DISEÑO DE EXPERIMENTOS Y MODELOS DE REGRESIÓN Departamento de ingeniería de organización, administración de empresas y estadística.

Transcripción

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3 DISEÑO DE EXPERIMENTOS Y MODELOS DE REGRESIÓN Departameto de geería de orgazacó, admstracó de empresas estadístca. PROGRAMA. Aálss de la varaza. Comparacó de dos tratametos. La hpótess de ormaldad, depedeca homocedastcdad. Estmacó. Cotraste de gualdad de medas. Cotraste de gualdad de varazas. La dstrbucó F: Comparacó de varos tratametos. Modelo básco. Descomposcó de la varabldad. Tabla del aálss de la varaza(adeva. Cotraste de gualdad de medas. Comparacoes múltples. Dagoss de las hpótess del modelo de aálss de la varaza. Grá co probablsta ormal. Cotrastes de homocedastcdad. Aleatorzacó.. Dseño de epermetos. Modelo co dos factores. Cocepto de teraccó. Descomposcó de la varabldad. Tabla de aálss de la varaza. Cotraste de gual de medas. Dagoss de las hpótess del modelo. El modelo e bloques aleatorzados. Modelo estmacó. Descomposcó de la varabldad. Tabla de aálss de la varaza. 3. Regresó leal. Hpótess del modelo. Estmacó de los parámetros por máma verosmltud (mímos cuadrados. Dstrbucó de los estmadores. Cotrastes dvduales de los parámetros del modelo. Cotraste geeral de regresó. El coe cete de determacó. Multcolealdad: det cacó sus cosecuecas. Predccó e regresó smple. Varables cualtatvas como regresores. Dagoss del modelo.

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5 . Aálss de la Varaza Dseño de Epermetos Modelos de Regresó Curso 6/7. Dos tratametos

6 Comparacó de dos tratametos A B 5,3 9,6 39,4 47, 6,3 5,9 39, 3, 48, 33, 34,, 69,8 34, 3,3 9,5 45, 43,8 46,4 4,9 Se desea comparar dos tratametos para reducr el vel de colesterol e la sagre. Se seleccoa dvduos se asga al azar a dos tpos de detas A B. La tabla muestra la reduccó coseguda después de dos meses. Aálss de la Varaza 3 Método: 4 pasos - Defcó del modelo de dstrbucó de probabldad: Hpótess Parámetros - Estmacó de los parámetros - Dagoss de las hpótess - Aplcacó Aálss de la Varaza 4

7 Modelo M O D E L O D A T O S Aálss de la Varaza 5 Modelo: Hpótess Parámetros Hpótess báscas: Normaldad j N(, Homocedastcdad Var [ j ] = Idepedeca Parámetros Cov [ j, kl ] = Aálss de la Varaza 6

8 Modelo j u j, u j N(, Las observacoes se descompoe e: -Parte predecble -Parte aleatora u j Aálss de la Varaza 7 Estmacó medas: : : j j j j A B 5,3 9,6 39,4 47, 6,3 5,9 39, 3, 48, 33, 34,, 69,8 34, 3,3 9,5 45, 43,8 46,4 4,9 43, 9,3 Aálss de la Varaza 8

9 Estmacó varaza (resduos j u e j u e j j j, : RESIDUO : s R u j j j j j N(, e Resduos A B 8,,3-3,7 7,7-6,8-3,4-4, -6,3 5, 3,8-8,9-7, 6,7 4,8 -,8-9,8, 4,5 3,3-4,4,, j e j ; s R 3.95 Aálss de la Varaza 9 Varaza resdual: R s ( j ( j s s ej j R s s s Aálss de la Varaza

10 Aálss de la Varaza Dfereca de medas:, ( N, ( N ( ( (, ( (, ( R t s N N Aálss de la Varaza Cotraste de gualdad de medas : : H H / / / e rechaza No se rechaza H S t t H t t t / -t / / t - R.R. R.R R. Acept. - R t s t

11 Ejemplo: =.5 H H : : R.R. t 8 R.R t Se rechaza H Aálss de la Varaza 3 Ejemplo: =. t H H : : R.R t 8.88 R.R.5 / No se rechaza H Aálss de la Varaza 4

12 Nvel crítco (blateral t H H.44 : : t p valor Pr( t =.5 > p-valor Se rechaza H =. < p-valor No se rechaza H Aálss de la Varaza 5 Coclusoes (fjado S t o >t / se dce que la dfereca de medas es sgfcatva. O smplemete que los tratametos so dsttos (tee medas dsttas. S t o t / se dce que la dfereca de medas o es sgfcatva. No ha evdeca sufcete para afrmar que las medas de los tratametos sea dferetes. Aálss de la Varaza 6

13 No rechazar H o, o mplca que H o sea certa El resultado t o t /,(o se rechaza H o o debe terpretarse como que se ha demostrado que las dos medas so guales. No rechazar la hpótess ula mplca que la dfereca etre las medas - o es lo sufcetemete grade como para ser detectada co el tamaño muestral dado. Aálss de la Varaza 7 Comparacó de dos tratametos co R 8

14 Comparacó de dos tratametos co R 9 Comparacó de meddas del cuerpo humao por géero Meas Cof. It.

15 Aálss de la Varaza Itervalo de cofaza para la dfereca de medas: ( ( R t s / / / ( } ( ( Pr{ s t t s t R R t / -t / / t - - / Aálss de la Varaza Ejemplo: tervalo de cofaza t (43. ( / s t R

16 3 Aálss de la Varaza Hpótess de homocedastcdad ( s j ( s j : : H H 4 Aálss de la varaza Dstrbucó F ( ( j s s ( ( j s s, ( ( F s s F

17 Dstrbucó F F 4,4 F,4 F,4 F 5,4 Aálss de la varaza 5 Alguas dstrbucoes F F,8 F,4 F, F, Aálss de la varaza 6

18 Cotraste de gualdad de varazas S F H H H S S s s : F F : es certo F,, RR / F -/ - R.A. Ho F / F /, F / No se rechaza F /, F / Se rechaza H RR H / Aálss de la varaza 7 Ejemplo: Cotraste de gualdad de varazas s F H H : : s.37.7 RR RR ,4.3 No se rechaza.37 H Aálss de la varaza 8

19 Tabla F =.5 F, P F F (,,,, Grados de lbertad del deomador: If. 6,4 99,5 5,7 4,6 3, 34, 36,8 38,9 4,5 4,9 43,9 45,9 48, 49, 5, 5, 5, 53, 53,3 54,3 8,5 9, 9,6 9,5 9,3 9,33 9,35 9,37 9,38 9,4 9,4 9,43 9,45 9,45 9,46 9,47 9,48 9,49 9,49 9,5 3,3 9,55 9,8 9, 9, 8,94 8,89 8,85 8,8 8,79 8,74 8,7 8,66 8,64 8,6 8,59 8,57 8,55 8,55 8, ,7 6,94 6,59 6,39 6,6 6,6 6,9 6,4 6, 5,96 5,9 5,86 5,8 5,77 5,75 5,7 5,69 5,66 5,66 5, ,6 5,79 5,4 5,9 5,5 4,95 4,88 4,8 4,77 4,74 4,68 4,6 4,56 4,53 4,5 4,46 4,43 4,4 4,4 4, ,99 5,4 4,76 4,53 4,39 4,8 4, 4,5 4, 4,6 4, 3,94 3,87 3,84 3,8 3,77 3,74 3,7 3,7 3, ,59 4,74 4,35 4, 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,57 3,5 3,44 3,4 3,38 3,34 3,3 3,7 3,7 3, ,3 4,46 4,7 3,84 3,69 3,58 3,5 3,44 3,39 3,35 3,8 3, 3,5 3, 3,8 3,4 3,,97,97, , 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,8 3,4 3,7 3,,94,9,86,83,79,76,75,7 9 4,96 4, 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,7 3,,98,9,85,77,74,7,66,6,59,58,54 4,84 3,98 3,59 3,36 3, 3,9 3,,95,9,85,79,7,65,6,57,53,49,46,45,4 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,,9,85,8,75,69,6,54,5,47,43,38,35,34,3 3 4,67 3,8 3,4 3,8 3,3,9,83,77,7,67,6,53,46,4,38,34,3,6,5, 3 4 4,6 3,74 3,34 3,,96,85,76,7,65,6,53,46,39,35,3,7,,9,8, ,54 3,68 3,9 3,6,9,79,7,64,59,54,48,4,33,9,5,,6,,, ,49 3,63 3,4 3,,85,74,66,59,54,49,4,35,8,4,9,5,,7,6, 6 7 4,45 3,59 3,,96,8,7,6,55,49,45,38,3,3,9,5,,6,,, ,4 3,55 3,6,93,77,66,58,5,46,4,34,7,9,5,,6,,98,97, ,38 3,5 3,3,9,74,63,54,48,4,38,3,3,6,,7,3,98,94,93,88 9 4,35 3,49 3,,87,7,6,5,45,39,35,8,,,8,4,99,95,9,9,84 4,3 3,47 3,7,84,68,57,49,4,37,3,5,8,,5,,96,9,88,87,8 4,3 3,44 3,5,8,66,55,46,4,34,3,3,5,7,3,98,94,89,85,84,78 3 4,8 3,4 3,3,8,64,53,44,37,3,7,,3,5,,96,9,86,8,8, ,6 3,4 3,,78,6,5,4,36,3,5,8,,3,98,94,89,84,8,79, ,4 3,39,99,76,6,49,4,34,8,4,6,9,,96,9,87,8,78,77, ,3 3,37,98,74,59,47,39,3,7,,5,7,99,95,9,85,8,76,75, , 3,35,96,73,57,46,37,3,5,,3,6,97,93,88,84,79,74,73, , 3,34,95,7,56,45,36,9,4,9,,4,96,9,87,8,77,73,7, ,8 3,33,93,7,55,43,35,8,,8,,3,94,9,85,8,75,7,7, ,7 3,3,9,69,53,4,33,7,,6,9,,93,89,84,79,74,7,68, ,8 3,3,84,6,45,34,5,8,,8,,9,84,79,74,69,64,59,58, ,3 3,8,79,56,4,9,,3,7,3,95,87,78,74,69,63,58,5,5, , 3,5,76,53,37,5,7,,4,99,9,84,75,7,65,59,53,48,47, ,98 3,3,74,5,35,3,4,7,,97,89,8,7,67,6,57,5,45,44, ,96 3,,7,49,33,,3,6,,95,88,79,7,65,6,54,48,43,4, ,95 3,,7,47,3,,,4,99,94,86,78,69,64,59,53,46,4,39,3 9 3,94 3,9,7,46,3,9,,3,97,93,85,77,68,63,57,5,45,39,38,8 3,9 3,7,68,45,9,8,9,,96,9,83,75,66,6,55,5,43,37,35,5 If 3,84 3,,6,37,,,,94,88,83,75,67,57,5,46,39,3,4,, If If. Ejemplo : 8 P( F7, Tabla F =.5 F, P F F (,,,, Grados de lbertad del deomador: If. 647,8 799,5 864, 899,6 9,8 937, 948, 956,6 963,3 968,6 976,7 984,9 993, 997,3,4 5,6 9,8 3, 4, 8,3 38,5 39, 39,7 39,5 39,3 39,33 39,36 39,37 39,39 39,4 39,4 39,43 39,45 39,46 39,46 39,47 39,48 39,49 39,49 39,5 3 7,44 6,4 5,44 5, 4,88 4,73 4,6 4,54 4,47 4,4 4,34 4,5 4,7 4, 4,8 4,4 3,99 3,96 3,95 3,9 3 4,,65 9,98 9,6 9,36 9, 9,7 8,98 8,9 8,84 8,75 8,66 8,56 8,5 8,46 8,4 8,36 8,3 8,3 8,6 4 5, 8,43 7,76 7,39 7,5 6,98 6,85 6,76 6,68 6,6 6,5 6,43 6,33 6,8 6,3 6,8 6, 6,8 6,7 6, 5 6 8,8 7,6 6,6 6,3 5,99 5,8 5,7 5,6 5,5 5,46 5,37 5,7 5,7 5, 5,7 5, 4,96 4,9 4,9 4, ,7 6,54 5,89 5,5 5,9 5, 4,99 4,9 4,8 4,76 4,67 4,57 4,47 4,4 4,36 4,3 4,5 4, 4, 4, ,57 6,6 5,4 5,5 4,8 4,65 4,53 4,43 4,36 4,3 4, 4, 4, 3,95 3,89 3,84 3,78 3,74 3,73 3, , 5,7 5,8 4,7 4,48 4,3 4, 4, 4,3 3,96 3,87 3,77 3,67 3,6 3,56 3,5 3,45 3,4 3,39 3,33 9 6,94 5,46 4,83 4,47 4,4 4,7 3,95 3,85 3,78 3,7 3,6 3,5 3,4 3,37 3,3 3,6 3, 3,5 3,4 3,8 6,7 5,6 4,63 4,8 4,4 3,88 3,76 3,66 3,59 3,53 3,43 3,33 3,3 3,7 3, 3,6 3,,96,94,88 6,55 5, 4,47 4, 3,89 3,73 3,6 3,5 3,44 3,37 3,8 3,8 3,7 3,,96,9,85,8,79,7 3 6,4 4,97 4,35 4, 3,77 3,6 3,48 3,39 3,3 3,5 3,5 3,5,95,89,84,78,7,67,66, ,3 4,86 4,4 3,89 3,66 3,5 3,38 3,9 3, 3,5 3,5,95,84,79,73,67,6,56,55, , 4,77 4,5 3,8 3,58 3,4 3,9 3, 3, 3,6,96,86,76,7,64,59,5,47,46, , 4,69 4,8 3,73 3,5 3,34 3, 3, 3,5,99,89,79,68,63,57,5,45,4,38, ,4 4,6 4, 3,66 3,44 3,8 3,6 3,6,98,9,8,7,6,56,5,44,38,33,3, ,98 4,56 3,95 3,6 3,38 3, 3, 3,,93,87,77,67,56,5,44,38,3,7,6, ,9 4,5 3,9 3,56 3,33 3,7 3,5,96,88,8,7,6,5,45,39,33,7,,,3 9 5,87 4,46 3,86 3,5 3,9 3,3 3,,9,84,77,68,57,46,4,35,9,,7,6,9 5,83 4,4 3,8 3,48 3,5 3,9,97,87,8,73,64,53,4,37,3,5,8,3,,4 5,79 4,38 3,78 3,44 3, 3,5,93,84,76,7,6,5,39,33,7,,4,9,8, 3 5,75 4,35 3,75 3,4 3,8 3,,9,8,73,67,57,47,36,3,4,8,,6,4, ,7 4,3 3,7 3,38 3,5,99,87,78,7,64,54,44,33,7,,5,8,,, ,69 4,9 3,69 3,35 3,3,97,85,75,68,6,5,4,3,4,8,,5,,98, ,66 4,7 3,67 3,33 3,,94,8,73,65,59,49,39,8,,6,9,3,97,95, ,63 4,4 3,65 3,3 3,8,9,8,7,63,57,47,36,5,9,3,7,,94,93, ,6 4, 3,63 3,9 3,6,9,78,69,6,55,45,34,3,7,,5,98,9,9, ,59 4, 3,6 3,7 3,4,88,76,67,59,53,43,3,,5,9,3,96,9,89, ,57 4,8 3,59 3,5 3,3,87,75,65,57,5,4,3,,4,7,,94,88,87, ,4 4,5 3,46 3,3,9,74,6,53,45,39,9,8,7,,94,88,8,74,7, ,34 3,97 3,39 3,5,83,67,55,46,38,3,,,99,93,87,8,7,66,64, ,9 3,93 3,34 3,,79,63,5,4,33,7,7,6,94,88,8,74,67,6,58, ,5 3,89 3,3,97,75,59,47,38,3,4,4,3,9,85,78,7,63,56,54, , 3,86 3,8,95,73,57,45,35,8,,,,88,8,75,68,6,53,5, , 3,84 3,6,93,7,55,43,34,6,9,9,98,86,8,73,66,58,5,48,37 9 5,8 3,83 3,5,9,7,54,4,3,4,8,8,97,85,78,7,64,56,48,46,35 5,5 3,8 3,3,89,67,5,39,3,,6,5,94,8,76,69,6,53,45,43,3 If 5, 3,69 3,,79,57,4,9,9,,5,94,83,7,64,57,48,39,3,7, If If. Ejemplo : 8 P( F7,

20 Tabla F =. F, P F F (,,,, Grados de lbertad del deomador: If. 45, 4999,3 543,5 564,3 5764, 5859, 598,3 598, 6,4 655,9 66,7 657, 68,7 634,3 66,4 686,4 633, 6333,9 6339,5 6365,6 98,5 99, 99,6 99,5 99,3 99,33 99,36 99,38 99,39 99,4 99,4 99,43 99,45 99,46 99,47 99,48 99,48 99,49 99,49 99,5 3 34, 3,8 9,46 8,7 8,4 7,9 7,67 7,49 7,34 7,3 7,5 6,87 6,69 6,6 6,5 6,4 6,3 6,4 6, 6,3 3 4, 8, 6,69 5,98 5,5 5, 4,98 4,8 4,66 4,55 4,37 4, 4, 3,93 3,84 3,75 3,65 3,58 3,56 3, ,6 3,7,6,39,97,67,46,9,6,5 9,89 9,7 9,55 9,47 9,38 9,9 9, 9,3 9, 9, 5 6 3,75,9 9,78 9,5 8,75 8,47 8,6 8, 7,98 7,87 7,7 7,56 7,4 7,3 7,3 7,4 7,6 6,99 6,97 6,88 6 7,5 9,55 8,45 7,85 7,46 7,9 6,99 6,84 6,7 6,6 6,47 6,3 6,6 6,7 5,99 5,9 5,8 5,75 5,74 5,65 7 8,6 8,65 7,59 7, 6,63 6,37 6,8 6,3 5,9 5,8 5,67 5,5 5,36 5,8 5, 5, 5,3 4,96 4,95 4,86 8 9,56 8, 6,99 6,4 6,6 5,8 5,6 5,47 5,35 5,6 5, 4,96 4,8 4,73 4,65 4,57 4,48 4,4 4,4 4,3 9,4 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5, 5,6 4,94 4,85 4,7 4,56 4,4 4,33 4,5 4,7 4,8 4, 4, 3,9 9,65 7, 6, 5,67 5,3 5,7 4,89 4,74 4,63 4,54 4,4 4,5 4, 4, 3,94 3,86 3,78 3,7 3,69 3,6 9,33 6,93 5,95 5,4 5,6 4,8 4,64 4,5 4,39 4,3 4,6 4, 3,86 3,78 3,7 3,6 3,54 3,47 3,45 3,36 3 9,7 6,7 5,74 5, 4,86 4,6 4,44 4,3 4,9 4, 3,96 3,8 3,66 3,59 3,5 3,43 3,34 3,7 3,5 3, ,86 6,5 5,56 5,4 4,69 4,46 4,8 4,4 4,3 3,94 3,8 3,66 3,5 3,43 3,35 3,7 3,8 3, 3,9 3, 4 5 8,68 6,36 5,4 4,89 4,56 4,3 4,4 4, 3,89 3,8 3,67 3,5 3,37 3,9 3, 3,3 3,5,98,96, ,53 6,3 5,9 4,77 4,44 4, 4,3 3,89 3,78 3,69 3,55 3,4 3,6 3,8 3, 3,,93,86,84, ,4 6, 5,9 4,67 4,34 4, 3,93 3,79 3,68 3,59 3,46 3,3 3,6 3,8 3,,9,83,76,75, ,9 6, 5,9 4,58 4,5 4, 3,84 3,7 3,6 3,5 3,37 3,3 3,8 3,,9,84,75,68,66, ,8 5,93 5, 4,5 4,7 3,94 3,77 3,63 3,5 3,43 3,3 3,5 3,,9,84,76,67,6,58,49 9 8, 5,85 4,94 4,43 4, 3,87 3,7 3,56 3,46 3,37 3,3 3,9,94,86,78,69,6,54,5,4 8, 5,78 4,87 4,37 4,4 3,8 3,64 3,5 3,4 3,3 3,7 3,3,88,8,7,64,55,48,46,36 7,95 5,7 4,8 4,3 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,6 3,,98,83,75,67,58,5,4,4,3 3 7,88 5,66 4,76 4,6 3,94 3,7 3,54 3,4 3,3 3, 3,7,93,78,7,6,54,45,37,35, ,8 5,6 4,7 4, 3,9 3,67 3,5 3,36 3,6 3,7 3,3,89,74,66,58,49,4,33,3, 4 5 7,77 5,57 4,68 4,8 3,85 3,63 3,46 3,3 3, 3,3,99,85,7,6,54,45,36,9,7, ,7 5,53 4,64 4,4 3,8 3,59 3,4 3,9 3,8 3,9,96,8,66,58,5,4,33,5,3, ,68 5,49 4,6 4, 3,78 3,56 3,39 3,6 3,5 3,6,93,78,63,55,47,38,9,,, 7 8 7,64 5,45 4,57 4,7 3,75 3,53 3,36 3,3 3, 3,3,9,75,6,5,44,35,6,9,7, ,6 5,4 4,54 4,4 3,73 3,5 3,33 3, 3,9 3,,87,73,57,49,4,33,3,6,4, ,56 5,39 4,5 4, 3,7 3,47 3,3 3,7 3,7,98,84,7,55,47,39,3,,3,, 3 4 7,3 5,8 4,3 3,83 3,5 3,9 3,,99,89,8,66,5,37,9,,,,94,9, ,7 5,6 4, 3,7 3,4 3,9 3,,89,78,7,56,4,7,8,,,9,8,8, ,8 4,98 4,3 3,65 3,34 3,,95,8,7,63,5,35,,,3,94,84,75,73, , 4,9 4,7 3,6 3,9 3,7,9,78,67,59,45,3,5,7,98,89,78,7,67, ,96 4,88 4,4 3,56 3,6 3,4,87,74,64,55,4,7,,3,94,85,75,65,63, ,93 4,85 4, 3,53 3,3 3,,84,7,6,5,39,4,9,,9,8,7,6,6,46 9 6,9 4,8 3,98 3,5 3,,99,8,69,59,5,37,,7,98,89,8,69,6,57,43 6,85 4,79 3,95 3,48 3,7,96,79,66,56,47,34,9,3,95,86,76,66,56,53,38 If 6,63 4,6 3,78 3,3 3,,8,64,5,4,3,8,4,88,79,7,59,47,36,3, If If. Ejemplo : 8 P( F7, 6.8. Comparacó de dos tratametos co R 3

21 Comparacó de dos tratametos co R 33. K tratametos Aálss de la varaza 34

22 Este dferecas etre las cuatro semllas? Se desea comparar el redmeto de cuatro semllas A,B,C D. U terreo se dvde e 4 parcelas smlares se asga al azar cada semlla a 6 parcelas. A B C D Aálss de la varaza 35 Método: 4 pasos - Defcó del modelo de dstrbucó de probabldad: Hpótess Parámetros - Estmacó de los parámetros - Dagoss de las hpótess - Aplcacó Aálss de la varaza 36

23 Modelo... K... K K K K Aálss de la varaza 37 Hpótess del modelo Normaldad j N(, Homocedastcdad Var [ j ] = Idepedeca Cov [ j, kl ] = Aálss de la varaza 38

24 Modelo: Hpótess Parámetros Hpótess báscas: Normaldad j N(, Homocedastcdad Var [ j ] = Idepedeca Cov [ j, kl ] = Parámetros K Aálss de la varaza 39 Modelo: Forma alteratva j u j, u j N(, Las observacoes se descompoe e: Parte predecble Parte aleatora u j Aálss de la varaza 4

25 Estmacó medas: Máma Verosmltud : K : : K j j j j K j K Kj A B C D Aálss de la varaza 4 Estmacó varaza (resduos j u e j u e : j j j, : s R u j j j N(, K RESIDUO j e K j Resduos A B C D s R 4.4 Aálss de la varaza 4

26 Comparacó de medas La comparacó de tratametos co este modelo se reduce a comparar las medas,,..., K, e prmer lugar co el cotraste: H H : : Al meos ua K es dferete Aálss de la varaza 43 Descomposcó de la varabldad (dode ( K ( j K j j ( j u ( j j j K j j K ( j K ( ( ( j ( j j elevado al cuadrado sumado para todo,j : K ( j K restado ( j j j j, Aálss de la varaza 44

27 Varabldades VNE VT VE K j Varabldades K j K ( ( ( j j K ej j Grados de lbertad - K- -K VT VE VNE ( K ( K Aálss de la varaza 45 Descomposcó: ejemplo 3.4 Datos Medas Resduos = = j j Aálss de la varaza 46

28 Varabldades: ejemplo VT VE K j K VNE Varabldades ( ( K j j e j Grados de lbertad - 3 K- 3 -K Aálss de la varaza 47 Iterpretacó gráfca de la descomposcó 3 j 4 j Aálss de la varaza 48

29 49 Aálss de la varaza Dstrbucó de VE / / / / / /, ( que llamaremos S, (, ( K K K K K K K j N N N 5 Aálss de la varaza Dstrbucó de VNE ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (, ( K K K R K K j K Kj j j j j K j j R j j j K s s s s K K s s s K K s s s N K

30 Cotraste (Aálss de la Varaza F F F H H R ( K s K S Ho es certo : K ( FK, K ( K s R F No se rechaza H F : : Al meos ua es dferete Se rechaza H K K ( K Aálss de la varaza 5 Tabla de Aálss de la Varaza Fuetes Suma de Cuadrados Grados de Lbertad Varazas F Tratametos Resdual Total ( ( ( j j K K ( s R /( K ( ( K s R Aálss de la varaza 5

31 Tabla de Aálss de la Varaza Fuetes Suma de Cuadrados Grados de Lbertad Varazas F Tratametos Resdual Total Aálss de la varaza 53 j Itervalos de cofaza para las medas N(, N(, N(, R.R. tk s R / t / s R -t / - R. Acept. H t -K t / R.R / Aálss de la varaza 54

32 Itervalos de cofaza Semlla Meda L. Iferor L. Superor A B C D Aálss de la varaza 55 Itervalos de cofaza (95% 6 Redmeto A B C D Semlla Aálss de la varaza 56

33 57 Aálss de la varaza Dfereca de medas:, ( N, ( N K R t s N N ( ( (, ( (, ( 58 Aálss de la varaza t / -t / / t -K R.R. R.R R. Acept. H - / Cotraste multples j j H H : : / / e rechaza No se rechaza H S t t H t t K j R j j t s t

34 Dagoss del modelo Modelo... K... K K K K Aálss de la varaza 6

35 Hpótess del modelo Normaldad j N(, Homocedastcdad Var [ j ] = Idepedeca Cov [ j, kl ] = Aálss de la varaza 6 Resduos: Normales homocedástcos u u j j j u j j N(, e j j Resduos A B C D -3,8 4,8-3, 4,5,8 4,4 9,,7 -,6,6 3,4-5,9,8-8,7 -,3 4,8-5,7 5,7-6,5-5,9 -,6-6,7 -,4 -,,,,, Aálss de la varaza 6

36 Comprobacó de la ormaldad Los resduos debe de teer dstrbucó ormal. Las observacoes orgales també, pero cada grupo co meda dferete, por ello es precso estmar el modelo para descotar a cada observacó su meda obteer valores co la msma dstrbucó. Herrametas de comprobacó: Hstograma de resduos Gráfco de probabldad ormal (Q-Q plot Cotrastes formales (Kolmogorov-Smrov Aálss de la varaza 63 Gráfco probablsta ormal Es u gráfco X-Y de los resduos frete a los percetles de la dstrbucó ormal. La dea básca es que cuado los resduos tee dstrbucó ormal, los putos debe formar apromadamete ua líea recta. Pasos: Ordear los resduos de meor a maor. e e ( ( ( Calcular los percetles de la dstrbucó ormal.5 Y ( s R,,,..., Represetar e, e ( Y Aálss de la varaza 64

37 Gráfco prob. Normal (ejemplo Orde Resd. Probab. Perce. Perce. ej (-.5/ N(, N(, -8,7, -,4-4,3-6,7,63 -,53-8,3 3-5,9,4 -,6-5, 4-5,9,46 -,5 -,58 5-3,8,88 -,89 -,58 6-6,5,9 -,74-8,85 7-5,7,7 -,6-7,8 8-3,,33 -,49-5,83 9 -,3,354 -,37-4,46 -,6,396 -,6-3,5 -,6,438 -,6 -,88 -,4,479 -,5 -,6 3 -,,5,5,6 4,6,563,6,88 5,7,64,6 3,5 6 3,4,646,37 4,46 7 4,8,688,49 5,83 8 5,7,79,6 7,8 9 9,,77,74 8,85,8,83,89,58,8,854,5,58 4,4,896,6 5, 3 4,8,938,53 8,3 4 4,5,979,4 4,3 Percetles 3,,,, -, -, Q-Q plot -3, -3, -, -,,,, 3, Resduos ordeados Aálss de la varaza 65 Gráfco probablsta ormal Probabldad Resduos Aálss de la varaza 66

38 Ejemplos 99, Normal, -,6 -,6 -,6,4,4,4 3,4 99, , No ormal , , No ormal,4,8,,6 99, , No ormal Aálss de la varaza 67 Comprobacó de la homocedastcdad E el proceso de estmacó se ha supuesto que los dsttos tratametos tee la msma varaza. Herrametas: - Gráfcos de resduos: Frete a valores prevstos Frete a tratametos (o factor,etc. - Cotrastes formales: Bartlett, Cochra, Hartle, Levee Aálss de la varaza 68

39 Resduos - Valores prevstos resduos resduos valores prevstos Valores prevstos E este modelo los valores prevstos correspode a la meda del tratameto. Los putos debe aparecer dspuestos al azar e ua bada horzotal alrededor del eje horzotal. Heterocedastcdad: a veces la dspersó aumeta coforme la meda crece. Aálss de la varaza 69 Resduos por tratametos 5 Resduos mí. má A B C D Semlla E cada grupo los resduos aparece esparcdos co dspersó smlar meda cero. Aálss de la varaza 7

40 Resduos por tratametos 5 Resduos mí. má. má mí 3-5 A B C D Semlla E cada grupo los resduos aparece esparcdos co dspersó smlar meda cero. Aálss de la varaza 7 Cotrastes formales... K K H H : : Algua es dstta K Aálss de la varaza 7

41 Cotrastes formales U ejemplo de este tpo de cotrastes formales es el cotraste de Bartlett. Para el ejemplo de los tpos de semlla se tee u p- valor =.77>α No se rechaza la hpótess ula de homocedastcdad. Aálss de la varaza 73,57,37 Dagoss: Tres gráfcos báscos,57,37 resduos,7 -,3 resduos,7 -,3 -,3 -,3 -,43 -,43,3,6,9, 3 Valores prevstos Tratametos probabldad 99, , -,33 -,3,7,7,47 resduos Homocedastcdad Normaldad

42 Gráfco probablsta ormal probabldad 99, , -,33 -,3,7,7,47 resduos Aálss de la varaza 75 Trasformacoes z=h( para establzar la varaza E la práctca, e la maoría de los casos, algua de las trasformacoes sguetes corrge la heterocedastcdad: / log( (u otras trasformacoes p Aálss de la varaza 76

43 Trasformacoes Bo-Co z j,5,5 p > p = p < -,5 - -,5 z z j j p j log p j j s p Aálss de la varaza 77 Búsqueda de la trasformacó adecuada resduos resduos,57,37,7 -,3 -,3 -,43,3,6,9, Valores prevstos,6,,6, -,4 -,9 -, valores prevstos La dspersó aumeta al aumetar la meda p < La dspersó dsmue al aumetar la meda p > Aálss de la varaza 78

44 Eleccó de la trasformacó z p j j Empezar co p= (datos s trasformar decdr a partr de los gráfcos s p> o p<. p p / p p / p Parar cuado los gráfcos esté ok. z j j zj log zj j zj j j Aálss de la varaza 79 Idepedeca Es la hpótess fudametal co dfereca la más mportate de las tres, además es la más dfícl de comprobar. La falta de depedeca suele r lgada a factores o cotrolados por el epermetador que flue e los resultados troducedo errores sstemátcos. La forma más recomedable de evtar errores sstemátcos cosste e aleatorzar. Aálss de la varaza 8

45 Aleatorzacó La aleatorzacó evta que se produzca errores que sstemátcamete aumete o dsmua u cojuto de meddas por causas o recoocbles: al aleatorzar se reparte estos errores por gual etre los dferetes tratametos se coverte e errores aleatoros, prevstos e el modelo. Aálss de la varaza 8 Cómo aleatorzar? Asgar las udades epermetales al azar a los dsttos tratametos. Aleatorzar el orde de ejecucó de los epermetos. Aleatorzar respecto a cualquer otra varable que mplque dferecar a los tratametos. La aleatorzacó es ua precaucó cotra dstorsoes que puede ocurrr o o ocurrr, que pudera ser seras o o s llegara a ocurrr Aálss de la varaza 8

46 Cómo aleatorzar? Asgar las udades epermetales al azar a los dsttos tratametos. Aleatorzar el orde de ejecucó de los epermetos. Aleatorzar respecto a cualquer otra varable que mplque dferecar a los tratametos. La aleatorzacó es ua precaucó cotra dstorsoes que puede ocurrr o o ocurrr, que pudera ser seras o o s llegara a ocurrr Aálss de la Varaza 83 Comparacó de k tratametos co R Ejemplos: - Comparacó de k=4 tpos de semlla e la produccó de ceteo (ceteo.tt. - Datos obtedos por Hel para medr el valor de la costate de gravtacó uversal, G, comparacó para k=3 materales (hel.tt. - Iflueca del tpo de fbra e el tempo de combustó (fbras.tt. Aálss de la Varaza 84

47 Ejemplo : Ceteo ARCHIVO TEXTO: ceteo.tt Aálss de la Varaza 85 Tabla ANOVA: Ceteo Aálss de la Varaza 86

48 Itervalos de cofaza: Ceteo > source('icplot.r' > ICplot(mod, Sem' medas 3 5 A B C D Sem Aálss de la Varaza 87 Comparacoes Múltples: Ceteo Aálss de la Varaza 88

49 Dagoss: Ceteo Resduals vs Ftted Normal Q-Q Resduals - 9 Stadardzed resduals Ftted values Theoretcal Quatles Stadardzed resduals Scale-Locato Stadardzed resduals - - Costat Leverage: Resduals vs Factor Levels ceteo$sem : C B A D 9 Ftted values Factor Level Combatos Aálss de la Varaza 89 Ejemplo : Datos de Hel Datos de las medcoes realzadas para G ( Nm /kg Aálss de la Varaza 9

50 ANOVA Ejemplo : Datos de Hel Aálss de la Varaza 9 Comparacoes múltples: Datos de Hel El objetvo es saber qué tpo de semlla es mejor. Aálss de la Varaza 9

51 Comparacoes múltples: Datos de Hel Comparacoes a Aálss de la Varaza 93 Comparacoes múltples: Datos de Hel Comparacoes a Aálss de la Varaza 94

52 Dagoss: Datos de Hel Dagoss del modelo Aálss de la Varaza 95 Ejemplo 3: Combustó de dsttos tpos de fbra Se ha realzado u epermeto para medr el tempo de combustó de uos retales de cuatro fbras dferetes. E la tabla sguete se proporcoa los resultados obtedos (e segudos del modelo. Aálss de la Varaza 96

53 Ejemplo 3: Combustó de dsttos tpos de fbra Se ha realzado u epermeto para medr el tempo de combustó de uos retales de cuatro fbras dferetes. E la tabla sguete se proporcoa los resultados obtedos (e segudos del modelo. - Tee las cuatro fbras gual comportameto respecto al tempo de combustó? Idque el vel crítco del cotraste. - Cuál es la fbra que preseta meor tempo medo de combustó?. - Aalzar los resduos comprobar las hpótess del modelo. Aálss de la Varaza 97 Ejemplo 3: Combustó de dsttos tpos de fbra Se rechaza la hpótess ula de que todas las fbras sea guales frete a la alteratva de que algua es dstta, co u p-valor de.6 < α. Aálss de la Varaza 98

54 Ejemplo 3: Combustó de dsttos tpos de fbra Comparacoes múltples. El maor tempo de combustó, sgfcatvamete dstto a los aterores: fbra A. E meda la C es la que tee meor tempo de combustó, pero o sgfcatvamete dstta a la B D. Aálss de la Varaza 99 Ejemplo 3: Combustó de dsttos tpos de fbra Dagoss del modelo Aálss de la Varaza

55 Aálss de la varaza co R: comparacó de dos tratametos Ejemplos: - Velocdad de la luz: Mchelso vs. Newcomb - Sesores - Plas Aálss de la Varaza Aálss de la varaza co R: Ejemplo : Mchelso E 879, el físco orteamercao Albert A. Mchelso tomó meddas de la velocdad de la luz e el are empleado ua modfcacó del método propuesto por el físco fracés Foucault. Las meddas que tomó se proporcoa a cotuacó (e mles de km/s. E 88 Smo Newcomb mdó el tempo que ua señal lumosa tardaba e recorrer ua dstaca de 7.44 metros. E el fchero Mchelso.tt se corpora los datos obtedos de ambos epermetos, e mles de km/s. Los datos de Mchelso Newcomb fuero tomados co ua dfereca de tres años co epermetos dferetes. Basádose e los resultados aterores sobre el modelo dstrbucoal del que procede estos datos, respode las sguetes cuestoes: - Compare gráfcamete los datos de la velocdad de la luz de Newcomb de Mchelso (dagramas de cajas e hstogramas. - Aalce s este dferecas sgfcatvas etre las estmacoes de la velocdad de la luz obtedas e ambos epermetos. Aálss de la Varaza

56 Aálss de la varaza co R: Ejemplo : Mchelso Aálss de la Varaza 3 Aálss de la varaza co R: Ejemplo : Mchelso Comparacó de los métodos de Mchelso (M Newcomb (N: Aálss de la Varaza 4

57 Aálss de la varaza co R: Ejemplo : Mchelso Dagoss: Cotraste de Bartlett Aálss de la Varaza 5 Aálss de la varaza co R: Ejemplo : Mchelso Dagoss: Cotraste de Bartlett Se rechaza la hpótess ula de gualdad de varazas H H : : MICHELSON NEWCOMB MICHELSON NEWCOMB El rechazo de la hpótess ula se debe a la preseca de valores atípcos e el epermeto de Newcomb. Aálss de la Varaza 6

58 Aálss de la varaza co R: Ejemplo : Sesores Ua empresa sumstra tubos de escape a la dustra del automóvl. E el tubo de escape se coloca u sesor que comuca al ordeador del coche el cotedo de CO e los gases de escape. La empresa dspoe de dos tpos de sesores A B basados e prcpos de medcó dferetes. Tato uo como otro se coloca e el slecoso del tubo de escape. El departameto de I+D de la empresa sospecha que puede estr dferecas etre las medcoes efectuadas por los dos tpos de sesor decde realzar u epermeto. La prmera dea cosste e seleccoar sesores del tpo A otros del tpo B colocarlos e los tubos de escape de coches dsttos. No obstate u geero de la empresa sugere que para evtar que la varabldad etre coches dsttos emascare los resultados del epermeto, se utlce coches que e cada uo de ellos se mote u sesor A otro B ambos colocados e el slecoso e dos poscoes cercaas etre sí. Qué procedmeto epermetal le parece más adecuado? Por qué?. Falmete se opta por el pla epermetal propuesto por el geero. El cotedo e partes por mlló de CO observado e el epermeto fue el que se dca e la tabla (Sesor.tt: Aálss de la Varaza 7 Aálss de la varaza co R: Ejemplo : Sesores Aálss de la Varaza 8

59 Aálss de la varaza co R: Ejemplo : Sesores No este dferecas sgfcatvas etre los tpos de sesores A B Aálss de la Varaza 9 Aálss de la varaza co R: Ejemplo : Sesores Dagoss del modelo: Comprobacó de la homocedastcdad e depedeca. Aálss de la Varaza

60 Aálss de la varaza co R: Ejemplo : Sesores Dagoss del modelo: Comprobacó de la homocedastcdad medate el cotraste de Bartlett. Alteratva sólo válda para k= tratametos. Aálss de la Varaza Aálss de la varaza co R: Ejemplo 3: Tempo de descarga de plas Se ha meddo el tempo hasta la descarga de dos marcas de plas se desea cotrastar s e base a esta varable las dos marcas so dsttas. Tabla de datos: Eergzer Ultracell,4,56,39,54,35,53,38,54,35,54,36,47,3,49,6,54,37,5 Aálss de la Varaza

61 Aálss de la varaza co R: Ejemplo 3: Tempo de descarga de plas Se ha meddo el tempo hasta la descarga de dos marcas de plas se desea cotrastar s e base a esta varable las dos marcas so dsttas. Aálss de la Varaza 3 Aálss de la varaza co R: Ejemplo 3: Tempo de descarga de plas Comparacoes dos a dos del ejemplo PILAS: Aálss de la Varaza 4

62 Aálss de la varaza co R: Ejemplo 3: Tempo de descarga de plas Dagoss del ejemplo PILAS: Aálss de la Varaza 5 Aálss de la varaza co R: Ejemplo 3: Tempo de descarga de plas Cotraste de Bartlett para el ejemplo PILAS: No se rechaza la hpótess ula de homocedastcdad (gualdad de varazas. Aálss de la Varaza 6

63 Aálss de la Varaza, comparacó de tratametos. Se estuda dos tpos de eumátcos co los resultados sguetes: Tpo (Km ŝ (Km A B Calcular, co α =.: a U tervalo de cofaza para σ. σ b U tervalo de cofaza para µ µ.. Se dspoe de redmetos de dos máquas. Los resultados de la máqua A so 37.5; 4.7; 6.9; 75.; 77.3;.4; , metras que los reultados para la B so: 3.3;.7; 98.4; 6.5; So las máquas guales? (Supoer que los redmetos de ambas máquas sgue dstrbucoes ormales. 3. U fabrcate de automóvles debe elegr etre u determado tpo de pezas de acero sumstradas por u proveedor A otras sumstradas por otro proveedor B. Para proceder a la eleccó se ha aalzado la ressteca a la traccó de las pezas sumstradas por ambos proveedores, tomado ua muestra de tamaño de las pezas del prmero, otra de tamaño del segudo. La ressteca meda de la muestra de A es de 54 udades la de la muestra de B es de 49 udades, sedo las desvacoes típcas muestrales corregdas ŝ A = ŝ B = 9. Las resstecas de las pezas de ambos proveedores se dstrbue ormalmete. Las pezas del proveedor B so más baratas que las del proveedor A, por lo que estas últmas sólo so retables s tee ua ressteca meda al meos udades maor que las de B, la msma varabldad. a A qué proveedor habría que comprar las pezas a la vsta de los resultados muestrales? b Obteer u tervalo de cofaza al 9% para la dfereca de medas de la ressteca de las pezas de los proveedores A B. Aálss de la Varaza, comparacó de k tratametos. E ua fábrca de automóvles se utlza ua msma plata para el esamblaje de tres modelos dsttos (A, B C. Para determar s los modelos recbe el msmo tratameto, se ha realzado u cotrol de caldad a ua muestra tomada para cada modelo. El úmero de defectos ecotrados para cco vehículos del modelo A so 5, 4, 6, 6 7; para ses vehículos del modelo B so 7, 8, 6, 7, 6 5; para ocho vehículos del modelo C: 9, 7, 8, 9,,,. Cotrastar s este dferecas e el tratameto que se da a los dsttos modelos.

