ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

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1 TEMA 4 ECUACIONES DIFERENCIAES PARCIAES 4 INTRODUCCIÓN E ese ema se verá procedimieos para resolver ecuacioes e derivadas parciales que surge co frecuecia e prolemas dode aparece viracioes, poeciales y disriucioes de emperaura Se llama prolemas de valores e la froera y se descrie mediae ecuacioes e derivadas parciales de primer o segudo orde, que so relaivamee simples E el caso de las ecuacioes de segudo orde, lo que se hace es hallar las solucioes pariculares de ua ecuació e derivadas parciales reduciédolas a dos o más ecuacioes difereciales ordiarias Se comezará co el méodo de separació de variales para ecuacioes e derivadas parciales lieales a aplicació de ese méodo recordará cocepos de emas aeriores como valores propios, fucioes propias y el desarrollo de ua fució e ua serie ifiia de fucioes orogoales 4 ESPACIO VECTORIA CON PRODUCTO INTERIOR Defiició U espacio vecorial real es u cojuo V (cuyos elemeos se llamará vecores), co ua operació iaria de adició y ua muliplicació escalar que saisface las siguiees propiedades: ( α, β R) a Dado cualquier par de vecores x, y V, exise u úico vecor x + y V, llamado la suma de x y y x, y V, x + ( y + z) = ( x + y) + z c x, y V, x + y = y + x d V x V, x + = + x = x e ( x ) V x V, x + ( x) = f Dado cualquier vecor x V y cualquier úmero real α, exise u úico vecor αx V llamado el produco de α y x g α ( x + y) = α x + α y h ( α + β ) x = α x + β x i ( αβ ) x = α( β x) j x = x Defiició Se dice que u sucojuo S φ de u espacio vecorial V, es u suespacio de V, si x, y S y α, β R el vecor α x + βy S Oservació Es claro que { } y V so suespacios de V Prof José uis Quiero

2 Defiició 3 Se dice que u produco ierior esá defiido e u espacio vecorial real V, si co cada par de vecores x e y e V se asocia u úmero real x y al que a x y = y x ( α x) y = α ( x y) para cada úmero real α c ( ) x + x y = x y + x y d x x y x x = si, y solamee si, x = Defiició 4 U espacio vecorial co u produco ierior se cooce como u espacio euclidiao o espacio vecorial co produco ierior Si se aplica (a) a () y a (c), se ve que u produco ierior amié saisface las propiedades x ( α y) = α ( x y) y x ( y + y) = x y + x y E geeral ( α x + α x ) ( β y + β y ) = α β ( x y ) + α β ( x y ) + α β ( x y ) + α β ( x y ) dode α, α, β y β so escalares arirarios Ejemplo Sea x = (x,,x ) y y = (y,,y ) vecores e por x y = xy + + xy Eoces al, se llama espacio euclidiao de dimesió E R, y defíase a x y R se coviere e u espacio euclidiao y, como R y 3 R ese produco ierior o es oro que el produco puo usado e física, dode la defiició geeralmee se expresa geoméricamee como el produco de la logiud de x por la logiud de y por el coseo del águlo que forma amos Ejemplo Cosidere el espacio C a, f g defiido por de odas las fucioes coiuas e a,, co f g = f(x)g(x)dx Pruee que f g defie u produco ierior Solució a No es difícil demosrar que saisface odas las exigecias de u produco ierior: Se iee que siedo α u úmero real, y α f(x)g(x)dx = α f(x)g(x)dx, a a f (x) + f (x) g(x)dx = f (x)g(x)dx + f (x)g(x)dx a a a Fialmee, al recordar que la iegral de ua fució o egaiva es o egaiva, y que la iegral de ua fució coiua o egaiva es cero si, y solamee si, la fució es idéicamee cero se ve que f f = (f(x)) dx, y que f f = si, y solamee si, f = a Prof José uis Quiero

3 E adelae, siempre que se haga referecia a R o a C a, como espacios euclidiaos, se cosiderará que se esá uilizado los producos ieriores defiidos e los ejemplos aeriores, a meos que se mecioe expresamee lo corario Ejemplo 3 Sea r ua fució o egaiva e C a, que se aula, cuado más, e u úmero fiio de puos e el iervalo a, Eoces f g = f(x)g(x)r(x)dx a amié defie u produco ierior e C a, a fució r se llama la fució peso para ese produco ierior, y se oservará que cuado r es idéicamee igual a se edrá la fórmula defiida e el ejemplo aerior Se ecorará ese produco ierior uevamee cuado se esudie prolemas de valor e la froera, para ecuacioes difereciales 43 ONGITUD MEDIDA ANGUAR DISTANCIA Se defiirá logiud, medida agular y disacia, e érmios del produco ierior de u espacio euclidiao Cada uo de esos cocepos iee u sigificado ie defiido e el espacio euclidiao, de dimesió, y es razoale exigir que cualquier defiició que se adope, se reduzca a la ya usual e R Sea x = (x,x ) cualquier vecor e x, es el úmero real o egaivo x e érmios del produco ierior e defiició: R Eoces, la logiud de x idicada por x = x + Esa expresió puede replaearse R como x = x x y se iee la siguiee Defiició 5 a logiud (o orma) de u vecor x e u espacio euclidiao, se defie como el úmero real o egaivo x = x x Así, la logiud de u vecor x = (x,,x ) e mieras que la logiud de u vecor f e C a, es f / (f(x)) dx a = R, es x x = x + +, A coiuació, se oserva que si x y y so dos vecores o ulos cualesquiera, e R, la fórmula x y cos θ =, θ, x y es ua cosecuecia imediaa de la ley de los coseos a expresió Prof José uis Quiero 3

