SISTEMAS ELECTRÓNICOS DE CONTROL CONTINUO

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1 SISTEMAS ELECTRÓNICOS DE CONTROL CONTINUO SOLUCIONES TEMA 3 DISEÑO DE CONTROLADORES ANALÓGICOS EJERCICIO 3.1. G( s) K1 s( s + 1) Gc( s) 1+ K s Para cumplr las especfcacones del enuncado: * La del error en régmen permanente nferor al 10%, debe cumplrse K 1 >10 * La del sobrempulso nferor al 5%, debe cumplrse 1 + K1K > K1 * La del tempo de asentamento,s se supone al 5%, debe cumplrse 1+K 1 K >, y s se supone al %, debe cumplrse 1+K 1 K >8/ K >0.17 es la condcón más restrctva La dferenca entre el controlador paralelo y el sere es que el paralelo no presenta nngún cero (sstema de segundo orden estándar), mentras que el sere sí. Ambos sstemas son del msmo tpo, pues no camba la gananca de lazo, por lo que el error a la salda del detector en régmen permanente es el msmo (dcho error sólo concde con la dferenca entre la referenca y la salda en el caso del controlador sere). Por tanto, ante entrada escalón Ro, la salda del sstema con controlador en sere tende a Ro. En cuanto al transtoro, los polos se encuentran en el msmo lugar que con el controlador paralelo, pero el cero, ubcado en -1/K, modfcará el transtoro en mayor o menor medda dependendo del valor de K. S el cero no es desprecable frente a los polos domnantes, su prncpal efecto será el de aumentar el sobrempulso de la respuesta. EJERCICIO 3.. a.1) Control ntegral: * Sstema realmentado tpo I. Para entrada tpo escalón: e ss 0 œ K 1 * K lm sgh( s) K K K Para entrada tpo rampa: e ss v s K p 1+ lm GH ( s ) 1+ K0K3, sendo e K r c s a.) Control proporconal: * Sstema realmentado tpo 0. Para entrada tpo escalón: e ss cte e ss ss 3 ss ss 1/ K v 1

2 * K lm sgh( s) 0 Para entrada tpo rampa: v s 0 e ss b.1) Funcón de transferenca del sstema con control ntegral. C( s) K K R( s) 1 0 s( s + 1) + K K 1 0 K1K0 s + s + K K Por tanto, la respuesta al escalón es de tpo snusodal amortguada, con 1 0 ω n K1K 0 ; ς 1 K K 1 0 ; resultando un tempo de asentamento de 3 s. b.) Funcón de transferenca del sstema con control proporconal C( s) K K K R( s) 3 0 s + 1+ K K K K K K 1 + K K K K K 1+ s 1+ ( 1+ K K ) ( K K ) Por tanto, la respuesta al escalón es la característca de un sstema con gananca estátca K y constante de tempo J, sendo: ; τ 1+ K K A modo de conclusón, puede decrse que el control ntegral presenta un mejor comportamento en régmen permanente pero peor comportamento transtoro. EJERCICIO 3. a.1) Control tpo P, con K5. r(t) 1 (t), m(t) 0. W( s) KA KA ( KA) R( s) 1+ τs + 1+ KA 1+ τs ( 1+ KA) Admtendo que la funcón de transferenca del sensor es 1 mv/rpm y que la referenca se fja en mv, resulta una funcón de transferenca caracterzada por: gananca estátca próxma a la undad y una constante de tempo de 1/30 ms. a.) Control tpo P, con K5: r(t) 0, m(t) 1 (t). W( s) B B ( KA) M( s) 1+ τs + 1+ KA 1+ τs ( 1+ KA) Admtendo que la funcón de transferenca del sensor es 1 mv/rpm y que la referenca se fja en mv, resulta una funcón de transferenca caracterzada por: gananca estátca próxma a la undad y una constante de tempo de 1/30 ms.

3 En ambos casos se tene la msma respuesta al escalón untaro b.1) Control tpo PI, con K5 y T0.01 s. r(t) 1 (t), m(t) 0. KA( st 1) ( τ + 1) + ( + 1) W( s) R( s) + st s KA st ( + 1) KA st τts + T ( 1+ KA) s + KA Admtendo que la funcón de transferenca del sensor es 1 mv/rpm y que la referenca se fja en mv, resulta una funcón de transferenca caracterzada por: sstema de segundo orden con cero adconal b.) Control tpo PI, con K5 y T0.01 s: r(t) 0, m(t) 1 (t). W( s) BT s BT s M( s) T s( τs + 1) + KA( T s + 1) Tτs + T ( 1+ KA) s + KA Admtendo que la funcón de transferenca del sensor es 1 mv/rpm y que la referenca se fja en mv, resulta una funcón de transferenca caracterzada por: sstema de segundo orden en sere con un dervador En el caso b. la respuesta al par m(t) tpo escalón es nula, y no a la referenca r(t) escalón. EJERCICIO 3. 5 a) Error en régmen permanente ante entrada escalón untaro e Kp a.1) Evaluacón del error del sstema en lazo cerrado sn PID: Kp lm G ( s) G( s) s 0 c 1 y por lo tanto e50% a.) Evaluacón del error del sstema en lazo cerrado con PID G ( K S ) 0. 5 c Kp + + Kd s s s s 19 Kp lm G ( s) G( s) s 0 c y por lo tanto e0 b) Al tratarse de un sstema lneal, puede aplcarse el prncpo de superposcón, de manera que para estudar el efecto de la entrada de perturbacón se puede anular la entrada de referenca, quedando el sguente sstema: 3