64 . Ua empresa debe elegr etre cco procedmetos para fabrcar u certo producto químco. Se sospecha que este dferecas etre ellos auque pequeñas. Para detectar estas dferecas se pretede realzar u epermeto a gra escala co el msmo úmero de observacoes e cada grupo. Para determar este tamaño muestral se ha realzado u epermeto ploto co 6 observacoes de cada método los resultados (medas de cada grupo ha sdo los sguetes: METODO Meda la varaza resdual ŝ R = (a Cúal debe ser el tamaño muestral del epermeto a gra escala para que el cotraste de aálss de la varaza sea sgfcatvo co α =. s el coefcete de determacó es gual al del epermeto ploto?. (b El método A es el procedmeto habtual el método D es el que se sospecha proporcoa mejor redmeto. Ua hpótess que se pretede cotrastar es H : µ D = µ A, frete a la hpótess alteratva H : µ D > µ A. Qué codcó debe cumplr la dfereca etre las medas muestrales de los dos métodos para rechazar H co α =.? 3. Se ha realzado u epermeto para estudar el efecto de u úco factor co I veles e la varable respuesta co u úmero dferete de observacoes e cada tratameto:,,..., I sedo el total = I. Llamado j a la observacó j del tratameto, =,..., I, j =,,..., e ȳ la meda del tratameto. Se desea estmar la meda geeral cuál de los dos estmadores sguetes = I j = j=, ỹ = I ȳ = tee míma varaza? Realza la comprobacó para el caso I = 5, co = 3,, 3, 5, 6 el úmero de observacoes e cada tratameto. Asumr que las observacoes so depedetes que se cumple la hpótess de homocedastcdad. 4. Cosdere la comparacó de dos tratametos e poblacoes ormales. Demuestre que el cotraste t para comparar dos medas es aálogo al cotraste de la F e Aálss de la Varaza (supoga =. 5. Cco tpos (A, B, C, D E de materal stétco se ha sometdo a u esao de desgaste. Para cada tpo de materal la prueba se repto 6 veces. El desgaste medo la desvacó típca corregda e cada caso es la sguete: A B C D E meda d. típca ŝ I

65 (a Cotrastar (α =.5 la hpótess frete a la hpótess alteratva, H : µ A = µ B = µ C = µ D = µ E H : algua meda es dstta de las demás. (b Idcar co vel de cofaza.95 el materal co desgaste meor qué materales tee desgaste medo, dstto. (c Obteer u tervalo de cofaza co α =. para la varaza del error epermetal. 6. Se desea comprobar el efecto de u tratameto térmco sobre la ressteca de u uevo materal. Se ha tomado 5 probetas se ha asgado al azar a los tres tratametos T, T T 3 obteedo como medda de ressteca superfcal los valores sguetes: T T T (a Cotrastar medate el test de aálss de la varaza s este dferecas sgfcatvas etre los tratametos térmcos (α =.. (b La temperatura del tratameto es la meda de las temperaturas de los otros dos tratametos. S la relacó etre la ressteca la temperatura es leal, es de esperar que la meda del tratameto verfque : H : µ = (µ + µ 3. Hacer el cotraste blateral de esta hpótess co α =.5. (Nota.- Usar la dstrbucó de ( + 3 /, dode es la meda de los datos correspodetes al tratameto T. 7. U fabrcate sospecha que los lotes de matera prma recbdos de u proveedor dfere sgfcatvamete de su cotedo e calco. Elge al azar 5 lotes dferetes u químco hace cco determacoes del cotedo e calco de cada lote. Los resultados obtedos ha sdo Lote Lote Lote 3 Lote 4 Lote La tabla de aálss de la varaza se proporcoa a cotuacó. Comparar las medas de los cco tratametos co vel de sgfcacó total α T =.. 3

66 Aálss de la varaza Fuete Varabldad g.l. Var. Meda F Nvel crítco Lote Resduos Total

67 . Dseño de Epermetos Dseño de epermetos: Dseños Factorales Bloques Aleatorzados

68 Formas de realzar u epermeto Dseño Epermetos 3. Dseños factorales (dos factores

69 Ejemplo ANTÍDOTO A B C D I V E N E II N O S III Se aalza el efecto de tres veeos cuatro atídotos e el tempo de supervveca de uas ratas. Dseño Epermetos 5 Comados e R ARCHIVO TEXTO: veeos.tt Dseño Epermetos 6

70 Modelo Factor J m m J J Jm Factor m m J J Jm I I I Im I I I m IJ IJ IJm jk u Normaldad Idepedeca Homocedastcdad IJ tratametos m replcacoes = mij j j jk Dseño Epermetos 7 Factor... I Factor I I I I J... J J J J I J IJ

71 Modelo jk I : Meda global J j j : Efecto del Factor, =,...,I j : Efecto del Factor j, j=,...,j j : Iteraccó de veles j u jk : Compoete aleatora N(,, k=, m j j u jk I j, J j j, j Dseño Epermetos 9 Estmacó del modelo : : : j j : : I J ( I ( J j j j s R j j jk e IJ ( m j m k m jk J m j k mj jk j I m k mi jk I J j k m jk Dseño Epermetos

72 Estmacó del modelo jk j j u jk jk j j e jk e ( jk jk j j jk j g.l.=ijm-ij=ij(m- Dseño Epermetos Estmacó ANTÍDOTO A B C D V I E N II E N O III S Dseño Epermetos

73 Estmacó ANTÍDOTO A B C D,3,8,43,45 Medas V I,45,,45,7,46,88,63,66,65,36,43,7,7,6 E Medas,4,88,56,6 -,38,67,3 -,6 N j,36,9,44,56,9,6,35, E II,4,49,3,7,544,66,3,4,4,38 N Medas,3,8,38,67 j -,6,73 -,8,68 O,,3,3,3 S III,,37,5,36,8,38,4,3,76 -,,3,9,,33 Medas,,34,4,33,98 -,39,48 -,7 j Medas,34,677,389,534,479 -,64,98 -,89,56 j Dseño Epermetos 3 Dos factores co teraccó Dseño Epermetos 4

74 Resduos RESIDUOS ANTÍDOTO A B C D V I E N II E N O III S e jk k s R e jk jk e jk IJ ( m j, Dseño Epermetos 5 Dseño Epermetos 6

75 Descomposcó de la varabldad VT ( VE( A VE( B VE( A B VNE ( I ( J ( I ( J IJ( m DATOS MODELO Dseño Epermetos 7 Varabldades VE( A VE( B VNE I J m VT ( jk j k I I mj( mj( J I mi( j mi( j I J VE( A B m( j j I J m I J m ( jk j j k j k ( e jk Dseño Epermetos 8

76 Descomposcó de la varabldad Dseño Epermetos 9 Aálss de la varaza jk jk jk u I J m I J m ( jk j k j k ( ( j j ( ( I jk j j J m j k ( I J m I ( jk mj j k m I ( ( ( j ( J j ( jk j j j j k j j j j e I J mi m J j j ( j ( ( e I j J jk jk jk m j k j I e jk J j m j k e jk Dseño Epermetos

77 Cotraste de Hpótess S el Veeo o flue, los I veles so guales a efectos de tempo de supervveca, etoces I I H H : : Algú es I dstto de Dseño Epermetos Cotraste efecto prcpal de factor A F A H : I H : Algú es dstto de VNE s R E[ sr ] IJ( m VE( A S Ho es certo, s A E[ sa] I s s A R mj I ( s R I F S F Se rechaza Ho F A I ; IJ ( m Dseño Epermetos

78 Cotraste efecto prcpal de factor B H H : : Algú es dstto de j J S Ho es certo, s B VE( B J E[ s B ] F B s s B R mi J j ( j s R J F S F Se rechaza F B Ho J ; IJ ( m Dseño Epermetos 3 Cotraste teraccó AB H H : : Algú S Ho es certo, s S F F AB AB F AB s s AB R j IJ es dstto de VE( A B ( I ( J F E[ s AB ( I ( J ; IJ ( m Se rechaza Ho A B teracco a ] Dseño Epermetos 4

79 5 Dseño Epermetos Tabla de aálss de la varaza ( Total ( Resdual ( ( ( B A ( B ( A valor p F Varaza Lbertad. Cuadrados Varabldad de Grados de Suma Fuetes s m IJ e p s s s J I m p s s s J mi p s s s I mj jk R jk AB R AB AB j j B R B B j A R A A Tabla ANOVA 6 Dseño Epermetos

80 Iterpretacó La teraccó o es sgfcatva Se terpreta cada factor por separado Dseño Epermetos 7 Cotrastes múltples: Factor A H H j s j R : : j N( j, mj mj j j j t j mj IJ ( m R.R. / j - R. Acept. H t IJ(m- / -t / t / j t s / R mj Se rechaza Ho LSD R.R Dseño Epermetos 8

81 9 Dseño Epermetos Cotrastes múltples: Factor B j j H H : : ( m IJ R j t mi s t / -t / / t IJ(m- R.R. R.R R. Acept. H - /, ( mi mi N j j j j j j Ho mi s t LSD R j rechaza Se / 3 Dseño Epermetos Itervalos de cofaza (teraccó ula mj s t R / mi s t R j /

82 Itervalos de Cofaza > source('icplot.r' > par(mfrow = c(, > ICplot(mod_bo, 'VEN' > ICplot(mod_bo, 'ANT' medas medas I II III VEN A B C D ANT Dseño Epermetos 3 Comparacoes Múltples Dseño Epermetos 3

83 Comparacoes Múltples Dseño Epermetos 33 Iteraccó E este ejemplo NO se debe terpretar porque o es sgfcatva. Cómo se haría? Dseño Epermetos 34

84 Dagoss: Sobre resduos Normaldad Homocedastcdad Idepedeca Dseño Epermetos 35 Dagoss Dseño Epermetos 36

85 Dseño Epermetos 37 Dagoss: homocedastcdad Dseño Epermetos 38

86 Homocedastcdad Dseño Epermetos 39 Normaldad Dseño Epermetos 4

87 Coclusó:Trasformar log / Sqrt( Dseño Epermetos 4 Trasformacó / Dseño Epermetos 4

88 Dagoss: homocedastcdad datos trasformados z=/ Dseño Epermetos 43 Homocedastcdad datos trasformados z=/ Dseño Epermetos 44

89 Normaldad datos trasformados z=/ Dseño Epermetos 45 Comparacoes múltples tervalos de cofaza Dseño Epermetos 46

90 Dseño Epermetos 47 Ejercco U vestgador quere estudar el efecto del seo (H, M tpo de formacó (cecas, letras e el domo del glés escrto e profesores uverstaros. Para ello se aalza el º de correccoes gramatcales e artículos cetífcos evados a publcacó. Para combacó de veles de los factores se ha elegdo al azar tres profesores. E la tabla se proporcoa el º de fallos detectados e artículos de 5 págas. Qué coclusoes puede etraerse?. Letras Cecas Hombre 8, 6, 3, 8,33 Mujer 5,,6,4,9 Dseño Epermetos 48

91 Comados e R ARCHIVO TEXTO: cecas.tt > vew(error > attach(error > ames(error > error Dseño Epermetos 49 Estmacó Dseño Epermetos 5

92 Descomposcó varabldad Dseño Epermetos 5 Aálss de la Varaza Cosderado vel de sgfcacó,5, los efectos prcpales la teraccó so SIGNIFICATIVOS La terpretacó se hace a partr del gráfco de teraccó Dseño Epermetos 5

93 Iteraccó: E este ejemplo es sgfcatva. Dseño Epermetos 53 Dagoss: Sobre resduos Normaldad Homocedastcdad Idepedeca Dseño Epermetos 54

94 Dagoss Dseño Epermetos 55 Dagoss: más grafcos Dseño Epermetos 56

95 Bloques Aleatorzados Ejemplo de troduccó Fluorta % % % 3% 4% M e z c l a Se desea estudar el efecto de la Fluorta e la reduccó del coste eergétco e la fabrcacó de cemeto. Se emplea 6 mezclas dsttas de materas prmas. Dseño Epermetos 58

96 > fluorta = read.table('fluorta.tt', header = T > attach(fluorta > FLUO = factor(fluo > MEZ = factor(mez > fluorta Dseño Epermetos 59 Bloques Modelo J Tratametos I J J I I IJ j j Normaldad Idepedeca : Meda global : Efecto del tratameto, =,...,I j : Efecto del bloque j, j=,,...,j u j : Compoete aleatora N(, u Homocedastcdad j I J j j Dseño Epermetos 6

97 ... I... I... J J J I Tratametos I J... Bloques 6 Dseño Epermetos Estmacó del modelo : : : : : Parámetros j J I I J I J j j I j j J j j ( ( Estmadore s : J I e s j R j j j j j j j j e u e j j j j j

98 Estmacó J J J I I I I IJ I J J j Dseño Epermetos 63 Estmacó (ejemplo Fluorta % % % 3% 4% M e z c l a j Dseño Epermetos 64

99 Resduos: Varaza resdual e j j j j j Fluorta % % % 3% 4% M e z c l a s R ( I e ( J j Dseño Epermetos 65 Estmacó Dseño Epermetos 66

100 67 Dseño Epermetos Varabldades VNE VE VE VT e VNE I B VE J T VE VT I J j j J j j I I J j j (B (T ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( J I J I Descomposcó de la varabldad 68 Dseño Epermetos

101 Aálss de la varaza j j j j uj ( ( j ( ( I J I J ( j j j j ( ( ( j e j j I J I J ( j j j j j j j e j I J I ( j J j ( I J I J ( j j j e j Dseño Epermetos 69 Cotraste de Hpótess S la Fluorta o flue, los I tratametos so guales a efectos de coste, etoces I I H H : : Algú es I dstto de Dseño Epermetos 7

102 7 Dseño Epermetos Cotraste sobre tratametos dstto de es Algú : : H H I ] [ ( ( R R s E J I VNE s ] [ os (Tratamet Ho es certo, S T T s E I VE s ( ;( ( J I I R I R T T F s I J s s F Ho S Se rechaza F F T 7 Dseño Epermetos Eplcacó del cotraste, (,...,, ] [,, ( certo Ho es S J N J J E J N I J j j J j j I - ( J E I - ( J s I I I T I. maor que será Cuado Ho es falso, será parecdas. Cuado Ho es certo, R T R T s s s s

103 Cotraste de bloques H H : : Algú es dstto de j J S Ho es certo, s B VE(Bloques J E[ s B ] F B B R s s I J j ( j s R J F S F Se rechaza F B J ;( I ( J Ho Dseño Epermetos 73 Tabla de aálss de la varaza Fuetes Varabld ad Tratamet o Suma de Cuadrados J ( Grados de Lbertad. I Varaza s T F s T s R p valor p T Bloque I ( j J s B s B s R p B Resdual Total ( e j j ( I ( J - s R Dseño Epermetos 74

104 Tabla ANOVA El tratameto ( % fluorta el bloque ( mezcla so SIGNIFICATIVOS. Dseño Epermetos 75 Itervalos de cofaza (ejemplo t / s R J Fluorta Medas L.f. L.Sup. % %.3.5. % % % Dseño Epermetos 76

105 Itervalos de Cofaza (% Fluorta > source('icplot.r' > ICplot(mod_flu, "FLUO" medas FLUO Dseño Epermetos 77 Itervalos de Cofaza (Mezcla > source('icplot.r' > ICplot(mod_flu, "MEZ" medas MEZ Dseño Epermetos 78

106 79 Dseño Epermetos Cotraste multples: tratametos j j H H : : ( ( J I R j t J s t / -t / / t (I-(J- R.R. R.R R. Acept. H - /, ( J J N j j j j j j / H S LSD J s t R j e rechaza 8 Dseño Epermetos Cotraste multples: bloques j j H H : : / e rechaza H S LSD I s t R j ( ( J I R j t I s t / -t / / t (I-(J- R.R. R.R R. Acept. H - /, ( I I N j j j j j j

107 Comparacó de medas Fluorta LSD t / Mezcla LSD t / s s R R J I LSD =.3 % % % 3% 4% %,58,49,99,69 %,9,4, % -,5 -,8 3% -,3 4% LSD= , 3,9-3,8,5 3,76 4,4 6,6 -,37 -,4 -,35 3 6,34 7,58 8,7 4,3,7 5,49 6 Dseño Epermetos 8 Comparacó de medas (Tuke 95% faml-wse cofdece level Dffereces mea levels of FLUO Dseño Epermetos 8

108 Comparacó de medas (Tuke 95% faml-wse cofdece level Dffereces mea levels of MEZ Dseño Epermetos 83 S bloques El % de FLUORITA o es SIGNIFICTIVO. No se detecta dferecas La Varaza resdual es mu grade (.63 Dseño Epermetos 84

109 Dagoss: Homocedastcdad Gráfco de resduos 3 4 Fluorta resduos Mezcla 5 5 Valores prevstos Dagoss: ormaldad probabldad resduos Dseño Epermetos 86

110 Dagoss Normaldad Homocedastcdad Dseño Epermetos 87 Apédce Dseño Epermetos 88

111 Dseños factorales (tres factores Dseño co tres factores Factor B Factor A A A A 3 A 4 A 5 A 6 B B B 3 B 4 B 5 C C C3 Factores A, B C co N A, N B, N c veles. Nº de Tratametos T=N A N B N c Efectos prcpales 3 A, B, C Iteraccoes de orde dos 3 AB, AC, BC Iteraccó de orde tres. ABC Tratameto: Cada combacó de veles de los factores = 9 Dseño Epermetos 9

112 ... K factores co N, N,..., N K veles K efectos prcpale s co N K teracco es de orde de lbertad K teracco es de orde 3 grados de lbertad K teraccó de orde K grados de lbertad grados, co (N 3, co (N k, co de lbertad (N (N j j cada uo grados (N (N (N (NK k Dseño Epermetos 9 Datos Factor Factor 3... K Factor... J... II K K... K J J JM J J J M K K M M K KM K K M M K KM JK JK JKM J J JM J J J M K K M M K KM K K M M... K KM JK JK JKM I I I I IJ IJ IJM I I I I IJ IJ IJ M IK IK IM IM... K IKM I K I K I M I M K I KM IJK IJK IJKM Dseño Epermetos 9

113 Ejemplo: Proceso químco CATALIZADOR Cocetracó Tres factores: 4% C- C- C-3 6% 3 8% 4 % Catalzador C- Ag C- Ag+Z C-3 Z Varable respuesta: Redmeto del proceso químco. Temperatuta T- 3º C T- 3º C CONCENTRACIÓN 3 4 T- T- T- T- T- T- T- T T- T- T- T- T- T- T- T T- T- T- T- T- T- T- T Tres replcacoes Dseño Epermetos 93 jkm Modelo I J j j K k k j k j J j j, k jk I j, I k j jk u K k k,, k J j K jk, k k jk, j I J K jk, j, k,; jk,, k; jk,, j. j k jkm u jkm Normaldad Idepedeca Homocedastcdad I J K tratametos M replcacoes = I J K M Dseño Epermetos 94

114 Medas jkm j k j k jk jk u jkm j jk I J K M K M KM J M IJKM M JKM K jkm m M jkm km jk jk m jkm jk m j k J I K M IKM JM M jkm k m jkm jm jk k I K k IM I J jkm M IJM jkm jm Dseño Epermetos 95 Medas: Proceso químco Catalzador Temperatura Cocetracó 3 4 C C C T T T- T- C C C T- T- T- T- T- T- T- T- C C C Dseño Epermetos 96

115 97 Dseño Epermetos Estmacó del modelo jk jkm jkm jkm R k j jk k j jk jk k j jk jk k k k j j j k k j j e M IJK e s K J I K J K I J I K J I ; ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 98 Dseño Epermetos Modelo estmado jk jkm k j jk k j jk k j jk k k j j k j jkm jkm jk jk k j k j jkm u

116 99 Dseño Epermetos Varabldades j k m jk jkm j k k j jk k j jk j k k j jk k k k j j j k k j j I J j K k M m jkm VNE M C B A VE IM C B VE JM C A VE KM B A VE IJM C VE IKM B VE JKM A VE VT ( ( ( ( ( ( ( Dseño Epermetos Grados de lbertad ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( GRADOS DE LIBERTAD ( ( ( ( ( ( ( DESCOMPOSI CIÓN DE LA VARIABILID AD M IJK K J I K J K I J I K J I VNE C B A VE C B VE C A VE B A VE C VE B VE A VE VT

117 Tabla ANOVA FUENTE A B C A B AC B C A B C Resdual Total VARIABILIDAD JKM IKM IJM KM JM IM M j k (... j k j k m I J K M jk m j k k j j k j k jk jk jkm j j j jk IJKM jkm j k k k k jk... Gr. de Lb. I J K ( I ( J ( I ( K ( J ( K ( I ( J ( K IJK( M Varazas s s C s s s s s s A B AB AC BC ABC R F s A s R B s R C s R AB s R AC s R BC s R s s s s s s ABC s R Dseño Epermetos Istruccoes de R utlzadas ARCHIVO TEXTO: qumco.tt > qumco = read.table('qumco.tt', header = T > attach(qumco > CON = factor(co > class(co > TEMP = factor(temp > class(temp > CAT = factor(cat > class(cat > mod_qu = aov(redm ~ CON*TEMP*CAT Dseño Epermetos

118 Estmacó Dseño Epermetos 3 Descomposcó de la varabldad Dseño Epermetos 4

119 Aálss de la varaza Dseño Epermetos 5 Cotraste efecto prcpal de factor A F A s s A R H H : : JKM Algú es dstto de I ( s R I I F I ; IJK( M F I ; IJK( M RR S F No se rechaza Ho F A S F Se rechaza Ho F A Dseño Epermetos F 6

120 Cotraste teraccó AB H H F S : : Algú S Ho es certo, AB F AB s AB R s F j es s AB F IJ dstto de VE( A B ( I ( J ( I ( J ; IJK( M Se rechaza Ho A B teracco a Dseño Epermetos 7 Cotraste teraccó ABC H H : : Algú jk es dstto de IJK S Ho es certo F ABC s ABC s R F ( I ( J ( K ; IJK( M S F Se rechaza F ABC Ho Dseño Epermetos 8

121 Iterpretacó El efecto prcpal del factor cocetracó flue sgfcatvamete (p-valor =. e el redmeto. Más adelate se comparará las medas de los cuatro veles de este factor. Este factor o teraccoa co gú otro. Los efectos prcpales de catalzador de la temperatura so sgfcatvos, además es mu sgfcatva la teraccó de los dos factores (p-valor.64. La comparacó de medas de estos factores debe ser cojuta. Dseño Epermetos 9 Cotrastes múltples: Factor A j j H H j : : N( j, JKM j j j JKM j R.R. / -t / - R. Acept. H t IJK(M- / t / R.R s R j JKM t IJK( M S t s j se rechaza Ho / R, JKM Dseño Epermetos

122 Iterpretacó I EFECTOS PRINCIPALES: Solo se terpreta la Cocetracó > source('icplot.r' > ICplot(mod_qu, "CON" > TukeHSD(mod_qu,'CON' > plot(tukehsd(mod_qu,'con' Dseño Epermetos Iteraccó: Cat. Temp. T- T- C C C Iteraccó Cat Temp Medas Catalzador Temp - Temp - Dseño Epermetos

123 Iterpretacó II Se terpreta la teraccó Temperatura - Catalzador > source('teric.r' > teric(mod_qumcos,'temp','cat' > teric(mod_qumcos,'cat','temp' Dseño Epermetos 3 Seleccó de temperatura catalzador. Las mejores combacoes correspode a la T co K o K3. Dseño Epermetos 4

124 Dagoss del modelo co..4.8 temp cat Dseño Epermetos 5 resduals(mod_qu resduals(mod_qu resduals(mod_qu

125 Capítulo. Dseño de epermetos.. Se pretede estudar el efecto que produce los factores ( Porcetaje de algodó (%, % 3% ( Tpo de cofeccó (A B e la ressteca al desgaste de certos tejdos de bra stétca. Se ha realzado el sguete dseño co tres replcacoes (archvo desgaste:tt % % 3% 5 6 A B Costrur la tabla de Aálss de la Varaza cotrastar la ueca de los dos factores la preseca de la teraccó.. Hacer u cotraste de dfereca de medas decdr el tratameto más adecuado para cosegur la maor ressteca al desgaste.. E ua plata ploto se obtee u uevo producto medate u proceso químco. Co el de mejorar el redmeto se emplea dos catalzadores dsttos se trabaja co tres temperaturas dferetes. Los resultados del epermeto so (archvo redmeto:tt Temperatura Catalzador 3 4 A B Cotrastar s los factores Temperatura Catalzador tee efectos sg catvos. ( = :5. Qué tratameto se debe utlzar para obteer el maor redmeto, s se desea garatzar ua probabldad de error tpo I total, T = :3?.3 U vestgador quere estudar el efecto de seo (hombre, mujer tpo de formacó (cecas, letras e el domo del glés escrto e profesores uverstaros. Para ello aalza el úmero de correccoes gramatcales e artículos cetí cos evados a publcacó. Para cada combacó de veles de los factores se ha elegdo al azar tres profesores. E la tabla se proporcoa el úmero de fallos detectados e artículos de 5 págas (archvo error:tt Letras Cecas Hombre 8, 6, 3, 8, 33 Mujer 5,, 6, 4, 9

126 Cotrastar co vel de sg cacó.5 s los efectos prcpales la teraccó so sg catvos. Teer e cueta que P (F ;8 5:3 = :95, sedo F ;8 la dstrbucó F co grados de lbertad 8: Iterpretar los resultados..4 U alumo, como trabajo de la asgatura de estadístca, ha comparado tres marcas dsttas (A,B,C de palomtas de maíz precocadas. Cada marca puede prepararse fredolas e ua sarté (método o e el horo mcroodas (método. El alumo ha realzado u dseño factoral completo 3 co cco replcacoes e cada uo de los ses tratametos. La varable respuesta medda es el porcetaje de graos de maíz que o se ha ado adecuadamete. Los resultados del epermeto se muestra e la tabla, e cada tratameto se proporcoa la meda etre parétess la desvacó típca corregda para las cco replcacoes. Cotrastar s la teraccó etre los dos factores es sg catva. Sarté Horo A B C (,4 (,8 (, (,3 (,9 (,3.5. La tabla muestra el tempo de supervveca de grupos de cuatro amales a los que se ha asgado al azar tres veeos posterormete cuatro tratametos. (archvo veeos:tt Tratameto A B C D Veeo I II III So los veeos tratametos sg catvos? Este teraccó etre el veeo el tratameto?. Aalce los resduos del modelo ateror. Se ver ca las hpótess báscas del modelo? Qué trasformacó de los datos hace que se ver que las hpótess? 3. Calcule la tabla de aálss de la varaza co los datos trasformados. Tee la trasformacó realzada algú efecto sobre los efectos prcpales la teraccó?

127 .6 Se ha realzado u epermeto para estudar el efecto de la temperatura (T tempo de eposcó (E sobre la catdad absorbda de u compuesto químco por u materal sumergdo e él. E el estudo se ha empleado tres temperaturas (T, T, T3 tres tempos de eposcó (E, E, E3: cada tratameto se ha replcado tres veces. La catdad absorbda (mg del compuesto químco e cada uo de los 7 epermetos se muestra e la tabla (archvo absorbda:tt las medas e la tabla : Tabla : Catdad Absorbda (mg Tempo de Temperatura Eposcó T T T E E E Tabla : Medas de Catdad Absorbda (mg Tempo de Temperatura Eposcó T T T3 Medas E E E Medas La tabla 3 correspode al aálss de la varaza del epermeto. Tabla 3: Tabla de aálss de la varaza Fuete Suma de Grados de Varabldad Cuadrados Lbertad Varazas F p-valor Temperatura T. Eposcó Iteraccó Resdual Total (a Iterpreta los resultados del aálss de la varaza.. Realza las comparacoes dos a dos de los ueve tratametos elge aquél o aquellos que proporcoa ua absorcó maor (95%. 3. Comprueba grá camete la hpótess de homocedastcdad e terpreta los resultados..7. Se ha realzado u dseño epermetal para determar la ueca de dos factores combacó de hdrocarburos catdad de hdrógeo e el redmeto de u proceso químco complejo. Se estudaro cuatro combacoes de hdrocarburos (A,B, C D tres veles e el cotedo de hdrógeo (, 3. E cada tratameto se realzaro cuatro réplcas. E la tabla se preseta los resultados: mejora e tato por ml respecto a procedmeto estádar (archvo hdrocarburos:tt. Los úmeros etre parétess de la tabla se correspode co las medas de cada tratameto, de los cuatro veles del factor hdrocarburos de los tres veles de hdrógeo. E la tabla se muestra la tabla de aálss de la varaza del epermeto. 3

128 Tabla. Datos medas etre parétess A B C D Medas Etapa Medas (9.7 (9.35 (.5 (.8 ( Medas (7.5 (9. (6.75 (9.35 ( Medas (7.75 (.35 (9.975 (4. (5.98 Medas (.5 (6.95 (.75 (8.75 Tabla. ANOVA - Suma Grados Fuetes Cuadrados Lbertad Var. F p-valor Hdrocarburos Hdrógeo Iteraccó Resdual Total Comparar las medas de los cuatro veles del factor Hdrocarburo las de los tres veles del factor Hdrógeo. Idca s este dferecas sg catvas co vel de sg cacó.5.. Elge el tratameto que proporcoa el redmeto óptmo, just cado la respuesta. Da u tervalo de co aza para el valor medo e dchas codcoes co vel de co aza del 95%. 3. El epermeto se realzó e dos etapas, e ua prmera etapa se recogero las 4 observacoes que se dca e la tabla como etapa las otras 4 como etapa. Los resultados del aálss de la varaza correspodetes a cada etapa se muestra e las tablas 3 4. Tabla 3. ANOVA - Etapa Suma Grados Fuetes Cuadrados Lbert. Var. F p-valor Hdrocarburos Hdrógeo Iteraccó Resdual Total

129 Tabla 4. ANOVA - Etapa Suma Grados Fuetes Cuadrados Lbert. Var. F p-valor Hdrocarburos Hdrógeo Iteraccó Resdual Total 58 3 Se puede coclur que e las dos etapas la varaza del error epermetal es la msma? (Realza el cotraste co = :5.8 Se ha estudado el efecto de tres horos dferetes dos temperaturas (9 o C 3 o C e la duracó de certo compoete. Para cada combacó de horo temperatura se ha replcado el epermeto 3 veces. E la tabla sguete se proporcoa las medas desvacoes típcas (corregdas de los datos de cada tratameto. Temperatura o C 9 o C 3 o C Meda Desv. T. Meda Desv. T. Horo Horo Horo Cotrasta s este teraccó etre los factores horo temperatura ( = :5:.9. Certo Orgasmo Públco (O.P. ecargado de cert car la composcó de aleacoes de metales precosos, debe seleccoar etre dos Laboratoros al más capactado para la realzacó de futuros aálss de gra precsó. Para tomar la decsó les somete a la sguete prueba: Prepara tres aleacoes A, B C que cotee proporcoes dsttas de oro. De cada ua de ellas evía cuatro muestras a cada uo de los dos laboratoros. Así pues, cada laboratoro recbe u lote de muestras (cod cadas ordeadas aleatoramete s coocer como ha sdo obtedas. Los resultados recbdos por el O.P. so (etre parétess las medas de las casllas (archvo laboratoros:tt: Aleac. A Aleac. B Aleac. C Lab. I (. (.99 ( Lab. II (.955 (.97 (.. Determar s este dferecas etre los resultados de los laboratoros s éstos ha ecotrado dferecas etre las aleacoes.. Aceptado que los datos cumple la hpótess de ormaldad, dcar s podemos aceptar que ver ca el resto de las hpótess del modelo e caso egatvo que meddas se debe adoptar para aalzar los datos. 5

130 3. Realzar u test de razó de varazas para cotrastar que las varazas de los dos laboratoros so guales, sabedo que las tres aleacoes tee composcó dstta. Iterpretar el resultado. 4. El O.P. cooce eáctamete el porcetaje e oro de la aleacó A ( %, de la B (. % de la C (.4 %. Co esta formacó comparar los resultados de los laboratoros.. U laboratoro de Aálss Clícos ha adqurdo u uevo equpo (B para medr el colesterol e la sagre de los efermos. Para evaluar s el uevo equpo está ajustado se decde aalzar muestras de 5 efermos que prevamete ha sdo aalzadas co otro equpo (A, dado como resultado Efermo Meda Equpo A Equpo B Cotrastar co = :5 este dferecas etre los dos equpos. (archvo colesterol:tt.. El aálss de la varaza de u dseño e bloques aleatorzados proporcoa los sguetes resultados: V T = 3, V E(factor = 56, V E(bloque = 5 V NE = 6. El úmero de veles del factor es 5 el úmero de bloques 8. Costrur la tabla ADEVA. Cuál sería el resultado del aálss s o se tee e cueta el efecto de los bloques? Idcar e qué crcustacas es preferble cada uo de los modelos... Se realza u epermeto para estudar s la preseca de uorta reduce el coste de fabrcacó de clker de cemeto e tres tpos dferetes de mezcla. Los resultados del msmo (e mles de pesetas por Tm se muestra e la sguete tabla (archvo f luorta:tt: FLUORITA MI MII MIII ȳ % % % % % ȳ X = j= 3X e j = : = :3. (a Determar s el tpo de mezcla el vel de uorta añaddo ue sg catvamete e el coste de fabrcacó. Se supoe que o este teraccó etre los dos factores. (b Cotrastar que porcetaje de uorta produce el meor coste del clker..3 Se ha realzado u epermeto co dos factores cada uo de ellos co 3 veles. El % de la varabldad total está eplcada por la teraccó de los dos factores el 4% de la varabldad total es debda a la varabldad resdual. Determar el úmero de replcacoes ecesaras e cada tratameto para que la teraccó sea sg catva co = :: (Eplcar el procedmeto de cálculo, dejado el resultado dcado e fucó de las tablas. 6

131 .4 Sea u dseño factoral co 4 factores a 3, 4, 5 veles. Calcular el úmero de parámetros totales correspodetes a efectos prcpales e teraccoes de orde, U cetro ha realzado u epermeto para mejorar la ressteca a la tesó de certos muelles de acero. E ua etapa del proceso el muelle calete se sumerge e acete templado. Se ha estudado tres factores, A (temperatura del acero ates de la mersó, co tres veles, B (temperatura del baño de acete, dos veles C (cocetracó de carboo e el acero, dos veles. El epermeto se ha replcado tres veces. E la tabla se muestra la meda la varaza (corregda para los tres datos de cada tratameto. A B C ^s (a Dar u tervalo del 95 % de co aza para la varaza del error epermetal,.. Idcar s los efectos prcpales de A, B C so sg catvamete dsttos de cero. 3. Dado, costrur u tervalo que cumpla que la probabldad de que ^s (la varaza muestral corregda de u tratameto esté cotedo e él sea gual a.95. Susttur por su estmador co auda de este tervalo, dscutr s se puede rechazar la hpótess de homocedastcdad de las observacoes..6 U estudo boquímco ha valorado la catdad de tres ácdos (a, b, c e muestras etraídas a cuatro tereras (,,3 4 de la msma raza. El aálss es bastate complejo la determacó clue u error de medda. Se puede aceptar la hpótess de que los tres ácdos se ecuetra e la msma proporcó e cada amal? Realza el cotraste co vel de sg cacó.5. (La varabldad total es 4.9. (archvo ultrasodos:tt. a b c Medas..4.7 : : : :53 Medas

132 OTROS EJEMPLOS.7. Treta ses adultos (8 hombres 8 mujeres so utlzados e u estudo para comparar los tesómetros de tres fabrcates. Los sujetos de cada seo so asgados de forma aleatora e ses grupos de tres cada uo. A tres grupos de cada seo se les mde la presó de la sagre ada más comezar el epermeto; a los otros tres grupos se les mde la presó después de dez mutos de descaso. Los resultados so los sguetes: I II III H M H M H M Coteste a las sguetes pregutas: Este dferecas etre los fabrcates e la medda de presó de la sagre? Ha dfereca etre el descaso el o descaso e la presó e la sagre? Ha dfereca etre hombres mujeres? Comprobar s ha teraccó etre descaso seo. Comprobar las hpótess de ormaldad, homocedastcdad homogeedad. E el archvo teso.sf3 está la varable respuesta presó las varables factores descaso, fabrcate seo..8 Se desea vestgar el comportameto de dos tpos de semlla de tres tpos dferetes de fertlzate. Los resultados será los dferetes redmetos para las combacoes de semllas fertlzates. Se pde cotestar a las sguetes pregutas: Este dferecas etre los fertlzates? Este dferetes etre las semllas? Estudar s la teraccó etre las semllas fertlzates es sg catva. Comprobar las hpótess de ormaldad, homocedastcdad e depedeca e homocedastcdad. E el archvo red.sf3 está la varable respuesta redmeto los factores semlla fertlzate. 8

133 A B C Se ha realzado u epermeto para estudar la ueca de dos factores e el redmeto de u proceso. Estos factores so la temperatura, que puede estar a tres veles (alta, meda baja, el catalzador, que puede ser el catalzador o el catalzador. E el archvo red.sf3 se preseta los resultados que se muestra e la sguete tabla. De qué modelo se trata? Qué efectos so sg catvos? Temperatura Alta Meda Baja Catalzador Catalzador Cuál es el tratameto adecuado para obteer el maor redmeto?.. Se ha realzado u epermeto para estudar las fuetes de varabldad de la ressteca a la compresó de cemeto tpo Portlad. El cemeto ha sdo mezclado co agua por tres obreros dferetes (mezcladores durate u tempo jo. Después, la ressteca de las probetas geeradas ha sdo medda por otros tres obreros dferetes (meddores. Cada mezclador ha geerado doce probetas, que se ha dvddo e tres grupos de cuatro; cada uo de esos grupos de cuatro ha sdo asgado a u meddor. Los datos obtedos para la ressteca a la compresó de cada probeta, dados e lbras por pulgada cuadrada, se proporcoa e la tabla sguete se ecuetra e el archvo portlad.sf3. 9

134 Meddor Meddor Meddor 3 Mezclador Mezclador Mezclador Este dferecas etre las resstecas dadas por los dferetes meddores? etre las probetas geeradas por cada mezclador? Es sg catva, co vel de sg cacó del 5%, la teraccó etre meddores mezcladores? Se cumple las hpótess del modelo?.. Se está estudado el redmeto de u proceso químco. Se pesa que las dos varables más mportates puede ser la presó la temperatura. Se seleccoa tres veles de cada factor. Los resultados del epermeto so los sguetes: Presó Temperatura 5 3 Baja Baja Meda Meda Alta Alta Utlzado el archvo proceso. sf3 coteste a las sguetes pregutas: Qué coclusoes se puede sacar de los datos? Bajo qué codcoes podría operar este proceso? Este teraccó etre temperatura presó? Compruebe las hpótess del modelo.