4 x y x y amié es sigificaiva e u espacio euclidiao arirario, hecho que sugiere cosiderarla como u cadidao razoale para la defiició geeral del cos θ Si emargo, aes de proceder, dee esalecerse la desigualdad x y x y para cada par de vecores o ulos e u espacio euclidiao, ya que, por supueso, cualquier defiició de cos θ dee saisfacer la desigualdad cos θ Ese hecho surgirá como ua cosecuecia del siguiee resulado imporae, coocida como la desigualdad de Schwarz o de Cauchy-Schwarz TEOREMA (Desigualdad de Schwarz) Si x y y so dos vecores cualesquiera e u espacio euclidiao, eoces ( x y) ( x x)( y y) Demosració Primero se oserva que esa desigualdad es imediaa si x o y, es el vecor cero, ya que eoces amos miemros de la desigualdad so cero Así, es suficiee cosiderar el caso e que x y y so o ulos Aquí se usa propiedades del produco ierior para desarrollar ( αx β y) ( αx β y) dode α y β so úmeros reales arirarios Por la propiedad d de la defiició 3 se iee ( αx β y) ( αx β y) = α ( x x) αβ ( x y) + β ( y y), de dode αβ ( x y) α ( x x) + β ( y y) Ahora si α = y y y β = x x se oiee x x y y( x y) ( x x)( y y) que es equivalee a x y x x y y Ahora ie, si se eleva al cuadrado, se oiee lo que se quería demosrar E R la desigualdad de Schwarz oma la forma xiyi xi yi i= i= i= y e C a, se coviere e f(x)g(x)dx (f(x)) dx (g(x)) dx a a a a primera de esas desigualdades es válida para cualquier colecció x,,x, y,,y de úmeros reales, y geeralmee se le llama la desigualdad de Cauchy Es imporae recordarla ya que es frecueemee úil e la deducció de oras desigualdades ariméicas E la oació de la defiició 5, la desigualdad de Schwarz se coviere e x y x y, y afirma que el valor asoluo del produco ierior de dos vecores o excede el produco de las logiudes de los vecores Así x y, x y Prof José uis Quiero 4

5 siempre que x y y sea o ulos Ejemplo 4 Sea a,,a úmeros reales posiivos Use la desigualdad de Cauchy para demosrar que (a + + a ) + + a a Solució Sea x = ( a,, a ) y =,, a a De modo que x x = a + + a, y y =, x y a + + a = y aplicado la desigualdad de Cauchy se oiee lo que se quería demosrar Ejemplo 5 Sea a, y c, úmeros reales posiivos, ales que a + + c = Uilice la desigualdad de Cauchy para demosrar que 8 a c Solució Sea De modo que x = ( a,, c) y =,, a c x x = a + + c =, y y = + +, x y = 3 a c y aplicado la desigualdad de Cauchy a c Por lo ao maipulado se iee c + ac + a c + ac + a c + ac + a ac ( a)( )( c) ac ac ac ac a c 8 8 a c a c Ejemplo 6 Demuesre que la desigualdad a a a a persise para cualquier colecció de úmeros reales a,,a Solució Sea a a x = (,,) y =,, Eoces Prof José uis Quiero 5

6 a + + a a x x =, y y =, x y = + + a y aplicado la desigualdad de Cauchy se oiee lo que se quería demosrar Ejemplo 7 Sea f C, Pruee que / ( )f()d f '() d 4 5 Solució Iegrado por pares: Por lo ao: u = f() du = f '()d, dv = v = = = ( )f()d ( )f() ( )f '()d ( )f '()d Aplicado la desigualdad de Schwarz: / / ( )f '()d ( ) d (f '()) d ( ) d = ( + )d = ( + ) = + = = E cosecuecia se demuesra que: / / ( ) d = ( ) = = = / ( )f()d f '() d 4 5 Defiició 6 Si x y y so vecores o ulos e u espacio euclidiao, se defie el coseo del águlo ere ellos como x y cos θ = x y Queda fialmee pediee por defiir la disacia ere dos puos cualesquiera (eso es, vecores) e u espacio euclidiao Nuevamee eso se hace secillamee copiado la defiició de R dode la disacia ere x y y es la logiud del vecor x y Así se esalece la defiició de disacia: Defiició 7 a disacia ere dos vecores x y y e u espacio euclidiao es, por defiició, d( x, y) = x y Pero es ésa ua defiició razoale del érmio disacia? Co ojeo de coesar esa pregua, primero dee decidirse qué propiedades se requiere de la disacia, e geeral E ese aspeco, los maemáicos esá de acuerdo, y lo ha decidido como sigue: la disacia ere dos puos dee ser u úmero real o egaivo que es cero si, y solamee si, los puos coicide Dee ser idepediee Prof José uis Quiero 6