4 Puesto que la gananca de lazo sgue presentando un n polo en el orgen (el de la parte ntegral del PID), el + sstema sgue sendo tpo 1, por lo que la señal e PID G(s) y _ e (entrada de la planta) es nula en régmen permanente con perturbacones tpo escalón. Esto supone que la perturbacón, en régmen permanente, no afecta a la salda de la planta y, que sólo dependerá de la señal de referenca. Otra forma de justfcarlo es que, al tratarse de un sstema estable (todos los polos están en el semplano zquerdo), la señal y debe ser cero, ya que s fuera no nula, la salda del ntegrador del PID ría crecendo, y por tanto sería nestable. c) La respuesta a una entrada escalón es la sguente: c.1) De la planta aslada: La gananca estátca de G(s) es 1, por lo que la salda tende a 1 1 ante entrada escalón untaro t(s) Respuesta típca de un sstema de segundo orden estándar con dos polos reales (sobreamortguada), que representan dos constantes de tempo J 1 1 y J 5. Domna la constante de tempo más lenta, es decr J 5, por lo que el tempo en alcanzarse de manera aproxmada el valor fnal es de 5J 5seg. c.) De la planta con realmentacón untara: La funcón de transferenca de este sstema es: T( s) s s + 5, con dos polos en -0.6±0.j. 0.5 La gananca estátca de T(s) es ½, por lo que ante un escalón untaro el valor fnal tende a 0.5. Se trata de una respuesta subamortguada con >0.98 y wn0.63. Al tratarse de un sstema de segundo orden estándar se puede aplcar: t (s) ξπ 1 ξ 5 Mp e y max

5 sendo por tanto ymax (es decr, el sobrempulso es práctcamente nulo) Y el tempo de pco es tp15,7 seg. Por tanto, el sstema en lazo cerrado mejora la rapdez de la respuesta. c.3) De la planta con PID y realmentacón untara: La funcón de transferenca completa es T( s) 95 ( s )( s ) ( s )( s s ). Hay que destacar que la gananca estátca es 1 (necesaro para que el error sea nulo), y que exsten un cero y un polo que práctcamente se cancelan en s-0.05 y s-0.063, dos polos complejos conjugados (que serán los domnantes) en -0.6±1.89j, y un cero muy alejado de los polos domnantes, en s Por tanto, desde el punto de vsta de análss del transtoro se hará una aproxmacón con los polos domnantes: En este caso >0.3 y wn. Aunque la aplcacón de las sguentes expresones no es exacta, srve como aproxmacón 1 al ser los dos polos domnantes: ξπ 1 ξ Mp e y 137. max y se produce en t (s) tp1.6 seg aproxmadamente. 5

6 EJERCICIOS ADICIONALES PROPUESTOS EJERCICIO 1 Se dspone de un sstema de control en lazo cerrado con realmentacón untara en el que la funcón de transferenca de la planta a controlar es: G( s) s s + ( 0. 5) Se desea que el sstema en lazo cerrado presente un sobrempulso máxmo del 16.3%, producéndose el pco en tp0.75 seg. Además, el error en régmen permanente ante entradas tpo rampa debe ser nferor al 1.5%. a) Dseñe una red en atraso-adelanto que permta consegur las especfcacones del enuncado. b) S se desea obtener una nueva pulsacón natural de 3 rad/s sn modfcar el tempo de establecmento n el error estátco, qué parámetros de la red dseñada en el apartado anteror deben modfcarse, y a qué valor? Solucón a) Las especfcacones se traducen en: * Mp#16.3% mplca >$0.5. * tp0.75 mplca wd.33 rad/s. Estas dos prmeras especfcacones de transtoro se consguen con dos polos domnantes en s-.5±.33j *Error ante rampa nferor a 1.5% mplca Kv>80. En prmer lugar se dseña la red en adelanto para cumplr las especfcacones de transtoro, llevando los polos domnantes a s-.5±.33j. Sn controlador, el lugar de las raíces presenta la sguente s1.33 forma: Se observa claramente que el lugar de las raíces no pasa por los polos de dseño s1 y s, por lo que hay que ntroducr un cero y un polo para modfcar el lugar de las raíces. Usando el método de cancelacón, se colocará el cero de la s red en adelanto sobre el polo en -0.5 (respetando el del 1

