Programación no-lineal entera para problemas de optimización de portafolios

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Programación no-lineal entera para problemas de optimización de portafolios"

Transcripción

1 Programación no-lineal entera para problemas de optimización de portafolios Juan Pablo Vielma Shabbir Ahmed George L. Nemhauser H. Milton Stewart School of Industrial and Systems Engineering Georgia Institute of Technology Universidad Adolfo Ibañez Julio 2008

2 Outline 1 Introduccion 2 Optimización de Portafolios 3 B&B para Programación Entera No-Lineal 4 Resultados Computacionales

3 Optimización de Portafolios y Programación No-Lineal Entera Optimización de Portafolios Tradicional (Markowitz): Problema no-linear quadrático que puede ser resuelto eficientemente. No muy realista. Optimización de Portafolios Realista : Problema no-linear entero difícil de resolver. Requiere el desarrollo de nuevos algoritmos.

4 Selección de un Portafolio de Inversión Opción de invertir en n activos diferentes (e.g. 100 acciones, 3 tipos de bonos y un deposito a plazo). Problema: seleccionar fracción de capital a invertir en cada activo. Información sobre los activos: Retorno r de un activo: (Valor en periodo t + 1) = (1 + r)(valor en periodo t). r es una variable aleatoria. Solo información parcial: valor esperado, desviación estándar, covarianza entre activos, etc. Objetivo de la selección: 1 Maimizar el retorno esperado del portafolio. 2 Minimizar el riesgo del portafolio.

5 Selección de un Portafolio de Inversión Opción de invertir en n activos diferentes (e.g. 100 acciones, 3 tipos de bonos y un deposito a plazo). Problema: seleccionar fracción de capital a invertir en cada activo. Información sobre los activos: Retorno r de un activo: (Valor en periodo t + 1) = (1 + r)(valor en periodo t). r es una variable aleatoria. Solo información parcial: valor esperado, desviación estándar, covarianza entre activos, etc. Objetivo de la selección: 1 Maimizar el retorno esperado del portafolio. 2 Minimizar el riesgo del portafolio.

6 Selección de un Portafolio de Inversión Opción de invertir en n activos diferentes (e.g. 100 acciones, 3 tipos de bonos y un deposito a plazo). Problema: seleccionar fracción de capital a invertir en cada activo. Información sobre los activos: Retorno r de un activo: (Valor en periodo t + 1) = (1 + r)(valor en periodo t). r es una variable aleatoria. Solo información parcial: valor esperado, desviación estándar, covarianza entre activos, etc. Objetivo de la selección: 1 Maimizar el retorno esperado del portafolio. 2 Mantener el riesgo del portafolio controlado.

7 Modelo Matemático para Optimización de Portafolio y sujeto a y j = 1 y j 0 j y j fracción de capital invertido en activo j.

8 Modelo Matemático para Optimización de Portafolio y sujeto a r j y j y j = 1 y j 0 j y j fracción de capital invertido en activo j. r j : retorno esperado de activo j.

9 Modelo Matemático para Optimización de Portafolio y sujeto a r j y j y j = 1 y j 0 j y j fracción de capital invertido en activo j. r j : retorno esperado de activo j. q i, j : covarianza entre el retorno del activo i y j.

10 Modelo Matemático para Optimización de Portafolio y sujeto a i=1 r j y j y j = 1 y j 0 q i, j y i y j σ j y j fracción de capital invertido en activo j. r j : retorno esperado de activo j. q i, j : covarianza entre el retorno del activo i y j. Limite en la varianza del portafolio (Markowitz).

11 Modelo Matemático para Optimización de Portafolio y sujeto a i=1 r j y j y j = 1 y j 0 q i, j y i y j σ j y j fracción de capital invertido en activo j. r j : retorno esperado de activo j. q i, j : covarianza entre el retorno del activo i y j. Limite en la varianza del portafolio (Markowitz). Problema de Programación Cónica Quadrática que puede ser resuelto eficientemente.

12 Modelo Matemático para Optimización de Portafolio y sujeto a i=1 r j y j y j = 1 y j 0 q i, j y i y j σ j y j fracción de capital invertido en activo j. r j : retorno esperado de activo j. q i, j : covarianza entre el retorno del activo i y j. Limite en la varianza del portafolio (Markowitz). Problema de Programación Cónica Quadrática que puede ser resuelto eficientemente.

13 Modelo Matemático para Optimización de Portafolio y sujeto a i=1 r j y j y j = 1 y j 0 q i, j y i y j 0.2 j y j fracción de capital invertido en activo j. r j : retorno esperado de activo j. q i, j : covarianza entre el retorno del activo i y j. Limite en la varianza del portafolio (Markowitz). Problema de Programación Cónica Quadrática que puede ser resuelto eficientemente.

14 Etensiones del Modelo 1 Restricciones Combinatoriales: límites en el numero de activos en el portafolio. Niveles mínimos invertidos en cada activo. Hacen que el problema sea muy difícil de resolver. (Bienstock, 1996; Chang et al., 2000; Maringer and Kellerer, 2003; Bertsimas and Shioda, 2004,... ).