135 .. Se realza u epermeto para estudar la ueca de la temperatura de operacó de tres tpos de crstal e la salda de luz de u oscloscopo meddas e lu. E el archvo lu.sf3 se ecuetra los resultados obtedos que se preseta a cotuacó: Ha dfereca etre las temperaturas? Temperatura Crstal Ha dfereca e el crstal? Cúal es el mejor? Estude s este teraccó etre la temperatura el crstal.. Para comprobar la dfereca de redmetos etre las dsttas varedades de avea se dseño u epermeto co ocho varedades dsttas. Como el terreo dode fuero platadas las dsttas varedades estaba e pedete se pesó que podría afectar la stuacó de la plata e su redmeto. Los resultados obtedos e gramos fuero los sguetes: I II III IV V S o se tee e cueta el efecto de las dferetes codcoes del terreo, coteste a las sguetes pregutas: Este dferecas etre las varedades? Cúal es la mejor la peor? La varedad ocho es autóctoa la más empleada. La cco es la más cara. S tuverá que elegr cuál elegría? Haga u cotraste de las hpótess del modelo: ormaldad, homocedastcdad, homogeedad e depedeca.

136 Coteste todas las pregutas aterores s se troduce la varable que tee e cueta el efecto del terreo..3. Se desea comparar cuatro procedmetos de obtecó de la pecla (A, B, C D; sedo la varable respuesta produccó e kg. Ua matera prma, lcor de maíz, se tee e cueta e el epermeto. Se dspoe de cco muestras de lcor de maíz. A cotuacó se preseta la tabla de los datos. A B C D Cómo afecta los procedmetos la matera prma? Cuál es el mejor procedmeto matera prma? Realce la dagoss del modelo E el archvo pecl.sf3 se ecuetra la varable respuesta catdad, el factor tratameto el bloque mezcla..4. E 986 IBM realzó ua sere de epermetos e varos de sus sstemas para vestgar el comportameto de uevos algortmos para corporar e la lbrería de fucoes matemátcas de su complador FORTRAN. E el archvo fortra.sf3 se ecuetra el tempo empleado por llamada para la ejecucó (dado e s de cco fucoes escalares, que se proporcoa e la sguete tabla. El tempo se ha promedado e argumetos seleccoados aleatoramete e los tervalos de terés ([-,],... Las ejecucoes se llevaro a cabo e tres sstemas IBM dferetes (433, Se proporcoa també los ombres de las fucoes escalares cosderadas. Fucó Sstema IBM EDUM 9,9 3,7 4,88 ACOS CIRC [ ; ] 79,6 33,8 33,3 SEN LINEAL [ ; ] 5,7 4,3 7,8 EXP LINEAL [ 6; 6] 54,8 39,4 37,46 DDUM 3,47 4,63 5,7 El terés prcpal del epermeto era el estudo de la e caca de los tres sstemas ha resultado adecuada la estratega? Realce la dagoss del modelo propoga posbles solucoes s detecta algú problema..5 Uos alumos de la uversdad de Tu s (Massachussets, E.U.A., preocupados por el estado de corrosó de las tuberías de su uversdad, decdero realzar el sguete epermeto. Tomaro muestras de agua correte hacedo varar los factores Campus, Tpo de ed co atgüedad del ed co.

137 Se mdó la cocetracó de herro e el agua correte (mg=dm 3 para cada posble combacó de factores se tomaro dos observacoes. E el archvo corroso.sf3 se muestra los resultados que se preseta e la sguete tabla. Factor Cocetracó de Fe Atgüedad Tpo Campus Vejo Académco Medford,3,8 Nuevo Académco Medford,36,9 Vejo Resdecal Medford,3,6 Nuevo Resdecal Medford,5, Vejo Académco Somervlle,8,5 Nuevo Académco Somervlle,3,8 Vejo Resdecal Somervlle,4,7 Nuevo Resdecal Somervlle,,6 Idet que el modelo de que se trata, estme sus parámetros realce la dagoss. S o se cumplere las hpótess del modelo dque qué podría hacerse para remedarlo. Estude las teraccoes e terprete las que resulte sg catvas. 3

138

139 Regresó : Regresó smple I Regresó smple cosumo peso de automóvles Núm. Obs. Peso Cosumo ( kg ltros/ km Cosumo (ltros/ Km Peso (Kg u, u N(, Regresó Leal

140 Regresó smple cosumo peso de automóvles Núm. Obs. Peso Cosumo ( kg ltros/ km Cosumo (ltros/ Km Peso (Kg u, u N(, Regresó Leal 3 Ecuacó de ua recta Regresó Leal 4

141 Modelo u, u N(,,, : parámetros descoocdos Regresó Leal 5 Modelo u, u N(, Regresó Leal 6

142 Hpótess del modelo Lealdad E[ ]= + Normaldad N ( +, Homocedastcdad Var [ ] = Idepedeca Cov [, k ] = Parámetros Regresó Leal 7 Modelo u, u N(, : Varable depedete : Varable depedete u : Parte aleatora Regresó Leal 8

143 9 Regresó Leal Estmacó d dm d dm M ; var(, cov( ( ( ( ( ( (, ( Regresó Leal Estmacó: máma verosmltud d dl d dl l L l / ; var(, cov( ( ( ( ( ( ( log log(,, ( log,, ( (,, ( ep

144 Regresó Leal Estmacó : máma verosmltud d dl L 4 ( ( ( log log(,, ( e s e e e R Regresó Leal Estmacó ( ( ( var(, cov( ( Mí Mímos cuadrados Ma / ( ep Máma verosmltud

145 Recta de regresó cov(, var( Pedete Regresó Leal 3 Estmacó cosumo peso de automóvles Núm. Obs. Peso Cosumo ( kg ltros/ km Cosumo (ltros/ Km 5 5 cov(, var( Peso (Kg Regresó Leal 4

146 Resduos Valor observado Valor Prevsto e e Resduo Regresó Leal 5 Resduos s R e ; e Valor observado Valor Prevsto e Resduo e Regresó Leal 6

147 Ejemplo: estmacó Núm. Obs. Peso Cosumo Predccó Resduos ( kg ltros/ km 98,44 -,44 878,3, ,3 -, ,8 -, ,4, ,6 -, ,86 -, ,35 -, ,95, ,78, 635 9,,89 9,49 -, ,35-3, ,9, ,44, ,48 -, ,6 -, ,6, ,3, ,7, ,55,45 956,4, ,, ,33 -, ,6 -, ,34, ,44 -, , -, ,7 -, ,8-3,8 Regresó Leal Cosumo (ltros/ Km Peso (Kg.7.7 ; s R. 38 u, 7 Propedades de cov(, s s s s w s w w w s w s w w s s s s s s Regresó Leal 8

148 9 Regresó Leal so v.a. depedetes, var(, cov( T T T w w w w w w w w Y a Y w Y a Regresó Leal Dstrbucó de ( ] [ ( ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ( ( ] [ ( ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ormales de leal Comb., ( s w Var w w Var w Var w w w Var Var w w E E w E w w E w w w E E w w w N, s N

149 Parámetro estmador.7 ltros cada km/kg.7 ltros cada km/ kg s R.54 SE(.87 s 3 3. X t 8 t / s R s / -t / t - t /.5 Smple Lear Regresso Desvacó típca de SE( s R s X La precsó e la estmacó de la pedete mejora s:. La Desv. Típca resdual es pequeña. La muestra es grade 3. Los valores de tee mucha dspersó Smple Lear Regresso

150 3 Regresó Leal Dstrbucó de, ] var[ ] [ ] [ ] [ so depedetes,, (, ( s s E E E Normal s N N N 4 Regresó Leal Dstrbucó de ŝ R ( R s e (, e e e u N u e u

151 Cotraste prcpal de regresó: depede de? H H : : u u Regresó Leal H es falso e está relacoados H es certo e o está relacoados 5 Cotraste sobre la pedete H H : : N(, s N(, t s R s s t t t ; / s R s ; Se rechaza Ho R.R. / -t / - R. Acept. t - t / R.R Regresó Leal 6

152 Ejemplo: =.5 H :.7.7 ; s R. 54 H : R.R. t 8 R.R t.7.54/( Se rechaza H El peso flue sgfcatvamete e el cosumo 7 P-valor α =.5 H H : : Area Azul = p-valor P-valor α Co α=.5 flue sgfcatvamete e P-valor > α Co α=.5 NO flue sgfcatvamete e H H : :

153 Cotraste: ordeada e el orge H H : : t N(, ( s t t s R ; / s Se rechaza Ho ; Regresó Leal 9 Modelo estmado cotrastes Depedete ( ~ Idepedete ( Estmate Stad Error t value Pr(> t Itercept SE( = SE( Regressor SE( = SE( Depedete (Cosumo ~ Idepedete (Peso Estmate Stad Error t value Pr(> t Itercept Peso Regresó Leal 3

154 3 Regresó Leal Descomposcó de la varabldad e regresó VNE VE VT e u ( ( ( sumado cuadrado al (elevado ( ( ( (restado ( 3 Regresó Leal Coefcete de determacó R ( : ( s VE VNE VE VT VT VE R regresor por el está eplcado porcetajede VT que Mde el R VT VNE VE ( ( (

155 Coef. determacó R R. 8 R.5 R Regresó Leal 33 Cotraste F H H : : VE (S H es certo o VNE e ( s R VE VNE, so depedetes VE VE F VNE/(- s R F F, F Se rechaza H Regresó Leal 34

156 Cotraste F H H : : E[ VE] E[ s F R ] VE s R F (S, H F o es certo F Se rechaza H F,- Acep. H Rechazo H Fα α =.5 Regresó Leal 35 Cotraste F H H F,8 : : s R.38 VE s VE ( F R α = Se rechaza H Regresó Leal 36

157 Tabla de Aálss de la Varaza FUENTES Eplcada (VE Resdual (VNE Total (VT R Suma de Cuadrados ( ( ( Grados de Lbertad VE ( VT ( Varazas s R ( F ( s R Aálss de la varaza 37 Tabla de Aálss de la Varaza FUENTES Suma de Cuadrados Grados de Lbertad Varazas F Eplcada (VE Resdual (VNE Total (VT R.86 Aálss de la varaza 38

158 Ejemplo: R.7.7 ; Núm. Obs. Peso Cosumo Predccó Resduos ( kg ltros/ km 98,44 -,44 878,3, ,3 -, ,8 -, ,4, ,6 -, ,86 -, ,35 -, ,95, ,78, 635 9,,89 9,49 -, ,35-3, ,9, ,44, ,48 -, ,6 -, ,6, ,3, ,7, ,55,45 956,4, ,, ,33 -, ,6 -, ,34, ,44 -, , -, ,7 -, ,8-3,8 Cosumo (ltros/ Km VE ( VNE ( R Peso (Kg VT VE VNE % s R.38 Regresó Leal 39 Regresó co R ARCHIVO TEXTO: coches.tt Regresó Leal 4

159 Regresó co R: Estmacó Regresó Leal 4 Gráfco e R Regresó Leal 4

160 Ejemplo : Pearso-Lee Data Smple Lear Regresso 43 Estmato wth R Smple Lear Regresso 44

161 Smple Lear Regresso 45 Coclusoes Prcpales. Ha ua relacó mu sgfcatva etre la altura de las hjas la altura de la madre (p-valor es práctcamete.54. La relacó es postva: A madre alta hja alta. 3. La desvacó típca de la pedete (stadard error es SE( La estatura de la madre solo eplca el 4% de la estatura de la hja (R-squared =.4 5. Dada la estatura de la madre se puede predecr la estatura de la hja co u error medo de 5.75 cm (sr. Smple Lear Regresso 46

162 Regresó a la meda La recta de regresó (líea roja tee pedete meor que (líea azul, lo que sgfca que las madres altas tede a teer hjas que so más altas que la meda (pues la pedete es postva pero más bajas que ellas (porque la pedete es meor que uo. De forma smlar, las madres bajas tee hjas más bajas, pero más altas que sus madres. Este resultado resultó sorpredete es el orge del térmo regresó, que dca que los valores etremos de ua geeracó tede a regresa o revertr haca la meda e la sguete. Smple Lear Regresso 47 Regresó : Regresó smple II (Dagoss Trasformacoes

163 Dagoss del Modelo La estmacó está basada e las sguetes hpótess: Lealdad Normaldad Homocedastcdad Idepedeca Observacoes Atípcas (mu perjudcales Las hpótess se comprueba co los RESIDUOS Regresó Leal Aálss de los Resduos Núm. Obs. Peso Cosumo Predccó Resduos ( kg ltros/ km 98,44 -,44 878,3, ,3 -, ,8 -, ,4, ,6 -, ,86 -, ,35 -, ,95, ,78, 635 9,,89 9,49 -, ,35-3, ,9, ,44, ,48 -, ,6 -, ,6, ,3, ,7, ,55,45 956,4, ,, ,33 -, ,6 -, ,34, ,44 -, , -, ,7 -, ,8-3,8 Cosumo (ltros/ Km e Peso (Kg.7.7 ;. 38 s R Regresó Leal 3

164 Dagoss del Modelo Núm. Obs. Peso Cosumo Predccó Resduos ( kg ltros/ km 98,44 -,44 878,3, ,3 -, ,8 -, ,4, ,6 -, ,86 -, ,35 -, ,95, ,78, 635 9,,89 9,49 -, ,35-3, ,9, ,44, ,48 -, ,6 -, ,6, ,3, ,7, ,55,45 956,4, ,, ,33 -, ,6 -, ,34, ,44 -, , -, ,7 -, ,8-3,8 Cosumo (ltros/ Km Peso (Kg.7.7 ;. 38 s R Regresó Leal 4 Dagoss del Modelo Núm. Obs. Peso Cosumo Predccó Resduos ( kg ltros/ km 98,44 -,44 878,3, ,3 -, ,8 -, ,4, ,6 -, ,86 -, ,35 -, ,95, ,78, 635 9,,89 9,49 -, ,35-3, ,9, ,44, ,48 -, ,6 -, ,6, ,3, ,7, ,55,45 956,4, ,, ,33 -, ,6 -, ,34, ,44 -, , -, ,7 -, ,8-3,8.7.7 ;. 38 s R Regresó Leal 5

165 No lealdad Regresó Leal 6 No homocedastcdad Regresó Leal 7

166 No homocedastcdad, lealdad Regresó Leal 8 Observacoes atípcas Regresó Leal 9

167 Resduos Aceptables Regresó Leal Normaldad de los Resduos Herrametas de comprobacó: Hstograma de resduos Gráfco de probabldad ormal (Q-Q plot Cotrastes formales (Kolmogorov-Smrov Ejemplo de coches Resduos probabldad 99, , Resduos Regresó Leal

168 Comprobacó de la lealdad homocedastcdad Ambas hpótess se comprueba cojutamete medate gráfcos de los resduos Frete a valores prevstos Frete al regresor. E muchas ocasoes se corrge la falta de lealdad la heterocedastcdad medate trasformacó de las varables. log log u log u Regresó Leal Resduos Regresor o Val.Prevstos e Leal homocedástco e No leal homocedástco e e Leal o homocedástco No leal o homocedástco Regresó Leal 3

169 Coches (ejemplo : Cosumo ~ Peso Normaldad ok Lealdad ok Homocedastcdad ok Regresó Leal 4 Cars (Ejemplo : mpg ~ weght DESCRIPCIÓN: Datos de 39 coches (archvo:cars.tt co formacó del sete varables: cosumo (mpg, cc (ege, poteca (horse, peso (weght, tempo de aceleracó (accel, orge del coche (org, =USA, =UE, 3=Japó úmero de cldros (clders OBJETIVO: Estmar el modelo de regresó smple etre el cosumo (mpg el peso (weght Regresó Leal 5

170 Cars: mpg ~ weght mpg = weght (.8 (.5 =.69 =4.34 Regresó Leal 6 Cars: Fguras No ha lealdad homocedastcdad Fgura. Fgura. Regresó Leal 7

171 Cars: cos ~ weght TRANSFORMACIÓN: E lugar de medr el cosumo e mllas por galó (mpg, vamos a cambar a ltros cada km (cos cos = 35./mpg Y X Regresó Leal 8 Cars: cos ~ weght TRANSFORMACIÓN: E lugar de medr el cosumo e mllas por galó (mpg, vamos a cambar a ltros cada km (cos cos = 35./mpg cos = weght (.398 (. =.79 =.78 Regresó Leal 9

172 Cars: Cambo Varable Mejora la lealdad homocedastcdad Fgura.3 Fgura.4 Regresó Leal Cars: Normaldad Normaldad o es problemátca Fgura.5 Fgura.6 Regresó Leal

173 Cars: Istruccoes co R > cars<-read.table("cars.tt",header=true % LEE EL ARCHIVO CARS.TXT > attach(cars % AÑADE LAS VARIABLES DEL CONJUNTO DE DATOS cars A LA MEMORIA > mod_cars<-lm(mpg ~ weght % ESTIMA EL MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE (MOD_CARS > par(mfrow=c(, % DIVIDE LA PANTALLA GRÁFICA EN FILA Y COLUMNAS (ver FIGURAs.. > plot(weght,mpg,pch=9,col="blue" % DIBUJA Fgura. > able(mod_cars,col="red",lwd= % AÑADE Lea roja A la fgura. > plot(weght,resduals(mod_cars,pch=9,col="blue",lab="resduos" % DIBUJA Fgura. > able(c(,,col="red",lt=,lwd= > summar(mod_cars % Líea roja de la fgura. > summar(mod_cars % MUESTRA Resume del modelo de regresó Regresó Leal Cars: Istruccoes co R Tabla. Regresó Leal 3

174 Cars: Istruccoes co R > cos <- 35./mpg % cambo varable > m <- lm(cos ~ weght % uevo modelo > plot(weght,cos,pch=9,col="blue" % Fguras.3.4 > able(m,col="red",lwd= > plot(weght,resduals(m,pch=9,col="blue",lm=c(-, > able(c(,,col="red",lwd=,lt= > able(c(5,,col="red",lwd=,lt= > able(c(-5,,col="red",lwd=,lt= > hst(resduals(m,lab="resduos",col="red",clas= % fguras.5.6 > qqorm(resduals(m,col="blue",pch=9 > qqle(resduals(m,col="red",lwd=,lt= > summar(m % resume del modelo m (tabla. Regresó Leal 4 Cars: Istruccoes co R Tabla. Regresó Leal 5

175 Forbes (Ejemplo 3 Ejemplo Forbes E u artículo de 857 u físco escocés llamado James D. Forbes presetó ua sere de epermetos realzados para estudar la relacó etre presó atmosférca puto de ebullcó del agua. Forbes sabía que la alttud podía ser determada a partr de la presó atmosférca medda co u barómetro, co meores presoes a medda que aumeta la alttud. A medados del sglo XIX los barómetros era strumetos mu frágles Forbes pesó que se podía susttur la meddas de la presó co meddas de la temperatura de ebullcó del agua. Recogó datos de 7 emplazametos e los Alpes los motes de Escoca. E cada lugar se mdó co u barómetro la presó e pulgadas de mercuro (Pres la temperatura de ebullcó del agua e grados Fahrehet (Temp empleado u termómetro. Los datos se ecuetra e el archvo forbes.tt forbes.tt Temp Pres Wesberg, S. (5. Appled Lear Regresso, 3rd edto. New York: Wle. Smple Lear Regresso 6 Forbes: Modelo Ical Pres = Temp (.5 (. Temp Pres Pred Resd =.994 Tabla 3. =.33 Regresó Leal 7

176 Forbes: Coclusoes Modelo Ical Segú la fgura el valor R-cuadrado (.994 el ajuste es mu bueo. Comparado los valores Prevstos co los Observados (Pred observamos que las dferecas (resduos so pequeñas ( =.33 Los dos parámetros del modelo so mu sgfcatvos (etre parétess se proporcoa las desv. típcas. estmadas de los parámetros estmados Regresó Leal 8 Forbes: Dagoss Fgura 3. Fgura 3. E el gráfco de resduos frete al regresor se observa: La maoría de las observacoes muestra o-lealdad Este ua observacó atípca Regresó Leal 9

177 Forbes: Istruccoes R > forbes <- read.table( forbes.tt,header=true > attach(forbes > m <- lm(pres ~ Temp > summar(m Regresó Leal 3 Forbes: Istruccoes R (cot > forbes$pred <- predct(m > forbes$resd <- resduals(m > prt(forbes,dgts=4,prt.gap=3 % proporcoa tabla 3. Fguras > par(mfrow=c(, > plot(temp,pres,pch=9,col="blue",lab="temperatura", lab="presó" > able(m,col="red",lwd= > plot(temp,resduals(m,pch=9,col="blue",lab="resduos", lab="temperatura" > able(c(,,lt=,lwd=,col="red" Regresó Leal 3

178 Forbes: Modelo = log Lpres = Temp (3.34 (.6 Temp Pres Lpres Pred Resd Tabla 4. =.995 =.379 Regresó Leal 3 Forbes : modelo Fgura 4. Fgura 4. E el gráfco de resduos frete al regresor se observa: Este ua observacó claramete atípca Se ha corregdo la falta de lealdad e el resto de las observacoes. Regresó Leal 33

179 Forbes: Modelo Se ha realzado la trasformacó logarítmca de la presó para corregr la falta de lealdad (da gual utlzar logartmos eperaos o decmales, se ha multplcado por para evtar úmeros mu pequeños e las estmacoes, o tee efecto e el aálss La observacó atípca tee mucha flueca e la estmacó del modelo, se apreca como los resduos del resto de las observacoes o tee meda cero. Por lo demás el ajuste es mu bueo como se ve e la gráfca e la tabla 4., los valores prevstos se parece mucho a los observados (los resduos so pequeños Covee elmar la observacó atípca recalcular. Regresó Leal 34 Forbes: Istruccoes R > forbes <- read.table( forbes.tt,header=true > attach(forbes > m <- lm(*log(pres ~ Temp > summar(m Regresó Leal 35

180 Forbes: Istruccoes R (cot > forbes$lpres <- *log(pres > forbes$pred <- predct(m > forbes$resd <- resduals(m > prt(forbes,dgts=4,prt.gap=3 % proporcoa tabla 4. Fguras > par(mfrow=c(, > plot(temp,*log(pres,pch=9,col="blue",lab="temperatura > able(m,col="red",lwd= > plot(temp,resduals(m,pch=9,col="blue",lab="resduos", lab="temperatura" > able(c(,,lt=,lwd=,col="red" Regresó Leal 36 Forbes: Modelo = log Lpres = Temp (.3 (.49 =.9996 (ELIMINANDO OBSERVACIÓN Nº =.36 Temp Pres Lpres Pred Resd * Tabla 5. La obs. o se ha utlzado e la estmacó del modelo Regresó Leal 37

181 Forbes : modelo Fgura 5. Fgura 5. E el gráfco de resduos frete al regresor se observa: No este observacoes atípcas (las líeas rojas se ecuetra a ± No se observa gua aomalía grave e el qqplot.. Regresó Leal 38 Forbes: Modelo Se ha realzado la trasformacó logarítmca de la presó para corregr la falta de lealdad se ha elmado la observacó (el propo Forbes dca e su artículo que se trataba de u error de medda Comparado el modelo, o se apreca grades cambos e los parámetros estmados,. La desvacó típca resdual se ha reducdo cosderablemete de uo a otro, pasado de.379 a.3, como cosecueca las desvacoes típcas de los parámetros. El aálss de los resduos o dca gua desvacó mportate de las hpótess del modelo Regresó Leal 39

182 Forbes: Istruccoes R > # Modelo m de Forbes > out <- abs(resduals(m > 3*.379 > m <- lm(*log(pres[!out] ~ Temp[!out] > summar(m Regresó Leal 4 Forbes : Istruccoes R (cot > # Tabla 5. > P_Lpres =c(predct(m[:],na,predct(m[:6] > P_Lpres[] = *Temp[] > forbes <- forbes > forbes$pred <- P_Lpres > forbes$resd <- *log(pres-p_lpres > prt(forbes,dgts=5,prt.gap=3 > # Fguras > par(mfrow=c(, > plot(temp[!out],resduals(m,pch=9,col="blue",lab="resduos", + lab="temperatura",lm=c(-.5,.5 > able(c(,,lt=,lwd=,col="red" > able(c(-.,,lt=,lwd=,col="red" > able(c(+.,,lt=,lwd=,col="red" > > qqorm(resduals(m,lm=c(-.,.,pch=9,col="blue" > qqle(resduals(m,col="red",lt=,lwd= Regresó Leal 4

183 FEV (Ejemplo 4 Ejemplo Fev Forced Eprator Volume (FEV 654 observacoes, 5 varables Descrpcó: Es ua muestra de 654 jóvees etre 3 9 años recogdos e Bosto (USA a fales de los 7. Se desea ver la relacó etre la capacdad pulmoar (FEV fumar. E este prmer aálss estudaremos la relacó etre FEV la estatura. E la leccó de regresó múltple estudaremos el efecto del tabaco. Fuete: Roser, B. (999, Fudametals of Bostatstcs, 5th Ed., Pacfc Grove, CA: Dubur Varables age años del dvduo fev varable cotua e ltros ht varable cotua, estatura e pulgadas se cualtatva (mujer=, hombre= smoke cualtatva (No-fumador=, fumador= age fev ht se smoke Tabla 6. Regresó Leal 4 FEV: Modelo Ical Tato e el gráfco de dspersó de FEV altura (ht como e el de los resduos del modelo de regresó smple se observa la relacó o-leal etre las dos varables la heterocedastcdad. Fgura 6. Fgura 6. Regresó Leal 43

184 FEV: modelo log(fev = ht (.63 (. =.7956 =.58 Fgura 6.3 Fgura 6.4 Regresó Leal 44 FEV: modelo Fgura 6.5 Fgura 6.6 Regresó Leal 45

185 FEV: Modelo log(fev = ht (.63 (. =.7956 =.58 Se ha realzado la trasformacó logarítmca de la varable respuesta (fev se ha corregdo la falta de lealdad la heterocedastcdad como se ve e las fguras El hstograma el qqplot (fgura o muestra grades desvacoes de la ormaldad. Este alguas observacoes atípcas pero se puede comprobar que al elmarlas los resultados o camba sustacalmete. Este ua relacó mu sgfcatva etre log(fev ht (altura. U cremeto de u pulgada e la estatura supoe u aumeto de la capacdad pulmoar del 5% (este resultado cambará al cosderar otras varables La altura eplca u 79% (R de la varabldad del log(fev. Regresó Leal 46 FEV: Modelo m co R Tabla 6. Regresó Leal 47

186 FEV : Istruccoes de R > # FEV (ejemplo 4 > dat <- read.table("fev.dat",header=true > head(fev #tabla 6. > attach(dat > m<-lm(fev~ht # modelo m cal > par(mfrow=c(, > plot(ht,fev,col="blue" # fgura 6. > able(m,col="red",lwd= > plot(ht,resduals(m,col="blue" # fgura 6. > able(c(,,col="red",lwd=,lt= > m <- lm(log(fev ~ ht > summar(m # modelo estmado tabla 6. > plot(ht,log(fev,col="blue" # fgura 6.3 > able(m,col="red",lwd= # fgura 6.3 > plot(ht,resduals(m,col="blue" # fgura 6.4 > able(c(,,col="red",lt=,lwd= > par(mfrow=c(, # fgura > hst(resduals(m,col="red",class=,lab="resduos" > qqorm(resduals(m,col="blue" > qqle(resduals(m,col="red",lt=,lwd= Regresó Leal 48 Bras (ejemplo 5 Ejemplo Bras Peso del cuerpo cerebro de mamferos 6 observacoes, varables Descrpcó: Para 6 especes de mamíferos se proporcoa el peso medo del cuerpo e klogramos del cerebro e gramos Varables: BraWt Peso del cerebro (gramos BodWt Peso del Cuerpo (klogramos BraWt BodWt Arctc_fo Owl_moke Beaver Cow Gra_wolf Goat OBJETIVO: Estudar la relacó etre peso del cerebro peso del cuerpo. Tabla 7. Fuetes Allso, T. ad Ccchett, D. (976. Sleep mammals: Ecolog ad costtutoal correlates. Scece, 94, Wesberg, S. (5. Appled Lear Regresso, 3rd edto. New York: Wle Regresó Leal 49

187 Bras: Trasformacó E la escala orgal (fgura 7. o tee setdo el modelo de regresó leal. Hacedo las trasformacó logarítmca de las dos varables (fgura 7. se apreca ua clara relacó leal Fgura 6. Fgura 6. Regresó Leal 5 Bras: modelo log(brawt = log(bodwt (.96 (.8 =.98 =.6943 Fgura 7.3 Fgura 7.4 Regresó Leal 5

188 Bras log(brawt = log(bodwt (.96 (.8 =.98 =.6943 La relacó etre el logartmo de peso del cuerpo el logartmo del peso del cerebro es leal como se ve e las fguras Este alguas observacoes atípcas pero se puede comprobar que al elmarlas los resultados o camba sustacalmete. El log del peso del cuerpo eplca el 9% (R de la varabldad del log del peso del cerebro. Regresó Leal 5 Bras: Modelo m co R Tabla 7. Regresó Leal 53

189 Bras : Istruccoes de R > bras <- read.table("bras.tt",header=true > head(bras # tabla 7. > par(mfrow=c(, > plot(bodwt,brawt,col="blue",lm=c(-,9 # fgura 7. > sel = BraWt> # seleccoa observacoes co peso del cerebro > > tet(bodwt[out],brawt[out]-3,labels=bras[out,] # etquetas 7. > m <- lm(brawt ~ BodWt > able(m,col="red",lwd= # fgura 7. > plot(log(bodwt,log(brawt,col="blue" # Fgura > m <- lm(log(brawt ~ log(bodwt > able(m,col="red",lwd= # lea e fgura > summar(m # tabla 7. > plot(log(bodwt,resduals(m,col="blue",lm=c(-4,4 # fgura 7.4 > able(c(,,col="red",lt=,lwd= > able(c(-*.6943,,col="red",lt=,lwd= > able(c(+*.6943,,col="red",lt=,lwd= Regresó Leal 54 Fucoes R para Regresó Smple m <- lm(~ Estma el modelo (varable depedete (regresor. El modelo lo guarda e m summar(m Modelo estmado plot(m Dagoss coef(m Da los coefcetes resduals(m Resduos del modelo ftted(m Da los valores predchos devace(m Suma de resduos al cuadrado predct(m Hace predccoes aova(m Tabla ANOVA Regresó Leal 55

190 Regresó 3: Regresó Múltple I Ejemplo regresó múltple Cosumo = + CC + Pot + 3 Peso + 4 Acel + Error Y X X X3 X4 Cosumo Cldrada Poteca Peso Aceleracó l/km cc CV k g segudos Var. depedetes o respuesta Var. Idepedetes o regresores Regresó Leal

191 3 Regresó Leal Modelo regresó múltple parámetrosdescoocdos :,,,,, k (,, N u u k k Lealdad E[ ] = + ++ k k Normaldad,..., k Normal Homocedastcdad Var [,..., k ] = Idepedeca Cov [, k ] = Estmacó 4 Regresó Leal (,, N u u k k k e s e e R k k k k = = = g.l. = -k- k k

192 5 Regresó Leal Notacó matrcal k k k k u u u, ( I U U Xβ Y N 6 Regresó Leal Estmacó mímo-cuadrátca e Xβ Y dode el vector e cumple es mímo e e k k k k e e e

193 7 Regresó Leal Para que e sea mímo, e tee que ser perpedcular al espaco vectoral geerado las columas de X k k k k e e e e e e, e X e X T 8 Regresó Leal Mímos cuadrados Y X X X β Xβ X Y X e X Xβ X Y X e X T T T T T T T T ( Y Xβ Y Y Y e Y Solucó MC

194 9 Regresó Leal Matrz de proeccó V Y VY VY (I e Y VY Y Y X X X(X Y Xβ Y T T Val.Prevstos VY (I VY Y Xβ Y e Resduos T T X X X(X V Smétrca V=V T Idempotete VV=V Regresó Leal Dstrbucó de probabldad de β T T T T T T T T T T T T T T T X (X X X(X X X (X X X (X I X X (X Y C C CY β β Xβ X X (X CXβ Y C β β X X (X C CY Y X X (X β I Xβ Y ( ( ( ] [ ] [ [] ] [ [] (sedo, ( T Var Var Var E E Normal N

195 Regresó Leal Dstrbucó de probabldad de β kk k k k k T k k q q q q q q q q q ( X X Q β β, (, ( q N N T X (X β β ( ( dm( k k Q Regresó Leal Resduos ( k k e k k k k e e e Resduos Prevstos Observados e Xβ Y

196 3 Regresó Leal Varaza Resdual ] [ ] [ k e E k e E e k e T e ( k R R s k k e s 4 Regresó Leal : : H H Se rechazaho / ; ; (,, ( k R k R t t q s t t q s N q q N Cotraste dvdual k k u

197 Cotrastes dvduales H H t : : t t SE( t t k ; / k ; SE( Se rechaza Ho /, ( R.R. -t / - R. Acept. k k t -k- t / R.R / Regresó Leal 5 P-valor α =.5 H H : : Area Azul = p-valor -k- P-valor α Co α=.5 flue sgfcatvamete e P-valor > α Co α=.5 NO flue sgfcatvamete e H : H :

198 Modelo estmado cotrastes Depedete ( ~ Idepedetes (,,..,k Estmate Stad Error t value Pr(> t Itercept SE( = SE( SE( = SE( SE( = SE( SE( = SE( Regresó Leal 7 Modelo estmado cotrastes Depedete (log(fev ~ Idepedetes (ht (estatura, age (edad Estmate Stad Error t value Pr(> t Itercept h log(fev = ht +.98 age =.476 (.78 (.6 (.3 Regresó Leal 8

199 9 Regresó Leal Modelo e dferecas a la meda k k k k k k k k k k k k k k k k e ( ( k k e Xb Y Y ~ e Xb Y Y ~ Regresó Leal Modelo e dferecas a la meda U Xb Y ~ ~ ~ ~ (, ( X X b b T σ N k k k k k k k k ~,,, ~ X b b Y Y Y X X (X b ~ ~ ~ ~ T T

200 Descomposcó de la varabldad e regresó ( e ( ( e VT VE VNE ( e k ( Restado k e Regresó Leal Coefcete de determacó R VE VNE log(fev = ht +.98 age (.78 (.6 (.3 ( ( VT R Mde el porcetaje de VT que está eplcado por los regresores R VE VT Regresó Leal

201 3 Regresó Leal Coef. determacó corregdo ( ( R s s k VT VNE VT VNE VT VT VE R ( s ( k R k VT VNE s s R R R = (.87 = Regresó Leal : : alguo es dstto de H H k Cotraste geeral de regresó. Se rechaza H F F k k u, o certo es H (S k k R E R E F s s F s k VE s α =.5 Fα Rechazo H Acep. H F,-

202 Cotraste F log(fev = ht +.98 age, H (.78 (.6 : H : algú F,65 (.3 VE s E 9.68 k s R. s E 9.68 F 36 s. R α =.5 = Se rechaza P-valor =. H Regresó Leal 5 Tabla de Aálss de la Varaza FUENTES Suma de Cuadrados Grados de Lbertad Varazas F Eplcada (VE Resdual (VNE Total (VT ( ( ( k k s E s R s E s R R VE ( VT ( Aálss de la varaza 6

203 Tabla de Aálss de la Varaza log(fev = ht +.98 age, (.78 (.6 (.3 =.476 FUENTES Suma de Cuadrados Grados de Lbertad Varazas F Eplcada (VE Resdual (VNE Total (VT R Aálss de la varaza 7 Resume de estmacó co R Regresó Leal 8

204 Ejemplo : Cars Deped Regresores Y X X X3 X4 = ege horse + +. weght +.83 accel Regresó Leal 9 Valores Prevstos Resduos = ege horse +. weght +.83 accel Datos Y X X X3 X4 Regresó Leal Resultados VE VNE VT ( ( ( = = =.7 = = =8.99 3

205 DIAGNOSIS: resduos ~ regresores Regresó Leal 3 Dagoss Lealdad Homocedastcdad ok Normaldad ok Regresó Leal 3

206 Resume del modelo Regresó Leal 33 Resume del modelo (s aceleracó Regresó Leal 34

207 Coclusoes modelo fal = ege horse +. weght +.83 accel =.64 = No se apreca desvacoes mportates de las hpótess báscas del modelo: lealdad, homocedastcdad ormaldad.. Se observa relacó leal sgfcatva etre el cosumo de los coches su peso (weght, poteca (horse cetímetros cúbcos (ege. (Los p- valores so meores que.5 e elmodelos. Los coefcetes estmados so postvos, lo que sgfca que el aumeto de cualquera de las varables depedetes cremeta el cosumo del vehículo. Co las cuatro varables se eplca el 8.99 % de la varabldad del cosumo. Regresó Leal 35 Coclusoes modelo fal (cot 3. E el modelo de cuatro regresores el parámetro asocado a aceleracó o es sgfcatvo. La clusó de la varable aceleracó o mejora sgfcatvamete el modelo. Eso o mplca que o esta relacó leal etre aceleracó cosumo (la regresó smple etre estas varables dca relacó sgfcatva co coefcete egatvo. 4. El coefcete asocado al peso es., es mu sgfcatvo. Para terpretarlo es ecesaro teer e cueta las udades: u aumeto de ua lbra e el peso del coche mateedo costate el resto de las varables produce u aumeto del cosumo de. ltros/ km. (Esto mplca que u regresor se puede cambar mateedo el resto costate, lo que sólo es posble e los estudos epermetales. El resto de los coefcetes se terpreta smlarmete. Regresó Leal 36

