1 El Análisis de Varianza

Transcripción

1 1 El Análisis de Varianza Objetivo: Explicar (controlar las variaciones de una v.a. Y continua (numérica, mediante factores (variables cualitativas que definen categorías que controlamos (no aleatorios. Este análisis permite poner en evidencia eventuales relaciones entre Y y estos factores. 1.1 Análisis con un solo factor Un ejemplo Queremos estudiar la influencia de la operadora sobre el importe de nuestra factura anual de teléfono (Y. Denotamos: m 1 el valor medio de Y con la operadora 1. m 2 el valor medio de Y con la operadora 2. m 3 el valor medio de Y con la operadora 3. PREGUNTA: m 1 = m 2 = m 3?Disponemos de datos que corresponden al gasto anual de teléfono en Euros (Y de 15 clientes: Vocabulario: Operadora 1 Operadora 2 Operadora Medias Y = Gasto anual de teléfono es una variable cuantitativa. La Operadora es una variable cualitativa con la cual queremos explicar las variaciones de Y : un factor. 1

2 Los factores tienen un cierto número de niveles. El factor Operadora tiene aquí 3 niveles. Notaciones: y ij valor observado de Y para el j esimo cliente de la i esima operadora, i = 1,..., I, j = 1,..., n i = 5; y 13 = 810. y i media observada de Y para la i esima operadora; y 2 = 864. y media global observada de Y (media de las medias; y = 1 3 (y 1 + y 2 + y 3 = Indicios para medir la variabilidad: Variabilidad explicada por el factor: V E = I n i (y i y 2 i=1 Variabilidad no explicada: V NE = I n i (y ij y i 2 i=1 j=1 Descomposición de la variabilidad total: I n i V T = (y ij y 2 i=1 j=1 = V E + V NE Con los datos precedentes, obtenemos los valores V E = 22230, V NE = V T = =

3 1.1.2 El Modelo Para contestar a nuestra pregunta ( m 1 = m 2 = m 3? consideramos que cada dato observado y ij es igual al valor medio en el nivel del factor que le corresponde (m i más una desviación aleatoria ε ij (o perturbación respecto a este valor medio: Para i = 1,..., I y j = 1,..., n i tenemos y ij = m i + ε ij Supondremos que las desviaciones ε ij = y ij m i, verifican las hipótesis siguientes: Las desviaciones están centradas: E(ε ij = 0, para cualquier i, j. Homocedasticidad: Var(ε ij = σ 2, para cualquier i, j. No correlación: E(ε ij ε ik = 0, para cualquier i, j, k. Normalidad: ε ij tiene una distribución normal, para cualquier i, j. Otra formulación del modelo: donde y ij = µ + α i + ε ij, µ = 1 n I i=1 n im i es el efecto global (o medio. α i = m i µ es el efecto del i esimo nivel del factor. Necesariamente i n iα i = 0. Con esta nueva formulación nuestra pregunta se puede escribir: α 1 = α 2 = α 3 = 0? 3

4 1.1.3 Estimación de los parámetros del modelo El modelo depende de I + 1 parámetros: Las I medias m i, y la varianza común σ 2. Para estimar estos parámetros utilizamos el criterio de mínimos cuadrados (minimizar las desviaciones: Para cada i = 1,..., I, m i valor de m i que mínimiza n i j=1 (y ij m i 2, Obtenemos: m i = y i Deducimos que µ = y α i = m i µ = y i y (en el ejemplo: α 1 = y α 2 = Propiedad de los estimadores: Bajo las hipótesis del modelo, tenemos ( que m i = y i sigue una distribución normal N m i, σ2 n i. Prueba: ( 1 E(y i =E ni n i j=1 y ij = 1 ni n i j=1 E(y ij = m i ( 1 var(y i =var ni n i j=1 y ij = 1 ni n 2 j=1 var(y ij = σ2 i n i y i es una combinación lineal de variables normales, por tanto es también normal. ( Deducimos que µ sigue una normal N(µ, σ2 y α n i una normal N α i, (I 1 n σ2. 4