15 Etensiones del Modelo 1 Restricciones Combinatoriales: límites en el numero de activos en el portafolio. Niveles mínimos invertidos en cada activo. Hacen que el problema sea muy difícil de resolver. (Bienstock, 1996; Chang et al., 2000; Maringer and Kellerer, 2003; Bertsimas and Shioda, 2004,... ). 2 Medidas de riesgo más allá de la varianza: límites en la probabilidad de baja rentabilidad (e.g. Prob(retorno 0.9) 0.8 y Prob(retorno 0.7) 0.97). (Lobo et al. 1998, 2007).

16 Etensiones del Modelo 1 Restricciones Combinatoriales: límites en el numero de activos en el portafolio. Niveles mínimos invertidos en cada activo. Hacen que el problema sea muy difícil de resolver. (Bienstock, 1996; Chang et al., 2000; Maringer and Kellerer, 2003; Bertsimas and Shioda, 2004,... ). 2 Medidas de riesgo más allá de la varianza: límites en la probabilidad de baja rentabilidad (e.g. Prob(retorno 0.9) 0.8 y Prob(retorno 0.7) 0.97). (Lobo et al. 1998, 2007). 3 Considerar errores en la estimación de los retornos esperados r j : Considerar una versión robusta del objetivo. (Ceria and Stubbs, 2006).

17 límites en el numero de activos en el portafolio y sujeto a i=1 r j y j y j = 1 y j 0 q i, j y i y j 0.2 j Modelo Markowitz.

18 límites en el numero de activos en el portafolio y sujeto a i=1 r j y j y j = 1 y j 0 q i, j y i y j 0.2 j Modelo Markowitz. Permitimos invertir en a lo mas K activos.

19 límites en el numero de activos en el portafolio, y sujeto a i=1 r j y j y j = 1 y j 0 q i, j y i y j 0.2 y j j j {0, 1} j j j Modelo Markowitz. Permitimos invertir en a lo mas K activos. Agregamos variables binarias que indican si invertimos en un activo.

20 límites en el numero de activos en el portafolio, y sujeto a i=1 r j y j y j = 1 y j 0 q i, j y i y j 0.2 y j j j {0, 1} j K j j j Modelo Markowitz. Permitimos invertir en a lo mas K activos. Agregamos variables binarias que indican si invertimos en un activo. Limite es impuesto con una restricción lineal.

21 límites en el numero de activos en el portafolio, y sujeto a i=1 r j y j y j = 1 y j 0 q i, j y i y j 0.2 y j j j {0, 1} j K j j j Modelo Markowitz. Permitimos invertir en a lo mas K activos. Agregamos variables binarias que indican si invertimos en un activo. Limite es impuesto con una restricción lineal. Problema de Programación Cónica Quadrática Mita que es difícil de resolver.

22 límites en el numero de activos en el portafolio, y sujeto a i=1 r j y j y j = 1 y j 0 q i, j y i y j 0.2 y j j j {0, 1} j K j j j Modelo Markowitz. Permitimos invertir en a lo mas K activos. Agregamos variables binarias que indican si invertimos en un activo. Limite es impuesto con una restricción lineal. Problema de Programación Cónica Quadrática Mita que es difícil de resolver.

23 límites en el numero de activos en el portafolio, y sujeto a i=1 r j y j y j = 1 y j 0 q i, j y i y j 0.2 y j j j {0, 1} j 10 j j j Modelo Markowitz. Permitimos invertir en a lo mas K activos. Agregamos variables binarias que indican si invertimos en un activo. Limite es impuesto con una restricción lineal. Problema de Programación Cónica Quadrática Mita que es difícil de resolver.

24 Medidas de riesgo mas allá de la varianza Varianza: n i=1 n q i, j y i y j σ. Retorno: n r jy j. Prob(retorno w) η puede ser aproimado por: Φ 1 (η) q i, j y i y j r j y j w i=1 donde Φ( ) es la distribución de probabilidad de una normal con media 0 y varianza 1. También es una restricción de Problema de Programación Cónica Quadrática. η 1 = 0.8, w 1 = 0.9 y η 2 = 0.97, w 2 = 0.7.

25 Considerar errores en retornos esperados r j, y s.a. y j = 1, r j y j j 10 y j j, j {0, 1}, y j 0 j q i, j y i y j 0.2 i=1 Modelo Markowitz con límites en el numero de activos.

26 Considerar errores en retornos esperados r j, y s.a. y j = 1, r j y j j 10 y j j, j {0, 1}, y j 0 j q i, j y i y j 0.2 i=1 Modelo Markowitz con límites en el numero de activos.

27 Considerar errores en retornos esperados r j, y, r s.a. y j = 1, r j 10 y j j, j {0, 1}, y j 0 j q i, j y i y j 0.2 i=1 r j y j r Modelo Markowitz con límites en el numero de activos.

28 Considerar errores en retornos esperados r j, y, r s.a. y j = 1, r j 10 y j j, j {0, 1}, y j 0 j q i, j y i y j 0.2 i=1 r j y j r Modelo Markowitz con límites en el numero de activos. Suposición: los retornos esperados r j tienen una distribución normal conjunta. Media es r j y covarianza entre r i y r j es s i, j.