7 del orde e el que se cosidere los puos y, fialmee, la desigualdad del riágulo, famosa e la geomería plaa, dee saisfacerse Así, co el ojeo de jusificar el uso del érmio disacia e la defiició 7 se dee demosrar que d(x,y) es u úmero real que saisface las siguiees propiedades: a d( x, y) d( x, y) = si, y solamee si, x = y c d( x, y) = d( y, x) d d( x, y) + d( y, z) d( x, z), x, y y z res vecores cualesquiera as res primeras de esas propiedades se deduce imediaamee de la defiició de logiud y de los axiomas que goiera u produco ierior a úlima, si emargo, o es a ovia Para demosrarla, primero se esalecerá ua desigualdad que es de ciera imporacia por sí misma EMA Si x y y so vecores arirarios e u espacio euclidiao, eoces x + y x + y Demosració / / x + y = ( x + y) ( x + y) = ( x x) + ( x y) + ( y y) / / ( x x) + x x y y + ( y y) = ( x x + y y ) = x x + y y x + y a desigualdad del riágulo sigue imediaamee de ese resulado E efeco, x z = ( x y) + ( y z) x y + y z, que precisamee es lo que se eía que demosrar Fialmee, se oserva que la fució disacia defiida aes amié goza de las propiedades oales siguiees: a d( αx, α y) = α d( x, y) para odo úmero real α d( x + z, y + z) = d( x, y) 44 ORTOGONAIDAD ORTOGONAIZACIÓN Defiició 8 Se dice que dos vecores e u espacio euclidiao so orogoales o perpediculares, si el coseo del águlo que forma, vale cero E seguida se geeralizará algo más la oció de orogoalidad, pero primero se proará u eorema paricularmee oale TEOREMA (Piágoras) Dos vecores x y y e u espacio euclidiao se dice que so orogoales si, y solamee si, x + y = x + y Demosració Prof José uis Quiero 7

8 x + y = ( x + y) ( x + y) = x x + ( x y) + y y = x + ( x y) + y Así x + y = x + y si, y solamee si, x y =, como se afirmó Ejemplo 8 Sea x,, x vecores muuamee perpediculares e u espacio euclidiao Demuesre que x + + x = x + + x Solució Se sae que Así + + = x x ( x x ) ( x x ) ya que xi x j =, i j xi xi xi xj xi xi xj i= i= j= i= i= j= i j i j = ( ) + ( ) = + ( ) + + = i = + + i= x x x x x Dicho eso, se coiúa la discusió, dado la siguiee defiició: Defiició 9 Se dice que u cojuo de vecores x, x,, xi, e u espacio euclidiao, es u cojuo orogoal si xi para odo i, y que xi xj = siempre que i j Si, además, xi xi = para cada i, se dice que el cojuo es oroormal Así, u cojuo orogoal es u cojuo de vecores o ulos perpediculares ere sí, mieras que u cojuo oroormal es u cojuo orogoal e el cual cada uo de los vecores es de logiud uiaria Por ecoomía de oació, cuado se discua cojuos oroormales, las propiedades aeriores se comiará frecueemee escriiedo si i j xi xj = δ ij = si i = j El símolo δ ij que se iroduce aquí, se le llama la dela de Kroecer TEOREMA 3 U cojuo orogoal de vecores { x x x } idepediee Demosració,,, es liealmee Se sae de cursos aeriores de Álgera ieal que u cojuo de vecores x, x,, x es liealmee idepediee si { } α x + α x + + α x = α = α = = α = Se iee ua comiació lieal de los vecores orogoales: α x + α x + + α x = Haciedo produco escalar e la expresió aerior por u vecor del cojuo x i se iee α x x + α x x + + α x x + + α x x = α x = i i i i i i i i Prof José uis Quiero 8

9 De modo que α i = i {,,, } Eso implica que el cojuo orogoal de vecores { x, x,, x } es liealmee idepediee (forma ua ase) por lo ao forma u sisema compleo Ejemplo 9 E 3 R los vecores (,,), (,,), (,, /) forma u cojuo orogoal, mieras que los vecores de ase caóica (,,), (,,) y (,,) forma u cojuo oroormal E forma más geeral, el cojuo que cosise de los vecores de la ase e R es oroormal Ejemplo Se defie u poliomio rigoomérico de grado + como ua expresió de la forma a f(x) = + a cos(x) + a cos(x) + + a cos(x) + se(x) + se(x) + + se(x) dode a,, so úmeros reales, y a o o amos Sea T el cojuo de odos los poliomios rigooméricos de grado +, juo co el poliomio cero Haciedo que T sea u espacio euclidiao al defiir la adició y la muliplicació escalar de los poliomios rigooméricos, érmio a érmio como co los poliomios ordiarios y u produco ierior dado por f g = f(x)g(x)dx, el cojuo de fucioes,cos(x),se(x),,cos(x), se(x) es u cojuo orogoal e T ya que, para eeros m y o egaivos se(mx)se(x)dx =, se(mx) cos(x)dx =, cos(mx) cos(x)dx =, si m Para ormalizar ese cojuo se oserva que dx = y se (mx)dx = cos (mx)dx =, si m > Por ao, las fucioes cos(x) cos(x),,,, forma u cojuo oroormal e T se(x) se(x),, Ejemplo Se deduce del ejemplo precedee que el cojuo (ifiio), cos(x), se(x),, cos(x), se(x), es orogoal e C, E lugar de empezar co la siuació más geeral, se iroducirá el proceso de orogoalizació co dos ejemplos El primero es exraído de R dode se cosidera u par de vecores liealmee idepediees x y x Eoces x y x forma ua ase para R y, e ese caso, el prolema se coviere e la susiució de x y x por ua ase orogoal e y e cosruida e érmios de x y x de algua maera razoale Ua forma secilla de resolver el prolema es simplemee omar e = x y luego se expresa e e la forma e = x α e, y luego se deermia α de Prof José uis Quiero 9