7 orgen para mantener el tpo del sstema). Y no es necesaro aplcar la condcón angular para ver que el polo hay que colocarlo en s-5 para consegur que el lugar de las raíces pase por los polos deseados, del sguente modo: s Se cancelan s Para termnar el dseño de la red en adelanto, hay que ajustar su gananca K para que los polos se encuentren sobre s1 y s. De la condcón modular: G( s) H( s) s1 K ( s ) ( s1 + 5) s1 ( s ) 1, se obtene K6.5. Luego la red en adelanto es 6. 5 s + s Para consegur la especfcacón del régmen permanente, se ntroduce una red en retardo s + cr s + pr y se obtene la expresón de Kv: Kv lms cr pr > 16 0 s + cr s + pr 6. 5( s ) ( s + 5) s( s ) cr 5 > 80 pr Tomando el cr5/100.5 (dez veces más cerca del orgen que el prmer cero o polo real), se obtene pr La red en atraso-adelanto completa es por tanto 6. 5( s ) ( s + 5)( s )

8 b) S se desea mantener el tempo de establecmento, la parte real de los polos domnantes se debe mantener. Para reducr wn a 3rad/s, hay que reducr K para colocar los polos en s-.5±1.65j. Con la condcón modular, se obtene K.. Y hay que corregr cr/pr para segur cumplendo la condcón de error en régmen permanente. Nuevos posbles valores son: cr0.5 y pr EJERCICIO Se desea controlar la velocdad de un motor de contnua de gananca estátca A00rpm/V y constante de tempo J10ms, utlzando para ello un sstema en lazo cerrado con un tacómetro de Kt10mV/rpm. El objetvo es consegur error nulo en régmen permanente ante entradas tpo escalón, y error de.% ante entradas tpo rampa. La respuesta transtora debe tener un coefcente de amortguamento de 0.8. Para consegur estas especfcacones se dseña un controlador PI. a) Qué valores deben tener las constantes Kp y K del controlador para consegur las especfcacones del enuncado? C b) Justfque s el montaje de la fgura 1 es váldo para mplementar el PI dseñado, y en caso afrmatvo, proponga los Rm _ U valores de los componentes a utlzar. E + Fgura 1 c) Admtendo que el amplfcador dferencal ntroduce un desfase de 180 grados, justfque s el montaje de la fgura es váldo, y en caso afrmatvo, ndque la poscón de los cursores " y $ para ajustar el PI a los valores dseñados. (RoR 1 68K, Rf1KS, RxR M 7S, Rs5S, y C100µF) β C E R 0 R m _ + R f α R x R s R s R 1 R M _ + U Fgura 3

9 d) Supóngase que los amplfcadores operaconales del sstema anteror están almentados a 10V. El motor tene un retardo (tempo muerto) de 100ms, lo que produce que con una tensón de referenca de 10V y partendo del reposo, la señal de error E se mantenga constante a 10V durante 100ms. Provoca esta stuacón la saturacón de alguno de los operaconales?. En caso afrmatvo, se proponen las sguentes solucones: d.1) Lmtar el valor de la tensón de referenca. Indque su valor máxmo. d.) Subr la almentacón de los operaconales. Indque su valor mínmo. d.3) Utlzar un motor con menor tempo muerto. Indque su valor máxmo. EJERCICIO 3 Justfque qué relacón debe exstr entre las funcones de transferenca de los controladores Gc 1 (s) y Gc (s) para compensar la accón de la perturbacón externa P en el sstema realmentado de la fgura 1 en la que H 1 (s) y H (s) representan las funcones de transferenca de los sensores de salda Y y de la perturbacón P. Fgura 9 Fgura 10 Justfque qué ventaja o nconvenente presenta la solucón de la fgura EJERCICIO En la fgura se muestran tres solucones de control analógco proporconal y ajustable donde los valores nomnales de resstenca son: R 0 1K, R f 10K, R x 50S, R s 10S. Los amplfcadores operaconales están almentados entre ±Vcc y masa.