29 Considerar errores en retornos esperados r j, y, r s.a. y j = 1, r j 10 y j j, j {0, 1}, y j 0 j q i, j y i y j 0.2 i=1 r j y j α i=1 s i, j y i y j r Modelo Markowitz con límites en el numero de activos. Suposición: los retornos esperados r j tienen una distribución normal conjunta. Media es r j y covarianza entre r i y r j es s i, j. Versión robusta del objetivo. α = nivel de seguridad.

30 Considerar errores en retornos esperados r j, y, r s.a. y j = 1, r j 10 y j j, j {0, 1}, y j 0 j q i, j y i y j 0.2 i=1 r j y j α i=1 s i, j y i y j r Modelo Markowitz con límites en el numero de activos. Suposición: los retornos esperados r j tienen una distribución normal conjunta. Media es r j y covarianza entre r i y r j es s i, j. Versión robusta del objetivo. α = nivel de seguridad. Restricción de Problema de Programación Cónica Quadrática.

31 Considerar errores en retornos esperados r j, y, r s.a. y j = 1, r j 10 y j j, j {0, 1}, y j 0 j q i, j y i y j 0.2 i=1 r j y j α i=1 s i, j y i y j r Modelo Markowitz con límites en el numero de activos. Suposición: los retornos esperados r j tienen una distribución normal conjunta. Media es r j y covarianza entre r i y r j es s i, j. Versión robusta del objetivo. α = nivel de seguridad. Restricción de Problema de Programación Cónica Quadrática.

32 Considerar errores en retornos esperados r j, y, r s.a. y j = 1, r j 10 y j j, j {0, 1}, y j 0 j q i, j y i y j 0.2 i=1 r j y j 3 i=1 s i, j y i y j r Modelo Markowitz con límites en el numero de activos. Suposición: los retornos esperados r j tienen una distribución normal conjunta. Media es r j y covarianza entre r i y r j es s i, j. Versión robusta del objetivo. α = nivel de seguridad. Restricción de Problema de Programación Cónica Quadrática.

33 B&B para Programación Entera No-Lineal Branch-and-Bound básico: Relajación del Problema. Ramificación. Problema Relajado + Ramificación: Subproblema. Métodos basados en relajación no-lineal: Relajan restricciones de integralidad. Subproblema es un problema no-lineal conveo. Métodos basados en relajaciones polyhedrales: Relajan restricciones de integralidad y no-lineales. Subproblema es un problema lineal. Reutilizan tecnología para Programación lineal entera y aprovechan warm starts de simple. Dos Tipos: 1 Relajaciones polyhedrales por tangentes. 2 Relajaciones polyhedrales etendidas o por proyección (Nuevo Método).