10 modo que la codició de orogoalidad e e = quede saisfecha Eso da la ecuació x e α ( e e) =, y e cosecuecia, el valor de α es x e α = e e Co eso e se ha deermiado e érmios de x( = e) y x, y la ase x y x e R se ha orogoalizado Ejemplo Si x = (,) y x = (,), eoces (,) (,) α = = (,) (,) y así e = (,), e = (, ), Como oro ejemplo, se orogoaliza ua ase ariraria x, x y x 3 e 3 R El procedimieo esecialmee es el mismo usado aes e R, y se iicia eligiedo e = x El segudo paso cosise e deermiar e de acuerdo co el par de ecuacioes e e =, e = x α e, lo que da uevamee x e α = e e Esá claro que e o es el vecor cero, y amié lo es que e y e 3 pereece al suespacio de R geerado por x y x E cosecuecia δ ( e, e) es u suespacio de δ ( x, x) Más aú, ya que los vecores orogoales e y e so liealmee idepediees, δ ( e, e) iee la misma dimesió que δ ( x, x) Así, δ ( e, e ) = δ ( x, x ) Comiado co el hecho de que x, x y x 3 forma ua ase para 3 R, esa 3 igualdad implica que x 3 o pereece al suespacio de R geerado por e y e El proceso de orogoalizació dee complearse acepado que e 3 sea la compoee de x 3, perpedicular al suespacio δ ( e, e) Así, se hace e3 = x3 αe α e, y se ecuera α y α por medio de las codicioes de la orogoalidad e e = e e3 = e e3 = Ellas da el par de ecuacioes dadas por = x3 e α ( e e), = x e α ( e e ) de dode 3 x e x e α = α = 3 3, e e e e Co eso se complea el proceso de orogoalizació de la ase x, x y x 3 Ahora se puede dispoer de la siuació geeral requerida para orogoalizar u cojuo arirario de vecores liealmee idepediees x, x, e u espacio euclidiao Se va a presear u eorema que puede resumir ese proceso de geeralizació TEOREMA 4 Sea x, x, u cojuo (fiio o ifiio) de vecores liealmee idepediees e u espacio euclidiao T Eoces exise u cojuo orogoal e, e, e T al que para cada eero, δ ( e,, e) = δ ( x,, x) Más aú, el e Prof José uis Quiero

11 puede escogerse de acuerdo co la regla e = x, y e+ = x+ αe α e, dode x e x e x e α = α = α = + + +,,, e e e e e e El méodo de orogoalizació descrio e ese eorema, es coocido como el proceso de orogoalizació de Gram-Schmid Ejemplo 3 E ese ejemplo se aplica el proceso de orogoalizació a los cojuos ifiios de vecores, liealmee idepediees,, x, x, e el espacio de poliomios P co produco ierior defiido por a orogoalizació va como sigue: e =, e e = dx =, e Así, Así, e p q = p(x)q(x)dx = x, e e = x dx =, e = x α, dode α = xdx = = x α α x, dode α = x dx =, α = x dx = e 3 8 = x, e 3 3 e3 = (x ) dx = 3 45 Coiuado de ese modo, se oiee la sucesió orogoal 3, x, x, x x, x x, e P Cuado se presea co cosaes de muliplicació adecuadas, esos poliomios se coviere e los famosos poliomios de egedre del Aálisis 45 E ESPACIO DE AS FUNCIONES CONTINUAS POR TRAMOS Dada la imporacia de las diferees series que esá por cosiderarse, revise ciero ierés expresar la discusió siguiee de al modo que, de ua caegoría de fucioes, se aarque ao como sea posile Desaforuadamee, la mayoría de las geeralizacioes que va más allá del espacio de fucioes coiuas, so sumamee écicas e iaccesiles e u curso de ese ivel Si emargo, es posile exeder las coclusioes para icluir fucioes coiuas por ramos, y ya que ie vale la pea hacer esa modesa geeralizació, esa secció se desia a demosrar cómo el cojuo de odas esas fucioes e u iervalo deermiado, puede esar dero de u espacio euclidiao Por coveiecia, se empieza por recordar la defiició de coiuidad por ramos Prof José uis Quiero

12 Defiició Se dice que ua fució de valor real f es coiua por ramos, e u iervalo a, si (i) f es defiida y coiua e odos, excepo u úmero fiio, de puos de a, y + (ii) los límies f(x ) = lím f(x + h), f(x ) = lím f(x h) exise e cada puo x e h + h a, (Oservar que sólo uo de esos límies es apropiado, si x es u puo exremo de a, ) Cuado x es u puo de coiuidad de f cada uo de esos límies es igual + al valor de f e x y, eoces, se iee que f(x ) = f(x ) = f(x ) Co mayor geeralidad, la exigecia de que amos límies sea fiios e odas pares de a,, implica que las úicas discoiuidades de f so discoiuidades por salo Más aú, + la diferecia f(x ) f(x ) mide la magiud del salo de la fució f e x Si f es coiua por ramos e a,, eoces a f(x)dx exise, y es idepediee de los valores que f (si los oma) e sus puos de discoiuidad E paricular, si f y g so idéicas por odas pares e a,, salvo e sus puos de discoiuidad, eoces f(x)dx = g(x)dx a a Si f y g so coiuas por ramos e a,, amié lo es su produco fg 3 Cada fució coiua e a, es coiua por ramos Dicho eso, ahora se fija la aeció e el prolema de coverir el cojuo de fucioes coiuas por ramos e a, e u espacio euclidiao E visa del hecho de que ese cojuo icluye las fucioes coiuas e a, solo es razoale exigir que la cosrucció sea coceida de al modo que el espacio euclidiao resulae ega a C a, como u suespacio Eso, a su vez, sugiere que se defia a f g por la fórmula f g = f(x)g(x)dx a Pero la fórmula aerior produce realmee u produco ierior e el cojuo de fucioes coiuas por ramos e a,? a respuesa desagradale es, NO Para ver lo que esá equivocado, sea (x) ua fució que es cero dodequiera e a, excepo e u úmero fiio de puos que Se dice que al fució es ua fució ula, y iee la molesa propiedad de a (x) dx = Prof José uis Quiero