208 Regresó Leal 3 4 Modelo ege horse weght accel,3,9,85,6 3,4, 4 -,663, CARS: Todos los modelos,,36,9,53,33,5,3,87,35,48,8,4,35,6,43,9,7,336,35,48,379 -,689,47,35,5,99,5,5,5,,765,539,8,9,63,459,6,7 -,986,6,98,39,43,5,639,63,,489,587,3695,8,83,6,65,3,49,874 76,8 76,, 7,94 7,87,78 78,55 78,49 3,38,7,5,775 78,78 78,67,75 8,8 8,8,877 76,8 76,6,65 8,67 8,58,89 75,9 75,78,734 79,75 79,65,643 8,86 8,7,73 8,5 79,89,74 8,5 8,35,648 8,75 8,6,64 8,99 8,8 37 Coclusoes Geerales. El que la relacó leal etre dos varables sea sgfcatva o mplca que esta relacó de CAUSALIDAD etre las varables. Se debe terpretar como asocacó etre las varables: los coches co más pesos preseta maor cosumo que los coches co meos peso.. Cuado se añade o elma varables de u modelo los coefcetes del resto camba. Eso es debdo a la correlacó etre los regresores. Cuado estas correlacoes so altas los coefcetes puede cambar mucho, cluso de sgo. Esto se puede aprecar e el coefcete de la varable accel, cuo efecto sobre el cosumo depede del resto de las varables e el modelo. La alta correlacó etre los regresores hace mu dfícl terpretar el sgfcado de los coefcetes, a este problema se le deoma MULTICOLINEALIDAD. Regresó Leal 38

209 Coclusoes (cot. 7. La seleccó del modelo depede del objetvo. Sempre el modelo co más regresores tee el maor R. Utlzado el R corregdo ha tres modelos mu parecdos 3, El mejor modelo co u regresor es el 3, co R gual al 78.55%, al clur la poteca (horse como uevo regresor teemos el modelo 3 cuo R sólo aumeta u 3%, hasta 8.67%. El modelo 3, clue además los cc del motor (ege como regresor co u aumeto e R desprecable (ahora 8.86%. E este modelo los tres coefcetes so sgfcatvos. S añadmos la varable accel, llegamos al modelo completo co R gual a 8.99%. El coefcete de la últma varable o es sgfcatvo. 8. Al r cluedo regresores e u modelo los resduos va dsmuedo co ello la varabldad o eplcada. La desvacó típca resdual també suele dsmur (ha que teer e cueta que el deomador de la varaza resdual també dsmue. Los modelos 3, 3 34 tee ua desvacó típca resdual mu parecda próma a.64 ltros/km. La terpretacó (apromada es la sguete (co el modelo 34: s os proporcoa los datos del peso (weght, poteca (horse, cc (ege aceleracó (accel del coche la dstrbucó de su cosumo tee meda la proporcoada por el modelo desvacó típca.64 ltros/km. Regresó Leal 39 Ejemplo : Cerezos Negros Se desea costrur u modelo de regresó para obteer el volume de madera de ua cerezo egro e fucó de la altura del troco del dámetro del msmo a u metro sobre el suelo. Se ha tomado ua muestra de 3 árboles. Las udades de logtudes so pes de volume pes cúbcos. Regresó Leal 4

210 Cerezos egros: Datos Árbol Dametro Altura Volume Árbol Dametro Altura Volume 8,3 7,3 7, ,8 8,6 65,3 8 3,3 86 7,4 3 8,8 63, 9 3,7 7 5,7 4,5 7 6,4 3,8 64 4,9 5,7 8 8,8 4, 78 34,5 6,8 83 9,7 4, 8 3,7 7, 66 5,6 3 4, ,3 8, 75 8, 4 6, 7 38,3 9, 8,6 5 6,3 77 4,6, 75 9,9 6 7,3 8 55,4,3 79 4, 7 7,5 8 55,7,4 76, 8 7,9 8 58,3 3,4 76,4 9 8, 8 5,5 4,7 69,3 3 8, 8 5, 5, 75 9, 3, , 6,9 74, Regresó Leal 4 Gráfcos -. Se apreca relacó etre las dos varables el volume. El gráfco del volume versus dámetro preseta lgera curvatura 3. El gráfco del volume versus altura preseta clara heterocedastcdad Regresó Leal 4

211 Prmer modelo:cerezos egros Volume β β Dametro β Altura Error Regresó Leal 43 Dagoss Idcos de falta de lealdad Regresó Leal 44

212 Trasformacó vol k altura dámetro log( vol log( altura log( dámetro error Regresó Leal 45 Dagoss (modelo trasformado Ates Ahora Regresó Leal 46

213 Iterpretacó Se comprueba gráfcamete que la dstrbucó de los resduos es compatble co las hpótess de lealdad homocedastcdad. El volume está mu relacoada co la altura el dámetro del árbol (R = 97.77% El modelo estmado log(vol = log(alt +.98 log(dam. + Error es compatble co la ecuacó vol=k Alt Dam La desvacó típca resdual es s R =.8 que dca que el error relatvo del modelo e la predccó del volume es del 8.%. Regresó Leal 47 Ejemplo 3: Tabaco Ejemplo Tabaco Moódo de Carboo (CO 5 observacoes, 3 varables Descrpcó: Se proporcoa la produccó de moódo de carboo (co el cotedo de cota (co alqutrá (alq e 5 marcas dferetes de cgarrllos amercaos. Fuete: Medehall, Wllam, ad Scch, Terr (99, Statstcs for Egeerg ad the Sceces (3rd ed., New York: (Orgal source: Federal Trade Commsso, USA Varables alq cotedo e alqutrá mg co cotedo e cota mg co moódo de carboo CO mg Objetvo: Estudar la relacó etre CO co alqutrá cota Regresó Leal 48

214 CO ~ co CO ~ alq =85.74 =.88 = 9.68 =.397 = 9.86 =.43 Regresó Leal 49 Efecto de la multcolealdad (alta correlacó etre co alq =.9537 El coefcete de la varable co camba de.39 a E el modelo co dos regresores, el coefcete de la varable co o es sgfcatvo. Los stadard errors de los coefcetes e el modelo de dos regresores ha aumetado cosderablemete respecto a los de regresó smple. El de co pasa de.5 a El cambo para alq es maor. Los estadístcos t se ha reducdo (debdo al aumeto de los stadards errors La desvacó típca resdual del modelo co dos regresores es maor que e el modelo de regresó smple CO ~ alq Regresó Leal 5

215 Regresó co R Iterpretacó (cal Cotraste F=438 (p-valor=. Alguo de los regresores flue sgfcatvamete e el cosumo. Cotrastes dvduales: La poteca el peso flue sgfcatvamete (pvalor=. Para =.5, la cldrada la aceleracó també tee efecto sgfcatvo (p-valor <.5 El efecto de cualquer regresor es postvo, al aumetar cualquera de ellos aumeta la varable respuesta: cosumo. Los regresores eplca el 8 % de la varabldad del cosumo (R =.897 Regresó Leal 5

216 Multcolealdad Cuado la correlacó etre los regresores es alta. Preseta graves coveetes: Empeora las estmacoes de los efectos de cada varable : aumeta la varaza de las estmacoes la depedeca de los estmadores Dfculta la terpretacó de los parámetros del modelo estmado (ver el caso de la aceleracó e el ejemplo. Regresó Leal 53 Idetfcacó de la multcolealdad: Matrz de correlacó de los regresores. Regresó Leal 54

217 Gráfcos cosumo - cosumo peso cosumo poteca cosumo (X cldrada cosumo aceleraco Regresó Leal 55 Cosumo aceleracó Regresó Leal 56

218 57 Regresó Leal Multcolealdad: efecto e la varaza de los estmadores ( ( ( ( ( ~ ~ ~ ~ var r s r s s r r s s r r s r s s s s s r s s r s s s s s u XX XX XX XX T T S S S S X X X X ( ( ( ( var r s r s s r r s s r r s 58 Regresó Leal Cosecuecas de la multcolealdad Gra varaza de los estmadores Cambo mportate e las estmacoes al elmar o clur regresores e el modelo Cambo de los cotrastes al elmar o clur regresores e el modelo. Cotradccoes etre el cotraste F los cotrastes dvduales.

219 Regresó 4. Regresó Múltple: Varables Cualtatvas Predccó Varables cualtatvas como regresores Cosumo Cldrada Poteca Peso Aceleracó Orge l/km cc CV kg segudos Europa Japó USA Europa Japó USA Europa USA USA Japó USA Europa USA Regresó Leal

220 Varables cualtatvas como regresores Orge Europa Japó USA Z JAP s JAPON s JAPON Z USA s s USA USA Z EUR s s EUROPA EUROPA Cosumo = + CC + Pot + 3 Peso Acel + JAP Z JAP + USA Z USA + Error Regresó Leal 3 Varables cualtatvas Cosumo Cldrada Poteca Peso Aceleracó ZJAP ZUSA ZEUR l/km cc CV k g segudos Cosumo = + CC + Pot + 3 Peso Acel + JAP Z JAP + USA Z USA + Error Regresó Leal 4

221 Iterpretacó var. cualtatva Cosumo = + CC + Pot + 3 Peso Acel + JAP Z JAP + USA Z USA + Error Coches europeos: Z JAP = Z USA = REFERENCIA Cosumo = + CC + Pot + 3 Peso + 4 Acel + Error Coches japoeses: Z JAP = Z USA = Cosumo = + JAP + CC + Pot + 3 Peso + 4 Acel + Error Coches amercaos: Z JAP = Z USA = Cosumo = + USA + CC + Pot + 3 Peso + 4 Acel + Error Regresó Leal 5 Iterpretacó del modelo + USA Amercaos Europeos Japoeses Ref. + JAP Regresó Leal 6

222 Modelo estmado (co R Regresó Leal 7 Iterpretacó Se troduce e el modelo la varable cualtatva ORIGEN del vehículo (USA=, EUR=,JAP=3. E el modelo se utlza USA como refereca. El p-valor del coefcete asocado a OrgeJAP es.467 >.5, se coclue que o este dfereca sgfcatva etre el cosumo de los coches Japoeses Amercaos (mateedo costate el peso, cc, pot acel. La msma terpretacó para OrgeEUR, o este dfereca e el cosumo de coches EUR USA. Comparado R =.8 de este modelo co el ateror R =.899, se cofrma que el modelo co las varables de Orge o supoe ua mejora sesble. Regresó Leal 8

223 Bod: Istruccoes co R # ejemplo cars : modelo de regresó > cars <- read.table("cars.tt",header=true > attach(cars > cos <- 35./mpg # trasformamos la varable > Orge <- factor(org,labels=c("usa","eur","jap" # la struccó factor( es ecesara # para troducr e el modelo de # regresó ua varable cualtatva > m <- lm(cos ~ ege + horse + weght+ accel + Orge > summar(m Regresó Leal 9 z Modelo de regresó co varables cualtatvas E geeral, para cosderar ua varable cualtatva co r veles, se troduce e la ecuacó r- varables fctcas vel, vel Y el vel r o utlzado es el que actúa de refereca z vel, vel, z r k k z z z varable cualtatva r r, vel r vel r u Regresó Leal

224 Ejemplo: Bod Nombre: Bod (Cuerpo Humao Eplorg Relatoshps Bod Dmesos 57 Observacoes, 5 Varables Descrpcó: Este ejemplo cotee meddas del cuerpo humao, además de la edad, peso, altura géero (mujeres =, hombres = de 57 dvduos de los que 47 so hombres 6 mujeres. Los datos fuero recogdos etre persoas que acudía frecuetemete al gmaso e USA, la maoría de ellos etre 4 años. Fuete: Eplorg Relatoshps Bod Dmesos, Grete Hez,Lous J. Peterso,Roger W. Johso, Carter J. Kerk, Joural of Statstcs Educato Volume, Number (3, OBJETIVO: Relacó etre el peso altura dferecado etre hombres mujeres. Regresó Leal Bod Estatura Peso Hombres 77.7cm 78. kg Mujeres 64.9cm 6.6 kg Dfereca.8 cm 7.5 kg Weght = + Heght + HOM Z HOM + Error Weght = Heght Z HOM + Error Regresó Leal

225 Iterpretacó 8.36 kg Fgura.. A gualdad de ESTATURA, la dfereca de PESO etre u hombre ua mujer es 8.36 kg Regresó Leal 3 Bod: Istruccoes co R # bod : modelo de regresó > bod <- read.table("bod.tt",header=true > attach(bod > m.bod<-lm(weght~heght+geder > summar(m.bod # fgura. > plot(heght,weght,col=geder+ # Geder + asga el color rojo ( # a mujeres el verde (3 a los hombres > able(c( ,.79,col = "red",lwd= # lea de regresó de mujeres > able(c( ,.79,col = "gree",lwd= # regresó hombres Regresó Leal 4

226 FEV (Ejemplo 3 Ejemplo Fev Forced Eprator Volume (FEV 654 observacoes, 5 varables Descrpcó: Es ua muestra de 654 jóvees etre 3 9 años recogdos e Bosto (USA a fales de los 7. Se desea ver la relacó etre la capacdad pulmoar (FEV fumar. E este prmer aálss estudaremos la relacó etre FEV la estatura. E la leccó de regresó múltple estudaremos el efecto del tabaco. Fuete: Roser, B. (999, Fudametals of Bostatstcs, 5th Ed., Pacfc Grove, CA: Dubur Varables age años del dvduo fev varable cotua e ltros ht varable cotua, estatura e pulgadas se cualtatva (mujer=, hombre= smoke cualtatva (No-fumador=, fumador= age fev ht se smoke Tabla 6. Regresó Leal 5 Modelo de regresó Log(fev = + ht + age + HOM Z HOM + HOM Z HOM + Error Log(fev = ht +.3age +.9 Z HOM.46 Z FUM + Error Regresó Leal 6

227 Iterpretacó. Todos los coefcetes so sgfcatvamete dsttos de cero.. A gualdad del resto de las varables, u aumeto de cm e la Estatura produce u cremeto e fev del 4.% 3. A gualdad del resto de las varables, u aumeto de año e la Edad produce u cremeto e fev del.3% 4. A gualdad del resto de las varables, los hombres tee u.9% más de fev que las mujeres. 5. A gualdad del resto de las varables, los fumadores tee u 4.6% meos de fev que los o-fumadores. IMPORTANTE: El objetvo del estudo era cuatfcar el efecto de fumar e la capacdad pulmoar de los jóvees, el restos de las varables del modelo so ecesaras (mprescdbles para detectar el efecto, auque juega u papel secudaro. Regresó Leal 7 fev: Istruccoes co R # ejemplo 3: fev > pulmo <- read.table("fev.dat",header=true > attach(pulmo > m.pulmo <- lm(log(fev ~ ht + age + se + smoke > summar(m.pulmo # se es ua varable que toma valores, # mujeres # hombres # # smoke es ua varable,, també o fumador, # fumador # # Cuado so varables, o es ecesaro covertrlas # e varables CUALITATIVAS o FACTOR utlzado la # struccó # geero=factor(se,labels=c( Mujer, Hombre Regresó Leal 8

228 Predccó Meda m h h Nueva Observ. h h m h h m h h h ŷ h h Regresó Leal 9 Predccó de la meda m h (Regresó smple m h ŷ h h h m h t s / R v h hh ŷ h v hh ( ( h s h Regresó Leal

229 Predccó de la meda m h (Regresó multple m h ŷ h h h m h t s / R v h hh ŷ h v hh T S h ( ( ( h h Regresó Leal Itervalos de predccó para ua ueva observacó h ŷ h h h t s / R v h hh Regresó Leal

230 Límtes de predccó k k m h t s / R v h hh h t s / R v h hh Regresó Leal 3 Predccó Weght = Heght Z HOM + Error Peso predcho para el PESO MEDIO de hombre de 75cm Pred_Weght = = 76.8 kg Peso predcho para la meda de la dstrbucó del peso de las mujeres de 7cm de estatura Pred_Weght = = 64.5 kg Regresó Leal 4

231 Itervalos 95% cofaza It. Cofaza Prevsto Lm. If Lm. Sup Heght=75,Seo = Heght=7,Seo = It. Predccó Prevsto Lm. If Lm. Sup Heght=75,Seo = Heght=7,Seo = Regresó Leal 5 Predccó: Istruccoes R # ejemplo 3: fev > ewbod <- data.frame(heght=7,geder= > predct(m.bod,ewbod,terval="cofdece" ft lwr upr > ewbod <- data.frame(heght=7,geder= > predct(m.bod,ewbod,terval="predcto" ft lwr upr > ewbod <- data.frame(heght=75,geder= > predct(m.bod,ewbod,terval="cofdece" ft lwr upr > ewbod <- data.frame(heght=75,geder= > predct(m.bod,ewbod,terval="predcto" ft lwr upr Regresó Leal 6

232 Otros ejemplos co R > ewcar <- data.frame(horse=3,ege=8,accel=,orge="usa", weght=3 > predct(m,ewcar,terval="cofdece" ft lwr upr > ewbo <- data.frame(ht=6,age=7,se=,smoke= > predct(m.pulmo,ewbo,terval="cofdece" ft lwr upr > ewcars <- data.frame(horse=c(3,4,5 +,ege=c(8, 85, 9 +,accel=c(,, +,Orge=c("USA","JAP","EUR" +,weght=c(3,,5 > pred.w.clm <- predct(m,ewcars,terval="cofdece" > pred.w.clm ft lwr upr Regresó Leal 7 APÉNDICE: PREDICCIÓN Regresó Leal 8

233 9 Regresó Leal Predccó de la meda m h (Regresó smple h h h h m N, ( h m h h ŷ h ] var[ ] ] [ ( ( var[ ( var[ ] var[ ] [ ] ( h h h h h h h h h h h s E m E (, s h m h N h 3 Regresó Leal Predccó de la meda m h (Regresó múltple h T kh k h h h h m m N ', ( β h m h ' h ŷ h h T T h hh hh h T T h h T T h h T h h T h T h T h kh h h T h T h v E v E E h ' ' ' ] ' var[ ] var[ ' ' ] [ ] ' [ ],,, (, ', ' ( ' ( ' var[ ' ] [ β β β β β β X X X X hh h h v m N,

234 3 Regresó Leal Epresó alteratva para v hh ( ( ( ~ ~ (, ( ~ ~ ( ( var[ ]( ( ] var[ ] ( var[ ] var[ ( S X X S X X b b b h T h T h T T h h T h h T h h T h ( ( ( S h T h hh v v v hh h hh h / / 3 Regresó Leal Itervalos de cofaza para la meda m h (,, k hh R h h hh h h hh h t v s m N v m v h m N h ŷ h ( ( h hh s v s R v hh t h h m / ( ( ( S h h T hh v Regresó smple

235 33 Regresó Leal Predccó de ua ueva observacó h (Reg.Smple h h h h m m N, ( h h ŷ h hh h h h h h h h h h hh h h h h v e E E e E e v m N ] var[ ] var[ ] var[ ~ ] [ ] [ ] [ ~ ~, ( (, ( ~ h v hh N e m h h 34 Regresó Leal Predccó de ua ueva observacó h (Reg. Múltple h m h h ŷ h ( ] var[ ] var[ ] var[ ~ ] [ ] [ ] [ ~ ~, ( hh h h h h h h h h h hh h h h T h v e E E e E e v m N b (, ( ~ h v hh N e h

236 s Itervalos de predccó para ua ueva observacó h v ~ e eh, ~ h h N R h h h v hh h hh h ( v N(, t k hh ŷ h h h t s / R v h hh Regresó Leal 35 Límtes de predccó k k m t s / R v h h hh h t s / R v h hh Regresó Leal 36

237 37 Regresó Leal Dagoss: Resduos ( k k e k k k k e e e Resduos Prevstos Observados e Xβ Y 38 Regresó Leal Dstrbucó de los resduos V (I V (Y(I V (I e VXβ (I Y V (I e e X X X(X V VY (I e I Xβ Y T T var ] var[ ] [ ] [, ( E E N Normal ( (,, ( v N e N V (I e

238 39 Regresó Leal Dstaca de Mahalaobs. ( ( ( T D D D S a Mde la dstaca de de Mahalaobs Dst T T v X X X(X V V so los elemetos dagoales de la matrz (,, j j j j j j j j j v v v v v v v v v ( ( ( ' ( ' S X X T T T v 4 Regresó Leal Resduos estadarzados v R s e r e e v e v v e estadarzados Resduos var( lejos de está Cuado var( / prómo a está Cuado ( var( (,( v N e

239 Modelos de regresó leal REGRESION SIMPLE. La tabla muestra los mejores tempos mudales e Juegos Olímpcos hasta 976 e carrera mascula para dsttas dstacas. : tempo (sg : dstaca (m (a Estmar la regresó leal de sobre calcular la varaza resdual el coefcete de correlacó. (b Obteer tervalos de cofaza para la pedete varaza resdual (α =.. (c Aalzar s la relacó leal es adecuada, trasformado las varables s es ecesaro. (d Supógase que e aquellas Olmpadas hubera estdo ua carrera de 5 metros. Estmar el tempo prevsto para el record olímpco e dcha carrera, dado u tervalo de cofaza co α =.5.. Segú la ecuacó de los gases deales, la presó ejercda por u gas a volume temperatura costate es proporcoal a la masa. Se puede utlzar el sguete procedmeto para estmar el peso molecular de u gas. Se almacea el gas e u recpete de volume costate, se va soltado poco a poco gas, varado la presó, pero mateedo la temperatura costate. E la tabla adjuta se proporcoa medcoes de la presó (co respecto a la atmosférca, atm = 4.7 ps de la masa del gas para el árgo. Presó (ps Masa (g (a Para estmar el peso molecular del árgo a partr de los datos, se propoe el sguete modelo de regresó P = β +β m +u co u N(,σ. Estmar los parámetros del modelo cotrastar s el térmo depedete es sgfcatvo.

240 (b Se cosdera el modelo alteratvo P = αm +u, co u N(,σ. Obteer el estmador de máma verosmltud del parámetro α, así como su varaza. (c Realzar el cotraste H : α = 5 frete a H : α 5 co vel de sgfcacó.5. (d Para el segudo modelo, obteer u tervalo de predccó para la presó cuado la masa es gual a gramo. (e Obteer la varaza del estmador de E[P h m h ], es decr del valor medo de la presó P h para ua masa dada m h co ambos modelos. S el modelo verdadero fuese el del prmer apartado, qué efecto tedría sobre la predccó adoptar el modelo alteratvo? 3. Sr Fracs Galto (877 estudó la relacó etre la estatura de ua persoa ( la estatura de sus padres ( obteedo las sguetes coclusoes: (a Estía ua correlacó postva etre las dos varables. (b Las estaturas de los hjos cuos padres medía más que la meda era, e promedo, feror a la de sus progetores, metras que los padres co estatura feror a la meda e promedo teía hjos más altos que ellos, calfcado este hecho como de regresó a la meda. Cotrastar (α =.5 estas dos coclusoes co la ecuacó ŷ = resultate de estmar u modelo de regresó leal etre las varables (e cm. descrtas aterormete para ua muestra de tamaño s la desvacó típca (estmada de β es La le de Hubble sobre la epasó del uverso establece que dadas dos galaas la velocdad de desplazameto de ua respecto a la otra es v = Hd, sedo d su dstaca H la costate de Hubble. La tabla proporcoa la velocdad la dstaca de varas galaas respecto a la Va Láctea. Se pde: Galaa Dstaca Velocdad (mlloes años luz ( 3 Km/s Vrgo. Pegaso Perseo Coma Bereces Osa Maor Leo Coroa Boreal Géms Osa Maor Hdra 6.4 Tabla: Dstaca velocdad de desplazameto de las dsttas galaas a la Va Lactea.

241 Nota: Obsérvese que segú el modelo de Hubble la regresó debe pasar por el orge. Tómese año luz = 3 Km/seg seg = 9.46 Km. (a Estmar por regresó la costate de Hubble. (b Como T = d/v = d/hd = /H, la versa de la costate de Hubble represeta la edad estmada del Uverso. Costrur u tervalo de cofaza del 95% para dcha edad. 5. Para establecer la relacó etre el alargameto e mm (Y producdo e u certo materal plástco sometdo a traccó la tesó aplcada e toeladas por cm (X se realzaro epermetos cuos resultados se muestra e la tabla Tabla: Alargameto (mm producdos por la tesó (Tm/cm. (a Ajustar el modelo de regresó leal E(Y = β + β cotrastar (α =. la hpótess de que, e promedo, por cada Tm/cm de fuerza aplcada es de esperar u alargameto de 5 mlímetros, sabedo que la desvacó típca resdual vale.55. (b S el límte de elastcdad se alcaza cuado =. Tm/cm, costrur u tervalo de cofaza al 95% para el alargameto medo esperado e ese puto. (c Teedo e cueta que el alargameto esperado cuado la fuerza aplcada es ula debe ser ulo també, estmar el uevo modelo E [Y ] = β co los datos aterores Cuál es el sesgo del estmador del parámetro de la pedete s se estma segú el modelo del apartado? 6. Estmar por mímos cuadrados los parámetros a b de la ecuacó = a + b co la muestra de tres putos sguetes (, : (3, -; (4, ; (6,. 7. La ecuacó de regresó etre las vetas de u producto su preco es ŷ = 3., ŝ R = ŝ = 4. S el úmero de datos ha sdo = 5, cotrastar H : β = frete a la alteratva H : β <. 8. Se estuda la relacó etre el tempo de reparacó (mutos de ordeadores persoales el úmero de udades reparadas e ese tempo por u equpo de matemeto co los resultados mostrados e la sguete tabla udades reparadas tempo de reparacó Se pde: 3

242 (a Costrur la recta de regresó para prever el tempo de reparacó utlzarla para costrur u tervalo de cofaza (α =. para el tempo medo de reparacó de 8 udades. (b Costrur u tervalo de cofaza (α =. del tempo de reparacó para u lote de 4 udades. (c S los tempos de reparacó fuese medas de datos. Cual sería la recta de regresó? REGRESION MULTIPLE 9. E la tabla se muestra los costes faceros mesuales e mles de euros ( de 6 delegacoes de ua gestora de versoes, además se proporcoa el úmero de uevos préstamos del mes ( el úmero de préstamos pedetes (. (a Estma la ecuacó de regresó cluedo la varaza del modelo = β +β +β +u co u N(,σ (b Realzar los cotrastes dvduales e terpretar los coefcetes. (c Realza el cotraste geeral de regresó o cotraste de la F. Proporcoa el p-valor. (d Proporcoa la tabla co valores prevstos resduos. (e Comprueba las hpótess del modelo. 4

243 . Los fabrcates que utlza rodametos e sus productos tee terés e la fabldad de estos compoetes. La medda básca de fabldad se deoma ratg lfe, cosste e el úmero de revolucoes que soporta el 9% de los rodametos ates de la fractura, a esto se deota por L. Los modelos teórcos dca que este valor está relacoado co la carga (P a la que se somete el rodameto, el dámetro (D del rodameto el úmero de bolas (Z del msmo, medate la ecuacó: ( kz a D b 3 L =. P Se desea comprobar epermetalmete esta ecuacó, para lo cual se realzó u epermeto co rodametos de dsttos fabrcates tpos. Los datos se ecuetra e el archvo (ballbearg.tt, e la tabla se muestra los prmeros datos. La formacó que cotee es la sguete: Com: Codgo de empresa,, ad 3 N: Número de esao (e cada empresa Year: Año del esao NA = No dspoble NB : Número de Rodameto P: Carga Z: Número de bolas D: Dámetro L: Percetl L5: Percetl 5 Slope: Parámetro de la dstrbucó Webull Btpe: Tpo de rodameto,, 3 la empresa ; e los demás casos. Com N Year NB P Z D L L5 Slope Btpe

244 (a Estma el modelo log(l = β +β log(z +β log(d +β 3 log(p +u co u N(,σ, realza los cotrastes dvduales el cotraste geeral. (b Segú el modelo, β 3 = 3. Realza el cotraste H : H : β 3 = 3 β 3 3 Proporcoa el p-valor del cotraste. (c Da u tervalo de cofaza para los parámetros a b del modelo teórco. (d Se defe las varables fctcas T T 3 para detfcar los rodametos tpo 3 del segudo fabrcate (formacó e la varable Btpe. Estma e terpreta el sguete modelo de regresó: log(l = β +β log(z +β log(d +β 3 log(p + α T +γ T log(z +δ T log(d + α 3 T 3 +γ 3 T 3 log(z +δ 3 T 3 log(d +u (e Compara el modelo del apartado co el modelo del apartado 4.. La matrz de varazas de tres varables estadarzadas es la sguete Calcular la ecuacó de regresó de la prmera varable respecto a las otras dos.. Dos varables tee la sguete matrz de varazas (.5.5 las regresoes smples co so ŷ =.75 ; ŷ =.6. Calcular la regresó múltple etre las dos varables, sabedo que la varable tee meda cero varaza udad. 3. Para establecer la relacó etre el voltaje de uas baterías la temperatura de fucoameto se ha hecho uos epermetos cuos resultados se muestra e la sguete tabla Batería Temperatura Voltaje

245 Se pde: (a Cotrastar la hpótess (α =.5 de que o este relacó leal etre el voltaje la temperatura. (b Las lecturas,3,5 7 fuero realzadas co uas baterías de Cadmo las,4, 6 8 co baterías de Zc. Itroducr e el aálss ateror ua varable cualtatva que tega e cueta los dos tpos de baterías cotrastar s es sgfcatva al 95%. (c Dar u tervalo de cofaza para el voltaje de ua batería de Cadmo que va a trabajar a 35 cetígrados. (Utlzar el modelo estmado e el apartado. (d Comprobar que se cumple las hpótess del modelo costrudo e los apartados aterores. 4. La varable se relacoa co las varables segú el modelo E( = β +β +β ; o obstate se estma el sguete modelo de regresó que o clue la varable ŷ = β + β. Justfcar e qué codcoes el estmador β es cetrado. 5. Se efectúa ua regresó co dos varables eplcatvas E[] = β +β +β. La matrz de varazas de es [ 3 Cuál de los dos estmadores β β tedrá meor varaza? 6. Co los datos de la tabla, se pde: ] (a Estmar u modelo de regresó smple co como varable depedete como regresor. Idcar s el modelo es apropado, justfcado la respuesta. (b Estmar el modelo realzar el cotraste H : β =. (c Estmar el modelo = β +β +β +u = β +β +β +β 3 3 +u Realzar el cotraste geeral de regresó co α =.. Seleccoar etre los tres el modelo más adecuado, justfcado la respuesta. 7

246 7. Ua de las etapas de fabrcacó de crcutos mpresos requere perforar las placas recubrr los orfcos co ua láma de cobre medate electrólss. Ua característca esecal del proceso es el grosor de la capa de cobre. Se ha realzado epermetos para evaluar el efecto de 7 varables, X : Cocetracó de Cobre, X : Cocetracó de Cloruro, X 3 : Cocetracó de Ácdo, X 4: Temperatura, X 5 : Itesdad, X 6 : Poscó X 7 : Superfce de la placa. Cada varable se ha estudado a dos veles. Las codcoes epermetales los resultados de cada epermeto se muestra e la tabla. X X X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 Y Respoder a las sguetes pregutas aplcado el modelo de regresó múltple: matrz detdad de 8 8. (a Estmar el modelo de regresó múltple = β +β +β +β 3 3 +β 4 4 +β 5 5 +β 6 6 +β 7 7 +u. Obteer la descomposcó de la varabldad del modelo realzar el cotraste H : β = β = β 3 = β 4 = β 5 = β 6 = β 7 = frete a la hpótess alteratva H : algú β j es dstto de cero. (b Realzar cada uo de los cotrastes dvduales e dcar qué varables tee efecto sgfcatvo. (c Elmar del modelo del apartado todas las varables o sgfcatvas. Estmar el modelo cotrastar sus coefcetes. Iterpretar los resultados del epermeto. 8. El molbdeo se añade a los aceros para evtar su odacó, pero e stalacoes ucleares preseta el coveete de ser el causate de gra parte de los productos radoactvos. Se ha realzado u epermeto para determar el grado de odacó del acero e fucó del porcetaje de molbdeo. Además se ha tedo e cueta el efecto del tpo de refrgerate utlzado (R, R. Los resultados se muestra e la tabla. 8

247 Molbdeo (% Refrg..5% %.5% % Medas R R R R Meda (a Escrbr u modelo de regresó que clua el porcetaje de molbdeo el tpo de refrgerate como regresores; estmar el modelo e dcar qué parámetros so sgfcatvos (α =.5. (b Los epermetos relatvos a las dos prmeras flas se realzaro e u tpo de stalacó los correspodetes a las dos últmas e otra dstta. Escrbr u uevo modelo que clua este aspecto. Comprobar que este uevo regresor está correlado co los dos aterores. Estmar el uevo modelo. (c Demostrar que e u modelo co los regresores correlados, la elmacó de uo de ellos o flue e el valor de los estmadores β, ( restates. Iflue e la varaza resdual e los cotrastes? Eplcar este efecto e fucó de que el parámetro β del regresor elmado sea o o ulo. 9. Sea la altura del troco de u árbol el dámetro del msmo e su parte feror. El volume del troco de árbol puede ser calculado apromadamete co el modelo = α +u, segú el cual, el volume del troco es proporcoal al volume de u coo co las meddas,, sedo α el parámetro (descoocdo de proporcoaldad, más ua compoete de error aleatoro u. La tabla sguete cotee los datos (e metros metros cúbcos correspodetes a ua muestra aleatora de 5 trocos de ua varedad de po. Obs.,,7,6,3,3,85 3,4,4,4 4 4,9,93,7 5 3,8,8,47 6 9,5,36,484 7,6,57,63 8,9,69,7 9 9,8,97,8 6,8,38,8,,35,34 7,4,376, ,,389,73 4 7,4,47, 5 3,7,594 4,63 9

248 (a Estmar α por máma verosmltud supoedo que las varables u tee dstrbucó ormal de meda cero, co la msma varaza e depedetes. (b U troco tee ua altura de metros u dametro de.5 metros, dar u tervalo de predccó de su volume (95% de cofaza. (c E el aálss de los resduos se observa que la varaza de los errores crece co el volume del troco. Para obteer homocedastcdad se propoe el sguete modelo trasformado utlzado logartmos eperaos, log = β +β log +β log +u Cotrastar (vel de sgfcacó.5 s estos dos valores so aceptables. (d Co este modelo, dar u tervalo de predccó (95% de cofaza para el volume del troco del apartado.. Certas propedades del acero se mejora sumergédolo a alta temperatura (T = 55 o F e u baño templado de acete (t = 95 o F. Para determar la flueca de las temperaturas del acero del baño de acete e las propedades fales del materal se ha elegdo tres valores de la temperatura del acero tres del baño de acete, Temperatura acero (T 45 o F 55 o F 6 o F se ha realzado los sguetes epermetos: Temperatura acete (t 7 o F 95 o F o F dóde se ha utlzado la sguete trasformacó (para smplfcar cálculos Estmar el modelo de regresó = T = t = β +β +β +β 3 +u e dcar qué parámetros so sgfcatvos para vel de sgfcacó.5. Estmar cotrastar el modelo ateror empleado las varables orgales T t.

249

250

251 Dseño de Epermetos de abrl de Cuestoes (3 mutos, 4 putos. Los sguetes datos so meddas de presó (ps e u muelle a torsó para dferetes cofguracoes etre el etremo del muelle u puto de apoo. La tabla de aálss de la varaza para la comparacó de las medas correspodetes a los cco veles determados por el águlo (agle se ha obtedo co R es la sguete Realzar la comparacó dos a dos de las medas de los cco tratametos (LSD. Iterpretar los resultados de la comparacó. Nota: Para todo el ejercco utlzad α =.5.. Obteer la descomposcó de la varabldad (aálss de la varaza e el modelo de u factor, justfcado cada paso. Idcar por qué se aula el térmo correspodete al doble producto e el segudo membro de la gualdad.

252 Dseño de Epermetos de abrl de Problema (45 mutos, 6 putos E u estudo realzado e la Uversdad Vrga Tech, se desea comprobar el efecto de añadr u producto químco quelate (Carbometl Celulosa, CMC como parte del acabado gífugo de tejdos de algodó co el f de retardar su tempo de combustó. El tejdo de algodó e estudo se ha lavado e dos solucoes dsttas: Baño co CMC Baño s CMC. Para estudar s la tesdad de lavado flue e el resultado, se ha hecho el epermeto co cco lavados dez lavados. E cada caso se utlzaro telas, que posterormete se quemaro, mdedose los tempos de combustó (segudos que se muestra e la tabla. Lavados Baño Baño La meda la varaza corregda para cada tratameto es: Lavados Baño Meda Varaza Obté la tabla de aálss de la varaza del epermeto realza los cotrastes co vel de sgfcacó.5.. Calcula el tervalo de cofaza (α =.5 para la meda de cada tratameto, dbuja el gráfco de teraccoes co los tervalos de cofaza correspodetes e terpreta los resultados del epermeto. 3. Como se apreca e la seguda tabla, las varazas correspodetes a los tratametos del Baño so parecdas bastate ferores a las varazas de los tratametos correspodetes al Baño. Llamado σ a la varaza teórca para los datos del baño σ a la varaza teórca para los datos del baño, realza el cotraste: H : σ = σ H : σ σ Nota: Utlzad α =.5.

253 LSD t s R.9.6.5, j j

254 j j uj j ( j : restado, ( ( j j elevado al cuadrado sumado para todo, j K (dode ( ( j j K K ( j ( j j j ( K K K ( j ( ( j j j K K ( j j ( K K ( j j j j j Varabldades Grados de lbertad VT - K VE K - VNE e - K K K ( ( ( ( j j j j j ( j

255 Aalss of Varace Table Respose: Tempo Df Sum Sq Mea Sq F value Pr(>F Lavados ** Bath e-6 *** Lavados:Bath * Resduals Sgf. codes: ***. **. *.5.. t s j.5 R j j 44, B B L L

256 s R s R 6.9 s s R R ~ F, F a.44 F.357 b

257 o Eame Parcal Dseño de Epermetos Regresó de mao de Cuestoes (3 mutos, 4 putos. Sea Y R el vector de la varable depedete de u modelo de regresó múltple, co los regresores defdos por la matrz X R (k+, tal que Y = Xβ +U ( dode U N(,σ I. U modelo de regresó múltple se replca cuado se obtee dos vectores de varable respuesta Y e Y, cada uo de dmesó, para los msmos regresores (la msma matrz X. Se ajusta el modelo: Y = Xβ +U ( dode Y = (Y + Y. Sea β al vector de parámetros estmados para el modelo (, β para el modelo (. Obteer la relacó etre Var(β Var(β, justfcado la respuesta.. Dos propetaros de u vñedo de Orego cultva dferetes varedades de uva co las que fabrca vo. Durate el proceso de fabrcacó ha recabado dferetes datos co el f de detfcar aquellas varables que, a juco de los catadores, produce el mejor vo. E cocreto se ha recabado formacó sobre la edad de la barrca de roble ( : años, el porcetaje del racmos completos utlzados ( : %, la temperatura de fermetacó ( 3 : o C, sobre las varables cualtatvas Clo de pot or, que puede tomar dos valores (Pommard Wadeswll, el tpo de roble empleado e la fabrcacó de las barrcas que tambe puede tomar dos valores (Aller Trocas. Escrba la ecuacó del modelo de regresó leal que permte relacoar la putuacó emtda por los catadores ( co los regresores mecoados aterormete. Iterprete los parámetros del modelo.