34 Métodos Basados en Relajación No-Lineal c , 2 Z 1

35 Métodos Basados en Relajación No-Lineal c , 2 Z Subproblema: = / Z. Ramificación:

36 Métodos Basados en Relajación No-Lineal c , 2 Z Subproblema: = / Z. Ramificación:

37 Métodos Basados en Relajación No-Lineal c , 2 Z Subproblema: = / Z. Ramificación:

38 Métodos Basados en Relajación No-Lineal c , 2 Z Subproblema: = 1, / Z. Ramificación:

39 Métodos Basados en Relajación No-Lineal c , 2 Z Subproblema: = 1, / Z. Ramificación:

40 Métodos Basados en Relajación No-Lineal c , 2 Z Subproblema: = 1, / Z. Ramificación:

41 Métodos Basados en Relajación No-Lineal c , 2 Z Subproblema: = 1, 2 = 2.

42 Métodos Basados en Relajación No-Lineal c , 2 Z Subproblema: = 1, 2 = 2.

43 Relajaciones Polyhedrales Tangentes c , 2 Z Subproblema: 1

44 Relajaciones Polyhedrales Tangentes c , 2 Z Subproblema: 1

45 Relajaciones Polyhedrales Tangentes c , 2 Z 1 Subproblema: i 2.5

46 Relajaciones Polyhedrales Tangentes c , 2 Z 1 Subproblema: i = 2 = 2.5 / Z. Cortes: i 2.5.

47 Relajaciones Polyhedrales Tangentes c , 2 Z 1 Subproblema: i = 2 = 2.5 / Z. Cortes: i 2.5.

48 Relajaciones Polyhedrales Tangentes c , 2 Z 1 Subproblema: i 2

49 Relajaciones Polyhedrales Tangentes c , 2 Z 1 Subproblema: i 2 1 = 2 = 2, > 2.5. Corte:

50 Relajaciones Polyhedrales Tangentes c , 2 Z 1 Subproblema: i 2 1 = 2 = 2, > 2.5. Corte:

51 Relajaciones Polyhedrales Tangentes c , 2 Z 1 Subproblema: i = 2, / Z, > 2.5. Ramificación:

52 Relajaciones Polyhedrales Tangentes c , 2 Z 1 Subproblema: i = 2, / Z, > 2.5. Ramificación:

53 Relajaciones Polyhedrales Tangentes c , 2 Z 1 Subproblema: i = 2, / Z, > 2.5. Ramificación:

54 Relajaciones Polyhedrales Tangentes c , 2 Z 1 Subproblema: i = 2, / Z, > 2.5. Ramificación:

55 Relajaciones Polyhedrales Tangentes c , 2 Z 1 Subproblema: i = 1, 2 = 2.

56 Relajaciones Polyhedrales Tangentes c , 2 Z 1 Subproblema: i = 1, 2 = 2.

57 on-linear Programm Introduccion Optimización de Portafolios B&B para Programación Entera No-Lineal Resultados Computacionales Características de Relajaciones Polyhedrales Tangentes dy, y) C n+p Convergencia puede ser lenta (M n Restricciones no lineales aproimada por cortes de primer orden (gradiente, tangente, benders). Cortes construidos en espacio original. Usualmente pocos cortes son suficientes. (e.g. Restricciones cuadráticas). Solución: usar una aproimación polyhedral global y fija.

58 Relajaciones Polyedrales d 2 j r, d = 2, ε = 0.41 r (1 + ε)r Se necesitan a lo menos ep(d/(2(1 + ε)) 2 ) restricciones lineales en el espacio original. Ben-Tal and Nemirovski (2001) dan relajación como la proyección de un polyhedro con O(d log(1/ε)) variables y restricciones. Glineur (2000) refina la aproimación y muestra que no es práctica para Programación no-lineal continua.

59 Relajaciones Polyedrales d 2 j r, d = 2, ε = 0.08 r (1 + ε)r Se necesitan a lo menos ep(d/(2(1 + ε)) 2 ) restricciones lineales en el espacio original. Ben-Tal and Nemirovski (2001) dan relajación como la proyección de un polyhedro con O(d log(1/ε)) variables y restricciones. Glineur (2000) refina la aproimación y muestra que no es práctica para Programación no-lineal continua.

60 Relajaciones Polyedrales d 2 j r, d = 2, ε = 0.08 r (1 + ε)r Se necesitan a lo menos ep(d/(2(1 + ε)) 2 ) restricciones lineales en el espacio original. Ben-Tal and Nemirovski (2001) dan relajación como la proyección de un polyhedro con O(d log(1/ε)) variables y restricciones. Glineur (2000) refina la aproimación y muestra que no es práctica para Programación no-lineal continua.

61 Relajaciones Polyedrales d 2 j r, d = 2, ε = 0.08 r (1 + ε)r Se necesitan a lo menos ep(d/(2(1 + ε)) 2 ) restricciones lineales en el espacio original. Ben-Tal and Nemirovski (2001) dan relajación como la proyección de un polyhedro con O(d log(1/ε)) variables y restricciones. Glineur (2000) refina la aproimación y muestra que no es práctica para Programación no-lineal continua.

62 B&B Usando Relajación Polyhedral Etendida (proyección). Reemplazar restricciones no-lineales por relajaciones polyhedrales etendidas para precisión ε. Obtenemos problema de Programación lineal entera que puede ser resuelto por software comercial (e.g. CPLEX). Pequeñas modificaciones al software comercial aseguran obtener solución eacta. Obtención de solución eacta es independiente de precisión ε. Elección de precisión ε puede afectar velocidad. Vielma, et. al, A Lifted Linear Programming Branch-and-Bound Algorithm for Mied Integer Conic Quadratic Programs, IJOC.

63 Eperimentos Computacionales 3 tipos de problemas de Optimización de portafolios: Numero de activos disponibles: 20 y 30 (limite de inversión el 10 activos). Retornos estimados de acciones de S&P instancias en total. Computador: Dual 2.4GHz Xeon Linu workstation with 2GB of RAM. Solvers: CPLEX 11 B&B de relajación no-lineal (CPLEX QCP). CPLEX 11 B&B de relajación polyedral tangente (CPLEX LP). Algoritmo B&B de relajación polyedral etendida basado en CPLEX 11 ( LP(ε) -BB ).

64 Tiempos de Solución Promedio [s] LP(!)-BB CPLEX QCP CPLEX LP

65 Tiempos de Solución (Desviación Estándar) [s] LP(!)-BB CPLEX QCP CPLEX LP

66 Using Ben-Tal Nemirovski Approimation to Eploit Mied Integer Linear Programming Solver Technology Lifted linear programming relaation: Polyhedron P R n+p+q such that C {(, y) R n+p : v R q s.t. (, y, v) P} C Use a state of the art MILP solver to solve,y,v c + dy s.t. (, y, v) P (MILP) Z n Problem: Obtained solution might not even be feasible for MINLP Solution: Modify Solve of MILP

67 Idea: Simulate NLP Branch-and-Bound Problem solved in NLP B&B node (l k, u k ) Z 2n is: z NLP(l k,u k ) :=,y c + dy s.t. (, y) C R n+p (NLP(l k, u k )) l k u k Problem solved by state of the art MILP solver is: z LP(l k,u k ) :=,y,v c + dy s.t. (, y, v) P (LP(l k, u k )) l k u k

68 Idea: Simulate NLP Branch-and-Bound Problem solved in NLP B&B node (l k, u k ) Z 2n is: z NLP(l k,u k ) :=,y c + dy s.t. (, y) C R n+p (NLP(l k, u k )) l k u k Problem solved by state of the art MILP solver is: z LP(l k,u k ) :=,y,v c + dy s.t. (, y, v) P (LP(l k, u k )) l k u k Advantages of second subproblem: Algorithmic Advantage: Simple has warm starts. Computational Advantage: Use MILP solver s technology.

