integrl de líne Si F es un mpo de fuerz en el espio, entones un prtíul de prueb (por ejemplo, un unidd de rg en un mpo de fuerz elétrio o un ms unitri en el mpo grvitionl) experimentrá l fuerz F. Supongmos que l prtíul se mueve lo lrgo de l imgen de un tryetori mientrs tú sobre ell F. Un onepto fundmentl es el de trbjo relizdo por F sobre l prtíul, onforme desribe l tryetori. Si es un desplzmiento en líne ret ddo por el vetor v y F es onstnte, entones diho trbjo es F v. Si l tryetori es urv, podemos imginr que está formd por un suesión de desplzmientos retos infinitesimles o que está proximd por un número finito de desplzmientos retos. Entones, proximndo (t + t) (t) por (t) t, el trbjo es l integrl de líne de F lo lrgo de l tryetori definid est integrl omo sigue: Definiión Sen un mpo vetoril ontinuo F : R n R n y un tryetori de lse C 1 : [, b] R n. Definimos l integrl de líne de F lo lrgo de l tryetori omo b F ds = F ((t)) (t) dt. Si (F ) es ontinu trozos, definimos F ds prtiendo [, b] en segmentos sobre los ules (F ) se ontinu y sumndo ls integrles sobre los segmentos. Definiión Considermos un funión biyetiv de lse C 1 h : [, b] [, d] y un tryetori de lse C 1 trozos : [, d] R n. p = h : [, b] R n l llmmos reprmetrizión de. Si h (t) > 0 pr todo t [, b] se die que p onserv l orientión y un prtíul que reorr p se mueve en l mism direión que un que reorr. Si h (t) < 0 pr todo t [, b] se die que p invierte l orientión y un prtíul que reorr p se mueve en direión opuest que un que reorr. Ejemplos Se : [, b] R n un tryetori de lse C 1 trozos. 1. L tryetori : [, b] R n, (t) = (+b t), llmd tryetori opuest, es l reprmetrizión de que se orresponde on el mbio de oordends h : [, b] [, b], h(t) = + b t. L tryetori invierte l orientión. 37

38 2. L tryetori p : [0, 1] R n, p(t) = ( + (b )t), es l reprmetrizión de que orresponde l mbio de oordends h : [0, 1] [, b], h(t) = + (b )t. L tryetori p onserv l orientión. Teorem Se F un mpo vetoril ontinuo en l tryetori : [, d] R n de lse C 1 y se p : [, b] R n un reprmetrizión de. Si p onserv l orientión, entones F ds = F ds y si l invierte, entones Demostrión. Se tiene que b F ds = F (p(t)) p (t) dt = p Est últim integrl es d d p b p F ds = F ds. F ((h(t))) (h(t))h (t) dt = F ((u)) (u) du = F ds si p onserv l orientión, y es F ((u)) (u) du = F ds si p invierte l orientión. h(b) h() F ((u)) (u) du. El teorem nterior es ierto tmbién si es de lse C 1 trozos, omo podemos ver si rompemos los intervlos en segmentos en los ules ls tryetoris sen de lse C 1 y summos ls integrles sobre dihos segmentos. Pr l integrl de tryetori, el resultdo no vri bjo reprmetriziones omo muestr el siguiente teorem, el ul se demuestr de mner nálog l nterior: Teorem Sen un tryetori de lse C 1 trozos, f un funión eslr ontinu definid en l imgen de, y p ulquier reprmetrizión de. Entones f ds = f ds. p Reordemos que un mpo vetoril F es un mpo vetoril grdiente si F = f pr lgun funión eslr f. El siguiente resultdo onstituye un generlizión del teorem fundmentl del álulo: 38

39 Teorem Sen f : R n R un funión de lse C 1 y : [, b] R n un tryetori de lse C 1 trozos. Entones f ds = f((b)) f(()). Demostrión. Se F (t) = f((t)) on t [, b]. plindo l regl de l den se tiene que F (t) = f((t)) (t) de lo que se sigue el resultdo. Expresemos hor l teorí nterior de form independiente de l prmetrizión. Definiión Definimos urv simple C omo l imgen de un pliión inyetiv : [, b] R n de lse C 1 trozos. Llmmos prmetrizión de C. L urv C tiene dos orientiones soids. Llmmos C junto on un orientión, urv simple orientd. Si () = (b) y no es neesrimente inyetiv en [, b) llmmos C urv errd. Si demás es inyetiv en [, b) deimos que C es un urv errd simple. nálogmente se define urv errd simple orientd. Definiión Sen f : R n R un funión eslr ontinu, F : R n R n un mpo vetoril ontinuo y C un urv (errd) simple orientd. Se definen ls integrles de tryetori de f y de líne de F sobre C respetivmente omo f ds = f ds y C C F ds = F ds siendo ulquier prmetrizión de C que onserve l orientión. Si C es l urv C pero on orientión opuest, entones C F ds = C F ds. Otros oneptos físios que se modelizn utilizndo ls integrles de líne preen en meáni de fluidos y en eletromgnetismo. Por ejemplo, si F es el mpo de veloiddes de un fluido y C es un urv errd, l integrl de líne F ds se denomin irulión C de F lo lrgo de C. Ejeriios 1. Clul F ds en los siguientes sos: ) F (x, y, z) = (x, y, z) y (t) = (sen t, os t, t) on t [0, 2π]. 39