5 Estimación de los residuos: Las desviaciones observadas e ij (residuos del modelo se calculan por: Por tanto, tenemos que e ij = y ij m i = y ij y i V E = V NE = I n i α 2 i i=1 I n i i=1 j=1 e 2 ij Grados de libertad: Definición: Número de variables linealmente independientes utilizadas para describir una dispersión.. Utilidad: Números con los cuales es necesario dividir los indicios de variabilidad (VE;VNE para compararlos. obtener las varianzas. Estimación de las varianzas: V E está calculada con I 1 variables linealmente independientes, puesto que I i=1 n 1 i α i = 0. Por tanto, si α 1 =... = α I = 0, V E sigue, σ 2 Bajo H 0, una distribución del χ 2 con I 1 grados de libertad. V N E está calculada con n I variables linealmente independientes, puesto que n i j=1 e 1 ij = 0, para cada i. Por tanto, V NE sigue una distribución del χ 2 con n I grados de σ 2 libertad. Además se puede demostrar que V E y V NE son independientes. Por consiguiente, 5

6 La varianza explicada por el modelo σ 2 e (o varianza inter-niveles está estimada por s 2 e = V E I 1 La varianza no explicada por el modelo σ 2 R estimada por s 2 R = V NE n I (o varianza residual está El contraste de igualdad de medias Queremos contrastar las hipótesis: { } Las mi son iguales : H 0 : m 1 = m 2 =... = m I. { frente a No todas las mi son iguales : H 1 : Existe i, k, tal que m i m k. } O de manera equivalente, H 0 : {α 1 = α 2 =... = α I = 0} frente a H 1 : {Existe i, tal que α i 0.} Rechazaremos H 0 cuando el factor explica poca variabilidad. Basamos nuestra decisión sobre el ratio F = s2 e, s 2 R y rechazaremos H 0 cuando F es grande. Pero Cómo de grande? Bajo las condiciones sobre las desviaciones ε ij (independencia, homocedasticidad, normalidad, tenemos que si H 0 es cierto el estadístico F sigue una distribución de Fisher con (I 1, n I grados de libertad. 6

7 Por tanto rechazamos H 0 si F > f 1 α (I 1,n I, ( donde α es el nivel (o tamaño del test y f(i 1,n I α el valor tal que P F > f 1 α (I 1,n I H 0 es cierto = α. Tabla ADEVA: Se resume la descomposición de la variabilidad de los datos en la tabla siguiente: Fuentes de Variaciones Entre niveles Interna o residual Suma de cuad. Gr. de lib. Varianzas F V E I 1 s 2 e = V E I 1 V NE n I s 2 R = V NE n I Total V T n 1 s 2 y = V T n 1 F = s2 e s 2 R Con los datos anteriores obtenemos: Fuentes de Variaciones Suma de cuad. Gr. de lib. Varianzas F Entre niveles Interna o residual Total Para α = 5%, consultando la tabla de la Fisher(2, 12, obtenemos f 0.05 (I 1,n I = 3.885, por tanto rechazamos H 0. 7

8 El p valor: Medida de la credibilidad de H 0, en nuestro ejemplo: p = P (F > F H Coeficiente de determinación: Una medida relativa de la variabilidad explicada por el modelo es el cociente: R = V E y por tanto, 0 R 1. V T Análisis de las diferencias entre medias Si la hipótesis de igualdad de medias (H 0 se rechaza, tiene interés estimar las diferencias entre las categorías.. Se puede construir un intervalo de confianza para la diferencia m i m j mediante la distribución ( de m i m j = y i y j. Tenemos que y i y j N (m i m j, σ 2 1 n i + 1 n j, por tanto: ( yi y j (mi m j ( t(n I s 2 1 R n i + 1 n j Por consiguiente, deducimos el intervalo de confianza 1 α de la diferencia (m i m j : [ ( (yi (n I 1 y j ± t α/2 s 2 R + 1 ] n i n j 1.2 Análisis con dos factores Un ejemplo Estudio de la cantidad de cerveza bebida (Y por los alumnos durante la fiesta de fin de año, en función del sexo y del curso. Las Preguntas: Los chicos beben mas que las chicas? Los alumnos de Economía y Derecho beben mas que los alumnos de Administración y Empresa? Existe una interacción entre sexo y curso? 8