69 Idea: Simulate NLP Branch-and-Bound Problem solved in NLP B&B node (l k, u k ) Z 2n is: z NLP(l k,u k ) :=,y c + dy s.t. (, y) C R n+p (NLP(l k, u k )) l k u k Problem solved by state of the art MILP solver is: Issues: z LP(l k,u k ) :=,y,v c + dy s.t. (, y, v) P (LP(l k, u k )) l k u k 1 Integer feasible solutions may be infeasible for C. 2 Need to be careful when fathoming by integrality.

70 First Issue: Correcting Integer Feasible Solutions Let (, y, v ) P such that Z n, but (, y ) / C. We reject (, y, v ) and try to correct it using: z NLP( ) := y s.t. c + dy (, y) C R n+p. (NLP( )) This can be done for solutions found by heuristics, at integer feasible nodes, etc.

71 Second Issue: Correct Fathoming by Integrality Suppose that for a node (l k, u k ) with l k u k we have that the solution (, y, v ) of LP(l k, u k ) is such that Z n If (, y ) C then (, y ) is also the optimal for NLP(l k, u k ) and we can fathom by integrality. If (, y ) / C it is not sufficient to solve NLP( ): Problem: Corrected solution is not necessarily optimal for NLP(l k, u k ). Solution: Solve NLP(l k, u k ) and process node according to its solution.

72 Second Issue: Correct Fathoming by Integrality Suppose that for a node (l k, u k ) with l k u k we have that the solution (, y, v ) of LP(l k, u k ) is such that Z n If (, y ) C then (, y ) is also the optimal for NLP(l k, u k ) and we can fathom by integrality. If (, y ) / C it is not sufficient to solve NLP( ): Problem: Corrected solution is not necessarily optimal for NLP(l k, u k ). Solution: Solve NLP(l k, u k ) and process node according to its solution.

73 Second Issue: Correct Fathoming by Integrality Suppose that for a node (l k, u k ) with l k u k we have that the solution (, y, v ) of LP(l k, u k ) is such that Z n If (, y ) C then (, y ) is also the optimal for NLP(l k, u k ) and we can fathom by integrality. If (, y ) / C it is not sufficient to solve NLP( ): Problem: Corrected solution is not necessarily optimal for NLP(l k, u k ). Solution: Solve NLP(l k, u k ) and process node according to its solution.

74 Correcting Integer Feasible Solutions is Not Enough c y,y y (, y) B 2 (2) (MINLP) Z,y y (, y) [ 2, 2] 2 (LP) LP(, 1): = 1, y = 2, (, y) / B 2 (2). NLP( ) ( cor, y cor ). If we fathom we loose optimum (0, 2)!

75 Correcting Integer Feasible Solutions is Not Enough c (, y ) y,y,y y (, y) B 2 (2) (MINLP) Z y (, y) [ 2, 2] 2 (LP) LP(, 1): = 1, y = 2, (, y) / B 2 (2). NLP( ) ( cor, y cor ). If we fathom we loose optimum (0, 2)!

76 Correcting Integer Feasible Solutions is Not Enough c (, y ) y ( cor, y cor ),y,y y (, y) B 2 (2) (MINLP) Z y (, y) [ 2, 2] 2 (LP) LP(, 1): = 1, y = 2, (, y) / B 2 (2). NLP( ) ( cor, y cor ). If we fathom we loose optimum (0, 2)!

77 Correcting Integer Feasible Solutions is Not Enough c (, y ) y ( cor, y cor ),y,y y (, y) B 2 (2) (MINLP) Z y (, y) [ 2, 2] 2 (LP) LP(, 1): = 1, y = 2, (, y) / B 2 (2). NLP( ) ( cor, y cor ). If we fathom we loose optimum (0, 2)!

78 Correcting Integer Feasible Solutions is Not Enough c (, y ) y,y,y y (, y) B 2 (2) (MINLP) Z y (, y) [ 2, 2] 2 (LP) Solution 1: Branch: 0 1. Solve LP(, 0). We get optimum (0, 2).

79 Correcting Integer Feasible Solutions is Not Enough c y,y y (, y) B 2 (2) (MINLP) Z,y y (, y) [ 2, 2] 2 (LP) Solution 1: Branch: 0 1. Solve LP(, 0). We get optimum (0, 2).

80 Correcting Integer Feasible Solutions is Not Enough c y,y y (, y) B 2 (2) (MINLP) Z,y y (, y) [ 2, 2] 2 (LP) Solution 1: Branch: 0 1. Solve LP(, 0). We get optimum (0, 2).