40 b) F (x, y, z) = (x 2, xy, 1) y (t) = (t, t 2, 1) on t [0, 1]. ) F (x, y, z) = (os z, e x, e y ) y (t) = (1, t, e t ) on t [0, 2]. d) F (x, y, z) = (sen z, os z, 3 xy) y (t) = (os 3 t, sen 3 t, t) on t [0, 7π 2 ]. e) F (x, y, z) = (x 3, y, z) y (t) = (0, os t, sen t) on t [0, 2π]. f ) F (x, y, z) = (yz, xz, xy) y está formd por los segmentos de ret que unen (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1). g) F (x, y, z) = (x 2, xy, 1) y es l prábol z = x 2, y = 0 de ( 1, 0, 1) (1, 0, 1). h) F (x, y, z) = (y, 2x, y) y (t) = (t, t 2, t 3 ) on t [0, 1]. i) F (x, y, z) = (y, 3y 3 x, z) y (t) = (t, t n, 0) on t [0, 1] y n N. 2. Sen F (x, y, z) = (yz, xz, xy) y (t) = (t, t 2, t 3 ) on t [ 5, 10]. Clul F ds y F ds. 3. Sen F (x, y, z) = (y, x, 0) y (t) = ( 1 4 t4, sen 3 ( π 2 t), 0) on t [0, 1]. Clul F ds expresndo F omo un grdiente. 4. Clul C F ds siendo F (x, y) = (x2, xy) y C el perímetro de [0, 1] [0, 1] orientdo en sentido ontrrio ls gujs del reloj. 5. Sen F : R n R n un mpo vetoril ontinuo y : [, b] R n un tryetori de lse C 1. ) Supóngse que F es perpendiulr (t) en (t) pr todo t [, b]. Demuestr que F ds = 0. b) Supóngse que F es prlelo (t) en (t) pr todo t [, b] (es deir, F ((t)) = λ(t) (t) on λ(t) > 0 pr todo t [, b]). Demuestr que F ds = F ds. 6. Sen F : R n R n un mpo vetoril ontinuo tl que F M y : [, b] R n un tryetori de lse C 1. Demuestr que F ds Ml(). 7. Sen 1, 2 dos tryetoris de lse C 1 on los mismos puntos extremos y F un mpo vetoril ontinuo. Demuestr que 1 F ds = 2 F ds si y solo si C F ds = 0 donde C es l urv errd simple que se obtiene l moverse primero lo lrgo de 1 y después lo lrgo de 2 en sentido opuesto. 8. Sen un tryetori de lse C 1 y T el vetor tngente unitrio. Qué es T ds? 9. Se F (x, y, z) = (z 3 + 2xy, x 2, 3xz 2 ). Muestr que l integrl de F sobre el ontorno del udrdo de vérties (±1, ±1) es 0. 40

41 10. Cuál es el vlor de l integrl de un mpo vetoril grdiente lrededor de un urv errd simple C? 11. Clul C F ds siendo F (x, y, z) = (2xyz, x2 z, x 2 y) y C un urv simple orientd que une (1, 1, 1) on (1, 2, 4). 12. Se f(x, y, z) = (2xyze x2, ze x2, ye x2 ). Si f(0, 0, 0) = 5, lul f(1, 1, 2) Cmpos onservtivos Ddo un mpo vetoril F : R 3 R 3 de lse C 1 definimos su rotionl, rot F, omo rot F = F. Teorem Se F : R 3 R 3 un mpo vetoril de lse C 1. Son equivlentes: 1. F ds = 0 pr tod tryetori errd de lse C1 trozos F ds = 2 F ds pr ulesquier dos tryetoris 1 y 2 de lse C 1 trozos on los mismos puntos extremos. 3. F = f pr lgun funión eslr f. 4. rot F = 0. Demostrión. Pr ver que 1 impli 2 bst on utilizr l téni del Ejeriio 7 de l seión nterior. Vemos hor que 2 impli 3. Se f(x, y, z) = F ds donde es l tryetori que une medinte segmentos (0, 0, 0) on (x, 0, 0), éste on (x, y, 0) y finlmente éste on (x, y, z). Por tnto f(x, y, z) = x 0 F 1 (t, 0, 0) dt + y 0 F 2 (x, t, 0) dt + z 0 F 3 (x, y, t) dt donde F = (F 1, F 2, F 3 ). Se tiene que f = F z 3. Por hipótesis, f(x, y, z) no vrí si unimos primero (0, 0, 0) on (x, 0, 0), éste on (x, 0, z) y finlmente éste on (x, y, z). De est form obtenemos que f = F y 2. nálogmente se obtiene que f = F x 1. Pr ver que 3 impli 4 bst on lulr rot f. Finlmente, 4 impli 1. Como el Teorem nos d 1 on 3 omo hipótesis, bst on obtener 3 prtir de 4. Se f(x, y, z) = F ds donde (t) = t(x, y, z) on t [0, 1]. Entones f(x, y, z) = 1 0 F (tx, ty, tz) (x, y, z) dt. 41