13 a pesar del hecho de que o es la fució cero Eso, por supueso, ivalida el uso de la fórmula cuesioada como u produco ierior, ya que, por defiició, el produco ierior de u vecor o cero por sí mismo, o puede ser cero Esá perfecamee claro, si emargo, que la dificulad aerior desaparecerá si se pasa por alo el hecho de que ua fució ula o es idéicamee cero, y se la raa como si lo fuera Pero eoces, para que sea cosisee, dee mirarse amié dos fucioes coiuas por ramos cualesquiera como idéicas, siempre que difiera solamee e u úmero fiio de puos, y eso es exacamee lo que se requiere para hacer que la fórmula cuesioada dé u produco ierior 46 CONVERGENCIA DE SUCESIONES Defiició Se dice que ua sucesió { x } { x, x,} = de vecores, e u espacio euclidiao V coverge al vecor x e V si, y solamee si, caso se dice que x es el límie de { } coverge a x, escriiedo lim { x } x lim x x = E ese x, deoádose el hecho de que la sucesió { x } = El esudio de covergecia e espacios euclidiaos de dimesió fiia es esecialmee el mismo que el esudio de covergecia de sucesioes de úmeros reales Si emargo, e espacios de dimesió ifiia, ales como C a,, esa siuació se vuelve mucho más compleja y, e cosecuecia, más ieresae, porque eoces el ipo de covergecia defiido aes es oalmee disio del esudiado e cálculo E efeco se verá momeáeamee, que e u espacio de fucioes co produco ierior iegral, la afirmació / lí m f f = lí m f (x) f(x) dx = a de igua maera es la misma que decir que la sucesió { f } coverge a la fució f e cada puo de a, E aálisis, al covergecia se cooce como covergecia media para efaizar que se calcula por iegració, lo que, e u seido, es u proceso de promedio geeralizado 3 Ejemplo 4 a sucesió de fucioes { } a la fució cero, ya que 3 Auque { } x,x,x, coverge e la media e C, / / lí m x = lí m x dx = lí m = + x,x,x, o coverge a cero e cada puo e el iervalo, E efeco, e x = la sucesió coverge a, mieras que e x = o coverge (ver figura ) Prof José uis Quiero 3

14 Figura Sucesió de fucioes del ejemplo 4 47 BASES EN ESPACIOS EUCIDIANOS DE DIMENSIÓN INFINITA E seccioes aeriores se uilizó el proceso de orogoalizació de Gram- Schmid para demosrar que cada espacio euclidiao de dimesió fiia iee ua ase oroormal e,, e y que cada vecor e al espacio puede expresarse uívocamee e la forma x = ( x e ) e + + ( x e ) e () Pero el proceso de Gram-Schmid puede aplicarse igualmee ie e u espacio euclidiao de dimesió ifiia dode puede usarse para dar u cojuo oroormal ifiio e, e, Ese hecho sugiere que ua versió ampliada de los resulados iiciales, podría aceparse, y las seccioes resaes del presee ema se dedica a realizar esa sugerecia a forma más ovia para iear geeralizar () e presecia de u cojuo oroormal e, e, e u espacio de dimesió ifiia V, es reemplazar su segudo miemro por la serie ifiia ( x e) e () = Si emargo, e la ausecia de cualquier iformació adicioal, esá claro que o hay razó a priori para supoer que esa serie coverge y, mucho meos, que coverge a x * No osae, es coveiee eer ua oació que exprese el hecho de que () se deduce de x, auque de modo puramee formal a usada co más frecuecia es x ( x e ) e, = Prof José uis Quiero 4

15 usádose el símolo (el que, de paso, ada iee que ver co el usado aes, para relacioes equivalees) para efaizar que las series e cuesió podría o coverger a x Por supueso, e caso de que suceda, se escrie ( x e) e, = x = y se dice que la serie coverge e la media a x E uo u oro caso, los producos ieriores x e so llamados las coordeadas o (geeralizado) los coeficiees de Fourier de x co respeco al cojuo oroormal e, e, Esá claro que los coeficiees de Fourier de x depede del cojuo oroormal co respeco al cual se calcula No a claro, pero igualmee ciero, es que () puede coverger e la media a x para u cojuo oroormal, pero o para oro os ejemplos siguiees ilusra amos puos Ejemplo 5 Calcule los coeficiees geeralizados de Fourier de la fució f(x) x e C, co respeco al cojuo oroormal sex sex se3x,,, Solució E ese caso los coeficiees so x e = xsexdx, =,,, y usado iegració por pares, se oiee,,3,5,, = xsexdx = cos = =,4,6, E cosecuecia, los coeficiees de Fourier de x co respeco al cojuo oroormal dado so ( ) ( /), y () adopa la forma dada por la expresió sex se3x x sex + 3 = x, E próximos emas se verá que esa serie realmee coverge e la media a x, de suere que se jusifica escriir sex = x = ( ) Ejemplo 6 Si e el ejemplo aerior se reemplaza al cojuo oroormal por el cojuo dado por cos x cosx,,,, eoces los coeficiees de Fourier so xdx = y x cosxdx =, =,, Prof José uis Quiero 5

