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1 UNIDAD 2. TEMA: OPERACIONES ELEMENTALES DE ALGEBRA. (REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES) M. en C. Juan Adolfo Alvarez Martínez

2 BACHILLERATO VIRTUAL UAEH. LA REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES. Introducción. Así como se procede en el área de aritmética para la realización de operaciones de suma, resta, multiplicación y división; en el algebra también se aplican estos conceptos. En primer lugar es necesario tener claros algunos términos que deben considerarse fundamentales para comprender los temas que se abordarán en esta lectura. Para ello es importante poner especial atención en que las operaciones algebraicas de suma y resta solo son posibles bajo ciertos criterios respecto al tipo de términos que los caracterizan. Así por ejemplo para iniciar se puede decir que solo se pueden sumar o restar términos del mismo tipo, esto es que sean semejantes, lo cual se podrá comprender en las siguientes secciones. Antes que nada a manera de reafirmación de conceptos de operaciones aritmética, se hace una breve explicación de los temas de operaciones básicas. Por supuesto que es importante considerar las leyes de los signos que se refieren tanto a la suma como en la multiplicación. Como un ejercicio para reafirmar los conocimientos de las leyes de los signos de la suma y para la multiplicación, se explican los siguientes conceptos. recuerda lo siguiente: - la suma de dos cantidades positivas da como resultado otra cantidad positiva, esto es válido también en los números negativos ya que si sumas 2 números negativos el resultado es otro número negativo. Por ejemplo: 1.) 3+6=9..dos números positivos sumados da otro numero positivo 2.) = - 8. La suma de dos números negativos es otro número negativo.

3 - para la resta depende de las cantidades que se tengan ya que si a un número positivo se le resta un número cuyo valor absoluto es mayor entonces el resultado será negativo. Y si al primer número se le resta una cantidad que en valor absoluto es menor entonces el resultado será negativo. Hay que aclarar ante todo que valor absoluto se refiere a la distancia en unidades que existe entre un numero ya sea positivo o negativo y el cero, sin considerar el signo. Por ejemplo el valor absoluto del 5 = 5, el valor absoluto de -3 =3, el valor absoluto de -1/2 = ½, el valor absoluto de 8 = 8 Ahora bien, como puede verse, el valor absoluto es importante considerarlo en las operaciones de resta tanto en la aritmética como en el área de algebra. Dicho lo anterior entonces procedemos a mostrar algunos casos sobre valor absoluto para que con mayor claridad quede definido esto que se ha explicado anteriormente a) Si tenemos los números 4 y -7 cual de ellos tiene mayor valor absoluto? La respuesta es el 7 ya que aunque es negativo está a mayor distancia del cero, por ello si hacemos la resta: 4-7 entonces el resultado será un número negativo porque en este caso el -7 es de mayor absoluto. Es decir: 4-7 = - 3 b) Si tenemos los números 6 y 2 cual tiene mayor valor absoluto? La respuesta es 6 ya que esta a mayor distancia en unidades del cero, y si hacemos la resta 6-2, que es como la que comúnmente ya se conoce la forma de hacerlo, pues el resultado será un numero positivo, esto es: 6-2 = 4 En la multiplicación, las leyes de los signos como ya probablemente en alguna ocasión lo has estudiado son las siguientes: (+) ( +) = +, es decir dos cantidades positivas al multiplicarlas resulta otra positiva. (-)(-) = +, es decir dos cantidades negativas al multiplicarlas resulta una positiva.

4 (+)(-) = - es decir, multiplicando una cantidad positiva y una negativa, resulta una negativa. (-) (+) = - es decir multiplicando una cantidad negativa con una positiva, también el resultado es negativo. En la tabla siguiente se muestran algunos ejemplos con su resultado, la cual a manera de práctica debes completar con los espacios vacíos escribiendo la respuesta que corresponde a la operación indicada. caso operación resultado a) b) (-2)(-5) 10 c) d) e) (2)(3) f) 7-4 g) (2)(-4) h) i) 8-3 j) (-3)(4) Respuestas. c) 7 e) 6 f) 3 g) - 8 i) 5 j) -12 OPERACIONES INDICADAS DE SUMA Y MULTPLICACION. En el caso donde hay combinaciones de varias operaciones, éstas se realizan procediendo primero con las multiplicaciones y divisiones en primer lugar, para