258 o Eame Parcal Dseño de Epermetos Regresó de mao de Problema (45 mutos, 6 putos Durate la produccó el trasporte del petróleo, éste se mezcla co agua formado ua emulsó. Ua maera de separar los dos líqudos es creado u campo eléctrco fuerte, de forma que las gotas de petróleo crece sube a la superfce. U grupo de vestgacó de la Uversdad de Berge (Noruega tomó ua sere de datos para determar los factores que fluía e el voltaje requerdo para separar la mezcla. Las sete varables vestgadas fuero las sguetes: : Composcó porcetual de la mezcla (% : Saldad de la emulsó (% 3 : Temperatura de la emulsó ( o C 4 : Tempo e reposo desde que se realza la mezcla (horas 5 : Cocetracó de sulfatate (reduce la tesó superfcal(% e peso 6 : Proporcó de sustacas químcas sulfatates (Spa Trto(% 7 : Catdad de sóldos añaddos (% e peso Se prepararo las 9 emulsoes que se muestra e la tabla. Para cada emulsó se mdó el voltaje (klovoltos por cetímetro ecesaro para que se cara el proceso de separacó, este valor represeta la varable respuesta (. DATOS Epermeto (tesó ,64 4 4,5,5,5,8 8 4,5 4,5 3 3, 4 4 4,5 4,75,5 4, ,5,75 5,7 4 3,5 4,75 6,3 8 3,5,75,5 7, ,5,5 8, ,5 4,5,5 9, 4 4 4,75, ,75,5, ,5, ,5,5 3, ,5,5 4, 8 3 4,5 5, ,75,5 6, ,75 7,8 6,5 3,5,5 3,5,5 8,8 6,5 3,5,5 3,5,5 9,4 6,5 3,5,5 3,5,5 El epermeto cumple que la matrz de varazas de los sete regresores es ua matrz dagoal, es decr S = ( X T X = 355, 56 8, 5, 347, 889, 556, 5.

259 o Eame Parcal Dseño de Epermetos Regresó de mao de El modelo estmado es ŷ =,68,5 +,7,53 3,84 4 +,46 5 +,5 6,67 7, co varaza resdual ŝ R =,86.. Realce los costrastes dvduales e dque cuales de los sete regresores tee u efecto sgfcatvo (α =,5.. Realce el costraste geeral de regresó (α =, 5 calcule el coefcete de determacó del modelo. 3. Tras la dagoss del modelo se cosderó la opcó de troducr como regresores los productos 5. El modelo resultate, úcamete co los regresores sgfcatvos, aparece e la tabla sguete (modelo B. Elja razoadamete etre el modelo cal el modelo B. Ua de las varables que puede cotrolar los téccos e el proceso de separacó es 5 (sulfatate. Eplque el efecto cojuto de las varables 5, teedo e cueta que varía de 4 a 8 5 etre 4. MODELO B mod bergeb=lm( Call: lm(formula = ~ * + * 5 Resduals: M Q Meda 3Q Ma Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr(> t (Itercept ** * ** *** : * : * --- Sgf. codes: ***. **. *.5.. Resdual stadard error:.38 o 3 degrees of freedom Multple R-squared:.8643, Adjusted R-squared:.8 F-statstc: 6.56 o 5 ad 3 DF, p-value: 3.86e-5

260 var X T X Y Y Y ' X T X var ' ' var( Y X I var( Y ' X var X var Y Y X 4 4 Y Y I I I var ' var

261 Pommard (Refereca Aller (Refereca z z Wadeswll Trocas,,, 3,, z z u 3 3,,,,, 3 z z e 3 3

262 3

263 o Eame Parcal Dseño de Epermetos Regresó de mao de El modelo estmado es ŷ =,68,5 +,7,53 3,84 4 +,46 5 +,5 6,67 7, co varaza resdual ŝ R =,86.. Realce los costrastes dvduales e dque cuales de los sete regresores tee u efecto sgfcatvo (α =,5.. Realce el costraste geeral de regresó (α =, 5 calcule el coefcete de determacó del modelo. 3. Tras la dagoss del modelo se cosderó la opcó de troducr como regresores los productos 5. El modelo resultate, úcamete co los regresores sgfcatvos, aparece e la tabla sguete (modelo B. Elja razoadamete etre el modelo cal el modelo B. Ua de las varables que puede cotrolar los téccos e el proceso de separacó es 5 (sulfatate. Eplque el efecto cojuto de las varables 5, teedo e cueta que varía de 4 a 8 5 etre 4. MODELO B mod bergeb=lm( Call: lm(formula = ~ * + * 5 Resduals: M Q Meda 3Q Ma Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr(> t (Itercept ** * ** *** : * : * --- Sgf. codes: ***. **. *.5.. Resdual stadard error:.38 o 3 degrees of freedom Multple R-squared:.8643, Adjusted R-squared:.8 F-statstc: 6.56 o 5 ad 3 DF, p-value: 3.86e-5

264 Segudo Eame Parcal de Dseño de Epermetos Regresó de mao de Problema (45 mutos, 6 putos. Realce los costrastes dvduales e dque cuales de los sete regresores tee u efecto sg catvo ( = ; 5: Para los cotrastes dvduales ha que comparar co el percetl,975 de la dstrbucó t co (9-7- grados de lbertad que es ; t = t = t 3 = t 4 = t 5 = t 6 = t 7 = ;5 p ;86(=355;569 = 3; 689 * ;7 p ;86(=9 = ; 9 * ;53 p ;86(=8;9 = ; 378 ;84 p ;86(=5;349 = ; 897 ;46 p ;86(=;8899 = 4; 39 * ;5 p ;86(=;5569 = ; 7 ;6 p ;86(=;59 = ; 855 V E = V T V NE = 9 s bs R = 9 ;543 ;86 = 8; 3. Realce el costraste geeral de regresó ( = ; 5 calcule el coe cete de determacó del modelo. Cotraste cojuto F = (V E=7=bs R = 5; 499 > F 7; = 3; : Se rechaza H : R = V E=V T = 8;3 = ; 778: ;3 Otra posbldad es a partr del cotraste de la F, F = F 7 + F = ;7778: 3. Mejor el modelo B. Dagoss adecuada, R maor bs R meor. La terpretacó: R 7 ( R 9 7 = 5; 499 = R =

265 Eame Fal Dseño de Epermetos Regresó 8 de juo de Cuestoes (3 mutos, 4 putos. Para comparar las medcoes de la tesó arteral realzadas co dos aparatos, se decde tomar la tesó a efermos co u aparato e cada brazo (se seleccoa aleaoramete el aparato que se poe e cada brazo. Los resultados se preseta e la tabla sguete. Propoga u modelo para cotrastar s este dferecas etre las medcoes realzadas co los dos aparatos; obtega la tabla ADEVA e terprete los resultados ( = ;5: Aparato Aparato Medas Efermo Efermo Efermo Efermo Efermo Efermo Efermo Efermo Efermo Efermo Medas Para el modelo de dseño epermetal co dos factores e teraccó, deduzca la epresó del tervalo de co aza para la varaza del error epermetal.

266 Eame Fal Dseño de Epermetos Regresó 8 de juo de Problema (45 mutos, 6 putos Se ha realzado u epermeto para estudar la ueca sobre el redmeto (Y de u proceso químco, de la Presó Temperatura de trabajo. Se ha tomado dos veles ( Atm Atm para la presó dos també (3K 4K para la temperatura, realzádose tres replcacoes para cada combacó de factores. E tabla se muestra los resultados: Presó Atm Atm Temperatura 3 K K Icalmete se cosderó como úco factor de aálss la Temperatura. Estude la ueca de la Temperatura sobre el redmeto, s clur la Presó e el aálss.. E u estudo posteror se decdó cosderar cojutamete los dos factores. Sabedo que la varabldad eplcada por el factor Presó es 3.4, costrua ua ueva tabla de aálss de la varaza, dcado qué efectos so sg catvos. 3. Costrua el grá co de teraccó etre Presó Temperatura, utlícelo para terpretar los resultados del apartado. Este codcoes epermetales óptmas que mamce el redmeto? Nota. Utlce = ;5 e todos los cotrastes.

267 Eame Fal Dseño de Epermetos Regresó 8 de juo de Cuestoes (3 mutos, 4 putos. Obtega la varaza del estmador del coe cete de regresó smple e terprétela e fucó de cada uo de los térmos de los que depede.. Para estudar el efecto de dos regresores sobre ua varable respuesta, se ha estmado tres modelos dferetes de regresó que se represeta e las Tablas a 3. Tabla : Modelo Tabla : Modelo Tabla 3: Modelo 3 Sabedo que el coe cete de correlacó etre es.954, elja el modelo más adecuado just cado la respuesta Se puede a rmar co u 95 % de co aza que los regresores ue e la varable respuesta?

268 Eame Fal Dseño de Epermetos Regresó 8 de juo de Problema (45 mutos, 6 putos Ua empresa está estudado la productvdad de sus 6 empleados. Para ello aalza tres varables cuattatvas X ; X ; X 3 s posee o o Máster profesoal (= No máster, =Máster, que se modela a través de dos varables z z que det ca a No Máster Máster respectvamete. A partr de los datos de productvdad de todos los empleados para u año se ha estmado el sguete modelo de regresó múltple: b = 4; ;73 ;9 + 3; ;56z, sedo (X X = ;3 ;75 ;75 ;375 ;75 ;75 ;5 ;5 :; 5 ;75 ;5 ;5 ;5 ;375 ;5 ;75 ;5 ;5 C A ; bs R = ;9: Realce los cotrastes dvduales dcado las varables que ue sg catvamete e la productvdad. Iterprete el resultado eplcado el sg cado de cada parámetro. ( = ; 5: Sabedo que el coe cete de determacó es gual a ;877, realce el cotraste cojuto. ( = ;5: 3 S se escrbe el modelo e la sguete forma alteratva, = z + z u, dode so las ordeadas e el orge para los dos veles de la varable cualtatva, cuál será el valor estmado de?: H : Realce el cotraste: = H : 6=

269 Eame Fal Dseño de Epermetos Regresó 8 de juo de Cuestoes (3 mutos, 4 putos. Para comparar las medcoes de la tesó arteral realzadas co dos aparatos, se decde tomar la tesó a efermos co u aparato e cada brazo(se seleccoa aleatoramete el aparato que se poe e cada brazo. Los resultados se preseta e la tabla sguete. Propoga u modelo para cotrastar s este dferecas etre las medcoes realzadas co los dos aparatos; obtega la tabla ADEVA e terprete los resultados(α =,5. Aparato Aparato Medas Efermo Efermo Efermo Efermo Efermo Efermo Efermo Efermo Efermo Efermo Medas SOLUCIÓN: Es u modelo e bloques aleatorzados. El factor es el aparato, co dos veles (I= el bloque los efermos, co veles(j= LatablaADEVAes Se coclue que o este dferecas sgfcatvas etre las medcoes realzadas co los dos aparatos. Sí este dferecas sgfcatvas etre los efermos.. Para el modelo de dseño epermetal co dos factores e teraccó, deduzca la epresó del tervalo de cofaza para la varaza del error epermetal. SOLUCIÓN: Eumodelocodosfactoreseteraccóseverfcaque: VNE σ χ IJ(m ;

270 Eame Fal Dseño de Epermetos Regresó 8 de juo de sedoi J respectvametelosvelesdelosdosfactoresmelúmerodereplcacoes. Ua epresó alteratva es IJ(m ŝ R σ χ IJ(m. Sepuedededucrquelaepresódeltervalococofaza( α%es: VNE χ IJ(m ;α/ σ VNE χ IJ(m ; α/.

271 Eame Fal Dseño de Epermetos Regresó 8 de juo de Problema (45 mutos, 6 putos Se ha realzado u epermeto para estudar la flueca sobre el redmeto(y de u proceso químco, de la Presó Temperatura de trabajo. Se ha tomado dos veles ( Atm Atm para la Presó dos també(3k 4K para la Temperatura, realzádose tres replcacoes para cada combacó de factores. E tabla se muestra los resultados:. Presó Atm Atm Temperatura 3 K K Icalmete se cosderó como úco factor de aálss la Temperatura. Estude la flueca de la Temperatura sobre el redmeto, s clur la Presó e el aálss. 3. E u estudo posteror se decdó cosderar cojutamete los dos factores. Sabedo que la varabldad eplcada por el factor Presó es 3.4, costrua ua ueva tabla de aálss de la varaza, dcado qué efectos so sgfcatvos. 4. Costrua el gráfco de teraccó etre Presó Temperatura, utlícelo para terpretar los resultados del apartado. Este codcoes epermetales óptmas que mamce el redmeto? Nota. Utlce α =.5 e todos los cotrastes.. SOLUCIÓN:. Se puede hacer medate u cotraste de gualdad de meda de dos dstrbucoes ormales, H : µ =µ H : µ µ llamadoȳ alamedaderedmetosatemperatura3keȳ atemperatura4k,seteeque t=ȳ ȳ ŝ R 6 t sedo =j= 6 ( j ȳ ŝ R= =9,4 susttuedoseteequet=,9queesferorat,,5 =,3porlotatooestedferecas sgfcatvas para α =,5. 3. Modelodedosfactorescoteraccó,latabladeaalssdelavarazaes Fuete SS Df Mea Square F-Rato Efectos Prcpales Temperatura ** Preso Iteraccó TP ** Resdual Total 37.7

272 Eame Fal Dseño de Epermetos Regresó 8 de juo de 4. LosvaloresdelaFobtedoselatablasecomparacoF,8,α=,5 =5,3.Elefectoprcpaldela Temperatura es mu sgfcatvo, el efecto prcpal de la Presó o es sgfcatvo la teraccó es mu sgfcatva. Lateraccóesclarísma.LostevalosdecofazamuestraquealapresódeAtmoeste dferecas sgfcatvas etre las dos temperaturas. S embargo, a la presó de Atm, el redmeto medoa3kesmusuperorquea4k.lascodcoesóptmassoatm3k.laampltud de los tervalos de cofaza es t 8,α=,5 ŝ R 3 =,3,998 3 =,3

273 Eame Fal Dseño de Epermetos Regresó 8 de juo de Cuestoes (3 mutos, 4 putos. Obtegalavarazadelestmadordelcoefcetederegresósmpleβ eterprételaefucóde cadauodelostérmosdelosquedepede. SOLUCIÓN:(ver lbro de la asgatura var(β = σ s X La varaza del estmador depede de la varaza codcoada de la varable depedete, del úmero de observacoes de la varaza muestral de la varable depedete. Cuato maor el úmero de muestras maor dspersó del regresor más precsa será la estmacó.. Paraestudarelefectodedosregresores sobreuavarablerespuesta,sehaestmadotres modelosdferetesderegresóqueserepresetaelastablasa3. Tabla:Modelo Tabla:Modelo Tabla3: Modelo3

274 Eame Fal Dseño de Epermetos Regresó 8 de juo de Sabedoqueelcoefcetedecorrelacóetre es.954,eljaelmodelomásadecuadojustfcado larespuesta Sepuedeafrmarcou95%decofazaquelosregresores flueelavarable respuesta? SOLUCIÓN:R elcoefcetededetermacóoossrveparacompararestostresmodelos,porque el modelo co más regresores sempre tee u coefcete maor. Para hacer ua comparacó global de los modelos e este caso se utlza R, el coefcete de determacó corregdo o ajustado, segú éste el mejormodeloesel3. E este caso es útl realzar los tres modelos de regresó. Las dos varables muestra ua relacó leal sgfcatva co la varable respuesta, esto se observa e los modelos de regresó smple. E el modelo de regresó múltple los cotrastes dvduales dca que los coefcetes o so sgfcatvamete dsttos decero,peroelcotrastecojutoosdcequealmeosuoesdsttodecero.dchodeotraforma:los dosalavezosoecesaros,bastacoteeruregresor.esoesdebdoalaaltacorrelacóetrelosdos regresores. Selmodelosequereparahacerpredccoes,elmodeloesváldoelpreferdoegeeral. Decdrsflueoolosregresorescómoflue,depededecomosehaatomadolosdatos del problema cocreto. E este caso podemos afrmar que los dos regresores muestra ua relacó leal sgfcatva co la varable respuesta al 95% de cofaza.

275 Eame Fal Dseño de Epermetos Regresó 8 de juo de Problema (45 mutos, 6 putos Ua empresa está estudado la productvdad de sus 6 empleados. Para ello aalza tres varables cuattatvas X,X,X 3 s posee o o Máster profesoal (= No máster, =Máster, que se modela a través de dos varables z z que detfca a No Máster Máster respectvamete. A partr de los datos de productvdad de todos los empleados para u año se ha estmado el sguete modelo de regresó múltple: sedo(x X = ŷ = z, ;ŝ R=.9.. Realce los cotrastes dvduales dcado las varables que flue sgfcatvamete e la productvdad. Iterprete el resultado eplcado el sgfcado de cada parámetro.(α=.5.. Sabedo que el coefcete de determacó es gual a.877, realce el cotraste cojuto.(α= S se escrbe el modelo e la sguete forma alteratva, =β z +β z +β +β +β 3 3 +u, dode β β so las ordeadas e el orge para los dos veles de la varable cualtatva, cuál seráelvalorestmadodeβ β? Realce el cotraste: { H :β = H :β. SOLUCIÓN:. Los cotrastes dvduales so: { H :β = H :β = SH escerta,t = β ŝ R q t k.eestecasot 6 4 t = 3,73,9,5 =,77>t ;,5=, t =,9,9,5 =,7 t 3 = 3,75,9,5 =3,94>t ;,5=, t 4 = 5,56,9 =,9>t ;,5=, Todoslosregresoresresultasgfcatvosaecepcóde. Iterpretacó de los parámetros: β =4,688eslaordeadaeelorgedelostrabajadoresqueoposeemáster.Talcomoestáparametrzado el modelo la refereca so los trabajadores que o posee máster. β =3,73;agualdaddelrestoderegresores,porcadaudadqueaumeta,laproductvdadaumeta e 3.73 udades.

276 Eame Fal Dseño de Epermetos Regresó 8 de juo de β =,7;agualdaddelrestoderegresores,porcadaudadqueaumeta,laproductvdaddsmue e.7 udades, auque este regresor o ha resultado ser sgfcatvo. β 3 =3,94;agualdaddelrestoderegresores,porcadaudadqueaumeta 3,laproductvdadaumeta e 3.94 udades. α =5,56;estedferecasgfcatvaetrelaproductvdaddelostrabajadoresqueposeemasterla de los que o posee master, mateedo costate el resto de regresores. La productvdad es 5.56 udades superor e los trabajadores que posee máster..elcoefcetededetermacór =,877.Elcotrastegeeralderegresóes: { H :β =β =β 3 =α = H :alguodsttode SH escerta, VE k VNE k F k, k.etérmosder,estaepresóes F = R R 4 = 9,6 > F 4,;,5 = 3,36. = Se rechaza H. Alguo o todos los regresores so sgfcatvos. 3. Comparado la parametrzacó del eucado co la plateada e el apartado 3 se coclue que: β =4,688,eslaestmacódelaordeadaeelorgedelostrabajadoresqueoposeemáster β =4,688+5,56=,5,laordeadaeelorgedelostrabajadoresqueposeemáster. El cotraste que pde es Como β = β + α,severfcaque { H :β = H :β var( β =var( β + α =var( β +var( α +cov( β, α =σ (,3++,75=4,8σ. Porlotato,sH escerta, t= β var( β t = t= β ŝ R 4,8 =,4,9 4,8 =,45>t ;,5=,,serechazaH

277 Eame Fal Dseño de Epermetos Regresó 6 de julo de Cuestoes (45 mutos, 5 putos. Cuado u leguaje de alto vel es complado, el tempo de ejecucó depede del complador. U geero de software desea comparar tres compladores(a, B C, para ello ha seleccoado 5 programas mu dsttos, cada uo de los cuales ha sdo complado por los tres compladores. Los tempos de CPU resultates ha sdo: Medas A B C Medas La varabldad total es su descomposcó es 937.(Varabldad Eplcada por Complador, (Varabldad Eplcada por el Programa 93.(Varabldad o Eplcada. Idca qué complador es el más rápdo, justfcado la respuesta. Da u tervalo de cofaza(95% para la dfereca de las medas etre los dos compladores más rápdos.. Eumodeloderegresómúltple,eplcapasoapasocomoseobteelafórmuladelacovaraza etredosestmadores β β j para j.idcaecadapasoquéhpótessbáscadelmodeloestás utlzado. 3. Para determar el valor de u certo parámetro uclear se ha realzado 8 epermetos, el valor medodelasmeddashasdo3.567couadesvacótípcacorregdaguala.886.elvalormedo se correspode de forma aceptable co el valor esperado, pero la desvacó típca obteda se cosdera ecesva. E ua revsta cetífca los resultados que proporcoa los autores que obtuvero co epermetos so de ua meda gual a 3.44 ua desvacó típca corregda gual a.888. Aceptado ormaldad, proporcoa u tervalo de cofaza para el cocete de las dos varazas, co α =,5. Eplca, justfcado la respuesta, cómo se obtee los dos valores ecesaros de la tabla de la F.

278 Eame Fal Dseño de Epermetos Regresó 6 de julo de Problema(45 mutos, 5 putos Staphlococcus Aureus (SA es ua bactera resstete a la pecla sesble úcamete a u atbótco deomado vacomca. Para determar s u pacete está fectado co dcha bactera es precso realzar u cultvo de ua muestra saguíea e el laboratoro e u gel co trptoe. El protocolo actual recomeda que el cultvo se realce a 35 grados cetígrados co ua cocetracó de trptoe del %.Slabacteraestápreseteapareceeelcultvoesfáclmetedetectableasmplevsta.Seharealzado u epermeto para establecer la temperatura cocetracó de trptoe óptmos para el crecmeto de la bactera. E la tabla se muestra el resultado de u epermeto factoral replcado, dode se clue la temperatura de cubacó, 7, grados cetígrados, la cocetracó de Trptoe.6,.8,.,..4(%epeso,lavarablerespuesta(Recuetoeselúmerodecoloasdebacterasobservadase cada cultvo(por ejemplo, u valor de 6 sgfca 6 mlloes de coloas por mlltro Cocetracó o Temp 35 o o Se ha aalzado el epermeto como u dseño de dos factores co teraccó obteédose la sguete tabla de aálss de varaza. Teedoecuetaelp-valordelateraccó,sedecdeelmarestetérmodelatabladelaaálss delavaraza.costruelauevatabladelavarazadedosfactoressteraccóedcascoel uevo modelo los efectos prcpales de TEMP CONC so sgfcatvos(utlza α =,5. Eplca a qué se debe la dfereca de los resultados obtedos.. La correlacó etre Recueto Cocetracó es gual a.495. Estma el modelo de regresó smple etre la varable respuesta Recueto la varable depedete Cocetracó. Cotrasta s este relacó leal sgfcatva etre las dos varables (utlza α =,5 te e cueta que la meda artmétca de los 3 valores de la varable respuesta es 7.33 mlloes de coloas por mlltro 3. Escrbe de maera específca, utlzado los datos del problema, el vector Y la matrz X correspodetes al modelo de regresó múltple RECUENTO =β +β TEMP +β CONC +u Eplca, justfcado la respuesta, s e este modelo co estos datos se puede dar problemas de multcolealdad.

279 Eame Fal Dseño de Epermetos Regresó 6 de julo de Cuestoes (45 mutos, 5 putos. Cuado u leguaje de alto vel es complado, el tempo de ejecucó depede del complador. U geero de software desea comparar tres compladores(a, B C, para ello ha seleccoado 5 programas mu dsttos, cada uo de los cuales ha sdo complado por los tres compladores. Los tempos de CPU resultates ha sdo: Medas A B C Medas La varabldad total es su descomposcó es 937.(Varabldad Eplcada por Complador, (Varabldad Eplcada por el Programa 93.(Varabldad o Eplcada. Idca qué complador es el más rápdo, justfcado la respuesta. Da u tervalo de cofaza(95% para la dfereca de las medas etre los dos compladores más rápdos. SOLUCIÓN: LatabladeAálssdelaVarazaes: F.V. G.L. Var.oCM CotrasteF VE(complador Sgfcatvo>F,8,α=,5 VE(programa Sgfcatvo>F 4,8,α=,5 VNE VT Este dferecassgfcatvas etre los Compladores. Para saber cuáles so los mas rápdos es ecesaro realzar los cotrastes dos a dos: { H: µ =µ j.serechazah s. j. >t 8;,5 ŝ R H : µ µ =,36, =4,98. j Todos los compladores so sgfcatvamete dsttos etre s. Los dos mas rápdos so el complador AelB El tervalo de cofaza es: µ A µ B 9,5±4,98=[4,5;4,48]couacofazadel95%.. Eumodeloderegresómúltple,eplcapasoapasocomoseobteelafórmuladelacovaraza etredosestmadores β β j para j.idcaecadapasoquéhpótessbáscadelmodeloestás utlzado. SOLUCIÓN: Ver traspareca 36 del capítulo o 3: Regresó Leal. de la coleccó de trasparecas de la asgatura. 3. Para determar el valor de u certo parámetro uclear se ha realzado 8 epermetos, el valor medodelasmeddashasdo3.567couadesvacótípcacorregdaguala.886.elvalormedo se correspode de forma aceptable co el valor esperado, pero la desvacó típca obteda se cosdera ecesva. E ua revsta cetífca los resultados que proporcoa los autores que obtuvero co epermetos so de ua meda gual a 3.44 ua desvacó típca corregda gual a.888. Aceptado ormaldad, proporcoa u tervalo de cofaza para el cocete de las dos varazas, co α =,5. Eplca, justfcado la respuesta, cómo se obtee los dos valores ecesaros de la tabla de la F.

280 Eame Fal Dseño de Epermetos Regresó 6 de julo de SOLUCIÓN: Losdatosdca: =8, =3,567,ŝ =,886 =, =3,44,ŝ =,888. ( ŝ ŝ ( σ σ Se verfca F (,( ( ŝ = F 7,9 = F a ŝ ŝ ŝ σ σ F b ŝ ŝ ( σ σ SedoF a =F 7,9;,975 F b =F 7,9;,5. ElvalorF b =F 7,9;,5 =4,seobteedrectametedelastablas ElvalorF a =F 7,9;,975 = = F 9,7;,5 4,8 =,75. Susttuedo e la epresó del tervalo:,75,888,886 σ σ 4,,888,886 = [,9 σ σ,88] cocofaza95%.

281 Eame Fal Dseño de Epermetos Regresó 6 de julo de Problema(45 mutos, 5 putos Staphlococcus Aureus (SA es ua bactera resstete a la pecla sesble úcamete a u atbótco deomado vacomca. Para determar s u pacete está fectado co dcha bactera es precso realzar u cultvo de ua muestra saguíea e el laboratoro e u gel co trptoe. El protocolo actual recomeda que el cultvo se realce a 35 grados cetígrados co ua cocetracó de trptoe del %.Slabacteraestápreseteapareceeelcultvoesfáclmetedetectableasmplevsta.Seharealzado u epermeto para establecer la temperatura cocetracó de trptoe óptmos para el crecmeto de la bactera. E la tabla se muestra el resultado de u epermeto factoral replcado, dode se clue la temperatura de cubacó, 7, grados cetígrados, la cocetracó de Trptoe.6,.8,.,..4(%epeso,lavarablerespuesta(Recuetoeselúmerodecoloasdebacterasobservadase cada cultvo(por ejemplo, u valor de 6 sgfca 6 mlloes de coloas por mlltro Cocetracó o Temp 35 o o Se ha aalzado el epermeto como u dseño de dos factores co teraccó obteédose la sguete tabla de aálss de varaza. Teedoecuetaelp-valordelateraccó,sedecdeelmarestetérmodelatabladelaaálss delavaraza.costruelauevatabladelavarazadedosfactoressteraccóedcascoel uevo modelo los efectos prcpales de TEMP CONC so sgfcatvos(utlza α =,5. Eplca a qué se debe la dfereca de los resultados obtedos. SOLUCIÓN: La ueva tabla de la varaza se obtee sumado los varabldades correspodetes alateraccóresduosdelmodelodeleucado,demaeraquelavnesusgradosdelbertad se obtee como VNE = =57436 gl = 8+5=3 Losdemástérmosdelatablaosemodfca,demaeraquelatablafales: FUENTE VARIAB GL VARIANZAS F TEMP CONC RESIDUAL SóloessgfcatvoelefectodelaCONCENTRACIÓN,puesellímteparaα=,5esF 4,3 =,8< 3,83

282 Eame Fal Dseño de Epermetos Regresó 6 de julo de La dfereca se debe a que la varaza resdual se reduce cosderablemete al aumetar los grados de lbertad de los resduos, lo que aumeta los estadístcos F dsmue los límtes de aceptacó queseobteedelastablas.. La correlacó etre Recueto Cocetracó es gual a.495. Estma el modelo de regresó smple etre la varable respuesta Recueto la varable depedete Cocetracó. Cotrasta s este relacó leal sgfcatva etre las dos varables (utlza α =,5 te e cueta que la meda artmétca de los 3 valores de la varable respuesta es 7.33 mlloes de coloas por mlltro SOLUCIÓN: TeedoecuetaquelavarabldadtotalesVT = =9533,lavarazade lavarablerespuestas seobteedelasgueteforma s = =377,6 lavarazadelregresors s =6 (,6 +6 (,8 +6 ( +6 (, +6 (,4 3 =,8 Utlzado lo ateror el coefcete de correlacó, se puede obteer el estmador de la pedete β = s s =r s 377,6 =,495 s,8 =98,65 laordeadaeelorge β =ȳ β =7,33 98,65 =8,67 La varabldad o eplcada, VNE, de regresó smple se obtee como la varaza resdual Elcotrastedelatesportato VE =, =3358 VNE = VT VE= =797 t= ŝ R =797 8 =57 β ŝ R /( s =3,4 queessgfcatvoparaα=,5,puest,5;8 =,5. 3. Escrbe de maera específca, utlzado los datos del problema, el vector Y la matrz X correspodetes al modelo de regresó múltple RECUENTO =β +β TEMP +β CONC +u Eplca, justfcado la respuesta, s e este modelo co estos datos se puede dar problemas de multcolealdad. SOLUCIÓN: Y=Xβ+U,sedocadatérmo

283 Eame Fal Dseño de Epermetos Regresó 6 de julo de = 7,6 7,6 7,8 7,8 7, 7, 7, 7, 7,4 7,4 35,6 35,6 35,8 35,8 35, 35, 35, 35, 35,4 35,4 43,6 43,6 43,8 43,8 43, 43, 43, 43, 43,4 43,4 β β β + u u u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u u u u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u u u u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 3

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287 EamedeDseñoRegresó,GITIGIQ 4deabrlde3 Cuestoes(3 mutos, 4 putos. El estudo de la observabldad de u sstema eléctrco es u paso prevo a la estmacó de su estado, resulta crucal para cualquer Cetro de Cotrol de u sstema eléctrco, co el f de garatzar la segurdad del sstema. Uos vestgadores del Laboratoro de Estadístca de la ETSII-UPM ha desarrollado u uevo método (alteratvo al que tradcoalmete se ha utlzado para estudar la observabldad. Ha realzado pruebas para determar s el uevo método es computacoalmete más rápdo que el tradcoal. Para ello ha usado u sstema eléctrco tpo, que se suele utlzar para probar este tpo de metodologías. E este sstema tpo ha aplcado ambos Métodos(Tradcoal Nuevo e stuacoes dsttas para el sstema eléctrco(deomadas Escearos, obteedo u valor para la varable depedete CPU-Tme (e segudos para cada combacó de Método Escearo. Idque qué modelo de aálss resulta adecuado para este propósto razoado la respuesta, así como laecuacódedchomodelolashpótessqueseasume. Complete la tabla ADEVA que se muestra a cotuacó e dque s este dferecas sgfcatvas etre los métodos. Este dferecas sgfcatvas etre los escearos cosderados? F.V Sum. cuadrados G.l. Var F Método 7, Escearo , Resdual Total 8,9 8 Sabedo que las medas de los CPU Tme correspodetes al uevo(n método el tradcoal(t sorespectvamete N =87,58e T =4765,5,costrualostervalosdecofazaparalameda decadamétodoedquecuáleselmejor.. U estadístco, preocupado por el dferete resultado que le da cuatro tpos de plas dferetes, decde realzar u epermeto para comparar la duracó por udad de coste(duc, meddas e mutos por dólar de esas plas. Para ello compra cuatro plas de cada tpo (de dferetes lotes, las ordea de modo aleatoro mde el tempo durate el cual sumstra correte eléctrca a u aparato. Los tpos de pla se deoma respectvametetpos,,34. A cotuacó se muestra la tabla ADEVA los resultados de las comparacoes dos a dos correspodetes a la estmacó del modelo co u factor. a Iterprete los resultados(α =,. Fgura. Tabla ADEVA

288 EamedeDseñoRegresó,GITIGIQ 4deabrlde3 Fgura. Comparacoes dos a dos balavstadelosgráfcosquesemuestraacotuacórealceladagossdelmodelo,dcado claramete s se cumple las hpótess del modelo. S se dera este últmo caso, propoga ua solucó posble para ello. Fgura 3. Dagoss del modelo.

289 EamedeDseñoRegresó,GITIGIQ 4deabrlde3 Problema (45 mutos, 6 putos U alumo de la Uversdad de Arzoa ha realzado u epermeto factoral para medr la ressteca a la traccó(ps del asfalto. Los asfaltos utlza habtualmete dos tpos de árdos: basáltcos o slíceos. E u prmer mometo ha utlzado u asfalto co árdo basáltco ha cosderado cuatro métodos de compactacó(estátco, velocdad regular, velocdad baja velocdad mu baja. Co cada uo de ellos ha repetdoelepermeto3veces.elatablasemuestralamedalavaraza(corregdaparalostres datos de cada tratameto: Compactacó Estátca V.reg V.baja V.mubaja 65,3 9, 97,3 57,3 ŝ 6,33 3, 6,33,33 Tabla : Medas varazas corregdas de los tratametos co asfalto basáltco. Cotraste s el tpo de compactacó flue sgfcatvamete e la ressteca a la traccó e dque, e caso afrmatvo, el método de compactacó que proporcoa ua maor ressteca a la traccó (α=,5.. Se ha realzado u epermeto smlar al ateror(cuatro métodos de compactacó, tres replcacoes pero utlzado asfalto slíceo. E el aálss se ha obtedo los sguetes resultados: Compactacó Estátca V.reg V.baja V.mubaja 67,7, 6,7 4,7 ŝ 8,33, 4,33 4,33 Tabla : Medas varazas de los tratametos co asfalto slíceo La tabla ADEVA para los datos correspodetes al asfalto slíceo es: Tabla 3: Aálss de la varaza co asfalto slíceo a Idque qué metodos de compactacó produce resstecas a la traccó sgfcatvamete dsttas e el asfalto slíceo. b Cotraste s las varazas epermetales de los modelos correspodetes a los asfaltos basáltcos (apartadoslíceos(apartadosoguales(α=,5. 3. Se decde combar la formacó recogda e los dos e permetos, los detallados e los apartados respectvamete. Co esta formacó cotraste s este teraccó sgfcatva etre los factores tpo de árdo compactacó, dbuje el gráfco de la teraccó e terprétela. Idque qué combacó defactoreseslamásadecuadaparacosegurlamámaresstecaalatraccó(α=,5.

290 EamedeDseñoRegresó,GITIGIQ 4deabrlde3 Cuestoes(3 mutos, 4 putos. El estudo de la observabldad de u sstema eléctrco es u paso prevo a la estmacó de su estado, resulta crucal para cualquer Cetro de Cotrol de u sstema eléctrco, co el f de garatzar la segurdad del sstema. Uos vestgadores del Laboratoro de Estadístca de la ETSII-UPM ha desarrollado u uevo método (alteratvo al que tradcoalmete se ha utlzado para estudar la observabldad. Ha realzado pruebas para determar s el uevo método es computacoalmete más rápdo que el tradcoal. Para ello ha usado u sstema eléctrco tpo, que se suele utlzar para probar este tpo de metodologías. E este sstema tpo ha aplcado ambos Métodos(Tradcoal Nuevo e stuacoes dsttas para el sstema eléctrco(deomadas Escearos, obteedo u valor para la varable depedete CPU-Tme para cada combacó de Método Escearo. Idque qué modelo de aálss resulta adecuado para este propósto razoado la respuesta, así como laecuacódedchomodelolashpótessqueseasume. Modelo e Bloques Aleatorzados: j = µ+α +β j +u j. No ha réplcas de cada "tratameto". SólosequeredetermarquéMétodoesmejor,elbloqueEscearosecluesóloporseplcaua porcó mportate de la Varabldad Total del CPU-Tme. Se asume: Normaldad, homocedastcdad e depedeca. Complete la tabla ADEVA que se muestra a cotuacó e dque s este dferecas sgfcatvas etre los métodos. Este dferecas sgfcatvas etre los escearos cosderados? F.V Sum. cuadrados G.l. Var F Método = = Escearo = Resdual 6666 (I-(J-= Total Sabedo que las medas de los CPU Tme correspodetes al uevo(n método el tradcoal(t sorespectvamete N =87,58e T =4765,5,costrualostervalosdecofazaparalameda decadamétodoedquecuáleselmejor. µ+α N N ±ŝ R t (I (J ; α 45,9,96 ; µ+α N (738,43; J µ+α N 87,58± t 99; α µ+α N 87,58± µ+α T T ±ŝ R t (I (J ; α J µ+β N (4686,;4844,9. U estadístco, preocupado por el dferete resultado que le da cuatro tpos de plas dferetes, decde realzar u epermeto para comparar la duracó por udad de coste(duc, meddas e mutos por dólar de esas plas. Para ello compra cuatro plas de cada tpo (de dferetes lotes, las ordea de modo aleatoro mde el tempo durate el cual sumstra correte eléctrca a u aparato. Los tpos de pla se deoma respectvametetpos,,34. A cotuacó se muestra la tabla ADEVA los resultados de las comparacoes dos a dos correspodetes a la estmacó del modelo co u factor. a Iterprete los resultados.(α =,.

291 EamedeDseñoRegresó,GITIGIQ 4deabrlde3 Fgura. Tabla ADEVA DelaTablaANOVAseteequehadferecassgfcatvasetrelos4tposdeplas. Fgura. Comparacoes dos a dos Co α =, este dferecas sgfcatvas etre A B, etre A C pero o este dferecas sgfcatvasetread(sílashabríapara α=,. TambéestedferecassgfcatvasetreBCBD, perooetrecd(sílashabríapara α=,. balavstadelosgráfcosquesemuestraacotuacórealceladagossdelmodelo,dcado clarametessecumplelashpótessdelmodelossecumpleoo.ssederaesteúltmocaso,propó ua solucó posble para ello.

292 EamedeDseñoRegresó,GITIGIQ 4deabrlde3 Fgura 3. Dagoss del modelo. HOMOCEDASTICIDAD: Gráfco de resduos frete a valores prevstos: o se observa forma de"trompeta", o ha heterocedastcdad. Además, e el gráfco de resduos frete a vel del factor se ha de comprobar queelcoceteetreelragodelosresduosparaelveldefactorequeésteseamámo(plastpoae estecasoelcasoequeesteseamímo(plastpodeestecasooseasuperora3(apro. NORMALIDAD: Q-Q plot, o cotraste de la Ch-cuadrado o el de Kolmogorov. Auque el tamaño de muestra o es grade e este caso podemos cosderar aceptable lo que observamos, auque para maor segurdad al respecto habría que pasar uo de los cotrastes mecoados. INDEPENDENCIA: Se ha de supoer que el epermeto se ha llevado a cabo e las codcoes de aleatorzacó adecuadas.