9 Datos (n = 18 alumnos cantidad en litro. Chico (j = 1 Chica (j = 2 Derecho (i = Economía (i = Ad. & Emp. (i = Derecho (i = 1 Economía (i = 2 Ad. & Emp. (i = 3 Medias Chico (j = Chica (j = Medias Notaciones: Para i = 1,..., I, j = 1,..., J, k = 1,..., K (I = 3, J = 2, K = 3 : y ijk valor observado de Y del k esimo alumno del curso i y del sexo j, ; y 121 = 0.1. y ij media observada de Y en la categoría de los alumnos del curso i y del sexo j; y 12 = y i media observada de Y en la categoría de los alumnos del curso i ; y 3 = y j media observada de Y en la categoría de los alumnos del sexo j; y 2 = 0.53 y media global de Y ; y =

10 1.2.2 El Modelo Consideramos que cada dato observado y ijk es igual al valor medio en su categoría (m ij más una desviación aleatoria ε ijk : Para i = 1,..., I, j = 1,..., I y k = 1..., K, tenemos y ijk = m ij + ε ijk (Modelo 0 Supondremos que las desviaciones ε ijk = y ijk m ij son independientes y siguen una distribución normal N(0, σ 2. Por tanto tenemos que las observaciones y ijk son independientes e y ijk N(m ij, σ 2. Este modelo es útil para describir los datos pero no permite contestar a nuestro problema: Varios modelos: Suponemos que Cómo varia m ij con i y j? y ijk = µ + α i + ε ijk (Modelo 1 donde m ij = µ + α i. Con el Modelo 1, estamos suponiendo que el factor Sexo no tiene un efecto sobre Y (no explica sus variaciones. Suponemos que y ijk = µ + β j + ε ijk (Modelo 2 donde m ij = µ + β j. Con el Modelo 2, estamos suponiendo que el factor Curso no tiene un efecto sobre Y. Ahora, suponemos el modelo aditivo siguiente y ijk = µ + α i + β j + ε ijk (Modelo 3 donde m ij = µ + α i + β j. Con el Modelo 3, estamos suponiendo que ambos factores, Sexo y Curso, tienen un efecto sobre Y. Pero, suponiendo que el efecto de un factor es constante en cualquier nivel del otro factor (El efecto del Sexo no cambia con el Curso y recíprocamente, el efecto del Curso no cambia con el Sexo. 10

11 Modelo con interacciones: Suponemos que y ijk = µ + α i + β j + γ ij + ε ijk (Modelo 4 donde m ij = µ + α i + β j + γ ij. Los términos de interacción γ ij se denotan también γ ij = (αβ ij Estimación de los parámetros del modelo Hay IJ (IJ = 6 en el ejemplo parámetros m ij que estimamos mediante el criterio de mínimos cuadrados : Para cada i, j m ij valor de m ij que mínimiza K (y ijk m ij 2, k=1 Obtenemos m ij = y ij. Los parámetros α i, β j y γ ij verifican las restricciones: I i=1 α i = 0. I i=1 γ ij = 0, para cada j. J j=1 β j = 0. J j=1 γ ij = 0, para cada i. Por tanto, el número de parámetros linealmente independientes es: }{{} 1 + (I 1 }{{} + (J 1 }{{} + (I 1(J 1 }{{} = }{{} IJ µ α i β j γ ij m ij Los estimadores de α i, β j y γ ij son: µ = y α i = y i y β j = y j y γ ij = y ij y i y j + y 11

12 Aplicación numérica: m ij Derecho (i = 1 Economía (i = 2 Ad. & Emp. (i = 3 Medias Chico (j = Chica (j = Medias Por tanto, tenemos que γ 11 = 0.32 γ 21 = 0.24 γ 31 = 0.08 β1 = 0.33 γ 12 = 0.32 γ 22 = 0.24 γ 32 = 0.08 β2 = 0.33 α 1 = 0.04 α 2 = 0.04 α 3 = 0.08 µ = 0.86 Propiedad de los estimadores: que ( m ij sigue una normal N ( µ sigue una normal N α i sigue una normal N m ij, σ2 K µ, σ2 n. (α i, (I 1σ2 n Bajo las hipótesis del modelo, tenemos.. β j sigue una normal N (β j, (J 1σ2 n γ ij sigue una normal N (γ ij, (I 1(J 1σ2 n Indicios de variabilidad variabilidad Deducimos la distribución de cada indicios de V E (α = JK I i=1 α2 i y bajo la hipótesis H 0 : {α i = 0, i}, V E (α/ σ 2 sigue un χ 2 (I 1. 12