16 Pero odas esas iegrales so cero, y e cosecuecia () se coviere e x Ahora queda claro que o se iee ua igualdad, ya que x / 3 / = x dx = 3 Oservació Para desarrollar f e ua serie de fucioes orogoales, es ecesario que o sea orogoal a cada elemeo del cojuo orogoal Para eviar ese prolema se supodrá, e emas siguiees, que u cojuo orogoal es compleo Eso quiere decir que la úica fució orogoal a cada miemro del cojuo es la fució cero 48 DESIGUADAD DE BESSE IGUADAD DE PARSEVA TEOREMA 5 Sea e, e, u cojuo oroormal de vecores e u espacio euclidiao V, de dimesió ifiia, y sea x u vecor arirario e V Eoces = ( x e ) x (desigualdad de Bessel) Más aú, e, e, es ua ase para V si, y solo si, = ( x e ) = x (igualdad de Parseval) Demosració a demosració descasa e el cálculo del valor de la expresió x ( x e) e = para cualquier x e V y cualquier eero Ahora x ( x e) e = x ( x e) e x ( x e) e = = = = x x ( x e)( x e) ( x ej) e + j ( x e) e = j= = (Se ha camiado el ídice de la sumaoria e el primer facor del úlimo érmio, por coveiecia de cálculo) Pero ya que e es oroormal, ej e = δ j, se sigue que ( x ej) e j ( x e) e = ( x ej)( x e)( ej e) = ( x e) j= = j= = = Eoces ( ) ( ) = = (3) x x e e = x x e Prof José uis Quiero 6

17 Para demosrar la desigualdad de Bessel, es suficiee co oservar que = = x ( x e ) e = x ( x e ) para odo x e V y oda E cosecuecia = ( x e ) x para oda, y las sumas parciales de la serie = ( x e ) forma ua sucesió o decreciee (acoada) de úmeros reales o egaivos Por u eorema ie coocido del cálculo se cocluye que esa serie coverge y que ( x e) x = Termiado la demosració ahora se supoe que e, e, es ua ase oroormal para V Eoces, se sae que Por lo ao y se sigue de (3) que Por ao ( x e) e = x = x e e, = lím x ( ) = lím x ( x e ) = = ( x e) = x, = que es la igualdad de Parseval Fialmee, ya que los eslaoes de esa cadea de razoamieos so reversiles, se cocluye que e, e, es ua ase siempre que la igualdad de Parseval se saisfaga, y la demosració esá complea 49 PROBEMA DE STURM-IOUVIE Ejemplo 7 y'' + y =, y() =, y( ) = Solució Para resolver ese ejemplo simplemee se aplica las codicioes de froera a la solució geeral csex + c cos x para deducir que c = y que c es ariraria Así, y = csex dode c es ua cosae ariraria, es ua solució geeral de ese prolema paricular Prof José uis Quiero 7

18 Se dirá que las codicioes de froera dadas, so homogéeas siempre que γ = γ = as solucioes de u prolema co valor e la froera, que cosidera u operador diferecial lieal : δ C a,, esá íimamee ligadas a las solucioes de la ecuació y = λ y, (4) dode λ es u parámero descoocido E ese marco, se requiere ecorar odos los valores de λ para los cuales (4) admie solucioes o riviales e δ, y luego ecorar las solucioes correspodiees a esas λ Se puede oservar que (4) puede volver a escriirse ( λ I)y =, dode I idica la rasformació ideidad que evía cada fució e C a, sore sí misma, o como a (x)y'' + a (x)y' + a (x) λ y = si = a (x)d + a (x)d + a (x) Así, para cada valor de λ, (4) es ua ecuació diferecial lieal homogéea de segudo orde, y el cojuo solució de cualquier prolema (homogéeo) co valor e la froera que cosidere esa ecuació, es el espacio ulo, e δ, del operador λ I Ejemplo 8 Resuelve el prolema co valor e la froera Solució y'' + λ y =, y() =, y( ) = (5) Aquí, δ es el espacio de odas las fucioes dos veces coiuamee difereciales e, que se aula e los puos exremos del iervalo, y es el operador lieal de segudo orde D (El sigo meos se ha iroducido úicamee para simplificar los resulados fiales Si él, los valores adecuados de λ sería egaivos) Se disigue res casos, segú que λ =, λ < y λ > Caso I λ = Aquí la ecuació diferecial iee a c + c x como su solució geeral, y las codicioes de froera implica que c = c = Así, (5) o iee solucioes o riviales cuado λ = Caso λ < Ahora, y λx λx y = c e + c e, y las codicioes de froera da ora vez Caso 3 λ > Aquí, la solució geeral de y'' + λ y = es y = cse λ x + c cos λ x, (6) y las codicioes de froera da el par de ecuacioes c =, c se λ = Así, (5) admie solucioes o riviales si, y solamee si, se λ = ; eso es, si, y solamee si, λ asume uo de los valores λ =, dode =,, Prof José uis Quiero 8