293 EamedeDseñoRegresó,GITIGIQ 4deabrlde3 Problema (45 mutos, 6 putos U alumo de la Uversdad de Arzoa ha realzado u epermeto factoral para medr la ressteca a la traccó(ps del asfalto. Los asfaltos utlza habtualmete dos tpos de árdos: basáltcos o slíceos. E u prmer mometo ha utlzado u asfalto co árdo basáltco ha cosderado cuatro métodos de compactacó(estátco, velocdad regular, velocdad baja velocdad mu baja. Co cada uo de ellos ha repetdoelepermeto3veces.elatablasemuestralamedalavaraza(corregdaparalostres datos de cada tratameto: Compactacó Estátca V.reg V.baja V.mubaja 65,3 9, 97,3 57,3 ŝ 6,33 3, 6,33,33 Tabla : Medas varazas corregdas de los tratametos co árdo basáltco. Cotraste s el tpo de compactacó flue sgfcatvamete e la ressteca a la traccó e dque, e caso afrmatvo, el método de compactacó que proporcoa ua maor ressteca a la traccó (α=,5.. Se ha realzado u epermeto smlar al ateror(cuatro métodos de compactacó, tres replcacoes pero utlzado asfalto slíceo. E el aálss se ha obtedo los sguetes resultados: Compactacó Estátca V.reg V.baja V.mubaja 67,7, 6,7 4,7 ŝ 8,33, 4,33 4,33 Tabla : Medas de los tratametos co asfalto slíceo La tabla ADEVA para los datos correspodetes al asfalto slíceo es: Tabla 3: Aálss de la varaza co asfalto slíceo a Idque qué metodos de compactacó produce resstecas a la traccó sgfcatvamete dsttas e el asfalto slíceo. b Cotraste s las varazas epermetales de los modelos correspodetes a los asfaltos basáltcos (apartadoslíceos(apartadosoguales(α=,5. 3. Se decde combar la formacó recogda e los dos epermetos, los detallados e los apartados respectvamete. Co esta formacó cotraste s este teraccó sgfcatva etre los factores tpo de árdo compactacó, dbuje el gráfco de la teraccó e terprétela. Idque qué combacó defactoreseslamásadecuadaparacosegurlamámaresstecaalatraccó(α=,5.

294 EamedeDseñoRegresó,GITIGIQ 4deabrlde3.- Se obtee la sguete tabla ADEVA: SOLUCIÓN PROBLEMA dode se ha calculado VE= 4 = j= S.C. G.L. Var. Cotraste VE ,89 339,5 VNE ,5 VT 9744,67 3 ( =9668,67 ŝ R = 4 ( ŝ = 4 =9,5. ComoF =339,5>F 3,8;,5 =4,7= Se rechazah = El métodode compactacófluesgfcatvamete e la ressteca la traccó. Para determar qué método proporcoa ua maor ressteca se realza los cotrastes múltples: { H :µ =µ j. H :µ µ j SerechazaH s j >t8;α/ ŝ R =,3 3,8 3 =5,78. De los cotrastes realzados se coclue que todas las dferecas so estadístcamete sgfcatvas, las medas so dsttas. Por tato la maor ressteca a la traccó se produce co velocdad.. DelatablaADEVAseobteeŝ { R =9,5co8gradosdelbertad H :µ a Se realza los cotrastes =µ j. H :µ µ j SerechazaH s j >t 8;α/ ŝ R =,3 3,8 3 =5,78. Todos los métodos de compactacó so dstrtos. b Se realza el cotraste { H :σ B =σ S H :σ. B σ S Delprmerapartado seobteelavarazaresdualdelepermetocoárdobasáltco:ŝ RB =9,5 De la tabla ADEVA del segudo apartado se obtee la varaza resdual del epermeto co árdo slíceo:ŝ RS =9,5 SH escerta 8 ŝ RB 8 ŝ RS F 8,8. Es u cotraste blateral. Como 8 ŝ RB rechazarh. 8 ŝ RS = [F 8,8;,975 ;F 8,8;,5 ] = [,;4,43] = No se puede

295 EamedeDseñoRegresó,GITIGIQ 4deabrlde3 3. Combado ambos epermetos se obtee u epermeto co dos factores e teraccó: Factor A:tpodeárdo(veles;FactorB:tpodecompactacó(4veles3replcacoes. La tabla de medas resultate es Compactacó Estátca V.reg V.baja V.mubaja Basltco 65,3 9, 97,3 57,3 87,3 Slíceo 67,7, 6,7 4,7 7,3 j 66, ,5 =78,8 ColosdatosdelatablasecalculaVE(A B= 4 = j=k= Cogradosdelbertad(I (J =3 La varaza resdual del epermeto co dos factores replcacó es: ŝ R =8 ŝ RB +8 ŝ RS 6 3 ( j j + =45. =9,5.SedolosgradosdelbertadI J (m = 4 (3 =6 El cotraste para determar la esteca de teraccó es: VE(AB/3 ŝ =4,75>F 3,6;,5 =3,4.= SerechazaH = Lateraccóessgfcatva. R Elgráfcoes Gráfco de Iteraccó Ressteca Árdo Basáltco Slíceo compactaco La maor ressteca se produce co Árdo Basáltco-Compactacó ( v. regular, que es sgfcastvamete dstta de Árdo Slíceo-Compactacó ( v. regular como se comprueba al hacer el cotraste:. BR SR >t 6;α/ ŝ R =, 3,8 3 =5,33.= 9 >5,33.

296 > mod_smple <- lm( Preco ~ RAM Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr(> t (Itercept RAM Resdual stadard error: o 4 degrees of freedom Multple R-squared:.879, Adjusted R-squared:.37 F-statstc: 5.66 o ad 4 DF, p-value:.3 > mod_multple <- lm(preco ~ RAM + DscoDuro + Patalla + Z3G Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr(> t (Itercept RAM e-5 DscoDuro e-6 Patalla Z3G e-6 - Resdual stadard error:. o degrees of freedom Multple R-squared:.964, Adjusted R-squared:.95 F-statstc: 74. o 4 ad DF, p-value: 6.986e-8 > mod_multple <- lm(preco ~ RAM + DscoDuro + Patalla + Z3G + X5 + X6 + X7 (Resto de salda de R elmada tecoadamete Resdual stadard error:. o 8 degrees of freedom Multple R-squared:.974, Adjusted R-squared:.95 F-statstc: 43.3 o 7 ad 8 DF, p-value: 9.798e-6 ( (

297 > mod_smple <- lm( Preco ~ RAM Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr(> t (Itercept RAM Resdual stadard error: o 4 degrees of freedom Multple R-squared:.879, Adjusted R-squared:.37 F-statstc: 5.66 o ad 4 DF, p-value:.3 > mod_multple <- lm(preco ~ RAM + DscoDuro + Patalla + Z3G Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr(> t (Itercept RAM e-5 DscoDuro e-6 Patalla Z3G e-6 - Resdual stadard error:. o degrees of freedom Multple R-squared:.964, Adjusted R-squared:.95 F-statstc: 74. o 4 ad DF, p-value: 6.986e-8 ( (

298 > mod_multple <- lm(preco ~ RAM + DscoDuro + Patalla + Z3G + X5 + X6 + X7 (Resto de salda de R elmada tecoadamete Resdual stadard error:. o 8 degrees of freedom Multple R-squared:.974, Adjusted R-squared:.95 F-statstc: 43.3 o 7 ad 8 DF, p-value: 9.798e-6 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

299 Segudo Eame Parcal - Dseño Regresó de mao 3 Problema (45 mutos, 6 putos E el departameto de I + D + de ua empresa se está vestgado la flueca de dos varables cuattatvas (X, X sobre la ressteca de u materal (Y. Se ha realzado 3 esaos e u laboratoro. Los resultados se resume como sgue: [ S =,8664,46,46,6 ] ; S = [3,48 9,5973] T ; ŝ R =,3 ; ŝ =,83. Estmar el modelo (e desvacoes a la meda realzar los cotrastes dvduales (ecluedo el del térmo depedete el cotraste cojuto. Iterpretar los resultados.. Co las msmas varables cuattatvas del apartado ateror, se ha añaddo 6 esaos de otros dos laboratoros (3 de cada laboratoro, de forma que resulta e total 9 datos. Se añade al modelo la varable cualtatva correspodete. Los resultados so los sguetes: ŷ =, 8 +, 49 +, 83 +, z, z 3 (X X =,34,,6,345,339,,3,,9,,6,,9,4,4,345,9,4,688,344,339,,4,344,67 ; ŝ R =, 46 ; ŝ =, 77; Iterpretar los coefcetes de regresó. Realzar los cotrastes dvduales el cotraste cojuto e terpretar los resultados, comparádolos co los del apartado. 3. Es sgfcatva la dfereca etre el promedo de la respuesta para los laboratoros 3? Nota: Utlzar α =, 5 e todos los cotrastes.

300 Segudo Eame Parcal - Dseño Regresó de mao 3 SOLUCIÓN Nota: Cada uo de los tres apartados putúa lo msmo, es decr putos sobre los 6 putos del Problema. Apartado β = S S = [,88,6597] β =, 88 = estmacó del cremeto promedo de la ressteca cuado X se cremeta e ua udad, X o varía. β =, 65 = estmacó del cremeto promedo de la ressteca cuado X se cremeta e ua udad, X o varía. Cotraste cojuto: V NE = (3,3 = 45, 3 V E = 9, 83 45, 3 = 356, F = (356, //,3 = 3, 47 > F,7 (, 95 = 3, 35 La formacó cojuta (s desagregar e la cotrbucó de cada uo proporcoada por (X, X es relevate para eplcar/predecr la ressteca Y Cotrastes dvduales: t = 3,486/(, 3, 8664/3 = 7, 3 > t 7 (, 975 =, 5 La formacó que proporcoa X adcoal a la proporcoada por X es relevate para eplcar/predecr la ressteca Y t = 9, 59/(, 3, /3 = 3,8 > t 7 (, 975 =, 5 La formacó que proporcoa X adcoal a la proporcoada por X es relevate para eplcar/predecr la ressteca Y Apartado β =, 49 = estmacó del cremeto promedo de la ressteca cuado X se cremeta e ua udad, el resto de los factores o varía. β =, 83 = estmacó del cremeto promedo de la ressteca cuado X se cremeta e ua udad, el resto de los factores o varía. α =, = estmacó de la dfereca etre la ordeada e el orge del segudo laboratoro la del prmero. α =, = estmacó de la dfereca etre la ordeada e el orge del tercer laboratoro la del prmero. Cotraste cojuto: V NE = (9 4,46 = 54, 38 V E = 89, 77 54, 38 = 989 F = (989/4/,46 = 45, F 4,85 (, 95 =, 48 Cotrastes dvduales: t =,49/(, 46, 3 = 9, 99 > t 85 (, 975 =, 99 La formacó que proporcoa X adcoal a la proporcoada por X, Z, Z 3 es relevate para eplcar/predecr la ressteca Y

301 Segudo Eame Parcal - Dseño Regresó de mao 3 t =, 83/(, 46, 9 = 38, 78 > t 85 (, 975 =, 99 La formacó que proporcoa X adcoal a la proporcoada por X, Z, Z 3 es relevate para eplcar/predecr la ressteca Y t 3 =,/(, 46, 688 = 3, 8 > t 85 (, 975 =, 99 La ordeada e el orge para el laboratoro dos es sgfcatvamete dstta de la del laboratoro uo t 4 =, /(, 46, 67 =, 58 < t 85 (, 975 =, 99 La ordeada e el orge para el laboratoro tres o es sgfcatvamete dstta de la del laboratoro uo. Comparado co los resultados del apartado uo, se observa que los coefcetes de X, X so smlares así como los valores de la varaza resdual ŝ R, lo cual dca que tato los efectos de los factores X, X sobre la respuesta Y como la varaza del error epermetal u (medda de la certdumbre de la Y dadas X, X so smlares e los tres laboratoros. Apartado 3 H : α = α 3 H : α α 3 var( α α 3 = α (, 688 +, 67, 344 α t = α 3 ŝ R,688+,67,344 = (,, /, 46, 688 +, 67, 344 =,4, 9 > t 85 (, 975 =, 99; se rechaza H ; por tato, la dfereca etre las estmacoes de las ordeadas e el orge de los laboratoros dos tres es estadístcamete sgfcatva.

302 Eame Fal - Dseño Regresó 3 de mao 3 REGRESIÓN - Cuestoes (3 mutos, 4 putos. E 98 se realzó u estudo e EEUU para determar s fumar reduce la capacdad pulmoar de los jovees. Los partcpates (654 e total fuero chcos chcas etre 9 9 años, la maoría de los cuales (589 era o fumadores. La capacdad pulmoar utlzada es el volume e ltros epulsado por u dvduo durate el prmer segudo e ua epracó forzada se deoma FVE (forced eprator volume. Se clue el modelo de regresó etre la varable FVE (e logartmos los regresores edad, estatura, seo ( mujer, hombre fuma ( No, Sí. Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr(> t (Itercept < e-6 edad e- altura < e-6 seo fuma Resdual stadard error:.455 o 649 degrees of freedom Multple R-squared:.86, Adjusted R-squared:.895 F-statstc: o 4 ad 649 DF, p-value: <.e-6 La matrz de varazas de los estmadores es la sguete [,] [,] [,3] [,4] [,5] [,] 6.8e-3.55e-4 -.7e-4.39e-4 4.e-5 [,].55e-4.e e-6 5.4e-6 -.8e-5 [3,] -.7e e-6.8e-6-4.8e-6.8e-6 [4,].39e-4 5.4e-6-4.8e-6.37e-4.e-5 [5,] 4.e-5 -.8e-5.8e-6.e e-4 Cómo flue el hábto de fumar e la capacdad pulmoar? Cómo flue la estatura? Qué tee maor capacdad pulmoar, los hombres o las mujeres? Sabedo que la estmacó de la meda es m h = T h β, calcule var( m h, a partr de este resultado, obtega u tervalo de cofaza (95 % para la capacdad pulmoar (e logartmos de ua mujer de 8 años que o fuma mde 7 cm. Se ha estmado co = observacoes la ecuacó de regresó ŷ =,45 +,4 +,98 sedo la matrz de varazas de los regresores S XX, las covarazas etre cada regresor la varable depedete S XY, la varaza de la varable depedete s Y los sguetes: ( 9,57,43 S XX =, S,43,93 XY = ( X T,39 Ỹ =, s Y =,667,5 Realza el cotraste geeral de regresó co α =,5 calcula el coefcete de determacó.

303 Eame Fal - Dseño Regresó 3 de mao 3 REGRESIÓN - Problema (45 mutos, 6 putos El eame de greso e u colego cosstó e tres pruebas: matemátcas, glés cultura geeral. Para esaar la capacdad del eame para predecr el papel de los alumos e u curso de estadístca, los datos de ua muestra de estudates fuero reudos aalzados. Se defe las varables, sedo: Y : Putuacó e el curso de estadístca X : Putuacó e la prueba de matemátcas X : Putuacó e la prueba de glés X 3 : Putuacó e la prueba de cultura geeral se obtuvero los sguetes resultados: ȳ = 75; s = ; = 4; s = 5; = 5; s = 3; 3 = 36; s 3 = 4; r, =,9; r, =,75; r,3 =,8; r, =,7; r,3 =,7; r,3 =,85;. Estme el modelo de regresó smple etre el coocmeto de estadístca el de glés. Es sgfcatvo dcho coocmeto?. Obtega el modelo de regresó etre la putacó e el curso de estadístca las demás putuacoes. Iterprete la relacó etre el coocmeto de matemátcas, glés cultura geeral el coocmeto de estadístca a partr del modelo estmado. Justfque la respuesta. Nota: utlce la matrz S =,85,536,4,536,434,99,4,99, So sgfcatvos el coocmeto de matemátcas, glés cultura geeral e el de estadístca? Eplque las smltudes o dscrepacas etre el modelo de regresó múltple (apartado el modelo de regresó smple (apartado. Nota: utlce α =,5.

304 Eame Fal - Dseño Regresó 3 de mao 3 DISEÑO DE EXPERIMENTOS - Cuestoes (3 mutos, 4 putos La Fudacó José Atoo Artgas Saz va a coceder ua beca de estudos e la Uversdad de Columba para realzar u Master. A ella opta e su fase fal alumos. Para ello se les evalúa e cco materas dferetes, por lo que la ota máma que puede obteer es de 5 putos. Para que el proceso sea lo más trasparete justo posble, dos profesores evalúa dchos eámees. A cotuacó se muestra los resultados de las correccoes de los dos profesores para cada alumo. A A A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A Medas Profesor Profesor Medas El trbual orgazador ha dspuesto de u tercer profesor para el caso e que esta dscrepacas sgfcatvas. Tee que actuar el tercer profesor? Justfque la respuesta. Para u modelo de aálss de la varaza co u factor e el que se tee dos tratametos (I =, demuestre que el cotraste de la F para la hpótess ula H : µ = µ = µ frete a la alteratva (algua es dstta, es equvalete a realzar el cotraste de la t.

305 Eame Fal - Dseño Regresó 3 de mao 3 DISEÑO DE EXPERIMENTOS - Problema (45 mutos, 6 putos E u epermeto co cobaas se ha estudado el efecto e el crecmeto de los detes de añadr u suplemeto de vtama C e la almetacó de los amales. Se emplearo dos tpos de suplemetos: Zumo de Naraja (ZN Ácdo Ascórbco (AA tres doss dferetes (.5,.. mlgrámos. A cada combacó de los dos factores se asgaro cobaas. La varable respuesta es la logtud meda de los detes de la cobaa. Los resultados del epermeto se aalzaro como u modelo de dos factores co teraccó. La tabla de aálss de la varaza es: Respose: LONG Df Sum Sq Mea Sq F value Pr(>F VITAMIN *** DOSIS <.e-6 *** VITAMIN:DOSIS * Resduals la tabla de medas.5.. OJ VC la de desvacoes típcas.5.. ZN AA El modelo de dseño de dos factores co teraccó es jk = µ + α + β j + (αβ j + u jk co u jk varables aleatoras co dstrbucó ormal de meda cero varaza σ, α mde el efecto del tpo de suplemeto, β j el efecto de la doss (αβ j la teraccó. Co la formacó dspoble estma cada uo de los parámetros del modelo. Iterpreta los resultados del aálss estadístco.. Este dferecas sgfcatvas etre las logtudes medas de los detes de las cobaas que ha sdo almetadas co u suplemeto de mg de ZN las que ha sdo almetadas co mg de AA? Justfca la respuesta utlzado u cotraste de hpótess. Repte el cotraste cotesta a las sguetes pregutas: Este dferecas sgfcatvas etre las logtudes medas de los detes de las cobaas que ha sdo almetadas co u suplemeto de mg de ZN las que ha sdo almetadas co mg de AA? Este dferecas sgfcatvas etre las logtudes medas de los detes de las cobaas que ha sdo almetadas co u suplemeto de.5 mg de ZN las que ha sdo almetadas co.5 mg de AA? Haz la represetacó gráfca que cosderes adecuada para eplcar este efecto. 3. Cotrasta s la varaza del error epermetal de los datos correspodetes a vel ZN es dstta que los AA co α =,5.

306 DISEÑO DEEXPERIMENTOS:3 demao de 3 SOLUCIÓN CUESTIONES: Cuestó : Es u modelo e bloques aleatorzados dode el factor es el profesor la varable bloque los alumos. La descomposcó de la varabldad es: VT =VE(Prof.+VE(Al.+VNE Dode: VE(Prof.= VNE= = j= = j= e j = g.l.=(i (J =9. El cotraste es: { H :α =α H :α α. ( =.45.= g.l.=i =. = j= ( j j + =,5.= SH escerta= F = VE(Prof./ =,98<F,9;,5 =5,= Nose VNE/9 rechazah = Nohadferecassgfcatvasetrelosprofesores. Cuestó : Eelcasodeufactorcodostratametossedo = =m, VE elcotrastedelafes: F = ŝ, dode R m VE= ( =m[( +( ]= = j= [ ( =m + ( sedo = +. Operado: ( + ( + ], [ ( ( ] VE=m + =

307 [ ( =m + ( ] = m (. PorloqueelcostrastedeFquedaría m F = (. ŝ = R ŝ R m Elcotrastedelates: F,m. t = ŝ R m t m Porloque(t =F Cosderadolasvarables,severfcasempreque(t g =F,g. Por lo tato ambos cotrastes so equvaletes.

308 SOLUCIÓN AL PROBLEMA. Llamado, j, j, alasmedasdeflas,columas,tratametosmedageeralseteeque µ =, α =, β j = j, ( αβ = j j + j la meda geeral es 8.8 el valor de las estmacoes de los parámetros restates se muestra la fgura sguete: Como los tres efectos so sgfcatvos ( para vel de sgfcacó.5, elefectodelsuplemetoelalogtuddelosdetes, depededeladoss. Al aumetarla doss aumetalalogtud. Adoss bajas(.5., se cosgue maorlogtudcozn.adossaltas (.lasmedasde los dos suplemetos so smlares.. Llamadoµ 3 µ 3 alosparámetrosqueosdalalogtudmedade losdetesdelacobaaalmetadacozncomglaalmetadacoaa comg,sepdehacerelcotraste H : µ 3 =µ 3 H : µ 3 µ 3 LlamadoLSD=t α/,54 ŝ R =3.5, 3 3 = <LSD o este dferecas sgfcatvas e las logtudes medas de los detes de lascobaascomgdeznlasalmetadascomgdeaa. 3

309 3, 5,, 5,, ZN AA 5,,,5 Fgure : Serepteelcotasteparalosotrosvaloresdeladoss H : µ =µ H : µ µ = >LSD sí este dferecas sgfcatvas e las logtudes medas de los detes de las cobaascomgdeznlasalmetadascomgdeaa. H : µ =µ H : µ µ = >LSD sí este dferecas sgfcatvas e las logtudes medas de los detes de las cobaasco.5mgdeznlasalmetadasco.5mgdeaa. La represetacó gráfca es el gráfco de teraccó que se ha obtedo e el apartado. 3. Llamadoŝ R,ZN ŝ R,AA alasvarazasresdualescorrespodetesalos tratametosznaa,seteeque su cocetes ŝ R,ZN = ŝ R,AA = F = =.4 4 =4.85 =.38

310 está detro de la regó de aceptacó obteda co ua F 7,7 para vel de sgfcacó.5, por lo que se acepta que las dos varazas epermetales puede ser guales. 5

311 Solucó cuestoes Todos los cotrastes dvduales resulta sgfcatvos co α =, 5. El promedo de capacdad pulmoar de los fumadores es, a gualdad del resto de los factores,,46 udades meor (porcetualmete que el de los o fumadores. S la estatura se cremeta e ua udad, el promedo de la capacdad pulmoar se cremeta (porcetualmete,4 udades. Este cremeto es el msmo para hombres, mujeres, fumadores o fumadores. El promedo de capacdad pulmoar de los hombres es, a gualdad del resto de los factores,,93 udades maor (porcetualmete que el de las mujeres. 5, 65; var( m h = T h var( β h = ŝ R ν hh T h = [ 8 7 ] Predccó putual m h = T β h = [ 8 7 ], 94, 3, 4, 9, 46 = Itervalo para ueva observacó: ŝ m h ±t 649 ŝ R + νhh = m h ±t 649 R + ŝ R ν hh = 5, 65±, 96, +, 7 = (5, 3; 6, 6 V E = βs = [, 4, 98 ] [ ], 39 = 3, 67, 5 V NE = V T V E = s V E =, 664; ŝ R = V NE/( =, 98 F = (V E//ŝ R = 8, 74 > F,7 = 3, 59; se rechaza H R = V E/V T =, 688

312 REGRESIÓN - Problema 3 de mao de 3 SOLUCIÓN (45 mutos, 6 putos. Estme el modelo de regresó smple etre el coocmeto de estadístca el de glés. Â Es sgfcatvo dcho coocmeto? El modelo que se pde es u modelo de regresó smple de la forma: ĈE = β + βi CI dode: Cov(CE, CI β I = s = r Y X s Y s X.75 CI s = 3 =.5 X β = ȳ β I = = Para coclur s el coocmeto de glés es sgfcatvo e el coocmeto de estadístca, cotrastamos las hpótess sguetes: H : β I = H : β I Así: t I = β I, ŝ R s X e dode la desvacó típca resdual para el modelo de regresó smple es descoocda, se obtee a partr de la Varabldad o eplcada como: V NE = V T V E = s β Is =.5 9 = 875 ŝ R = V NE = = 44.9; ŝ R = Por lo tato: t I = = 5.95, Se compara el valor obtedo co el valor de las tablas (t 98;α/ =.96, como 5.95>.96, se rechaza la H se coclue que el coocmeto de glés es sgfcatvo.

313 . Obtega el modelo de regresó etre la putacó e el curso de estadístca las demás putuacoes. Iterprete la relacó etre el coocmeto de matemátcas, gles cultura geeral el coocmeto de estadístca a partr del modelo estmado. Solucó El modelo que se pde es u modelo de regresó múltple de la forma: ŷ = β + β + β 3 3 β.34 b = β = S XX S XY = β 3.84 dode: Cov(, r Y X s Y s X S XY = Cov(, = r Y X s Y s X =.753 =.5. Cov(, 3 r Y X3 s Y s X Iterpretacó: β =.34, S la putuacó de matemátcas aumeta u puto, la putuacço de estadístca aumeta por térmo.34 putos mateedo el resto costate. β =, S la putuacó de glés aumeta u puto, la putuacço de estadístca o aumeta gú putopor térmo medo mateedo el resto costate. β 3 =.84, S la putuacó de cultura geeral aumeta u puto, la putuacço de estadístca aumeta por térmo.84 putos mateedo el resto costate. 3. So sgfcatvos el coocmeto de matemátcas, glés cultura geeral e el de estadístca? Eplque las smltudes o dscrepacas etre este modelo el modelo de regresó múltple. H : β = H : β sí: t = β ŝ R q, e dode q so los elemetos de la dagoal prcpal de la matrz S, ŝ R la desvacó típca resdual para el modelo de regresó múltple, que es descoocda, se obtee a partr de la Varabldad o eplcada como:

314 V NE = V T V E = s b T s XY = ( = ŝ R = V NE k = 63.5 = 3.33; ŝ 96 R = 3.65.Así: t = 7.8; t = t 3 = 6.6. Estos valores se compara (e valor absoluto co t 96,α/ =.96. Resulta sgfcatvos el coocmeto de matemátcas el coocmeto de cultura geeral 3

315 *( +

316 Df Sum Sq Mea Sq F value Pr(>F pres 4 4.8e+3 <e-6 *** temp 4 4.8e+3 <e-6 *** Resduals --- Sgf. codes: ***. **. *.5.. ( ( ( (

317 EameFal,DseñoRegresó,GITIGIQ 8dejuode3 Problema (45 mutos, 5 putos El grupo FIAT ha decddo promocoar el relazameto de uo de sus modelos de coche más emblemátcos orgazado u eveto e el que sus dos plotos del equpo Ferrar de Fórmula, Ferado Aloso Felpe Massa, va a hacer pruebas e las que el objetvo es aalzar la varable cosumo(e ltros/ km, para 3 estlos de coduccó dferetes: Suave, Normal Agresva. Cada ploto ha realzado la prueba co cadaestlodecoduccóveces,coloqueelúmerototaldedatoses.losdatosobtedossemuestra a cotuacó: Cosumo Estlo Coduccó Ploto 8.56 Agresva Aloso.75 Agresva Aloso 4.57 Agresva Massa 3.59 Agresva Massa 9.73 Normal Aloso.343 Normal Aloso Normal Massa Normal Massa Suave Aloso 8.56 Suave Aloso Suave Massa 8.4 Suave Massa Fgura :. Idca qué modelo de aálss resulta adecuado para este propósto razoado la respuesta, así como la ecuacó de dcho modelo las hpótess que se asume. Realza la tabla ADEVA etrae las coclusoes que cosderes relevates(nvel de sgfcacó:... Costrue el gráfco de teraccó (cluedo tervalos, co vel de sgfcacó:. e dca cuádo se produce el meor maor cosumo, así como s es sgfcatvamete maor o meor, respectvamete que los demás. 3. Ala vstadelos gráfco deresduosdelafgura dcasladagossdelmodeloes correcta.e caso egatvo propó posbles solucoes. Costrue además u tervalo para la varaza del error. 4. Por últmo, para promocoar las bueas característcas medoambetales del coche que relaza FIAT, se ha realzado medcoes també de las emsoes de CO. Propó u modelo de regresó que pudera teer e cueta para eplcar las emsoes de CO, tato el cosumo como la flueca delplotodesuestlodecoduccó.

318 EameFal,DseñoRegresó,GITIGIQ 8dejuode3 Resduals vs Ftted Normal Q Q Resduals Stadardzed resduals Ftted values Theoretcal Quatles Scale Locato Costat Leverage: Resduals vs Factor Levels Stadardzed resduals Stadardzed resduals Estlo : Suave Normal Agresva Ftted values Factor Level Combatos Fgura : Dagoss del modelo

319

320

321 Cuestoes (3 mutos, 4 putos. Se ha realzado u epermeto para estudar la dfcultad de dos tests de vel de glés. Dez estudates ha realzado las dos pruebas. Los resultados se preseta e la tabla adjuta. Se pde: Idcar de qué modelo se trata así como la ecuacó del msmo las hpótess que se asume. Es u modelo e bloques: Bloque: "Estudate", Factor: "TEST". La ecuacó del modelo es: j j u j, u j NIID,. Se asume las hpótess de homocedastcdad, ormaldad e depedeca. Iterpretar el resultado. Tato el factor "TEST" (que tee I veles como el bloque "Estudate" (co J veles resulta sgfcatvos (tato para vel de sgfcacó. 5 como para., pues los p-valores que se aparece e la tabla ADEVA so respectvamete , ambos meores que.5 també que.. Costrur la tabla ADEVA s sólo se hubera tedo e cueta el factor "TEST" e dca las cosecuecas que esto habría tedo. Fuete Var. Sum. sq. G.l. Var F-stat TEST.44 s TEST.44.44/ Resdual s R 73.73/ Total Al comparar.46 co la F,8; , al ser o se rechaza la hpótess ula, co lo que se obtedría (erróeamete al o corporar el bloque que o ha dferecas sgfcatvas etre los dos tests de glés. Eso es debdo a que se cremeta la resdual al haber corporado e ésta la varabldad que e realdad es debda al bloque.. Para u modelo de bloques aleatorzados co veles para el factor para el bloque se tee que: 4.55;.75; U alumo ha obtedo que.8. So váldos estos valores para ese modelo? Justfca tu respuesta. Nota: j es la observacó para factor a vel -ésmo bloque a vel j-ésmo. es el efecto prcpal asocado al factor, j el del bloque. Modelo e bloques: j j u j, u j NIID, La estmacó de los Etoces, o puede valer como se dca e el eucado, so que debería ser.8. La estmacó de los j Etoces, sí es correcto el valor del eucado.

322 Evaluacó Cotua Dseño de Epermetos Regresó 9 de mao de 4 Cuestoes (3 mutos, 4 putos. E u aálss de regresó smple utlzado el modelo = β +β +u, u N(,σ, se ha obtedo la sguete salda co R: Call: lm(formula = ~ Resduals: M Q Meda 3Q Ma Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr(> t (Itercept e-6 *** --- Sgf. codes: ***. **. *.5.. Resdual stadard error: 7. o 8 degrees of freedom Multple R-squared:.743,Adjusted R-squared:.79 F-statstc: o ad 8 DF, p-value:.969e-6 Complete los huecos de la salda de R (dode poe t value F-statstc. Obtega el tervalo de cofaza al 95% para β β. Idque s so sgfcatvos teedo e cueta los tervalos obtedos teedo e cueta la salda de R.. La le de Hooke, que gobera el comportameto elástco de u materal por debajo del límte elástco afrma que la relacó etre los esfuerzos aplcados (ϑ las deformacoes utaras (ε, es leal se puede apromar por el modelo: ϑ = Ψε +u, u N(,σ, dode Ψ, la costate de proporcoaldad, se deoma módulo de Youg (P a, es característco de cada materal. E la práctca, el módulo de Youg se determa medate u esao de traccó, sometedo al materal a dferetes deformacoes, mdedo esfuerzos ajustado ua recta por mímos cuadrados que pasa por el orge. La pedete de la recta es ua estmacó del módulo de Youg. Se ha realzado epermetos sobre ua barra de broce se ha estmado la ecuacó: ϑ = Ψε = 9,6 ε. Obtega la epresó teórca para Ψ medate el método de mímos cuadrados. Calcule u tervalo de cofaza al 99% para el módulo de Youg sabedo que la desvacó típca estmada de dcho estmador es, Pa. El valor que aparece reflejado e la lteratura para el módulo de Youg es del broce es,8 Pa, es compatble este valor co el obtedo e el epermeto?

323 Evaluacó Cotua Dseño de Epermetos Regresó 9 de mao de 4 Problema (45 mutos, 6 putos U grupo de estudates ha recogdo datos correspodetes a 6 empresas para determar s este relacó leal etre los beefcos de ua empresa ( el úmero de empleados ( de dcha empresa, ambas varables e udades codfcadas. El prmer modelo estmado ha sdo: ŷ = 4,7+3,393, co R =,.. Cotraste s el úmero de empleados tee efecto sgfcatvo e los beefcos de ua empresa (α =,.. Se estma u segudo modelo que clue adcoalmete el regresor vetas ( tee e cueta que la mtad de las empresas perteece al sector eergétco la otra mtad al sector de las telecomucacoes. Para ello se troduce ua varable cualtatva Z que toma el valor s la empresa es del sector eergétco s o lo es. El modelo estmado es: ŷ =,66+,94 +9,93 +6,833Z, co ŝ R =, VT = 733,33. Realce los cotrastes dvduales geeral de regresó sabedo que: (X T X =,335,8,8,33,8,6,5,3,8,5,69,4,33,3,4,669 Iterprete los resultados eplcado el sgfcado de cada parámetro compare co los resultados del apartado ateror. (Nota: E todos los cotrastes utlce α =,. 3. Calcule u tervalo de cofaza (95% para el valor medo de los beefcos de ua empresa del sector de las telecomucacoes co =,6 =,8 para ua empresa del sector eergétco co las msmas característcas Cuál es la dfereca etre los beefcos medos de ambas empresas? Es sgfcatva esta dfereca?..

324 Evaluacó Cotua Dseño de Epermetos Regresó 9 de mao de 4 Solucó cuestoes Cuesto t value (Itercept: t = β Ŝ(β = 39,79 48,768 =,859 t value : t = β Ŝ(β = 63,36 9,4 = 6,8767 F-statstc: F = ( R R = 8,743,743 = 47,884 β β ±t ;α/ Ŝ(β = 39,79±,9 48,768 = ( 6,6647,4,487 β β ±t ;α/ Ŝ(β = 63,36±,9 9,4 = (44,43,8,797 β o es sgfcatvo porque el tervalo de cofaza cotee al cero; segú la salda de R, p-valor =,45 > α/ o sgfcatvo. β es sgfcatvo porque el tervalo de cofaza o cotee al cero; segú la salda de R, p-valor =,97e 6 < α/ sgfcatvo. Cuesto ϑ = Ψε +u, u N(,σ Defmos Por tato M(Ψ = (ϑ Ψε = M(Ψ Ψ = (ϑ Ψε ( ε = Ψ = = ϑ ε = ε = Es mportate otar que la ecuacó ateror se puede escrbr (ϑ Ψε ( ε = û ε = = = Luego solo ha ua ecuacó que relacoa los resduos etre sí, luego ha - resduos depedetes β β ±t ;α/ Ŝ(β = 9,6 ±3,498, = (8,95,,5 Pa El valor de la lteratura está fuera del tervalo, luego o es compatble co los resultados del epermeto (co u 99% de cofaza.

325 Evaluacó Cotua Dseño de Epermetos Regresó 9 de mao de 4 Solucó problema. Modelo de regresó smple { H : β = H : β S H certa F = VE/ VNE/58 = 58R R = 6,595 < F,58;α=, = 7,8 (se ha tomado de las tablas el valor correspodete a la F,6;α=,. El úmero de empleados o tee u efecto sgfcatvo e los beefcos de ua empresa al 99%.. Modelo de regresó múltple Los cotrastes dvduales: β,66,94 9,93 6,833 ŝ β,5,335,5,6,5,69,5,669 t 6,59 5,7 7,69 5,6.. Los valores t se compara co t 56;,5 =,66 (co 6 grados de lbertad. Todos sale sgfcatvos cludo el regresor úmero de empleados que o salía e la regreso smple. El cotraste geeral de regresó: { H : β = H : alguo dstto. S H certa F = VE/3 VNE/56 = 77,73/3 ŝ = 4,75 R puesto que VE = VT VNE = 733,33 (6 3, = 77,73. F > F 3,56;, = 4,3 (se ha tomado de las tablas el valor correspodete a la F 3,6;α=,. Se rechaza H. Iterpretacó: El cotraste geeral de regresó dca que alguo de los regresores o todos so sgfcatvos. Los cotrastes dvduales dca que so todos sgfcatvos. Regresor úmero de empleados: E el modelo de regresó múltple ha saldo sgfcatvo. Al aumetar el úmero de empledados e ua udad, a gualdad de vetas sector, los beefcos medos aumeta,94 udades. Regresor vetas: Al aumetar las vetas e ua udad, a gualdad de umero de empleados sector, los beefcos medos aumeta 9,93 udades Regresor sector: A gualdad de umero de empleados de vetas, las empresas del sector eergétco e promedo tee mas beefcos (6,833 udades que las empreas del sector de las telecomucacoes. Todos los regresores e este modelo eplca el 99,4% de la varíabldad. (R =, Itervalo de cofaza/predccó T h = [,6,8 ]; ŷ h = T β h =,3838 v hh = T h (XT X h =,879 h ŷ h ±t 56;α=,5 ŝ R +v hh =,3838±, +,879 Para el sector eergétco T h = [,6,8 ]; ŷ h = T β h = 7,68 v hh = T h (XT X h =,95

326 Evaluacó Cotua Dseño de Epermetos Regresó 9 de mao de 4 h ŷ h ±t 56;α=,5 ŝ R +v hh = 7,68±, +,95 La dfereca etre los beefcos medos de ambas empresas es: 7,68,3838 = 6,833, que cocde co el parámetro de la varable cualtatva. Esta dfereca es sgfcatva, se ha vsto e el cotraste del apartado ( al 99%, se ve e este tercer apartado porque los tervalos de cofaza costrudos o se solapa.(al 95%.

327 Problema (45 mutos, 6 putos Se ha realzado u epermeto para estudar la depedeca de la ressteca de u materal respecto de la temperatura del horo (, 5 C tpo de horo (A B. Se ha tomado tres temperaturas dos horos. Para cada combacó de temperatura tpo de horo se ha tomado tres observacoes. Los datos se preseta e la tabla adjuta. Etre parétess se preseta las medas para las observacoes de cada cruce o tratameto. 5 A.6.3, (.6 (5.45 (3.4 B (6.6 (.49 (9.46. Estudar la depedeca de la ressteca respecto de eclusvamete el factor temperatura. Teer e cueta que la varablad total es Añadr al aálss el factor tpo de horo obteer el tratameto (combacó de temperatura tpo de horo que proporcoe las ressteca promedo máma míma apoádose e el gráfco de teraccó los tervalos de cofaza para las medas de los tratametos. Para los cálculos, teer e cueta que las varabldades eplcadas por el tpo de horo los resduos so Realzar el cotraste de gualdad de varazas para los dos tratametos que haa resultado del aálsss ateror. 3bs Obteer u tervalo de cofaza para la varaza del error epermetal.