13 V E (β = IK J j=1 β 2 i y bajo la hipótesis H 0 : { β j = 0, j }, V E (β/ σ 2 sigue un χ 2 (J 1. V E (γ = K I i=1 J j=1 γ2 ij y bajo la hipótesis H 0 : { γ ij = 0, i, j }, V E (γ/ σ 2 sigue un χ 2 ((I 1 (J 1. V NE = i,j,k e2 ijk, y V NE/ σ2 sigue un χ 2 (n IJ. V T = (y ijk y 2 i,j,k = V E(α + V E(β + V E(γ + V NE En el ejemplo, obtenemos que V E (α = gdl α = 2 V E (β = gdl β = 1 V E (γ = gdl γ = 2 V NE = gdl Residual = 12 Calculo de las varianzas Obtenemos las varianzas dividiendo cada indicio por el número de grados de libertad asociado: s 2 α = V E (α /(I 1 s 2 β = V E (β /(J 1 s 2 γ = V E (γ / [(I 1(J 1] s 2 R = V NE/(n IJ Contraste sobre los efectos Test de interacción Hay un riesgo de llegar a una conclusión falsa sobre la influencia de cada factor si existe interacción! Queremos contrastar las hipótesis H 0 : No { hay interacciones γij = 0, i, j } frente a H 1 : { Hay interacciones i, j, γij 0 } 13

14 Bajo H 0, el estadístico F = s2 γ s 2 R sigue una distribución de Fisher F ((I 1(J 1, n IJ. Por tanto, para un riesgo de tipo I α, rechazaremos H 0 si F > f 1 α (I 1(J 1,n IJ. Si la interaction no es significativa (el test acepta H 0 podemos contrastar los efectos de cada factor. Si en cambio la interaction es significativa (el test rechaza H 0 tenemos que contentarnos con análizar las diferencias en cada categoria. Test sobre cada factor Basamos el test del contraste de la hipótesis H 0 : {α i = 0, i} frente a su alternativa, sobre el estadístico F = s2 α que sigue s 2 R bajo H 0, una Fisher F ((I 1, n IJ. Para un riesgo I α, la regla de decisión será entonces: Rechazar H 0 si F > f 1 α (I 1,n IJ El test del contraste de la hipótesis H 0 : { β j = 0, j } frente a su alternativa, está basado sobre el estadístico F = s2 β que sigue bajo H s 2 0, una Fisher R F ((J 1, n IJ. Para un riesgo I α, la regla de decisión será entonces: Rechazar H 0 si F > f 1 α (J 1,n IJ Resume de la descom- Tabla ADEVA (dos factores con interacción: posición de la variabilidad: Fuentes de Variaciones de cuad. gdl Varianzas F Efecto α V E(α I-1 s 2 α = V E(α I 1 Efecto β V E(β J-1 s 2 β = V E(β J 1 Efecto de V E(γ (I-1(J-1 s 2 γ = V E(γ (I 1(J 1 interacción Interna o residual V NE n-ij s 2 R = V NE n IJ Total V T n-1 s 2 y = V T n 1 14 F = s2 α s 2 R F = s2 β s 2 R F = s2 γ s 2 R

15 p-valor: p = P (F > F H 0 Cuanto más pequeño sea p, menor será la credibilidad de H 0. Comentario: gdl R = n (número total de parámetros. Tabla ADEVA (dos factores sin interacción: Si aceptamos la hipótesis H 0 : No hay interacciones, podemos volver a estimar los parámetros utilizando el modelo (3. Se obtiene la tabla ADEVA: Fuentes de Variaciones de cuad. gdl Varianzas F Efecto α V E(α I-1 s 2 α = V E(α I 1 Efecto β V E(β J-1 s 2 β = V E(β J 1 Interna o residual V NE n-(i+j+1 s 2 R = V NE n-(i+j+1 Total V T n-1 s 2 y = V T n 1 F = s2 α s 2 R F = s2 β s 2 R Aquí gdl R = n (I + J + 1. Por tanto, los tests para contrastar los efectos de cada factor son: Rechazamos H 0 : {α i = 0, i} si F = s2 α > f 1 α s 2 (I 1,n (I+J+1 R Rechazamos H 0 : { β j = 0, j } si F = s2 β s 2 R > f 1 α (J 1,n (I+J Intervalos de confianza (I.C. IC para la varianza residual Utilizamos que V NE σ 2 χ 2 (gdl R. donde por ejemplo gdl R = n IJ en el modelo 4. Podemos hallar a α y b α tal que P (χ 2(gdlR a α = P (χ 2(gdlR b α = α/2. 15