10 1) Justfque cuál de las tres solucones, P1, P o P3 permte un mayor rango de varacón. ) Determne cuál es el margen de valores de la característca del controlador proporconal: *U/E*K 3) Elja un valor para el resstor Rm asocado a la entrada no nversora del AO. ) Determne el rango de valores de la entrada (señal de error) que asegura el comportamento lneal del controlador, ndependentemente de la poscón del cursor del resstor varable. EJERCICIO 5 En la fgura 1 se muestra un sstema realmentado donde la planta responde a un sstema de segundo orden, con gananca estátca 10 y con polos en s 1, -0.1 ± j. a s + b s + b 1 Para mejorar la establdad relatva y acelerar la respuesta Fgura 1 al escalón del sstema en lazo cerrado se pretende dseñar la red de compensacón H(s). 1) Obtenga los valores de a, b 1 y b. Indque qué tpo de red (adelanto o atraso) ha de ser H(s) para cumplr con las especfcacones prevstas. 5

11 s + ) Para la red H(s), con parámetros característcos: H( s) 19. s + 10, resultan los sguentes polos de la funcón de transferenca completa Y(s)/R(s): -8.17, -1 ±.3 j. Justfque cuál será el tempo de asentamento de la respuesta al escalón. 3) Se ha optado por la solucón electrónca para la red H(s), mostrada en la fgura, basada en un únco amplfcador operaconal, y donde la mpedanca Z d es la combnacón sere del resstor R d y del condensador C d. S el condensador C d es de 100µF, calcule los valores teórcos de los componentes R d, R o, R f1,r f y R m Fgura ) Admtendo que la solucón electrónca para el comparador de la fgura 1 es la mostrada en la fgura 3, donde R f R o, justfque s el error en régmen permanente de la respuesta al escalón se habrá aumentado o reducdo. Cuál habrá sdo la varacón cualtatva del tempo de asentamento del sstema de la fgura 1 ante una entrada tpo escalón. Fgura 3 5) S se conectan las redes de las fguras y 3 para obtener la señal de control aplcada a la planta G(s) de la fgura 1, pero se anula la trayectora de realmentacón (y0 en la fgura 3), represente y calcule los valores más representatvos de la señal de control u(t) para la señal de referenca r(t) de la fgura. Cuál debe ser el ntervalo temporal de r(t) en la fgura, con valor no nulo, para que u(t) alcance durante el msmo el valor fnal. Fgura Fgura 5 6

12 6) S en lugar de la red de compensacón H(s) de la fgura, se conecta al amplfcador dferencal de la fgura 3, el crcuto de la fgura 5, justfque: a) Fíjese la poscón g (0# g # 1) del resstor varable al 50%, se garantza la establdad del sstema realmentado. Nota: realícese el estudo a partr del lugar de las raíces. b) Proponga una solucón (sn ncorporar n elmnar componentes) sobre los crcutos de la fgura 3 -comparador- y 5 -compensador-) para evtar el problema anteror, ndependentemente de la poscón del cursor del resstor varable. c) Una vez garantzada al establdad del sstema realmentado, qué problema puede ocasonar la poscón del cursor del resstor varable en el funconamento del controlador electrónco (nota: véase solucón del apartado 5 sobre la fgura ). d) Proponga alguna solucón (ncorporando o elmnando algún componente en la fgura 5) para reducr los efectos negatvos ctados del resstor varable. 7) Sguendo con la funcón de transferenca para la red de compensacón, y admtendo que el amplfcador dferencal proporcona una salda: e r-y, propóngase una solucón para el controlador electrónco del tpo mostrado en la fgura 6. Las mpedancas Zo y Zf resultan de la combnacón sere o paralelo de un resstor y de un condensador. Fgura 6 7

13 Solucones NO para ALUMNOS: 1) a 10.1, b 1 0., b H(s) ha de ser una red en adelanto de fase. ) t s /F, sendo F el módulo de la parte real de los polos domnantes: t s s. 3) R d 1 KS, R o,10 KS, R f1 R f 8 KS y R m KS ) El comparador ncorpora una gananca aplcada a la señal de error que reduce el error en régmen permanente y stúa los polos domnantes más alejados del orgen (véase en lugar de las raíces que la parte real se hace más negatva), ello supone una reduccón del tempo de asentamento. 5) Se tene la respuesta típca de un dervador real, con prmer valor de pco EK(T d +t d )/t d, sendo K0.38, T d 0.s y t d 0.1s. S E se mantene, al menos, durante 5 t d la señal de control alcanza el valor EK. 6) Con el compensador no nversor, resulta una gananca estátca negatva de valor del conjunto comparador-compensador, y por tanto, a la vsta del trazado LR negatvo, el sstema resultará nestable. Solucón, ntercambar la aplcacón de señales E e Y en la fgura 3. S g es muy pequeño, t d tambén, y por ello el pco de respuesta al escalón es elevado favorecendo la saturacón del AO del compensador. Solucón, colocar un resstor de pequeño valor óhmco entre el resstor varable y el condensador de la fgura 5. 8

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