19 Para cada uo de esos valores de λ, la cosae c e (6) permaece ariraria, siguiédose que el espacio solució correspodiee a λ es el suespacio uidimesioal de C, geerado por la fució se(x) os úmeros λ = que deermia los casos e que (5) iee solucioes o riviales so llamados los valores propios para ese prolema, y cada solució o rivial correspodiee al valor propio λ es llamada vecor propio o fució propia pereeciee a λ Esa ermiología se geeralizará luego, para icluir ua clase mucho más amplia de prolemas y, por el momeo, sólo se pide que oserve que cualquier cojuo de fucioes propias, al como se(x), se(x), se(3x),, uo para cada valor propio, es orogoal e C, Defiició U prolema de Surm-iouville es ua ecuació diferecial ordiaria de segudo orde homogéea de la forma d (r(x)y') + (q(x) + λ p(x))y =, a < x < (7) dx sujea a las codicioes de froera α y(a) + β y'(a) =, α y() + β y'() =, (8) dode p(x), q(x), r(x) y r '(x) so fucioes coiuas e a, os coeficiees e las ecuacioes (7) y (8) se supoe reales e idepediees de λ Además, α y β o so cero amas i α y β o so cero amas Resolver u prolema de Surm-iouville es hallar los valores propios (auovalores) y fucioes propias (auofucioes) o riviales que saisfaga (7) y (8) Al prolema aerior se le suele llamar prolema regular o prolema ormal de Surm-iouville TEOREMA 6 (Propiedades del prolema regular de Surm-iouville) a Exise u úmero ifiio de valores propios reales que se puede ordear e forma creciee, λ < λ < < λ < de modo que λ cuado A cada valor propio correspode solo ua fució propia c as fucioes propias que correspode a los diversos valores propios so liealmee idepediees d El cojuo de fucioes propias que correspode al cojuo de los valores propios es orogoal co respeco a la fució peso p(x) e el iervalo a, Demosració de la propiedad (d) Sea y m y y las fucioes propias que correspode a los valores propios λ m y λ, respecivamee Eoces d (r(x)y ' m ) + (q(x) + λ m p(x))y m = (9) dx Prof José uis Quiero 9

20 d (r(x)y ' ) + (q(x) + λ p(x))y = () dx Al muliplicar la ecuació (9) por y y la ecuació () por y m y resar los d ' d ' resulados se oiee ( λ m λ )p(x)y my = y m (r(x)y ) y (r(x)y m) dx dx Se iegra por pares ese resulado, desde x = a hasa x =, y se llega a ' ' ' ' m a m m m m m ( λ λ ) p(x)y y dx = r() y ()y () y ()y () r(a) y (a)y (a) y (a)y (a) Ahora ie, las fucioes propias y m y y dee saisfacer, amas, las codicioes e la froera (8) Por ejemplo, de acuerdo a ua de las codicioes se iee ' ' m m α y (a) + β y (a) =, α y (a) + β y (a) = Para que α y β saisfaga ese sisema, o ulos simuláeamee, el deermiae de los coeficiees dee ser igual a cero: ' ' m m y (a)y (a) y (a)y (a) = Se aplica u argumeo semejae a la ora codició de (8) y se oiee ' ' m m y ()y () y ()y () = Como los dos miemros del lado derecho de la ecuació so cero, se ha esalecido la relació de orogoalidad p(x)y m(x)y (x)dx =, λm λ a Ejemplo 9 Resuelva el prolema de valores e la froera Solució y'' + λ y =, y() =, y() + y'() = () Se puede comproar que para λ < y para λ =, el prolema plaeado por la ecuació () sólo posee la solució rivial y = Cuado λ >, la solució geeral de la ecuació diferecial es y = c cos λ x + cse λ x Ahora ie, la codició y() = implica que e esa solució, c = Cuado y = cse λ x, se saisface la seguda codició de froera y() + y'() =, siempre que cse λ + c λ cos λ = Al escoger c, se ve que esa úlima ecuació es equivalee a g λ = λ Si se hace x = λ, los valores propios del prolema () so, eoces, λ = x, dode x, =,,3, so las raíces posiivas cosecuivas E geeral, las fucioes propias del prolema so { } se( λ x, =,,3, Al ideificar r(x) =, q(x) =, p(x) =, α =, β =, α =, β = se ve que la ecuació () es u prolema regular de Surm-iouville Así, { λ } se( x, =,,3, es u cojuo orogoal co respeco a la fució peso p(x) = e el iervalo, A coiuació se cosidera ciero úmero de prolemas de Surm-iouville que se ecorará repeidamee e raajos poseriores y que, por coveiecia de Prof José uis Quiero