16 El I.C. con nivel α para σ 2 será entonces: VNE b α σ 2 VNE a α I.C. para las medias Utilizamos que T = y ij m ij s 2 R /K t (gdl R ( Utilizando el cuantil t (gdl R α/2 de la distribución de Student: P T t (gdl R α/2 = α/2, obtenemos el I.C. con nivel α para la media m ij : y ij + t (gdl R α/2 s 2 R /K m ij y ij t (gdl R α/2 s 2 R /K Contraste múltiples: método de Bonferroni Suponemos que I = 3 y queremos hacer los tres contrastes siguiente sobre las medias m i2 (cantidad media de cerveza bebida por las chicas del curso i : H 1 0 : m 12 = m 22 frente a H 1 1 : m 12 m 22 H 2 0 : m 12 = m 32 frente a H 2 1 : m 12 m 32 H 3 0 : m 22 = m 32 frente a H 3 1 : m 22 m 32 Para cada uno de esos contrastes, construimos un test con nivel α = 5% (ver sección Análisis de las diferencias entre medias. Para r = 1, 2, 3, Sea C r el suceso Rechazar H r 0 cuando H 0 es cierto, por construcción del test, tenemos: P (C r = α Por tanto, la probabilidad de que se acepte conjuntamente la tres hipótesis cuando H 0 es cierto será (caso independiente: P ( C 1 C 2 C 3 = P (C 1 P (C 2 P (C 3 = (1 α 3 = ! 16

17 Método de Bonferoni: Denotamos C el suceso Rechazar al menos una hipótesis nula H0 r cuando H 0 es cierto. Entonces C será la unión: C = C 1 C 2 C 3 Puesto que las regiones de rechazo C r no son necesariamente incompatibles, tenemos que α T = P (C = P (C 1 C 2 C 3 P (C 1 + P (C 2 + P (C 3 = 3α Por tanto, si se pretende garantizar un riesgo α T = 5%, tendremos que fijar α tal que α = α T /3. De manera general, si hacemos un contraste múltiple con p contrastes tendremos que elegir α = α T p Comentario: Este método es muy conservador! : α puede ser muy pequeño. 1.3 Modelos en Bloques Objetivo: Reducir la varianza residual para mejorar la visibilidad de los efectos de los factores de interés, introduciendo un factor cuyo efecto sobre la variable Y no es de interés. Llamamos este tipo de factor: variable bloque. Comentarios: En el modelo, se supone que no hay interacción entre las variables bloques y los factores.de interés Ejemplo: Supongamos que el importe de la factura de telefono mensual (en Euros utilizando dos operadoras distintas (O1 y O2. Disponemos de los datos siguientes: O1 O2 120; 230; 45; 65; 200; ; 105; 40; 180; 155; 75 La varianza residual es tán grande (σ , que será muy dificil rechazar la hipótesis H 0 : m 1 = m 2 cuando es falsa. De hecho, obtenemos la tabla 17

18 ADEVA siguiente: Fuentes de Variaciones Suma de cuad. Gr. de lib. Varianzas F p Operadora Residual Para reducir la varianza residual, introducimos la variable bloque taza diaria de llamadas con 3 niveles: baja,media,alta. Obtenemos la tabla de datos siguiente donde las diferencias entre operadoras son más visibles: O1 O2 Baja 45; 65 20; 40 Media 100; ; 105 Alta 200; ; 180 Vemos en la tabla ADEVA siguiente, que el factor Operadora es ahora significativo Fuentes de Variaciones Suma de cuad. Gr. de lib. Varianzas F p Operadora Taza Residual Modelos con efectos aleatorios. En los modelos anteriores con uno o dos factores, los efectos fueron prefijados. Si queremos alcanzar un grado de generalidad superior para un cierto factor tenemos que suponer que sus efectos son aleatorios. Así en el estudio sobre la cantidad de cerveza consumida por los alumnos, podemos considerar que los cursos han sido elegidos al azar. Con este tipo de diseño podremos extender nuestra interpretación a cualquier curso. La formulación del modelo es idéntica, pero en el modelo de efectos fijos, estimamos medias, y en el de efectos aleatorios, varianzas. En el primero, los efectos α i, β j, γ ij..., etc representan la respuesta media, y son parámetros fijos a estimar; en el de efectos aleatorios, son variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza σ 2 α, σ 2 β, σ2 γ, siendo estas varianzas el parámetro a estimar. 18