81 Correcting Integer Feasible Solutions is Not Enough c (, y ) y,y,y y (, y) B 2 (2) (MINLP) Z y (, y) [ 2, 2] 2 (LP) Solution 1: Branch: 0 1. Solve LP(, 0). We get optimum (0, 2).

82 Correcting Integer Feasible Solutions is Not Enough c y,y y (, y) B 2 (2) (MINLP) Z,y y (, y) [ 2, 2] 2 (LP) Solution 2: Solve NLP(, 1). We get optimum (0, 2).

83 Correcting Integer Feasible Solutions is Not Enough c (, y ) y,y,y y (, y) B 2 (2) (MINLP) Z y (, y) [ 2, 2] 2 (LP) Solution 2: Solve NLP(, 1). We get optimum (0, 2).

84 Instance Data Maimum number of stocks K = 10. Maimum risk σ = 0.2. Shortfall constraints: η 1 = 80%, W1 low = 0.9, η 2 = 97%, W2 low = 0.7 (Lobo et al., 1998, 2007). Data generation for Classical and Shortfall from S&P 500 data following Lobo et al. (1998), (2007). Data generation for Robust from S&P 500 data following Ceria and Stubbs (2006). Riskless asset included for Shortfall. Random selection of n stocks out of instances for n {20, 30, 40, 50}, 10 for n {100, 200}.

85 Average Solve Times [s] for n {20, 30} LP(!)-BB I-QG I-Hyb I-BB Cple classical(20) classical(30) shortfall(20) shortfall(30) robust(20) robust(30)

86 Performance Profile for n {20, 30} I-BB I-Hyb I-QG Cple LP(!)-BB

87 Average Solve Times [s] for n {40, 50} LP(!)-BB I-Hyb I-BB Cple classical(40) classical(50) shortfall(40) shortfall(50) robust(40) robust(50)

88 Performance Profile for n {40, 50} I-BB I-Hyb Cple LP(!)-BB

89 Average Solve Times [s] for n {100, 200} LP(!)-BB I-BB Cple classical(100) shortfall(100) robust(100) robust(200)

90 Performance Profile for n {100, 200} I-BB Cple LP(!)-BB

El modelo de Markowitz en la gestión de carteras 1

El modelo de Markowitz en la gestión de carteras 1 El modelo de Markowitz en la gestión de carteras 1 ALAITZ MENDIZÁBAL ZUBELDIA LUIS M.ª MIERA ZABALZA MARIAN ZUBIA ZUBIAURRE Universidad del País Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea Resumen: Desde su aparición,

Más detalles

ANÁLISIS DE UNA RED DE ACTIVIDADES CON DURACIONES CONOCIDAS Y BORROSAS

ANÁLISIS DE UNA RED DE ACTIVIDADES CON DURACIONES CONOCIDAS Y BORROSAS UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS (i) ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI) INGENIERO INFORMÁTICO PROYECTO FIN DE CARRERA ANÁLISIS DE UNA RED DE ACTIVIDADES CON DURACIONES CONOCIDAS Y BORROSAS AUTOR:

Más detalles

Alberto Ronald Chávez Soledispa 1 Enyl Jimmy Durán Hoyos 2 Ing. Verónica Macias 3

Alberto Ronald Chávez Soledispa 1 Enyl Jimmy Durán Hoyos 2 Ing. Verónica Macias 3 Aplicación de PSP (Personal Software Process) para el desarrollo de un sistema administrador de códigos de barra a partir de la evaluación de Procesos de Reingeniería Alberto Ronald Chávez Soledispa 1

Más detalles

La optimización evolutiva multi objetivo en la confección de equipos de desarrollo de software: una forma de lograr la calidad en el producto final

La optimización evolutiva multi objetivo en la confección de equipos de desarrollo de software: una forma de lograr la calidad en el producto final Copyright 2015 Universidad Tecnológica Equinoccial http://ingenieria.ute.edu.ec/enfoqueute/ e-issn: 1390 6542 / p-issn: 1390-9363 Recibido (Received): 2015/01/29 Aceptado (Accepted): 2015/03/25 La optimización

Más detalles

Un modelo Monte Carlo para la Cámara de Diputados en México

Un modelo Monte Carlo para la Cámara de Diputados en México Un modelo Monte Carlo para la Cámara de Diputados en México Javier Márquez y Francisco Javier Aparicio* Resumen: La literatura sobre el sistema político electoral en México a menudo se interesa en evaluar

Más detalles

El concepto de nicho en Ecología aplicada: del nicho al hecho hay mucho trecho

El concepto de nicho en Ecología aplicada: del nicho al hecho hay mucho trecho Ecología Austral 15:131-148. Diciembre 2005 Asociación Argentina de Ecología El nicho : conceptos y aplicaciones El concepto de nicho en Ecología aplicada: del nicho al hecho hay mucho trecho FERNANDO

Más detalles

Simulación de políticas económicas: los modelos de equilibrio general aplicado*

Simulación de políticas económicas: los modelos de equilibrio general aplicado* Simulación de políticas económicas: los modelos de equilibrio general aplicado* Antonio Gómez Gómez-Plana Departamento de Economía Universidad Pública de Navarra Resumen Los modelos de equilibrio general