328 Solucó de problema Se trata de u modelo co u factor. Para obteer la varabldad eplcada ha que calcular las medas para las tres temperaturas la meda geeral. = 3, 88;. = 3, 47; 3. =, 3;.. =, 88 V E = 3 [(3, 88, 88 + (3, 47, 88 + (, 3, 88 ] = 3, V NE = V T V E = 43, 8 La tabla ADEVA es F de var Suma de C. G. de lb. C.M- F Temperatura 3,,55,43 Resdual 43,8 5 6,9 Total 46,93 7 Como, 43 < F,5 = 3, 68, o resulta sgfcatvo el efecto del factor temperatura. Se trata ahora de u modelo co dos factores e teraccó. V E(teraccó = V T V E(T emp V E(tpodehoro V NE = 35, La tabla ADEVA es F de var Suma de C. G. de lb. C.M- F Temperatura 3,,55 67,58 Tpo de horo 66,57 66,57 558,8 Iteraccó 35, 67,59 395,9 Resdual,5,7 Total 46,93 7 Comparado los valores de los cocetes (F co los percetles F, = 3, 88, F, = 4, 74,tato los dos efectos prcpales como las teraccoes resulta sgfcatvos. Los tervalosde cofaza so j. ± t ŝ R / 3,los etremos feror superor para los ses tervalos se reseta e la tabla sguete. Tratameto Et. feror Et. superor,87,34 5,4 6,89 4,7 6,8,75, 3,4 3,87 3 8,7,9 Se observa que al o haber solapameto etre los tervalos, las codcoes de meor maor respuesta promedo se detfca claramete, respectvamete. 3 V NE/σ χ 3 (3 P [χ,.5 < V NE/σ < χ,.975] =, 95 P [4, 4 < V NE/σ < 3, 34] =, 95 El tervalo es (, 87;, 57

329 α α α α α

330 mod = aov( ~ faca * facb aova(mod var( >> aova(mod Df Sum Sq Mea Sq F value Pr(>F faca???.9????????? facb??????.56?????? faca:facb???.5????????? Resduals????????? >> var( jk = μ + α + β j + (αβ j + u jk u jk N(, σ d μ + α

331 Respose: caldad Df Sum Sq Mea Sq F value Pr(>F modo Resduals α Respose: caldad Df Sum Sq Mea Sq F value Pr(>F modo * etoro * modo:etoro * Resduals

332 Df Sum Sq Mea Sq F value Pr(>F A e-6 *** B e-7 *** A:B Resduals σ ~ N(μ + α, k μ + α μ + α ± tα,ij(k s R k

333 Eame Fal Dseño de Epermetos Modelos de Regresó 6/juo/4 Cuestoes. (3 mutos, 4 putos. E u modelo de regresó múltple el vector de resduos se obtee e = Y X β sedo Y el vector de dmesó que cotee la varable depedete, X la matrz de dmesó (k + que cotee los regresores β el vector de parámetros estmados. Demuestra, que la matrz de varazas del vector de resduos var(e es sedo V = X(X T X X T. var(e = (I V σ. Se ha estmado u modelo de regresó co dos varables depedetes 5 observacoes obteédose la sguete ecuacó: ŷ =,7 +,5 log +,59 log, ŝ R =,48 La matrz de varazas estmada de b = [ β, β ] T es ( (,53, XT X ŝ R =,,88 Realza los cotrastes dvduales de los dos regresores. Cuato vale la correlacó etre β β?. Cuato vale la correlacó etre log log? S elmamos el regresor, afectará el resultado al valor de β? Cómo? Te e cueta que la matrz de varaza teórca de los estmadores b = [ β, β ] T es σ s ( r r σ s s ( r r σ s s ( r σ s ( r dode es el úmero de observacoes, r el coefcete de correlacó etre los regresores, s s las varazas muestrales de los regresores σ la varaza del modelo de regresó..,

334 Eame Fal Dseño de Epermetos Modelos de Regresó 6/juo/4 Problema (45 mutos, 6 putos Se ha ajustado u modelo de regresó múltple del cosumo daro de eergía eléctrca de u pas e fucó de la temperatura. Además se ha tedo e cueta s el día es laborable, sábado o domgo. Llamado Z L la varable que toma valor s el día es laborable cero e otro caso, Z S la varable que toma valor s el día es sábado cero e otro caso falmete Z D la varable que toma valor s el día es domgo cero e otro caso, el modelo resultate es: log( = 3,6,74T +,579T,36Z S,436Z D +e, ŝ R =,73, R =,6568 la matrz ( X T X es 3 6,595 5,7689,94,37,9636 5,7689,5987,878,4,7484,94,878,8577,589,779,37,4,589 3,977,343,9636,7484,779,343 3,977 La varable es el úmero de GWh cosumdos e el día. (Nota: log es logartmo eperao.. El modelo se ha estmado co 6 días, obté la descomposcó de la varabldad del modelo (o aálss de la varaza, e dca los grados de lbertad de cada térmo. Realza el cotraste geeral de regresó.. Respode co el cotrate que cosderes oportuo a las sguetes pregutas: a Este dfereca sgfcatva etre el cosumo de u día laborable u sábado? b Este dfereca sgfcatva etre el cosumo de u día laborable u domgo? c Este dfereca sgfcatva etre el cosumo de u sábado u domgo? 3. El cosumo de u lues laborable cocreto fue 37.5 GWh la temperatura meda del día gual a 7.4 o C. Obté el resduo correspodete eplca s el valor 37.5 GWh es u dato coherete co las hpótess del modelo. Da u tervalo de cofaza para el cosumo medo prevsto para u lues co temperatura gual a 7.4 o C.

335 Eame Fal Etraordaro Dseño de Epermetos Regresó 4/julo/4 Cuestoes (3 mutos, 4 putos Cuestó : Jesús López es u veterao geero que se dedca profesoalmete a la calbracó de motores désel para ua multacoal automovlístca. Actualmete está aalzado el redmeto del ovedoso prototpo Calohuesa-TDI-8cc, sometédolo a dversas codcoes eteras, varado la temperatura de operacó el carburate empleado. El redmeto de estos motores se mde medate u aparato deomado baco de rodllos. E la tabla sguete se muestra las dversas pruebas realzadas: Temperatura Temperatura Temperatura Temperatura 3 Carburate 9.5, , , 95. (93.67 Carburate Carburate 9.5, , , 9. (9.33 (9. (95. (93. (93. Observacó: para facltar los cálculos, e egrta se dca la meda de cada fla, columa meda global. També se sabe que ss = 4.5. Escrbr el modelo empleado, dcado las hpótess asumdas. Calcular la tabla ADEVA, e dcar qué efecto(s flue( sgfcatvamete e el redmeto (αα =.5. Qué combacó (o combacoes de factor (o factores so las que proporcoa el mejor redmeto? (αα =.5 Justfcar la respuesta co el gráfco correspodete, dcado el valor de la cota superor e feror de los tervalos de cofaza. Cuestó : Los deomados software OCR (Optmal Character Recogto se emplea para la dgtalzacó de tetos a partr de u archvo de mage de etrada. U estudate de la ETSII pretede estudar el tempo de procesameto que requere u determado software OCR (meddo e mlsegudos, e fucó del tamaño de la mage empleada (meddo e Mb. Para ello, procesa medate el programa dversas mágees, mdedo el tempo de procesameto para cada ua de ellas. El tamaño (e Mb de las mágees procesadas so los sguetes: Tras ajustar el modelo de regresó leal smple, obtee los sguetes resultados: tttttttttttt =. +.5 ttttttttñoo ; VVVV = 35 El fabrcate os dca que, al cremetar e Mb la mage, se cremetará el tempo de procesameto e udades. Sospechamos que el cremeto real es maor que el valor que os dca el fabrcate. E base al epermeto realzado, podemos afrmar que la afrmacó del fabrcate es falsa? (αα =.5 Calcular u tervalo para el tempo medo que se tarda e procesar mágees de Mb, cosderado αα =.5.

336 Eame Fal Etraordaro Dseño de Epermetos Regresó 4/julo/4 Solucó Cuestó : Apartado El modelo empleado es el sguete: = αα + ββ jj + (αααα + uu Dode se asume las sguetes tres hpótess: - Los errores del modelo (uu sgue ua dstrbucó ormal. - Los errores del modelo (uu so depedetes etre sí. - La varaza de los errores del modelo (uu es costate (homocedastcdad. Apartado La tabla ADEVA es la sguete: Aalss of Varace Table Respose: red Df Sum Sq Mea Sq F value Pr(>F temp *** carb ** temp:carb ** Resduals Sgf. codes: ***. **. *.5.. De la ateror tabla ADEVA se observa que, co u vel de cofaza del 95%, afecta el factor Temperatura, el factor Carburate, la teraccó Temperatura*Carburate. Apartado 3 Para determar cuál es la mejor combacó de temperatura carburate, realzamos el gráfco de teraccó (Verde: carburate. Rojo: carburate. Del gráfco ateror se deduce que las combacoes que proporcoa u maor redmeto so: Temperatura, co cualquer carburate. Temperatura 3, co el carburate.

337 Eame Fal Etraordaro Dseño de Epermetos Regresó 4/julo/4 Solucó Cuestó : Calculamos ss =.96, ss = 3. Cotraste: HH : ββ = HH : ββ > Como.94 >.85, rechazamos H ββ ββ ~tt ss RR/ SS VVVV = ββ ss = (.5 (.96 = 7 VVVVVV = VVVV VVVV = tt = ss RR = = 9.86 ββ ββ.5 = ss RR/ SS 9.86/.96 =.94 PP(tt 8 <.85 =.95 Solucó Cuestó : h =.5 νν hh = + ( h (.4 = + SS.96 =. mm h h ± ttαα,8 ss RR νν hh mm h.5 ± mm h [ ]

338 Eame Etraordaro Dseño de Epermetos Regresó 4/julo/4 Problema. (45 mutos, 6 putos E el proceso de recclaje de resduos metálcos es ecesaro aplcar u campo magétco que permta realzar la separacó selectva co garatías. Para dseñar adecuadamete u proceso de separacó se ha aalzado ses factores que puede flur e el campo magétco requerdo se ha tomado 9 meddas. Se ha estmado u modelo de regresó múltple, obteédose: ŷ =, 6 +, 7, 5, 8 3 +, , 5 5, 7 6, co V T =,3 ŝ R =,4, sedo la matrz: 38 55, 8 X T X = 38, 65 6, 89., 6 9, 5. Realce los cotrastes dvduales e dque cuál (o cuales de los ses regresores tee( u efecto sgfcatvo sobre el campo requerdo. Realce el cotaste geeral de regresó calcule R R. (Utlzar α =,5. Los epertos dca que covee clur e el modelo de regresó ua varable cualtatva que cotemple la heterogeedad de los resduos metálcos, que puede tomar tres valores: baja, meda alta. Esta característca se puede corporar e el modelo a través de las varables fctcas z (que toma el valor s la heterogeedad es baja, e otro caso, z (que toma el valor s la heterogeedad es meda, e otro caso z 3 (que toma el valor s la heterogeedad es alta, e otro caso. El modelo estmado tras la corporacó de esta característca ha sdo: ŷ =, 48+, 8z +, 57z +, 7, 5, 8 3 +, , 5 5, 7 6 co ŝ R =, 3, sedo la matrz de varazas covarazas de los estmadores de los parámetros,555,78,78,,6 =, M β,.,36,77,4 Realce los cotrastes dvduales el cotraste geeral de regresó para el uevo modelo. Iterprete los resultados. (α =,5 Los resduos metálcos co heterogedad baja meda, requere u campo magétco dstto? Justfíquelo realzado el cotraste oportuo. 3. Se ha realzado u tercer modelo que clue la heterogeedad de los resduos metálcos alguos regresores, resultado: ŷ =, 55 +, 8z +, 57z +, 7 +, 46 4 co ŝ R =, 3, R = 69, % R = 6, 4 %. Razoe qué modelo de los tres propuestos es el más adecuado.

339 Eame Etraordaro Dseño de Epermetos Regresó 4/julo/4 Solucó del Problema. (45 mutos, 6 putos Modelo de regresó múltple { H : β = H : β ŝ R =,4 =,635 Los valores q so los térmos de la dagoal de la matrz Q = ( X T X. Como e el eucado da X T X, es ecesaro calcular la versa, que -por tratarse de ua matrz dagoal- es la matrz co los térmos de la dagoal vertdos. q = /38; q = /55,8; q 33 = /38,65; q 44 = /6,89; q 55 = /,6; q 66 = /9,5. Los cotrastes dvduales so: β,7,5,8,46,5,7 ŝ β ŝ R q ŝ R q ŝ R q 33 ŝ R q 44 ŝ R q 55 ŝ R q 66 t,66,93,6,99,85,6. Los valores t se compara co t ;,5 =, 79. El úco regresor sgfcatvo es 4. Todos sale sgfcatvos cludo el regresor úmero de empleados que o salía e la regreso smple. El cotraste geeral de regresó: { H : β = H : alguo dstto S H certa F = V E/6 ŝ R = 5,5/6,4 =,3 puesto que: V E = V T V NE =,3 (9 6,4 = 5,5. F < F 6,;,5 = 3,. Por tato, o se rechaza H. El coefcete de determacó: R = V E V T = 5,5,3 =,5349; R = ŝ R ŝ ŝ = V T =,3 =, =,4,5733 =,33 Modelo de regresó múltple co varables cualtatvas E el eucado se proporcoa la matrz de varazas covarazas de los regresores. Los cotrastes dvduales so: β,8,57,7,5,8,46,5,7 ŝ β,555,,6,,,36,77,4 t 3,48(,63,8,6,8 3,95(,,864 Los valores t se compara co t ;,5 =, 8. Los regresores sgfcatvos so los marcados co (* El cotraste geeral de regresó:

340 Eame Etraordaro Dseño de Epermetos Regresó 4/julo/4 { H : β = H : alguo dstto S H certa F = V E/8 ŝ = 8,/8 R,3 = 4,36 puesto que V E = V T V NE =,3 (9 8,3 = 8, F > F 8,;,5 = 3,7 Se rechaza H. Iterpretacó: El cotraste geeral de regresó dca que alguo de los regresores o todos so sgfcatvos. Los cotrastes dvduales dca que el varable correspodete a la heterogedad de los resduos metalcos baja el regresor 4 so sgfcatvos. Regresor Heterogeedad de resduos metálcos baja: A gualdad del resto de regresores, este dfereca sgfcatva e el campo magétco requerdo por los resduos metálcos de hetogeedad baja heteogeedad alta (que es la refereca. E promedo, los resduos metalcos de heterogeedad baja requere u campo magetco superor (.8 udades. Regresor 4 : Al aumetar e ua udad, mateedo el resto costate, el campo magetco requerdo e promedo aumeta e.46 udades. Todos los regresores e este modelo eplca el 77, 7 % de la varíabldad. (R =, 777. Comparacó { resduos de heterogeedad baja-meda: H : α B = α M. H : α B α M α B α M S H es certa, ŝ ( α B α M t ŝ ( α B α M = ŝ ( α B + ŝ ( α M cov( α B, α M =,555 +,,78 =, α B α M,8,57 = =,958 < t ;,5 =,8 ŝ ( α B α M, Por tato, o se rechaza H. No este dfereca sgfcatva. Tercer modelo. Comparacó de modelos Modelo: ŝ R R R N o regresores,4,5349,33 6,3, 777, ,3,69,64 4 A la vsta de los resultados, el tercer modelo es el mejor segudo mu de cerca por el modelo. La ŝ R es, juto co la del modelo, la mas pequeña, auque la R es maor la del modelo, es lógco porque tee mas regresores, muchos de ellos o sgfcatvos, pero la R del modelo 3 es la maor, cotee u meor úmero de regresores. E el prmer modelo ha dscrepacas etre el cotaste geeral de regreso (o se rechaza H los cotrastes dvduales (regresor 4 es sgfcatvo.

341 EXÁMENES Curso 4/5

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343 Evaluacó Cotua Dseño de Epermetos Regresó 9 de marzo de 5 Cuestoes (3 mutos, 4 putos. E u laboratoro dspoe de tres meddores de ph co los que se ha tomado dferetes meddas del ph de u líqudo, resultado los valores que se dca e la tabla sguete Meddor Meddor Meddor ȳ ŝ.3.8. a Cotrastar s este dferecas sgfcatvas etre los tres meddores. b Calcular u tervalo de cofaza para el ph del líqudo.. El úmero de maletas etravadas por las compañías A B e tres rutas dferetes (R, R R3 se muestra e la tabla sguete (se dspoe de tres datos dferetes por cada ruta compañía R R R3 A 9, 4, 9, 4, 5 7, 9, 9 B 9, 6, 7,, 8 4, 6, La tabla de aálss de la varaza geerada co el programa R a partr de estos datos es la sguete: Aalss of Varace Table Respose: Df Sum Sq Mea Sq F value Pr(>F ruta compaña ruta:compaña *** Resduals Sgf. codes: ***. **. *.5.. a Escrbr la ecuacó del modelo que se ha utlzado eplcar qué represeta cada térmo de la ecuacó. Idcar qué factores so sgfcatvos por qué. b Dbujar el dagrama de teraccó eplcar cómo se terpreta e este dagrama las coclusoes obtedas e la tabla de aálss de la varaza. NOTA: Para las dos cuestoes α =,5

344 Evaluacó Cotua Dseño de Epermetos Regresó 9 de marzo de 5 Problema (45 mutos, 6 putos Ua cadea de restaurates de comda rápda desea elegr etre 3 uevos meús (A,B,C. Elge al azar 6 restaurates de la cadea para partcpar e el estudo. De acuerdo co el dseño de bloques al azar, cada restaurate hace la prueba de los 3 uevos meús. Cada semaa cada restaurate probará uo de los meús, de maera que el tempo ecesaro para realzar el estudo es de tres semaas. El orde e el que cada restaurate prueba los meus es elegdo al azar. E la tabla se proporcoa el volume de vetas para cada semaa. A B C R R R R R R La varabldad eplcada por los tres tratametos es 539, la eplcada por los bloques 56 la resdual Obté la tabla de aálss de la varaza del epermeto teedo e cueta el factor (meú el bloque (restaurate, realzado los cotrastes correspodetes. Completa el aálss realzado las comparacoes dos a dos que cosderes pertete (α =,5.. E el modelo de bloques aleatorzados j = µ+α +β j +u j, u j N(,σ co =,,...,I (veles del factor j =,,...,J (bloques calcular la esperaza (meda varaza de = J j= j J I = j = j I e fucó de los parámetros del modelo µ,α,β j σ. 3. Los restaurates, 3 5 so especales. Llamado µ j = E[ j ] a la meda de las vetas del restaurate j, cotrastar co α =,5 que H : µ +µ 3 +µ 5 = µ +µ 4 +µ 6 H : µ +µ 3 +µ 5 < µ +µ 4 +µ 6

345 Evaluacó Cotua Dseño de Epermetos Regresó 9 de marzo de 5 Cuesto Solucó de las Cuestoes Apartado (a Se utlza el sguete modelo para los datos j = µ +u j, u j N(,σ, =,,K, j =,, Plateamos el sguete cotraste H : µ = µ = µ 3 H : Alg µ dstto Para resolverlo utlzamos aálss de la varaza VNE = K ( j ȳ = = j= K ( ŝ = 7,3 +9,8 +7, = 74,87 = VE = a que K (ȳ ȳ = 8 (5,7 5,8 + (6,6 5,8 +8 (5, 5,8 =,58 = Tabla aova K ȳ = ȳ = = K = 8 5,7+ 6,6+8 5, 8++8 FV SC GL VAR F Factor Resduos Total = 5,83 Como F,3;,5 = 3,4, se acepta la hpótess ula, luego o ha dferecas etre las medas de los meddores. Apartado (b Segú el apartado ateror µ = µ = µ 3 = µ. Por tato el tervalo de cofaza lo calculamos a partr de la meda de todos los datos ȳ = K ȳ ȳ N(µ,σ / =

346 Evaluacó Cotua Dseño de Epermetos Regresó 9 de marzo de 5 dode = K. Efectvamete, como N(µ,σ / = E(ȳ = K E(ȳ = = K µ = µ = Falmete Var(ȳ = K Var(ȳ = = K = σ = σ µ ȳ ±t ( k;α/ ŝ R = 5,8±,69 3,6 6 = 5,8±,73 = (5,7,6,53 Cuesto Modelo jk = µ+α +β j +αβ j +u jk, u jk N(,σ I α =, = J β j =, j= I αβ j =, = J αβ j =, El factor compañía o es sgfcatvo a que p-valor=.655 >α (F α =,93 < F,;,5 = 4,747. El factor ruta o es sgfcatvo a que p-valor=.65 >α (F β =,988 < F,;,5 = 3,885. La teraccó etre compañía ruta es sgfcatva a que p-valor=. <α (F αβ =,5 > F,;,5 = 3,885. Dagrama teraccó j= medas 5 5 Factor: compaña Nvel: A Nvel: B Nvel: R Nvel: R Nvel: R3 Factor: ruta

347 Evaluacó Cotua Dseño de Epermetos Regresó 9 de marzo de 5 Los tervalos de cofaza del gráfco se calcula medate la epresó ȳ j ±t IJ(m ;α/ ŝ R m Las medas ȳ j so: Por otro lado R R R3 A B ŝ t R 9,556 IJ(m ;α/ m =,79 = 3,889 3 Susttuedo se obtee los tervalos de cofaza R R R3 A (3.445,. (-., (4.445,. B (., (8.445, 6. (., 7.889

348 Evaluacó Cotua Dseño de Epermetos Regresó 9 de marzo de 5 Solucó del Problema. Fuetes Varabldades GL Varazas F Meús * Restaurates Resduos Total 64 7 Como F,5;, = 4,3 este dferecas sgfcatvas etre los tres meús. Como F,5;5, = 3,33 o este dferecas sgfcatvas etre los ses restaurates. Hacemos las comparacoes dos a dos de los tres meús:. LSD = t,5, ŝ R J =,3 7,4 6 = 9,5 ȳ ȳ = 7,9 < LSD ȳ ȳ 3 = 5,5 < LSD ȳ ȳ 3 = 3,4 > LSD Sólo este dferecas sgfcatvas etre B C. Teedo e cuetas las tres medas 33.7 (A, 5.8 (B 39. (C, el meú C tee más vetas que el B. No este dferecas sgfcatvas e las otras comparacoes.. E[ȳ ] = E[ J ] J = (µ+α +β +(µ+α +β + +(µ+α +β J J = µ+α pues β +β + +β J = var[ȳ ] = var[ J ] J = σ +σ +...+σ J = σ J Co el msmo razoameto E[ȳ j ] = µ+β j var[ȳ j ] = σ I. 3. w = (ȳ +ȳ 3 +ȳ 5 (ȳ +ȳ 4 +ȳ 6

349 Evaluacó Cotua Dseño de Epermetos Regresó 9 de marzo de 5 es fácl ver que el cotraste que pde es Como E[w] = (µ +µ 3 +µ 5 (µ +µ 4 +µ 6 var(w = 6 σ 3 = σ w N(µ w,σ t = w µ w t ŝr H : µ w = H : µ w < t = (ȳ +ȳ 3 +ȳ 5 (ȳ +ȳ 4 +ȳ 6 ŝr = 9,9 7,4 =,9 El cotraste es ulateral, la regó de rechazo es t < t,5; =,8 claramete.9 o está e la regó de rechazo. Aceptamos H.

350 > mod = lm(vetas ~ TV + web > summar(mod Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr(> t (Itercept TV web Resdual stadard error: 77.9 o 7 degrees of freedom Multple R-squared:.3679, Adjusted R-squared:.935 F-statstc: o ad 7 DF, p-value: (X T X = ( α =.5 α =.5 = β + β + u e e e

351 Segudo Eame Parcal - Dseño Regresó de mao de 5 Problema (45 mutos, 6 putos Se ha realzado u epermeto para eplcar predecr ua varable físca Y e fucó de ua sere de factores. El úmero de datos es 6. E prmer lugar se aalza la depedeca de Y respecto de la temperatura. Los resultados de la estmacó so los sguetes: co R =,769 ŝ R =,864 ŷ =,8 +,8T. Cotrastar que la pedete del modelo β es ula calcular u tervalo de cofaza para β. Iterpretar el resultado. (α =,5. El epermeto se realzó co tres catalzadores A, B C co dsttos valores de la presó P. Se ha estmado u uevo modelo añadedo las varables eplcatvas P la varable cualtatva catalzador. Los resultados de la ueva estmacó so: co R =,936; ŝ R =,5 (X X = ŷ =,4,T + 5,7P +,96Z B +,38Z C,53,93,37,5,5,93,85,8,37,8,9,5,,5,5,5, Realzar los cotrastes dvduales el cotraste cojuto de regresó, terpretado los resultados. Este dferecas sgfcatvas etre los efectos de los catalzadores B C? (α =,5 3. Estudar el sesgo que troduce e la estmacó del efecto de la temparatura el utlzar el modelo del apartado cuado el modelo verdadero es el del apartado.. E qué codcoes es ulo el sesgo?

352 F = ~F,7 H : β = β = ; H : algua β j α β β β h = [ 3 ] T h = β T h = [ ] [ 3 ] T = 44.7 IC(m h = h ± t α 7, s R + ν hh = h ± t α 7, s R + ht (X T X h = 44.7 ± = (95., 64. R = VE VT = VNE VT = (e ( = (e (e + (e +

353 Segudo Eame Parcal - Dseño Regresó de mao de 5 Solucó del problema. t = β /ŝ R /s β = r S S ; S = ( 6 (58ŝ R /( r = 4, 53 S = rs / β =, 9 t = β /ŝ R /s = 3, 9 > t,975 co 58 grados de lbertad =, Itervalo β ± t 58 ŝ R /s (, 4 3, El cotraste dca que se rechaza la hpótess ula de que la temperatura o flue sobre la varablerespuesta, lo cual cocuerda co que el tervalo de cofaza para la pedete o cotega al cero. Cotrastes dvduales t = β /ŝ R q =,/(,5,85 = 3, 93; maor e módulo que t,975 co 55 grados de lbertad =, 5 t = β /ŝ R q = 5,7/(,5,9 = 9, 33 >, 5 t 3 = β 3 /ŝ R q =,96/(,5, = 3, >, 5 t 4 = β 4 /ŝ R q =,38/(,5, = 7, 48 >, 5 Cotraste cojuto: F = (V E/4/ŝ R V E = V T R =, 936 = 86, 5 F =, > F,95 co 4 55 grados de lbertad =, 54 Tato los cotrastes dvduales como el cojuto resulta sgfcatvos. Los resultados del tercer cuarto cotraste dvdual dca que ha dferecas sgfcatvas etre las ordeadas e el orge de A-B, A-C, respectvamete. Para B frete a C t = (,38,96/((,5 (, +,,5 = 4, 47 >, 5 De este últmo cotraste se deduce que so sgfcatvamete dsttas las ordeada e el orge para B C. 3. S las regresoes smples etre T las demás varables so P = β + β T + u Z = β + β T + u Z 3 = β 3 + β 3 T + u 3 e troducmos estas epresoes e la regresó múltple etre Y T, P, Z, Z 3

354 Segudo Eame Parcal - Dseño Regresó de mao de 5 Y = β + β T + β P + α Z + α 3 Z 3 + u, obteemos Y = β + β T + β (β + β T + u + α (β + β T + u + α 3 (β 3 + β 3 T + u 3 + u, el coefcete de T e la regresó smple que resulta es β + β β + α β + α 3 β 3, el sesgo sería β β + α β + α 3 β 3 que sólo sería ulo e geeral cuado β = β = β 3 =, es decr cuado las correlacóes etre T cada ua de las demás varables eplcatvas sea todas ulas.

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357 medas A B C D CESPED

358 Eame Fal Ordaro Dseño de Epermetos 9 de mao de 5 Problema(45 mutos, 6 putos Seestáestudadoladureza(kgfuerzadeuasprobetasdeacero.Sepesaqueladurezadepededel método demedcóempleado(m, M, M3delcotedoecarbóactvo (%,%delaprobeta. Para ello se ha realzado el epermeto(replcado dos veces que se preseta e la sguete tabla: M Método M M3 Cotedo e carbó actvo % % Idque el tpo de epermeto que se ha realzado formule el modelo matemátco correspodete. Obtega la tabla de Áálss de la Varaza del epermeto, realce los cotrastes correspodetes (α =,5 sabedo que la Varabldad Total de los datos es 5583,7 la estmacó de alguas teraccoeses( αβ M,% =4,8;( αβ M,% =,58( αβ M3,% = 35,66.. Complete el aálss realzado los cotrastes los gráfcos que cosdere coveetes para terpretar los resultados. Idque los tratametos(codcoes epermetales e los que se ha obtedo durezas medasdsttas(α=,5. 3. E el forme fal del epermeto se ha escrto ua sere de afrmacoes; dque s so verdaderas o falsas justfcado la respuesta a la vsta de los resultados aterores o realzado uevos cálculos o gráfcos s los cosdera ecesaros. a Los tres métodos de medcó so equvaletes s se cosdera u vel de sgfcacó de,5. b Lasprobetascoel%decarbóactvopresetaportérmomedomaordurezaquelasque teeu%decarbóactvo. c Al hacer la dagoss se cumple la hpótess de homocedastcdad. d LavarazadelMétodo3 demedcóeseldoblequelacorrespodetealmétodo (α=,5.

359 Eame Fal Ordaro Dseño de Epermetos 9 de mao de 5 Solucó Problema. Esudseñofactoralcodosfactoresreplcadoveces.Ufactoreselmétododemedcó(3veles elotrofactoreselcotedoecarbóactvo(veles.laecuacódelmodeloes jk =µ+α +β j +(αβ j +u jk =,,3; j=,; k=, cumplelashpótess u jk N(,σ edepedetes. Se verfca també las ecuacoes de restrccó: 3 3 α =; β j =; (αβ j = j (αβ j =. = j= = j= Latabladeaálssdelavarazaes: Fuete de varabldad Suma de cuadrados Grados de lbertad Cuadrados medos Cotraste VE(Método 56, 58,,36 VE(%Carbó actvo 8,3 8, VE(Iteraccó 794, 397, 5.54 VNE 43, 6 76,83 VT 5583,7 Paraα=,5,elvalordelastablases F,6;α=,5 =5,4 F,6;α=,5 =5,99 Por lo tato úcamete resulta estadístcamete sgfcatva la teraccó. Los resultados del epermeto se debe terpretar a partr del gráfco de la teraccó. medas Factor: CAR Nvel: %Nvel: % Nvel: I Nvel: II Nvel: III Factor: MET Laepresóparalostervalosdecofazaquesehacludoeelgráfcodelateraccóes: µ+α +β j +(αβ j j ±t α/ ŝr co( α%decofaza. E partcular: TratametoI:M3-%seríaµ+α +β j +(αβ j [,68;3,3]co95%decofaza. TratametoII:M3-%seríaµ+α +β j +(αβ j [,68;35,33]co95%decofaza. Ambos tervalos o se solapa, podemos decr que su dfereca es estadístcamete sgfcatva. El cotraste: { H :µ TI =µ TII H :µ TI µ TII S H es certa, rechazah. TI TII ŝ R + TI TII t 6 = t = ,83 + = 3,8 > t 6;,5 =,45 = Se

360 Eame Fal Ordaro Dseño de Epermetos 9 de mao de 5 LostratametosI(Método3-%II(Método3-%sodsttoscomosepuedeaprecareelgráfco, vedo que los tervalos de cofaza o se solapa. Etre el resto de los tratametos o este dferecas estadístcamete sgfcatvas. 3. afalsa:alhaberteraccó,lafluecadelmétododepededel%decarbo.ecocretoelm3 proporcoamedcoesdsttasdepededodeslasprobetasteeel%oel%decarbó.es decrelm3escapazdedferecasetre%%losotrosmétodoso. b Falsa: Por térmo meda ambas probetas preseta la msma dureza, sólo co el Método 3 se coclue que las probretas co el % de carbó tee maor dureza por térmo medo que las probetascoel%. c Verdadera: Se calcula los resduos, al hacer los gráfcos de la dagoss se observa que o cumple la hpótess de homocedastcdad. Los resduos so: M Método M M3 Cotedo e carbó actvo % % 6,5 7 6, ,5 9 4,5 4 4 Resduals vs Ftted Normal Q Q Resduals Stadardzed resduals Ftted values Theoretcal Quatles Stadardzed resduals Scale Locato Stadardzed resduals CAR : Costat Leverage: Resduals vs Factor Levels % % 7 Ftted values Factor Level Combatos

361 Eame Fal Ordaro Dseño de Epermetos 9 de mao de 5 d Verdadera: H :σ Sserealzaelcotraste{ M3 =σ M H :σ M3 σ M Se verfca ( M3 ŝ M3 ( M3 σ M3 ( M ŝ F (M3 ;( M =F 3,3 M ( M σ M SH certa= σ M3 =σ M = ŝ M3 Se calcula ŝ M F (M3 ;( M. ŝ M = (e M,jk j=k= M =6,83; ŝ M3 = (e M3,jk j=k= M3 =78,7 F = ŝ M3 ŝ M =9,69 [F 3,3;,975 ;F 3,3;,5 ]=[,65;5,44]= NosepuederechazarH. Otambesepuederealzarelcotraste:{ H :σ M3 σ M H :σ M3 <σ M E este caso F = ŝ M3 puederechazarh. ŝ M =9,69,se rechazará H cuado F <F 3,3;,95 =/9,8=,= No se

362 7 de juo de 5 Cuestoes (3 mutos, 4 putos. La empresa EMUS, S.L. está estudado el redmeto de u proceso químco, para ello realza 3 epermetos estuda la relacó leal etre la Temperatura (T la Presó(P sobre el redmeto : Se deoma X a la matrz de regresores (X = [ X X ]; sedo: 3 3 5; ; ;5 ;6 (X T X = 4 ; 3;8 ;8 5 ; X T Y = 4 ;5 5 ^s R = ;3: ;5 ;8 ; 9;45 Se pde: a Estmar el modelo de regresó multple realzar los cotrastes dvduales ( = ;5 ( puto b Se va a tomar ueva observacó co 89 o C bar; obtega u tervalo de predccó para la ueva observacó.( = ;5 ( puto Solucó: a. El modelo estmado es: 3 ^ ^ = ^ + ^ T + ^ P; dode ^ = 4^ 5 = (X T X X T Y = 4 ^ así, el modelo estmado es: ^ = ;6 + ;79T ;P: 3 ;65 ;794 5 ; ;45 3 Para realzar los cotrastes dvduales se cotrasta H = = vs H 6=, dode la ^s R q, sedo q los elemetos dagoales de la matrz (X T X : t = ^ ^s R p q = t = ^ ^s R p q = ;79 ;3 p 3;8 = 4;75; ; ;3 p ; = ;58: d V AR(^ = Comparamos los valores de la t co t k = t 7;;5 = ;5: Por lo que la P T ue sg catvamete e el : b. El tervalo solctado es para ua ueva observacó o utlzada e la estmacó del modelo. El tervalo es: p ^ h t k ^s R + vhh sedo ^ h el valor prevsto para 89 o C bar (; ; ;45 = 7;57 v hh = T h (XT X h = ; ; ;5 ; 3;8 ; = 43957; 56: ;5 ;8 ; 7;57 ;5 ;3 p ; 56 = 7; 57 3;4! (4; 6;

363 7 de juo de 5. Se realza los tres modelos de regresó smple etre la varable Y, costes de produccó de la prmera edcó de u best-seller, las varables eplcatvas X, tta; X, coste del papel X3, coste de las tapas, obteedo para los cotrastes dvduales los sguetes p valores : ; ; ; ; 4 respectvamete. A cotuacó se estma el modelo de regresó múltple co las tres varables eplcatvas mecoadas aterormete ^Y = ^ + ^ X + ^ X + ^ 3 X 3 sedo los p-valores de los tres cotrastes dvduales ; ; ; ; 35 el cotraste cojuto de regresó múltple H : = = 3 = vs H : algú 6= co p valor = ;. Iterprete los resultados presetados aterormete, utlce = ;5. ( puto Posterormete se realza la dagoss del modelo. El grá co de los resduos frete a los valores observados Y muestra relacó etre ellos. Just que este comportameto. ( puto. Solucó: Todos los cotrastes dvduales de los modelos de regresó smple los cotrastes dvduales del modelo de regresó múltple so sg catvos, a que los p valores < = ;5:El cotraste geeral de regresó també es sg catvo p valor < = ;5:Por lo que o se detecta gua cohereca. El modelo de regresó múltple es correcto a falta de la dagoss. No teemos formacó para estudar la homocedastcdad la ormaldad de los resduos. Nos dce e el eucado que el grá co de los resduos frete a los valores observados Y muestra relacó etre ellos, los resduos el vector ^Y so ortogoales, esa es la razó de que el grá co que usamos para la dagoss sea e vs ^Y (valores prevstos, o e vs Y (valores observados. Por lo que coclumos que es lógco que aparezca relacó etre ellos, como puede observarse a cotuacó: e = Y ^Y = Y X ^ = Y X(X T X X T Y = (I V Y

364 Eame Fal Ordaro Modelos de Regresó 9 de mao de 5 Problema (45 mutos, 6 putos Se ha realzado u epermeto e ua fábrca de papel co el objetvo de eplcar la varable CALIDAD del msmo (Y e fucó de tres varables cuattatvas X ; X X 3 ua cualtatva, Z: MEJORA, que toma el valor s o se aplca certas téccas de mejora e el proceso productvo s se aplca. Resulta ecesaro (para que la dagoss sea correcta trabajar co todas las varables cuattatvas: Y; X ; X X 3 e logartmos e todo mometo. El úmero total de datos de los que se dspoe es = 53:. E prmer lugar se realza las tres regresoes smples: de log( frete a log( ; de log( frete a log( de log( frete a log( 3 : E la tabla se proporcoa la meda la varaza de todas las varables cuattatvas trasformadas, además cov(log(; log( = ;639; cov(log(; log( = ;38; cov(log(; log( 3 = ;55: Varable log ( log ( log ( log ( 3 Meda Varaza Se pde calcular para los tres modelos de regresó smple mecoados los estmadores de los coe cetes de los modelos de regresó smple así como el coe cete de determacó para cada uo de ellos (R ; R R 3 : log ( = + log ( + u ; log ( = + log ( + u ; log ( = log ( 3 + u 3 : Qué modelo elegría basádose e el porcetaje de varabldad eplcada por el modelo cosderado que la dagoss de los 3 modelos es correcta? b = cov(log(;log( var(log( = ;639 ;696 = ;98 b = log( b log( = 3;8 ;983; = ;3436 b = cov(log(;log( var(log( = ;38 ;464 = ;833 b = log( b log( = 3;8 ;833;95 = ;6776 b 3 = cov(log(;log( 3 var(log( 3 = ;55 ;59 = ;9546 b 3 = log( 3 b log( 3 = 3;8 ;95463;33 = ;77 R = (corr(log(; log( = cov(log(;log( std(log( std(log( = p ;639 p ;696 ;634 = ;953 R = (corr(log(; log( = cov(log(;log( std(log( std(log( = p ;38 p ;464 ;634 = ;496 R3 = (corr(log(; log( 3 = = p ;55 p ;59 ;634 = ;764 cov(log(;log(3 std(log( 3 std(log(. A cotuacó se costrue u modelo de regresó múltple para eplcar el log( a través de log( ; log( log( 3, medate u modelo de regresó múltple, obteédose los resultados que se muestra a cotuacó: Se pde terpretar los resultados de los cotrastes dvduales, así como del cotraste geeral de regresó, a la vsta de lo ateror propoer s dcho modelo puede ser

365 Eame Fal Ordaro Modelos de Regresó 9 de mao de 5 smpl cado, dcado cómo. (Tomar = ;5. Dscutr las dferecas co los resultados del apartado cometar a qué puede deberse. S el modelo es: log( = + log( + log( + 3 log( 3 + u; co u! N(; : Co esta otacó: b = ;486 b = ;6984 b = ;4973 b 3 = ;77 CONTRASTES INDIVIDUALES: Co los p-valores de la gura (salda de R se tee que o resulta estadístcamete sg- catvos (p-valores guales a.53.6, respectvamete. Auque el segudo de ellos está cerca de serlo para u vel de sg cacó que fuera = ;. El valor de los estmadores de ; 3 ; es decr, b = ;6984, b = ;4973 b 3 = ;77 se ha mod cado bastate respecto a los b, b b 3. Esto podría ser debdo a u problema de multcolealdad, para corroborarlo se debería dspoer de la matrz de correlacoes de los regresores (log(, log( log( 3. CONTRASTE GENERAL DE REGRESIÓN: H : = = 3 = H : Algua dstta de cero Como el p-valor del cotraste geeral de regresó es ; 6 se rechaza la hpótess ula e favor de la alteratva. 3. Se troduce la varable z : MEJORA (cualtatva e el modelo óptmo obtedo del apartado ateror se tee que el estmador del coe cete de regresó b MEJORA = ;3555 el valor de su error estádar de estmacó vale ;3758: Idcar just - cadamete s dcha varable cualtatva resulta sg catva así como la terpretacó de dcho coe cete de regresó. El estadístco t para el correspodete cotraste dvdual se calcula así: t stat = ;3555 ;3758 = ;4 b MEJORA error estadar estmaco (b MEJORA

366 Eame Fal Ordaro Modelos de Regresó 9 de mao de 5 Y como j ;4j >> t k t 53 4 ; ;5 rechaza la H : MEJORA = : ' resulta estadístcamete sg catva pues se Ordeada e el orge co MEJORA= vale b co MEJORA= sería: b + b MEJORA = b ;3555: Al pasar de MEJORA= a MEJORA=, el log(caldad dsmue ;3555:

367 Eame Etraordaro - Dseño Regresó 6 de juo de 5 Cuestoes (3 mutos, 4 putos. Uos estudates de Bología está aalzado la reduccó de ua ezma e u reaccó químca, para ello trabaja co tres reaccoes dferetes cco mezclas. Reaccó 3 Medas , , , , , 3 Medas 98, 8, 4 79, 6 ȳ.. = 33, 3 Obtega la tabla ADEVA coclua qué varables so sgfcatvas. Justfque escrba el modelo correcto para el epermeto realzado. Se estuda la produccó de u fármaco, para ello se utlza dos compoetes que se deoma Compoete Compoete, cada compoete tee dos veles, cada tratameto tee dos réplcas. Los p-valores del efecto prcpal del Compoete (A, del efecto prcpal de la Compoete (B la teraccó de segudo orde AB so respectvamete p-valor=, 999, p-valor=, 378 p-valor=,. A cotuacó se preseta la tabla co las medas de los cuatro tratametos el gráfco de la teraccó AB. C C C 35 C 34 Tabla de medas de los tratametos Se pde: a Qué codcoes epermetales so las más favorables para obteer la máma produccó? La varaza resdual del modelo de dos factores es ŝ R =, 4. Utlce α =, 5. b Estme la V E(A:Compoete la V E(B:Compoete cosderado úcamete los datos del gráfco.