19 Efectos fijos Efectos aleatorios Modelo y ij = µ + α i + ε ij αi = 0 y ij = µ + α i + ε ij α i N (0, σ 2 α Los efectos α i son parámetros desconocidos variables aleatorias Los efectos en la respuesta influyen media en la varianza Se pretende estimar los α i Estimar σ 2 α se fijan se selecionan Los niveles α i arbitrariamente al azar La hipotesis H 0 es α i = 0 σ 2 α = 0 La descomposición de la variabilidad en fuentes de variaciones y la tabla ADEVA se realiza igual en ambos tipos de modelos y, si no existe interacción, los tests de que un factor no influye son idénticos.. ADEVA Fuente cuadrados gdl varianza F P Sexo Curso Curso*Sexo residual Test de interacción: H 0 : σ 2 Curso Sexo = 0 El estadístico utilizado para el test es el mismo que en el modelo con efectos fijos. Por tanto, F = = conviene para contrastar la interacción Dos casos: La interacción es significativa (es el caso aquí P < 0.05 y seguimos la análisis La interacción no es significativa, entonces quitamos la interacción y volvemos a estimar los parámetros. 19

20 Test del efecto Curso: H 0 : σ 2 Curso = 0 Igual que en el modelo con efectos fijos, calculamos el F correspondiente. En nuestro ejemplo, este efecto no es significativo. Test del efecto sexo: H 0 : β 1 = β 2 El estadístico utilizado aquí no es el bueno! Dos casos: - la interacción es significativa: F = s 2 Sexo s 2 Curso Sexo que comparamos con f 1 α (J 1,(I 1(J 1. - la interacción no es significativa, utilizamos el F habitual en el modelo estimado sin interacción. Comparación de modelos con interacciones Esperanza var. Fuente S.C. gdl Varianza α, β fijos Factor α VE(α I 1 s 2 α σ 2 + JK i α2 i I 1 Factor β VE(β J 1 s 2 β σ 2 + IK j β2 j J 1 factor γ VE(γ (I 1(J 1 s 2 γ σ 2 + K i,j γ2 ij (I 1(J 1 residual VNE n IJ s 2 R σ 2 Total VT n 1 Esperanza α, β aleat. σ 2 + JKσ 2 α + Kσ 2 γ σ 2 + IKσ 2 β + Kσ2 γ Esperanza α aleat, β fijo σ 2 + JKσ 2 α σ 2 + IKσ 2 β + Kσ2 γ σ 2 + Kσ 2 γ σ 2 + Kσ 2 γ σ 2 σ 2 20

21 1.5 Dos ejemplos Análisis con un solo factor (Alturas de árboles ni ni Bosque 1 Bosque 2 Bosque n i j=1 y ij j=1 y2 ij Donde y ij es la altura del j esimo árbol en el i esimo bosque. Sea m i la altura media en el i esimo bosque. Preguntas: 1. La altura media de un árbol depende del bosque al cual pertenece? Contrastar la hipótesis de igualdad de medias: H 0 : m 1 = m 2 = m 3 con un nivel de significación igual al 5%. 2. Dar un intervalo de confianza del 99% para la altura media en cada bosque. Soluciones: 1. El modelo que aquí consideramos es: para i = 1,..., 3 y j = 1,..., n i y ij = m i + ε ij = µ + α i + ε ij, 21