Más detalles

Diseño asistido por computador

Diseño asistido por computador Diseño asistido por computador Recepción: Mayo d e 2 0 0 6 / Aceptación: Junio d e 2 0 0 6 (1) Oswaldo Rojas Lazo (2) Luis Rojas Rojas RESUMEN El diseño es una actividad que se proyecta hacia la solución

Más detalles

Análisis del juego televisivo QUIÉN QUIERE SER MILLONARIO? R

Análisis del juego televisivo QUIÉN QUIERE SER MILLONARIO? R Análisis del juego televisivo QUIÉN QUIERE SER MILLONARIO? R Federico Perea Justo Puerto * MaMaEuSch ** Management Mathematics for European Schools 94342 - CP - 1-2001 - DE - COMENIUS - C21 * Universidad

Más detalles

VaR vs. CVaR. Qué estimador se ajusta mejor al riesgo de mercado de renta variable en el Perú?

VaR vs. CVaR. Qué estimador se ajusta mejor al riesgo de mercado de renta variable en el Perú? VaR vs. CVaR. Qué estimador se ajusta mejor al riesgo de mercado de renta variable en el Perú? Un análisis ínterdiario de la IGBVL para el periodo Octubre de 2003 al Septiembre 2007 por Rafael Jara Padilla

Más detalles

Teoría de errores - Incertezas de medición

Teoría de errores - Incertezas de medición Ejemplos Ejercicios Misceláneas Evaluación Teoría de errores - Incertezas de medición Errores de medición. Precisión y eactitud. Cifras significativas. Errores absolutos y relativos. Histogramas. Errores

Más detalles

Predicción de Fugas de Clientes para una Institución Financiera mediante Support Vector Machines

Predicción de Fugas de Clientes para una Institución Financiera mediante Support Vector Machines Revista Ingeniería de Sistemas Volumen XIX, Octubre 2005 Predicción de Fugas de Clientes para una Institución Financiera mediante Support Vector Machines Jaime Miranda * Pablo Rey * Richard Weber * Resumen

Más detalles

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS DE SAN SEBASTIÁN TECNUN APRENDA A PROGRAMAR COMO SI ESTUVIERA EN PRIMERO IKER AGUINAGA GONZALO MARTÍNEZ JAVIER DÍAZ

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS DE SAN SEBASTIÁN TECNUN APRENDA A PROGRAMAR COMO SI ESTUVIERA EN PRIMERO IKER AGUINAGA GONZALO MARTÍNEZ JAVIER DÍAZ ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS DE SAN SEBASTIÁN TECNUN APRENDA A PROGRAMAR COMO SI ESTUVIERA EN PRIMERO IKER AGUINAGA GONZALO MARTÍNEZ JAVIER DÍAZ Esta publicación tiene la única finalidad de facilitar

Más detalles

DESCRIPCIÓN DE CURSOS PROPEDÉUTICO

DESCRIPCIÓN DE CURSOS PROPEDÉUTICO DESCRIPCIÓN DE CURSOS PROPEDÉUTICO Matemáticas para Administración En este curso se abordan tópicos de matemáticas útiles para el entendimiento y correcta aplicación de las ciencias de la administración.

Más detalles

CAD LOGISTICS SYSTEM S. PreparadoporHLA MATERIAL HANDLING ENGINEERIN CAD LOGISTICS COMPUTER-AIDED ANIMATIO NSOFTWARE

CAD LOGISTICS SYSTEM S. PreparadoporHLA MATERIAL HANDLING ENGINEERIN CAD LOGISTICS COMPUTER-AIDED ANIMATIO NSOFTWARE Porqué parala logística? MODELING COMPUTER G ANIMATIO N MATERIAL HANDLING ENGINEERIN TOOLSGEOMETRY SYSTEM S DRAUGHTING PreparadoporHLA Presentación en la logística Utilización de Creación y gestión de

Más detalles

La Bioestadística y su papel en la investigación en salud

La Bioestadística y su papel en la investigación en salud Revista Colombiana de Estadística Volumen 26 N o 1. Págs. 77 a 87. Junio 2003 La Bioestadística y su papel en la investigación en salud Nelcy Rodríguez M. * Resumen La investigación en las áreas biológicas

Más detalles

Módulo 8: Notas a los Estados Financieros

Módulo 8: Notas a los Estados Financieros NIIF para las PYMES (2009) + Preguntas y respuestas Fundación IFRS: Material de formación sobre la NIIF para las PYMES Módulo 8: Notas a los Estados Financieros Fundación IFRS: Material de formación sobre

Más detalles

Inferencia de información para dos o más poblaciones

Inferencia de información para dos o más poblaciones Inferencia de información para dos o más poblaciones Contrastes de hipótesis para dos poblaciones y comparación de grupos mediante ANOVA Blanca de la Fuente y Ángel A. Juan PID_00161060 CC-BY-SA PID_00161060

Más detalles

Flor Nancy Díaz Piraquive * Recibido: septiembre de 2008. Aprobado: octubre de 2008