368 s = ; s = 6.5 ; cov(, = s = 4.96 = 86.3 ; = 6.5 β α =.5 s R = 6.76 {z alta, z meda, z baja } beefcos = β + β vstas + α baja z baja + α alta z alta + u (X T X = X T Y = [ ] T s R = 6.8 α =.5 Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr(> t (Itercept vstas Zbaja Zalta os Resdual stadard error: 7 o 3 degrees of freedom Multple R-squared:.5633, Adjusted R-squared:.55 F-statstc: o 4 ad 3 DF, p-value: 3.784e-5 α =.5

369 EXÁMENES Curso 5/6

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371 Eame de Dseño Regresó, GITI 4 de marzo de 6 Cuestoes (3 mutos, 4 putos. Los propetaros de u hotel rural quere reducr el gasto e lavadería a que se ha dado cueta que co el detergete que utlza e la actualdad tee que devolver la ropa "supuestamete lmpa. a la lavadería e demasadas ocasoes. Ha realzado u epermeto para comparar cuatro detergetes de dsttas marcas e tres tpos de machas dsttas ha meddo la "blacura"de la ropa después del lavado. Se pde platear el modelo más adecuado, dcar su ombre just car la respuesta de la eleccó. Idcar el detergete que obtee mejores resultados, así como el peor. NOTA: La obtecó de u valor maor sg ca maor blacura. Utlzar = ;5: El modelo adecuado es u modelo e bloques aleatorzados: se quere detectar cuál es el detergete más e caz, pero el tpo de macha puede ur e la "blacura"que se obtee. j = + + j + u j ; co u j N(; ; dode es la meda global, j los efectos prcpañes asocados al "factor detergete "bloque machaespectvamete. u j es el térmo de error. Cada j es la blacura obteda co detergete -ésmo para la macha j-ésma. A la vsta de la tabla de medas, el mejor detergete e meda es el Detergete 3, el peor el Detergete 4. Ahora vamos a ver s este dfereca estadístcamete sg catva co los demás detergetes. Fgura : Tabla de medas. Cuestó. Los resduos se calcula: e j = j : :j + :: quedaría: V NE = I P = j= JP e j, dode I = 4 J = 3 e este caso. Y bs R = Para el cálculo de los tervalos utlzamos la epresó: + : t (4 (3 ; bs R p J ; co lo que quedaría que: V NE (I (J = IP JP e j = j= (4 (3 = 8;833 6 = 3;38:

372 Eame de Dseño Regresó, GITI 4 de marzo de 6 Fgura : Resduos del modelo e bloques + : t 6; p 3;38 p 3! + 46;333 ;447;774 p 3, etoces + 46;333 ;56, etoces + [43;834; 48;8356]: + : t 6; p 3; : t 6; p 3; : t 6; p 3;38 p 3! + 48;333 ;56, etoces + [45;834; 5;8356]: p 3! ;56, etoces + 3 [48;4974; 53;56]: p 3! + 4 4;667 ;56, etoces + 4 [4;644; 45;696]:. U grupo de profesores de Prmara sospecha que sus alumos aprede de maera más efectva co músca clásca de fodo a u volume costate moderado, meos efectva e sleco o co músca cuo volume tpología sea varable. Por ello elge 4 alumos al azar los dvde de maera aleatora e tres grupos de ocho alumos. Todos ellos estuda e las codcoes descrtas u teto durate 3 mutos: Sodo Costate de fodo, músca clásca a volume costate (SC, Sodo que varía peródcamete (SV, S sodo músca de fodo (SS. Después se les hace a los alumos u test sobre el teto co pregutas, se recoge sus putuacoes.

373 Eame de Dseño Regresó, GITI 4 de marzo de 6 a Idcar de qué modelo se trata platear la ecuacó del msmo de edo qué es cada térmo subídce, así como las hpótess que se asume. Modelo de aálss de la varaza co u factor. j = + u j co u j N(; : Llamaremos a vel del factor SC:, SV:, SS: 3. El factor "sodo de fodo"tee K = 3 veles. = ; ; 3. j so las putuacoes del alumo j-ésmo que ha estudado el teto e la codcó (segú la de có ateror. parte predecble, eplcada por el modelo. u j térmo de error. Se asume las hpótess de homocedastcdad, ormaldad e depedeca. b Idcar el úmero de parámetros a estmar. Se estma,, 3, que es la varaza del error. Por tato, se estma 4 parámetros. c Respecto a la dagoss del modelo se proporcoa los dos grá cos sguetes se realza u cotraste de bodad de ajuste obteédose u p-valor de.64. Se pde dcar s co toda esta formacó las hpótess dcadas e a puede comprobarse s se cumple. NOTAS: Tomar = ;5. E el cotraste de bodad de ajuste la H es que los resduos so ormales, la H que o lo so. Para comprobar homocedastcdad se utlza el grá co proporcoado e el eucado: resduos frete a valores prevstos, al o observarse que la dspersó crezca al hacerlo los valores prevstos, o decrezca co ellos (resduos e forma de "trompeta" esto os permte dar por válda la hpótess de homocedastcdad. E cuato a la hpótess de ormaldad, a la vsta del Q-Q plot (putos bastate aleados al represetar percetles de los valores muestrales frete a los teórcos (dstrbucó ormal correspodete sobre todo dado que el p-valor proporcoado para el cotraste de bodad de ajuste es.64, que es maor que cualquera de los veles de sg cacó habtuales (.,.5. o se rechaza la hpótess de ormaldad. Idepedeca: Es la hpótess fudametal co dfereca la más mportate de las tres, además es la más dfícl de comprobar. Nguo de los grá cos mostrados permte comprobar esta hpótess. Pero e este setdo la clave está e la aleatorzacó. d Idcar s se ecesta algú grá co o comprobacó adcoal. E caso a rmatvo dcar cuáles. Como se dcaba e c Respecto a la hpótess de depedeca: Nguo de los grá cos mostrados permte comprobar esta hpótess. Pero e este setdo la clave está e la aleatorzacó. La aleatorzacó evta que se produzca errores que sstemátcamete aumete o dsmua u cojuto de meddas por causas o recoocbles: al aleatorzar se reparte estos errores por gual etre los dferetes tratametos se coverte e errores aleatoros, prevstos e el modelo.

374 Prueba de Evaluacó Cotua- Dseño de Epermetos 4 de marzo de 6 Problema (45 mutos, 6 putos Se estuda la varable aleatora, ressteca a la compresó (ps e probetas de hormgó asfáltco e fucó del "método de compresó"(estátco, Regular, Bajo Mu Bajo el "tpo de sustaca agregada"(basalto Slco. Se ha epermetado e las ocho posbles combacoes (ocho tratametos de ambos factores replcado cada epermeto tres veces. A cotuacó se muestra los resultados del epermeto (Tabla la tabla ADEVA (Tabla para el dseño epermetal: Método de compresó Tpo Sustaca 68,63,65 6,8,33 93,,98 56,59,57 7,66,66 7,,6 63,6,59 4,4,44 : Resultados del epermeto : Tabla ADEVA. Formule el modelo matemátco que se ha utlzado. Razoe qué efectos so sgfcatvos. Iterprete los resultados obtedos, realce los gráfcos que eceste para decdr qué tratametos so dsttos. Este u tratameto co maor ressteca a la compresó, u tratameto co meor ressteca a la compresó?. Cuáles por qué? (3.5 putos. Obtega u tervalo de cofaza para la varaza del error epermetal del dseño epermetal. (.5 putos 3. Idque qué dstrbucó sgue estme por máma verosmltud los parámetros del modelo propuesto e el prmer apartado. ( puto Nota: Utlce para todos los apartados =5

375 Prueba de Evaluacó Cotua- Dseño de Epermetos 4 de marzo de 6 Solucó:. Formule el modelo matemátco que se ha utlzado. Razoe qué efectos so sgfcatvos. Iterprete los resultados obtedos, realce los gráfcos que eceste para decdr qué tratametos so dsttos. Este u tratameto co maor ressteca a la compresó, u tratameto co meor ressteca a la compresó?. Cuáles por qué? (3.5 putos Se platea um modelo co dos factores e teraccó. La varable respuesta es la ressteca a la compresó (ps, los dos factores so: Factor -Tpo de Sustaca Factor -Método de compresó. El modelo matemátco es: = ( ( X = = X = = X = = X =; co = =4 =3(úmero de réplcas = Observado la tabla ADEVA coclumos que el efecto prcpal "Tpo de Sustaca", el efecto prcpal "Método de compresó la teraccó etre "Tpo-Método"so sgfcatvas, a que los p-valores so 5 Como la teraccó es sgfcatva, el efecto del prmer factor depede del vel al que esté el segudo factor ( vceversa. Para poder saber que tratameto es el que tee maor ressteca, meor ressteca cúales so dsttos calclamos el gráfco de la teraccó cluedo los tervalos de cofaza para las medas de los ocho tratametos. A cotuacó se preseta ua tabla co las medas de cada tratameto. Método de compresó Tpo Sustaca 65, ,33 57,33 67,66 6,66 4,66 Medas de los tratametos Calculamos el tervalo de cofaza para las medas de cada tratameto, como se descrbe a cotuacó: r ± ( ; sedo ( ; = 6;5 =; = r r r 95 = 3 Por lo tato, ( ; =37 A cotuacó se preseta el gráfco de la teraccó co las medas de cada uo de los ocho tratametos los respectvos tervalos de cofaza.

376 Prueba de Evaluacó Cotua- Dseño de Epermetos 4 de marzo de 6 Iteractos ad 95. Percet LSD Itervals Ressteca Metodo Tpo El tratameto co maor ressteca a la compresó es Método regular Tpo B, el tratameto co meor ressteca a la compresó es Método mu bajo Tpo S. Ya que correspode al más alto más bajo respectvamete sus tervalos o se solapa co los tervalos de los demás tratametos. Los ucos tratametos que o se puede cosderar dsttos so:m-tb co ME-TS, M3-TS co M-TB, M3-TS co MMB-TB.. Obtega u tervalo de cofaza para la varaza del error epermetal del dseño epermetal. (.5 putos Nos pde u tervalo de cofaza para así: ( ; PPP = (( ( ; ( ( = ; (( Yeltervalopara es: (( sedo ( = 6 =95 =69 (( =885. Porlotatoeltervalopeddoes: (53;

377 Prueba de Evaluacó Cotua- Dseño de Epermetos 4 de marzo de 6 3. Idque qué dstrbucó sgue estme por máma verosmltud los parámetros del modelo propuesto e el prmer apartado. ( puto La dstrbucó de sgue ua dstrbucó ormal, a que es ua combacó de varables ormales, co esperaza varaza las sguetes: [ ]=[ ]= = Por lo tato la dstrbucó de es: [ ]=[ ]=+ = ( ; Estmacó mámo verosml de los parámetros del modelo. Fucó de verosmltud: ( = (( Fucó soporte: ( 43 ; 4 = ( [( ] ( 4 = log X X X [ ] = XXX PPP ( c = = = = ; = X X ( c = = X X ( c = P P = = = =34 XXX P P ( c = = =

378 Evaluacó Cotua Dseño de Epermetos Regresó 3 de mao de 6. Dado el sguete modelo de regresó: Cuestoes (3 mutos, 4 putos ŷ = 9,6 +,59 + 3,7, =, R =,96, Además se tee la sguete formacó sobre los datos aalzados: ȳ = 4,5,ŝ = 44,7, = 5,75,ŝ = 3,84, =,8,ŝ = 68,63. Se pde: a Realzar el cotraste geeral de regresó. b Aalzar s ha multcolealdad.. Se desea comparar dos tratametos para reducr el vel de colesterol e la sagre. Se seleccoa dvduos se asga al azar a dos tpos de deta, A B. La tabla muestra la reduccó coseguda después de dos meses: Reducco vel colesterol Deta 5.3 A 39.4 A 6.3 A 39. A 48. A 34. A 69.8 A 3.3 A 45. A 46.4 A 9.6 B 47. B 5.9 B 3. B 33. B. B 34. B 9.5 B 43.8 B 4.9 B a Propoer u modelo de regresó que permta aalzar s ha dferecas etre las detas estmar los parámetros de dcho modelo. b Cotrastar s ha dferecas e la reduccó de vel colesterol segú la deta seguda. Nota.- Utlzar α=,5

379 Evaluacó Cotua Dseño de Epermetos Regresó 3 de mao de 6 Problema (45 mutos, 6 putos E ua zoa del mar Medterráeo se ha tomado meddas de las cocetracoes de metales pesados e el sedmeto (g/g. Los metales meddos ha sdo Cd, Pb, Cr, As Hg. Para aalzar s la cocetracó de Pb está relacoada co las cocetracoes del resto de metales pesados, se ha ajustado dferetes modelos de regresó. Se preseta los resultados de 4 de ellos, así como las medas la matrz de varazas de las varables. Modelo : lm(formula = Pb ~ Cd Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr(> t (Itercept Cd e-7 *** --- Sgf. codes: ***. **. *.5.. Resdual stadard error: 7.8 o degrees of freedom Multple R-squared:.9346,Adjusted R-squared:.98 F-statstc: 43 o ad DF, p-value: 3.e-7 Modelo : lm(formula = Pb ~ Cr Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr(> t (Itercept * Cr e-7 *** --- Sgf. codes: ***. **. *.5.. Resdual stadard error: 7.75 o degrees of freedom Multple R-squared:.93,Adjusted R-squared:.93 F-statstc: 33. o ad DF, p-value: 4.8e-7 Modelo 3: lm(formula = Pb ~ Cd + Cr Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr(> t (Itercept Cd * Cr * --- Sgf. codes: ***. **. *.5.. Resdual stadard error: 3.43 o 9 degrees of freedom Multple R-squared:.964,Adjusted R-squared:.956 F-statstc:.7 o ad 9 DF, p-value: 3.67e-7

380 Evaluacó Cotua Dseño de Epermetos Regresó 3 de mao de 6 Modelo 4: lm(formula = Pb ~ Cd + Cr + As + Hg Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr(> t (Itercept Cd * Cr As Hg Sgf. codes: ***. **. *.5.. Resdual stadard error: 3.8 o 7 degrees of freedom Multple R-squared:.975,Adjusted R-squared:.9536 F-statstc: o 4 ad 7 DF, p-value:.94e-5 Tabla de medas: Pb Cd Cr As Hg Matrz de varazas: Pb Cd Cr As Hg Pb Cd Cr As Hg A partr de la formacó presetada e los Modelos, coteste a las sguetes pregutas: a Ha evdeca de relacó etre las cocetracoes de Pb Cd? Proporcoe el p-valor del cotraste calcule el tervalo de cofaza para el parámetro de la pedete. b Cotraste s ha evdeca estadístca para asegurar que la pedete del modelo de regresó, que relacoa el Pb co el Cr, es maor que 6.. Se ha estmado u modelo de regresó multple que clue los regresores Cd Cr (Modelo 3. a Iterprete los resultados del Modelo 3 eplcado el sgfcado de cada parámetro. Compare el Modelo 3 co los Modelos eplque las dferecas. b Calcule la matrz de varazas de los estmadores β β. Compruebe que r β β = r. 3. Proporcoe los tervalos de predccó obtedos co los cuatro modelos para la cocetracó de Pb de ua ueva prospeccó de sedmeto, cuado las cocetracoes de Cd, Cr, As Hg cocde co la meda. Justfque qué modelo elegría de los cuatro presetados s se quere obteer la mejor predccó de la cocetracó de Pb. Nota.- Utlce α=,5

381 Evaluacó Cotua Dseño de Epermetos Regresó 3 de mao de 6 Solucó de las Cuestoes. Cuestó a El cotraste que ha que resolver es: H : β = β = H : Algú β Lo resolvemos medate aálss de la varaza: VT = ( ŝ = 4546,97 R = ŝ R ŝ ŝ R = ( R ŝ = 64,7 VNE = ( K ŝ R = 477,54 VE = VT VNE = 43669,43 Por tato VE/K F = VNE/( K = VE Kŝ R Como F,9;,5 =4.6, se rechaza la hpótess ula. F = 33 b Ha multcolealdad cuado los regresores está mu correlacoados: [ ] [ ][ ] VE = b T s S b = s β β β s s = ( β β s + β s + β β s Despejado s = VE β s β s β β s = 43669,43,59 ( 3,84 3,7 ( 68,63 4,59 3,7 Y el coefcete de correlacó = 397,95. Cuestó Por tato, s ha multcolealdad. a El modelo es ρ = s s s =,93 = β +β z D +u, u N(,σ dode z D = s el dvduo sgue la deta A, z D = s el dvduo sgue la deta B. De los datos se tee que: ȳ = 36, ŝ = 74,8

382 Evaluacó Cotua Dseño de Epermetos Regresó 3 de mao de 6 z D =,5 ŝ z D =,63 s z D =,5 ŝ,zd = 3,63 Por tato β = ŝ,z D ŝ z D = 3,8 β = ȳ β z D = 9,3 b El cotraste que ha que resolver es: VT = ( ŝ = 339,4 VE = β s z D = 95, VNE = VT VE = 357, σ = ŝ R = VNE = 3,96 Para resolver el cotraste: H : β = H : β t = β ŝ R /szd =,696 Como t 8;,5 =., se rechaza la hpótess ula: ha dferecas e la reduccó del vel de colesterol segú la deta seguda.

383 Evaluacó Cotua Dseño de Epermetos Regresó 3 de mao de 6 Solucó del problema. a Co el modelo : S ha evdeca de relacó. Del cotraste dvdual: p-valor del cotrate=3, 7 <<< α =,5. El tervalo: β β ±t α ŝ ( β co cofaza α. ; De la salda del program R se obtee: β =,9455;ŝ ( β =,954. De las tablas: t ;,5 =,8. El tervalo es β,9455±,8,954 = β [,89;,9] co cofaza 95 %. b Co el modelo : El cotraste es: { H : β 6 H : β > 6 = S H certa= β 6 t ŝ ( β Es u cotraste ulateral por la derecha. Co lo datos de la salda de R se obtee: t = 7,46 6,646 =,568 > t ;,5 =,85 = Se rechaza H, ha evdeca estadístca para asegurar que la pedete del modelo es maor que 6.. a Los resultados del modelo 3 dca los sguete: - El cotraste geeral es sgfcatva, alguo o todso los regresores so sgfcatvos (α =,5 - Los cotrastes dvduales so sgfcatvos. Ambos regresores tee u efecto postvo sobre la cocetracó de Pb. E cocreto, al aumetar la cocetracó de Cd e ua udad, mateedo la de Cr costate la cocetracó de Pb aumeta por térmo medo e.585 udades. Al aumetar la cocetracó de Cr e ua udad, mateedo la de Cd costate, la cocetracó de Pb aumeta por térmo medo e udades. - Es u bue modelo, el coefcete de determacó corregdo es R =,956 la desvacó típca resdual ŝ R = 3,43. Las dferecas de los resultados del modelo 3 respecto a los de los modelos se puede resumr como sgue: - Ha dsmudo el p-valor de los cotrastes dvduales, auque los regresores sgue sedo sgfcatvos. (α =,5 - Ha cambado el valor de los estmadores de los coefcetes de los regresores. E ambos casos ha dsmudo. - Ha aumetado la varaza de los estmadores de los coefcetes de los regresores. Estas tres dferecas puede dcar la esteca de multcolealdad. Adcoalmete se observa que R =,956 es superor al correspodete a los modelos, la ŝ R = 3,43, es feror. Esto dca que la capacdad predctva de este modelo es superor a la de los modelos.

384 Evaluacó Cotua Dseño de Epermetos Regresó 3 de mao de 6 b. La matrz de varazas es: M β = ŝ R S = 3,43 [ ] 3,84 438, = [ ] 438, 68,63,37,36,36,73 El coefcete de correlacó etre los resgresores es: 438, r = =,93. 3,84 68,63 El coefcete de correlacó etre los estmadores de los parámetros es:,36 =,93.,37,73 r β β = Se comprueba etoces que r β β = r. (Nota.- se podía haber hecho teórcamete. 3. El tervalo de predccó para ua ueva observacó tato para los modelos de regresó smple (modelos como los modelos de regresó múltple se puede escrbr: h ỹ h ±t α ŝ R +ν hh. k ; Como se pde hacer la predccó cuado las cocetracoes de los regresores cocde co la meda= Para todos los modelos: ỹ h = ŷ h = h = 4,5. Y además ν hh = = h =. Lo úco que varía e los tervalos de predccó de u modelo a otro so los grados de lbertad de la dstrbucó t, el valor de la ŝ R. Modelo : h 4,5±,3 7,8 Modelo : h 4,5±,3 7,75 Modelo 3: h 4,5±,6 3,43 Modelo 4: h 4,5±,36 3, S se quere cosegur la mejor predccó, el modelo elegdo debe teer maor R, meor ŝ R meor tervalo de predccó. Co los datos del problema, el modelo elegdo para cumplr co el objetvo es el modelo 3.

385 α α

386 ( B C (μ B μ C s R + ~ t 8,α/ B C IC(μ B μ C = ( B C ± s R t 8,.5 B + C IC(μ B μ C = ( ±..86 = ( 3.,.58 5 e j = j μ α β j = j j +

387

388 s R = 75.5 = IC( σ = (.8.6 IC(σ = ( IJ(m s R χ, α/ IJ(m s R = ( χ α/ H : σ C = σ C3 ; H : σ C σ C3.86 F F =,53 3,39 = ~ F 5,5 F = s C3 s C ~ F C3, C F a =.35 F b =

389 Tpo de Temperatura ºC Materal -ºC ºC 5ºC Tpo de Materal 3 Temperatura ºC -ºC ºC 5ºC Medas Medas α Fuete Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medo Razó-F temp 398,7 9559,4 8,97 mate 683,7 534,86 7,9 temp * mate 963, ,44 3,56 RESIDUOS 83, ,3 TOTAL 77647, 35

390 α α

391

392

393 Y = Xβ + U, β Y = Zβ + U β β β = A β.

394

395

396 Dseño de Epermetos Modelos de Regresó. Eame Etraordaro 6 de julo de 6 Cuestoes (3 mutos, 4 putos. E ua regresó múltple co varable depedete Y ha dos varables cuattatvas X X ua varable cualtatva Z co 3 veles A, B C (se de e e relacó co ésta 3 varables baras Z ; Z Z 3, dode Z toma el valor cuado Z es gual a A e el resto de casos, Z toma el valor cuado Z es gual a B e el resto de casos Z 3 toma el valor cuado Z es gual a C e el resto de casos. Los resultados de la estmacó del modelo Y = + X + X + Z + 3 Z 3 + U para = 6 datos, dode U es el térmo de error se preseta e la tabla adjuta. Se proporcoa també la matr (X X : Se pde: a Calcular u tervalo de co aza para : b Realza el cotraste: H : = 3 ; H : 6= 3 : a Sabemos que b bs R = p q! t k E este caso b = 4;3478; bs R = ;967; = 6; k = 4 q = ; (el elemeto que ocupa la poscó (3,3 de la matrz Q = (X X.

397 Dseño de Epermetos Modelos de Regresó. Eame Etraordaro 6 de julo de 6 b t 6 4 ; bs R p q, que queda: 4;3478 ;967 p ; , a que de tablas la t 6 4 ; =;5 4;3478 ;393 (3;8955; 4;74. Queremos cotrastar: es apromadamete. equvalete a cotrastar: H : = 3 ; H : 6= 3 ; H : 3 = ; H : 3 6= : Sabemos que b! N( ; p q b 3! N( 3 ; p q 3 : var(b b 3 = var(b + var(b 3 cov(b ; b 3 = = q + q 3 q ; 3 = = ;967 (;6 + ;93 ;4966 = = ;967 ;69 = ;879: S H certa etoces p;879 b b 3 t 6 4 como p;879 b b 3 = absoluto es claramete maor que, el valor apromado de la t 6 4 ; : 4;6366 ;579 p ;879 = 7;55, que e valor

398 Dseño de Epermetos Modelos de Regresó. Eame Etraordaro 6 de julo de 6 3. Ua cadea de restaurates de comda talaa ha detectado que las ubcacoes e las que ha tedo más éto so aquéllas cercaas a sttutos colegos de eseñaza secudara. Se cree que las vetas trmestrales (represetadas por Y e esos restaurates, se relacoa e forma crecete co la poblacó estudatl e mles de estudates (represetada por X. Es decr, que los restaurates cercaos a cetros escolares co gra poblacó tede a geerar más vetas que los que está cerca de cetros co poblacó pequeña. Aplcado el aálss de regresó podremos platear ua ecuacó que muestre cómo se relacoa la varable depedete Y co la varable depedete X. Los datos se muestra e la tabla adjuta. Además se proporcoa la bs R = 9;5 la covaraza etre X e Y, cov(x; Y = 35;556: Restaurate X (poblacó estudates, mles Y (vetas trmestrales Totales 4 3 Se pde dar u tervalo de predccó del 95 % para el promedo de veta trmestral para los restaurates cercaos a cetros escolares co estudates. La epresó del tervalo de predccó para el valor medo e regresó smple vee dado por: h! N(m h ; + ( h : Los estmadores para la ordeada e el orge pedete del modelo de regresó múltple: s b = b = 3 b = cov(x; Y var(x m h b h t k ; bs R p v hh, dode v hh = Etoces v hh = ;9: b h = b + b h = = : m h b h t k ; bs R p v hh m h ;36 p 9;5 p ;9 = 4; = 35;556 63; = 5: + ( h s = 3 54 = 6 = 6 + ( 4 63; = 6 ( + ;535 El tervalo para el valor promedo cuado h = (la varable eplcatva está e mles, sería: m h (5;3897, 4;63:

399 Problema Se ha realzado u epermeto para estudar el efecto de 3 detas sobre el peso de los profesores de uversdad. Se ha elegdo 4 profesores se les ha sometdo a las 3 detas. Los resultados de reduccó de peso al al del mes de prueba se muestra e la tabla adjuta. Deta Deta Deta 3 Medas Profesor 5,89 3,99 3, 4,33 Profesor 6,43 4,4 3,39 4,63 Profesor 3,59,84,3,5 Profesor 4 3,9,58,88,5 Medas 4,3,86,7 3, Sabedo que s = 3;, estudar la depedeca de la reduccó de peso respecto de solamete la deta, s teer e cueta el factor profesor. Idcar las detas más e caz meos e caz, e caso de que sea posble. Icorporar al aálss el factor profesor; comparar los resultados co los del aálss ateror, cluedo la seleccó de las detas más meos e caces. De qué ha servdo clur el factor profesor? Cuál de los dos aálss es más able porqué? 3 Calcular u tervalo de co aza para la varaza del error epermetal del modelo del apartado. Solucó V T = s = 36; V E(deta = 4[(4:3 3: + (; 86 3; + (; 7 3; ] = 9; 46 Fuete Suma de C Grados de lb. C.M. F p-valor Deta 9,46 4,73,59,5 Resdual 6,65 9,96 Total 36, Por tato, al ser el p-valor maor que el valor estádar de refereca de,5, o resulta sg catvo el efecto de la deta. Para determar la deta más e caz la meos e caz e prcpo se realzaría los cotrastes por parejas, pero al o ser sg catvo el efecto de la

400 deta, o sería ecesaro. razoes pedagógcas. De todas formas, se preseta a cotuacó, por H : = j H : 6= j t = ( : j: =bs R p (=4 + (=4 sgue ua dstrbucó t9 bajo H El percetl,975 de la dstrbucó t co 9 grados de lbertad es,6 Para deta frete a deta ; t = ; 8 < ; 6 Para deta frete a deta 3; t = ; 75 < ; 6 Para deta frete a deta 3; t = ; 57 < ; 6 Por tato, se co rma que gua de las dferecas es sg catvas. V E(pacete = 3[(4:33 3: + (4; 63 3; + (; 5 3; + (; 5 3; ] = 3; 9 Fuete Suma de C. Grados de lb. C.M: F p-valor Deta 9,46 4,73,3, Pacete 3,9 3 7,96 7,36,3 Resdual,75 6,45 Total 36, Por tato, al ser los dos p-valores meores que el valor estádar de refereca de,5, resulta sg catvos tato el efecto de la deta como el del pacete. La clusó del efecto del pacete reduce la varaza resdual aumeta la precsó de los cotrastes; por tato, es más able el segudo aálss que el prmero. Para determar la deta más e caz la meos e caz e prcpo se realzaría los cotrastes por parejas. H : = j H : 6= j t = ( : j: =bs R p (=4 + (=4 sgue ua dstrbucó t6 bajo H El percetl,975 de la dstrbucó t co 6 grados de lbertad es,45 Para deta frete a deta ; t = 3; > ; 45 Para deta frete a deta 3; t = 4; 45 > ; 45 Para deta frete a deta 3; t = ; 45 > ; 45 Por tato, se puede coclur que la deta más e caz es la pero o se puede coclur s la meos e caz es la o la 3. 3 V E= 6 Los percetles,5,975 de la dstrbucó co 6 grados de lbertad so,3 4,45 P ( 6;;5 < V E= < 6;;975 = ; 95 Trasformado las dos desgualdades aterores, se obtee que el tervalo de co aza es (,9,,

401 Dseño de Epermetos Modelos de Regresó. Eame Etraordaro 6 de julo de 6 Cuestoes (3 mutos, 4 putos. E ua regresó múltple co varable depedete Y ha dos varables cuattatvas X X ua varable cualtatva Z co 3 veles A, B C (se de e e relacó co ésta 3 varables baras Z ; Z Z 3, dode Z toma el valor cuado Z es gual a A e el resto de casos, Z toma el valor cuado Z es gual a B e el resto de casos Z 3 toma el valor cuado Z es gual a C e el resto de casos. Los resultados de la estmacó del modelo Y = + X + X + Z + 3 Z 3 + U para = 6 datos, dode U es el térmo de error se preseta e la tabla adjuta. Se proporcoa també la matr (X X : Se pde: a Calcular u tervalo de co aza para : b Realza el cotraste: H : = 3 ; H : 6= 3 : a Sabemos que b bs R = p q! t k E este caso b = 4;3478; bs R = ;967; = 6; k = 4 q = ; (el elemeto que ocupa la poscó (3,3 de la matrz Q = (X X.

402 Dseño de Epermetos Modelos de Regresó. Eame Etraordaro 6 de julo de 6 b t 6 4 ; bs R p q, que queda: 4;3478 ;967 p ; , a que de tablas la t 6 4 ; =;5 4;3478 ;393 (3;8955; 4;74. Queremos cotrastar: es apromadamete. equvalete a cotrastar: H : = 3 ; H : 6= 3 ; H : 3 = ; H : 3 6= : Sabemos que b! N( ; p q b 3! N( 3 ; p q 3 : var(b b 3 = var(b + var(b 3 cov(b ; b 3 = = q + q 3 q ; 3 = = ;967 (;6 + ;93 ;4966 = = ;967 ;69 = ;879: S H certa etoces p;879 b b 3 t 6 4 como p;879 b b 3 = absoluto es claramete maor que, el valor apromado de la t 6 4 ; : 4;6366 ;579 p ;879 = 7;55, que e valor

403 Dseño de Epermetos Modelos de Regresó. Eame Etraordaro 6 de julo de 6 3. Ua cadea de restaurates de comda talaa ha detectado que las ubcacoes e las que ha tedo más éto so aquéllas cercaas a sttutos colegos de eseñaza secudara. Se cree que las vetas trmestrales (represetadas por Y e esos restaurates, se relacoa e forma crecete co la poblacó estudatl e mles de estudates (represetada por X. Es decr, que los restaurates cercaos a cetros escolares co gra poblacó tede a geerar más vetas que los que está cerca de cetros co poblacó pequeña. Aplcado el aálss de regresó podremos platear ua ecuacó que muestre cómo se relacoa la varable depedete Y co la varable depedete X. Los datos se muestra e la tabla adjuta. Además se proporcoa la bs R = 9;5 la covaraza etre X e Y, cov(x; Y = 35;556: Restaurate X (poblacó estudates, mles Y (vetas trmestrales Totales 4 3 Se pde dar u tervalo de predccó del 95 % para el promedo de veta trmestral para los restaurates cercaos a cetros escolares co estudates. La epresó del tervalo de predccó para el valor medo e regresó smple vee dado por: h! N(m h ; + ( h : Los estmadores para la ordeada e el orge pedete del modelo de regresó múltple: s b = b = 3 b = cov(x; Y var(x m h b h t k ; bs R p v hh, dode v hh = Etoces v hh = ;9: b h = b + b h = = : m h b h t k ; bs R p v hh m h ;36 p 9;5 p ;9 = 4; = 35;556 63; = 5: + ( h s = 3 54 = 6 = 6 + ( 4 63; = 6 ( + ;535 El tervalo para el valor promedo cuado h = (la varable eplcatva está e mles, sería: m h (5;3897, 4;63:

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407 TABLA Normal Estadar N(, P ( Z z z Ejemplo. P ( Z.96 =.975 z,,,3,4,5,6,7,8,9, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

408 Dstrbucó ormal estádar (cotuacó N(, P ( Z z z z,,,,3,4,5,6,7,8,9 3, , , , , , , , , , Relacó etre Bomal, Posso Normal Bomal,p, p λ = p Posso λ p µ σ = = / p p ( p Normal µ,σ λ µ σ = = λ λ

409 Tabla χ α χ ν,α ν: grados de lbertad (g.l. EJEMPLO P(χ 9 9, =,5 α g.l.,995,99,975,95,5,5,5,,5,4,6,98,393,455 3,84 5,4 6,635 7,879,,,5,3,386 5,99 7,378 9,,6 3,77,5,6,35,366 7,85 9,348,34,84 4,7,97,484,7 3,357 9,488,4 3,8 4,86 5,4,554,83,45 4,35,7,83 5,9 6,75 6,676,87,37,635 5,348,59 4,45 6,8 8,55 7,989,39,69,67 6,346 4,7 6, 8,48,8 8,344,647,8,733 7,344 5,5 7,53,9,95 9,735,88,7 3,35 8,343 6,9 9,,67 3,59,56,558 3,47 3,94 9,34 8,3,48 3, 5,9,63 3,53 3,86 4,575,34 9,68,9 4,73 6,76 3,74 3,57 4,44 5,6,34,3 3,34 6, 8,3 3 3,565 4,7 5,9 5,89,34,36 4,74 7,69 9,8 4 4,75 4,66 5,69 6,57 3,339 3,68 6, 9,4 3,3 5 4,6 5,9 6,6 7,6 4,339 5, 7,49 3,58 3,8 6 5,4 5,8 6,98 7,96 5,338 6,3 8,85 3, 34,7 7 5,697 6,48 7,564 8,67 6,338 7,59 3,9 33,4 35,7 8 6,65 7,5 8,3 9,39 7,338 8,87 3,53 34,8 37,6 9 6,844 7,633 8,97,7 8,338 3,4 3,85 36,9 38,58 7,434 8,6 9,59,85 9,337 3,4 34,7 37,57 4, 8,34 8,897,83,59,337 3,67 35,48 38,93 4,4 8,643 9,54,98,338,337 33,9 36,78 4,9 4,8 3 9,6,96,689 3,9,337 35,7 38,8 4,64 44,8 4 9,886,856,4 3,848 3,337 36,4 39,36 4,98 45,56 5,5,54 3, 4,6 4,337 37,65 4,65 44,3 46,93 6,6,98 3,844 5,379 5,336 38,89 4,9 45,64 48,9 7,88,878 4,573 6,5 6,336 4, 43,9 46,96 49,65 8,46 3,565 5,38 6,98 7,336 4,34 44,46 48,8 5,99 9 3, 4,56 6,47 7,78 8,336 4,56 45,7 49,59 5,34 3 3,787 4,953 6,79 8,493 9,336 43,77 46,98 5,89 53,67 4,77,64 4,433 6,59 39,335 55,76 59,34 63,69 66,77 5 7,99 9,77 3,357 34,764 49,335 67,5 7,4 76,5 79, ,534 37,485 4,48 43,88 59,335 79,8 83,3 88,38 9, ,75 45,44 48,758 5,739 69,334 9,53 95,,43 4, 8 5,7 53,54 57,53 6,39 79,334,88 6,63,33 6,3 9 59,96 6,754 65,647 69,6 89,334 3,5 8,4 4, 8,3 67,38 7,65 74, 77,99 99,334 4,34 9,56 35,8 4,7 83,85 86,93 9,573 95,75 9,334 46,57 5, 58,95 63,65