22 donde ε ij N(0, σ 2. (a Validación del modelo: Verificamos que la hipótesis de homocedasticidad (la varianza residual es constante en cada bosque es razonable. Sea σ 2 i = 1 n i (y ij y n i 2 i = j=1 n i yij 2 n i j=1 ( 1 y 2 i es el estimador de la varianza de las alturas en i esimo bosque. Obtenemos que σ 2 1 = 1.24, σ 2 2 = 1.02, σ 2 3 = Estas varianzas son semejantes, aceptamos la hipótesis de homocedasticidad: σ 2 1 = σ 2 2 = σ 2 3 = σ 2. (b Estimación de los parámetros del modelo: Obtenemos que µ = 25.35, α 1 = 0.91, α 2 = 0.56, α 3 = 1.97, y la restricción 3 i=1 n i α i = 0 se cumple. (c Calculo de los indicios de variabilidad: Tenemos que V E = = 3 n i (y i y 2 i=1 3 n i α 2 i i=1 = y donde V T = = V NE = V T V E 3 n i (y ij y 2 i=1 j=1 ( 3 n i i=1 = j=1 y 2 ij ny 2 22

23 Deducimos que V NE = (d Tabla Adeva Fuentes de Variaciones de cuad.. gdl Varianzas F Factor α s 2 α = F = Residual s 2 R = 1.32 Total Puesto que f 95% 2,34 = 4.1, tenemos que F > f 95% 2,34, por tanto rechazamos H 0 para un nivel α = 5%. 2. Sabemos que para cada i = 1, 2, 3, y i sigue una normal N(m i, σ 2 /n i. Por tanto, el estadístico T = y i m i s 2 R /n i sigue una distribución de Student t(n I. Consultando la tabla de la Student, obtenemos que t , deducimos que: Con probabilidad 99%, m 1 [25.39, 27.12] Con probabilidad 99%, m 2 [25.07, 26.74] Con probabilidad 99%, m 3 [22.39, 24.37] Observamos que la tercera media es significativamente diferente de las demás (nivel de significación α 3%, ver metódo de Bonferoni Análisis con dos factores Modelo sin replicación (K = 1 Preguntas: 1 a clase 2 a clase 3 a clase Hombres Mujeres Proporción de supervivientes de la catástrofe del Titanic 23

24 1. Contrastar el efecto del factor Sexo y del factor Clase (nivel α = 10%, suponiendo que no hay interacción 2. Dar un intervalo de confianza del 95% para la varianza residual. Soluciones: 1. El modelo es para i = 1,..., 3, j = 1,..., 2 y ij = m ij + ε ij = µ + α i + β j + ε ij donde α es el factor clase y β el factor sexo. ADEVA Obtenemos la tabla Fuentes de Variaciones de cuad. gdl. Varianzas F Factor α s 2 α = F = Factor β s 2 β = F = Residual s 2 R = Total tenemos que f 90% 2,2 = 9 y f 90% 1,2 = por tanto aceptamos H 0 : α i = 0 y rechazamos H 0 : β j = Puesto que χ 2 2,0.025 = y χ 2 2,0.975 = deducimos que el intervalo de confianza del 95% para σ 2 es [0.0075, 1.09]. Modelo con replicación (K > 1 Hombres Mujeres Africa oriental Europa Asia Central Esperanza de vida 24

25 Preguntas: 1. Contrastar la interacción entre el factor sexo y continente (nivel α = 10%. 2. Dar un intervalo de confianza del 95% para la varianza residual. Solución 1. El modelo es para i = 1,..., 3, j = 1,..., 2 y ij = m ij + ε ij = µ + α i + β j + γ ij + ε ij donde α es el factor continente, β el factor sexo, y γ el factor de interacción (a Estimación m ij Africa oriental Europa Asia Central Hombres Mujeres (b Obtenemos la tabla ADEVA Fuentes de Variaciones de cuad. gdl. Varianzas F Factor α s 2 α = F = Factor β s 2 β = F = 1.85 Factor γ s 2 γ = F = 1.19 Residual s 2 R = Total tenemos que f 95% 2,12 = 3.88 y f 95% 1,12 = 4.74 por tanto aceptamos H 0 : γ ij = 0: el factor de interacción no es significativo. Luego, aceptamos H 0 : β j = 0 y rechazamos H 0 : α i = 0, o sea, el factor sexo no tiene un efecto significativo y en cambio, el factor continente si. 25