Flor Nancy Díaz Piraquive * Recibido: septiembre de 2008. Aprobado: octubre de 2008 Gestión de procesos de negocio BPM (Business Process Management), TICs y crecimiento empresarial Qué es BPM y cómo se articula con el crecimiento empresarial? Flor Nancy Díaz Piraquive * Recibido: septiembre

Más detalles

Brecha salarial entre hombres y mujeres y ciclo económico en Colombia

Brecha salarial entre hombres y mujeres y ciclo económico en Colombia Brecha salarial entre hombres y mujeres y ciclo económico en Colombia * Abstract The study focuses on the relationship between the business cycle and the gender wage gap in Colombia. We find that the gender

Más detalles

Intervalos de confianza para la comparación de dos proporciones

Intervalos de confianza para la comparación de dos proporciones Revista Colombiana de Estadística Volumen 26 N o 1. Págs. 61 a 75. Junio de 2003 Intervalos de confianza para la comparación de dos proporciones Juan Carlos Correa * Esperanza Sierra ** Resumen La construcción

Más detalles

La mejor estrategia para la jubilación de los autónomos

La mejor estrategia para la jubilación de los autónomos http://dx.doi.org/10.3926/hdbr.39 La mejor estrategia para la jubilación de los autónomos Enrique Devesa Carpio Profesor titular del Departamento de Economía Financiera y Actuarial de la Facultad de Económicas

Más detalles

LA PROGRAMACION ORIENTADA AL OBJETO APLICADA AL CÁLCULO POR EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

LA PROGRAMACION ORIENTADA AL OBJETO APLICADA AL CÁLCULO POR EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingenieria. Vol. 11,3, 423-449(1995) LA PROGRAMACION ORIENTADA AL OBJETO APLICADA AL CÁLCULO POR EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS MIGUEL

Más detalles

Banco Central de Chile Documentos de Trabajo. Central Bank of Chile Working Papers

Banco Central de Chile Documentos de Trabajo. Central Bank of Chile Working Papers Banco Central de Chile Documentos de Trabajo Central Bank of Chile Working Papers N 389 Diciembre 2006 SON SIEMPRE LAS UNIVERSIDADES LA MEJOR OPCIÓN PARA UN TÍTULO PROFESIONAL? EVIDENCIA CHILENA Patricio

Más detalles

EVALUACIÓN DE LOS EFECTOS DISTRIBUTIVOS Y ESPACIALES DE LAS EMPRESAS CON PODER DE MERCADO EN MÉXICO

EVALUACIÓN DE LOS EFECTOS DISTRIBUTIVOS Y ESPACIALES DE LAS EMPRESAS CON PODER DE MERCADO EN MÉXICO EVALUACIÓN DE LOS EFECTOS DISTRIBUTIVOS Y ESPACIALES DE LAS EMPRESAS CON PODER DE MERCADO EN MÉXICO Carlos M. Urzúa * Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad de México Agosto de 2008 Resumen Haciendo uso

Más detalles

1 CONCEPTO DE PROYECTO

1 CONCEPTO DE PROYECTO 4 Alberto Sendín Escalona 1 CONCEPTO DE PROYECTO 1.1 Introducción El concepto de proyecto es suficientemente genérico y amplio como para ser aplicado a múltiples ámbitos de nuestra vida cotidiana. En concreto,

Más detalles

Regalías mineras y otros impuestos específicos a la minería

Regalías mineras y otros impuestos específicos a la minería International Mining for Development Centre Mining for Development: Guide to Australian Practice Regalías mineras y otros impuestos específicos a la minería Pietro Guj www.im4dc.org The International Mining

Más detalles

Sesgo de no-respuesta y modelos de superpoblación en encuestas electorales*

Sesgo de no-respuesta y modelos de superpoblación en encuestas electorales* doi:10.5477/cis/reis.137.121 Sesgo de no-respuesta y modelos de superpoblación en encuestas electorales* Nonresponse Bias and Superpopulation Models in Electoral Polls José M. Pavía y Beatriz Larraz Palabras

Más detalles

Banco Central de Chile Documentos de Trabajo. Central Bank of Chile Working Papers SISTEMA FINANCIERO Y CRECIMIENTO ECONÓMICO EN CHILE

Banco Central de Chile Documentos de Trabajo. Central Bank of Chile Working Papers SISTEMA FINANCIERO Y CRECIMIENTO ECONÓMICO EN CHILE Banco Central de Chile Documentos de Trabajo Central Bank of Chile Working Papers N 291 Diciembre 2004 SISTEMA FINANCIERO Y CRECIMIENTO ECONÓMICO EN CHILE Leonardo Hernández Fernando Parro La serie de

Más detalles

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE QUERÉTARO

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE QUERÉTARO JOSÉ CARMEN RODRÍGUEZ UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE QUERÉTARO BALANCEO DE LINEAS DE PRODUCCIÓN EN LA PLANTA DE FILTROS DE AIRE AUTOMOTRICES BALANCEO DE LINEAS DE PRODUCCIÓN EN LA PLANTA DE FILTROS DE AIRE

Más detalles