5 pasar posteriormente a las sumas y/o restas, reduciendo de esta forma la expresión y obteniendo la respuesta como se muestra en los siguientes casos. a) Si se tiene 3(2) + 5 = 6 +5 = 11 b) Si se tiene (4)(5) = = 8 c) Si se tiene 2(1-6) = 2( -5) = -10, en este caso primero se realiza lo que esta indicado en paréntesis, que es la resta. SUMAS Y RESTAS ALGEBRAICAS. Son las operaciones que tienen por objetivo el reducir dos o más términos, siempre que se cumpla que sean del mismo tipo, es decir tengan las mismas variables elevadas al mismo exponente. Como se pudo observar en la sección anterior, las operaciones que se realizaron, todas eran del tipo aritmético, es decir solo se trabajaron valores numéricos. Puede decirse en ese caso que todas las cantidades eran del mismo tipo es decir todas eran números y aunque algunos eran positivos y otros negativos, solo debía ponerse atención para identificar el signo del resultado, pero ya fuera una multiplicación, suma o resta, siempre resultaba ser otro numero que se puede localizar en la recta numérica. Ahora bien en el algebra hay algunas reglas que es preciso tomar muy bien en cuenta y sobre todo no olvidarlas porque son la base de las operaciones, así como hay reglas en la aritmética, estas se aplican en ciertas condiciones como se podrá observar a continuación. Ya con anterioridad en otra de las lecturas se ha mencionado que los términos algebraicos son expresiones que contienen además de una cantidad numérica llamada coeficiente, una parte literal o variable que la acompaña, de manera que toda expresión algebraica contiene un coeficiente numérico, una literal y también un exponente, en este caso es que hay que poner especial atención. Por ejemplo considera que se emplea la letra m para representar manzanas. Entonces se puede sumar 3 m + 2 m = 5 m es decir se tienen 5 manzanas en total, y en cierta forma para hacer una analogía se puede decir es posible hacer la operación porque son cantidades de la misma especie, esto es conocido en

6 algebra como términos semejantes, es decir son de la misma variable y el mismo exponente por ello se pueden sumar o restar. Ahora considera que además de las 5m manzanas se tienen 2n naranjas luego: si hay 5 m manzanas y 2 n naranjas, entonces: No se puede sumar 5m + 2 n porque son de diferentes literales. pueden sumar estas especies y tratar de hacerlas una sola. Es decir no se Formalmente en la Matemática se dice entonces semejantes. que 5m y 2n NO son También se pueden tener términos que contengan varias literales y se pueden sumar o restar, por ejemplo como: 6ab 2 ab = 4 ab Porque los dos términos son semejantes, contienen las mismas variables a, b Así también 4 x 2 y + 5x 2 y = 9 x 2 y Porque la literal x es del mismo exponente en cada término y la y es del mismo exponente. Otros ejemplos: 7x 2-3x 2 = 4x 2, 4p + p = 5p, 2a 3 b + 6a 3 b = 8a 3 b, 2ab 2 5ab 2 = - 3ab 2 Nota. Puede observarse en cada uno de los ejemplos que se han dado, que solo se realiza la operación entre los coeficientes; y la parte literal (variable o incógnita) permanece igual, es decir no se modifica. Ahora observa la siguiente operación: 3m 2 n + 4mn 2 se puede realizar? La respuesta es NO porque los términos aunque tienen las mismas variables no están elevadas a la misma potencia, ya que en el primer término la m es de

7 segundo grado, es decir está elevada al cuadrado y en el segundo término la m no es del mismo grado ya que está elevada a la primera potencia, es decir es de primer grado. Lo mismo sucede con la n ya que en el primer término es de primer grado y en el segundo término es de segundo grado, por ello las expresiones NO SON SEMEJANTES. Ejercicios de repaso: Suma o resta en cada caso los términos según corresponda, y en donde no sea posible identifica las variables que son diferentes que no permiten realizar la operación. Recuerda tomar en cuenta las leyes de los signos para la suma y resta que ya se han explicado. a). 12 x + 3x =? b) 8 b 5b =? c) -5 a 2 + 2a 2 =? d) 2mn 4mn=? e) 4x 2 y 2 + 5x 2 y =? f) 6 p + 3 p=? g) 8q + 3q 2 =? h) 13b 2 6b 2 =? Respuestas: a) 15 x b) 3b c) -3 a 2 d) -2mn e) no se pueden sumar porque no son semejantes f) 9p g) no se pueden sumar porque no son semejantes h) 7b 2