42 Utilizndo l Proposiión y l hipótesis se obtiene el resultdo. El teorem nterior es ierto tmbién si onsidermos R n en vez de R 3 debiéndose entones sustituir l ondiión 4 por F i x j = F j x i pr todos 1 i, j n. L demostrión es nálog. Un mpo vetoril que stisfg un (y, por lo tnto, tods) de ls ondiiones del teorem nterior se llm mpo vetoril onservtivo o irrotionl. l funión f se le llm potenil pr F. Se define l divergeni de un mpo vetoril F : R 3 R 3 de lse C 1, div F, omo div F = F. Teorem Se F = (F 1, F 2, F 3 ) : R 3 R 3 un mpo vetoril de lse C 1 tl que div F = 0. Entones existe un mpo vetoril G : R 3 R 3 tl que rot G = F. Demostrión. Se G = (G 1, G 2, G 3 ) on G 1 (x, y, z) = z 0 F 2 (x, y, t) dt y 0 F 3 (x, t, 0) dt y z G 2 (x, y, z) = F 1 (x, y, t) dt 0 G 3 (x, y, z) = 0. Utilizndo l Proposiión se obtiene que rot G = F. Si G : R 3 R 3 es un mpo vetoril de lse C 2, entones div rot G = 0. Ejeriios 1. Muestr que el mpo vetoril F (x, y, z) = (y, z os yz + x, y os yz) es irrotionl y hllr un potenil pr él. 2. Determin si los siguientes mpos vetoriles son onservtivos y hll undo exist un potenil pr ellos: ) F (x, y) = (e xy, e x+y ). 42

43 b) F (x, y) = (2x os y, x 2 sen y). En este so lul F ds siendo l tryetori dd por (t) = (e t 1, sen π ) on t [1, 2]. t ) F (x, y) = (x, y). d) F (x, y) = (xy, xy). e) F (x, y) = (x 2 + y 2, 2xy). f ) F (x, y) = (os xy xy sen xy, x 2 sen xy). g) F (x, y) = (x x 2 y 2 + 1, y x 2 y 2 + 1). h) F (x, y) = ((2x + 1) os y, (x 2 + x) sen y). i) F (x, y) = (xy 2 + 3x 2 y, x 2 (x + y)). En este so lul F ds siendo l tryetori que une medinte segmentos (1, 1) (0, 2) y éste (3, 0). ( j ) F (x, y) = 2x, 2y(x2 +1) ). En este so lul y 2 +1 (y 2 +1) 2 dd por (t) = (t 3 1, t 6 t) on t [0, 1]. F ds siendo l tryetori k) F (x, y) = (os xy 2 xy 2 sen xy 2, 2x 2 y sen xy 2 ). En este so lul F ds siendo l tryetori dd por (t) = (e t, e t+1 ) on t [ 1, 0]. 3. Muestr que ulesquier dos poteniles pr un mismo mpo vetoril difieren en un onstnte. 4. Se F (x, y) = (xy, y 2 ) y se l tryetori y = 2x 2 que une (0, 0) on (1, 2) en R 2. Clul F ds. Depende est integrl de l tryetori que une (0, 0) on (1, 2)? 5. Hll undo exist un potenil pr los siguientes mpos vetoriles: ) F (x, y, z) = (2xyz + sen x, x 2 z, x 2 y). En este so lul F ds siendo l tryetori dd por (t) = (os 5 t, sen 3 t, t 4 ) on t [0, π]. b) F (x, y, z) = (xy, y, z). ) F (x, y, z) = (e x sen y, e x os y, z 2 ). En este so lul F ds siendo l tryetori dd por (t) = ( t, t 3, e t ) on t [0, 1]. d) F (x, y, z) = (x, y, z). e) F (x, y, z) = (x 2 + 1, z 2xy, y). 6. En d uno de los siguientes sos, ddo el mpo vetoril F hll otro G tl que rot G = F : ) F (x, y, z) = (xz, yz, y). b) F (x, y, z) = (y 2, z 2, x 2 ). ) F (x, y, z) = (xe y, x os z, ze y ). d) F (x, y, z) = (x os y, sen y, sen x). 43