8 MONOMIOS Y POLINOMIOS. Los ejemplos de los que se ha hablado anteriormente, los cuales contienen dos términos y se pueden sumar o restar se llaman cada uno de ellos monomios, pero si una expresión contiene por ejemplo 2 términos se denomina binomio; por ejemplo sumar los dos binomios: 2x+3y + 5x+6y =? La respuesta es como se ha dicho, reducir términos del mismo tipo, en este caso x con x y las y con y, es decir: 2x + 5x = 7x, luego 3y + 6y = 9y, al final integramos escribiendo todo así: 7x+9y, que es el resultado final. Esta expresión significa dejar indicada la operación, ya que no se puede reducir más porque no se puede sumar las x con las y porque como se ha dicho no son semejantes. En las expresiones algebraicas también se puede tener 3 TÉRMINOS, para lo que entonces la expresión se denomina trinomio, por ejemplo sumar: El trinomio a 6 +4 a 2 +2a con el binomio: a 2-9a, lo cual quedaría: a 6 +4 a 2 +2a + a 2-9a =? En este caso de manera similar solo se operan los coeficientes, siempre y cuando sean de la misma variable y el mismo exponente. Puede verse que en el trinomio hay términos que no tienen semejantes en el binomio, por lo cual al no tener forma de operarlos, solo se dejan como están, es decir no se reducen, por lo que solo se sumaría y restaría los términos en a 2 y a, quedando: a 6 +5 a 2-7a También pueden existir casos en los que se requiere hacer la operación completa de un conjunto de monomios como por ejemplo hallar el resultado de: 5y 8x + 3y y + 2x- 8y +3x+7y+5x=?

9 Para esta situación hay que ir eligiendo aquellos del mismo tipo, es decir sean semejantes y sumarlos o restarlos según el caso, teniendo cuidado con los signos. En este caso tendríamos que reducir los términos en x y de manera independiente los términos en y resultando: 8x+ 2x +3x+5x = 2x, luego los términos en y quedan: 5y+ 3y y- 8y+7y= 6y; finalmente escribimos todos los términos de las dos variables en una sola expresión quedando: 5y 8x + 3y y + 2x- 8y +3x+7y+5x= 2x +6y Ahora bien, aunque ya se ha mencionado anteriormente, los conceptos relativos a los componentes de los términos algebraicos, es conveniente hacer un breve paréntesis para recordar las definiciones a fin de reafirmar dicho estudio. A continuación se muestran algunos ejemplos de expresiones algebraicas, su denominación y grado de la expresión. expresión nombre Numero de términos Grado o exponente de la expresión 3x 2 4x+ 8 trinomio 3 2 7b 6a Binomio 2 1 8y 5 3y 4 + y 2 +y Polinomio 4 5 m 3 Monomio 1 3 5m + 4 n 2 Binomio 2 2 Hay que recordar que el grado de una expresión corresponde al exponente de mayor potencia de los términos que se encuentran en ella.

10 SUMAS Y RESTAS CON MONOMIOS Y POLINOMIOS. En este caso de manera similar como anteriormente se ha procedido, se realizan las operaciones siempre y cuando los términos a reducir sean de la misma variable elevada al mismo exponente como se muestra a continuación: Ejemplo 1. Sumar los siguientes polinomios: 3a 2 b a 2 b + 5b con 5a 2 b 2-7a 2 b + 8b En este caso procedemos a identificar los términos que son de la misma variable y con el mismo exponente para sumar o restar según el signo, quedando uno de los términos como: 3a 2 b 2 + 5a 2 b 2 = 8a 2 b 2 Luego hacemos lo mismo con 4 a 2 b y - 7a 2 b quedando: - 3a 2 b Finalmente trabajamos también 5b + 8b = 13 b Y escribimos todo el resultado ya de manera conjunta: 8a 2 b 2-3 a 2 b + 13b También se puede obtener el resultado en la forma que se realizan las operaciones de sumas de aritmética: Hay que considerar también los respectivos signos de cada término y tener en cuenta que en la reducción de términos semejante (suma y resta algebraica) como ya se ha dicho, solo se opera con los coeficientes y las variables siguen con los mismos exponentes.

11 Ejemplo 2. Restar los siguientes polinomios: -2x 2 +5 x - 1 con 6x x 2 Aquí en este caso primero ordenamos cada polinomio de mayor a menor exponente: El primero queda igual: -2x 2 +5 x - 1 y el segundo queda: 13x 2 +6x + 3 Y procedemos: Es importante mencionar que el coeficiente del termino x es igual a 1, y por definición no se escribe, solo la parte de la variable. Esto es sumamente importante no olvidarlo, así también cuando un término su exponente es 1, no se escribe. Para reafirmar y que se comprenda mejor esta explicación se muestra la siguiente tabla con algunos ejemplos: término Coeficiente exponente Variable y 1 1 y x 1 1 x a 1 1 a Ahora en los siguientes casos de la tabla se muestra una combinación de exponentes y coeficientes, que como ya se ha mencionado al principio, no se escriben cuando son 1 término Coeficiente exponente Variable 3b 3 1 b -y y -2a -2 1 a -x -1 1 x

12 Continuando con el tema, se puede también sumar o restar monomios con polinomios, Por ejemplo: 12xy + 4 x + 5x 8xy + 6 En este caso tenemos un binomio con un trinomio, los términos que no haya con quienes sumarlos se quedan simplemente indicada la operación: Recordamos de nuevo que primero se ordenan los términos de mayor a menor grado: Puede verse que el 6 no tiene con cual sumarse por ello se deja indicado. Ejercicios de práctica: Realiza las operaciones de reducción de términos semejantes (sumas y restas). A) - 3b + 5b 3 +b b 2 6b 3 +4b=? B) 7a a a b 2 =? C) y 3y 2 + 5y 4 + 6y + y 3 8y 2 +4=? D) 3mn + 2m m+ 4mn =? E) 7n- 6m + 3 m 4n + 5m + 4n =? F) 2ab 3a + 4b + 6ab +3b-2a=? G) -xy + 4y 5x + 8y 5x + 2xy =?

13 Respuestas. A) -b 3 + 2b 2 +b C) 5y 4 +y 3-11y 2 +7y +4 E) 2m +7n G) xy +12y -10x Pon ahora en práctica tus conocimientos adquiridos, resolviendo los ejemplos adicionales siguientes para mejorar tu habilidad en la reducción de términos semejantes. a) 3X- 5Y + 2XY-8Y+4X-9Y-3XY+3X-7Y+2XY-Y=? b) 2m- 2n + 2m - 6m+4mn-5m - 3n+3mn - m+ 4mn- 8n=? c) 2m 2-2n + 5m 2-6m+4mn 2 - m +5n 2 +3m 2 n - m+ 4m 2 n- 8n 3n 2 =? d) 4xy 2 5xy 3xy 2 + 7x 2 y x y=? e) 2a 3 b 2-4ab + 8a 2 b 3 ab + 7a 2 b 3-4a 3 b 2 =? f) z 2-4z z 2 2z + 3z 2 -z 3-6=? Respuestas. b) - 8m -13n +11mn d) 7x 2 + xy 2 6xy f) -z 3 +12z 2-6z -4

14 EJEMPLOS PRACTICOS SOBRE APLICACIÓN DE TERMINOS SEMEJANTES. Los conceptos vistos son de gran utilidad cuando se han de representar situaciones o han de resolver problemas que implican cantidades a determinar, para lo cual es necesario en primer lugar indicar dichas cantidades en forma algebraica como se muestra en los siguientes casos. 1.- En una tienda de juguetes, el precio de cada bicicleta es de p pesos y el de cada triciclo es de s pesos, si en un día el encargado del departamento vende 5 bicicletas y 3 triciclos, cual es la expresión que representa las ventas del día? Precio de bicicleta= p Precio de triciclo = s Ventas totales = 5p + 3s 2- en un atrio de la entrada a un salón de fiestas, se va a diseñar un conjunto de figuras en el piso en forma de triángulos isósceles, si los lados iguales de cada triangulo deben medir el doble que su base, cual es la expresión algebraica para indicar su perímetro de cada uno? La base mide = b, La longitud de los lados iguales=2b Perímetro= suma de los tres lados= b+ 2b+2b= 5b 3.- En una tienda unas cajas contienen 8 refrescos que tienen un precio de x pesos cada refresco, y las cajas de galletas que consta de 6 paquetes tienen un precio de y pesos cada paquete, si durante el día se venden 4 cajas de refresco y 2 cajas de galletas, cual es la expresión que corresponde a las ventas totales del día? Precio de caja de refresco =8x Precio de caja de galletas = 6y Total de ventas= 4(8x) + 2(6y) = 32x + 12y

15 4.- Una carretera mide actualmente x kilometros, y se vale va a construir una extensión del doble de longitud de la carretera actual mas 5 kilometros. La forma algebraica para indicar la longitud total de la carretera es? En este caso la longitud inicial es= x La extension será: 2x+5 El total de la longitud será: x + 2x + 5 = 3x + 5 REFERENCIAS. Baldor A. Algebra. Publicaciones Cultural. México D.F García M. A. Algebra para bachillerato. Editorial Esfinge. México D.F