21 referecia, se resuelve aquí, de ua vez por odas E cada caso se limiará a ecorar valores propios y fucioes propias, y se pospoe cualquier discusió de cómo usar esa iformació para resolver prolemas específicos co valor e la froera que ivolucre el operador cosiderado Ejemplo Resuelva el sisema de Surm-iouville Solució y'' + λ y =, y() =, y() =, < x < Esa es ua variae de u prolema que se ha cosiderado muchas veces y, e esa ocasió, se ecuera que las cosaes dadas por y las fucioes λ =, =,, x y (x) = se, =,,, so cosiderados cojuos compleos de valores propios y fucioes propias Se verá e dealle su resolució: Se iee res opcioes: Susiuyedo: λ < λ = : x y'' y = m = m = ± x y(x) = c e + c e, y() = c + c = c = c x x y(x) = c (e e ), y() = c (e e ) = c =, c = y(x) = Coduce a solució rivial λ = : y'' = y(x) = cx + c y() = c = y(x) = cx y() = c =, pero, eoces coduce a solució rivial λ > : λ = : y'' + y = y(x) = c cos(x) + c se(x) Al evaluar y() = c = y(x) = cse(x) y() = cse() = se() = = = Al susiuir se iee: y = cse x Como (Solució o rivial) = λ = Auovalores Ejemplo Resuelva el sisema de Surm-iouville y'' + λ y =, y'() =, y'() = Solució Prof José uis Quiero

22 U cálculo similar e odos los aspecos al que se usó para resolver el ejemplo aerior, revela que los valores propios para ese prolema so las cosaes o egaivas λ =, =,,, y que x y (x) = cos, =,,,, cosiuye u cojuo compleo de fucioes propias Ejemplo Resuelva el sisema de Surm-iouville y'' + λ y =, y() =, hy() + y'() =, cosiderado que h y so cosaes posiivas Solució Como es usual, se esudia por casos, depediedo del sigo algeraico de λ, y uevamee se ecuera que o hay valores propios Por ora pare, cuado λ >, y = cse λ x + c cos λ x, y la primera codició de froera implica que c = Así, queda pediee (si es que queda) elegir λ e forma al que la fució y = cse( λ x), co c, saisfaga la ecuació hy() + y'() = Eso, a su vez, implica que λ dee escogerse e forma al que λ se( λ ) = cos( λ ) ; () h ua ecuació que vuelve a escriirse como µ gµ = (3) h haciedo µ = λ Auque es imposile resolver () explíciamee para λ, sus solucioes puede visualizarse coforme surge, a ravés de (3), e los puos de iersecció de las gráficas de las fucioes gµ y µ /h Hay ua ifiidad de ales puos localizados siméricamee co respeco al orige Así, el prolema cosiderado iee u úmero ifiio de valores propios µ posiivos λ =, =,, A coiuació se muesra la gráfica (figura ) para el caso h =, =, µ = x ): Prof José uis Quiero

23 Figura Prolema del Surm-iouville del ejemplo λ < λ para oda, y lím λ = (Tamié oserve, de la geomería del caso, co + se iee que lím( λ+ λ ) = ) as fucioes µ x y (x) = se = se( λ x), =,, cosiuye u cojuo compleo de fucioes propias para ese prolema Ejemplo 3 Cosidere el prolema co valores e la froera y'' + y' + ( λ )y = y() =, y() = Halle los valores propios y las fucioes propias y deermie ua relació de orogoalidad ere las solucioes Solució Si λ < se iee que la solució es Co las codicioes iiciales se iee ao λ = y x x y(x) = e c cos(x) + c se(x), dode = λ = c, = e c se() Si c, = Por lo y (x) = e se( x) Sea la fució de peso p(x) = e, se iee la siguiee relació de orogoalidad ere las solucioes: x e e x se(m x)e x se( x)dx = x 4 FORMA AUTOADJUNTA DE PROBEMAS DE STURM-IOUVIE Si los coeficiees so coiuos y a(x) para odo x e algú iervalo, eoces cualquier ecuació diferecial de segudo orde Prof José uis Quiero 3

24 a(x)y'' + (x)y' + (c(x) + λ d(x))y = (4) se puede llevar a la forma auoadjua, ecuació (7), si se muliplica por el facor iegrae e a(x) ((x) a(x))dx Para comproarlo, se oserva que la ecuació diferecial ( / a)dx (x) ( / a)dx c(x) ( / a)dx d(x) ( / a)dx e y'' + e y' + e e + λ y = a(x) a(x) a(x) es la misma que d ( / a)dx c(x) ( / a)dx d(x) ( / a)dx e y' + e e + λ y = (5) dx a(x) a(x) Eoces ( / a)dx r(x) = e, c(x) ( / a)dx q(x) = e, a(x) d(x) ( / a)dx p(x) = e a(x) Desde luego que o es ecesario llevar a ua ecuació diferecial de segudo orde como la (4) a la forma auoadjua (7), para resolverla Se usará la forma de la ecuació (5) para deermiar la fució peso p(x) que se ecesia e la relació de orogoalidad Ejemplo 4 Ecuere los valores propios y las fucioes propias para el prolema de Surm-iouville y'' + 4y' + (4 9 λ )y =, y() =, y(a) = Solució E primer lugar, se escriirá e forma auoadjua como d 4x dy 4x 4x e (4e (9e ))y, y(), y(a) dx + λ = = = dx Así, las fucioes propias correspodiees a diferees valores propios para ese prolema será muuamee orogoales e el espacio euclidiao C, a co produco ierior calculado co relació a la fució peso 4x p(x) = 9e Caso I λ > Aquí la solució geeral de y'' + 4y' + (4 9 λ )y = viee dada por y las codicioes de froera implica que c + c =, ( + 3 λ)x ( 3 λ)x y = c e + c e, ( + 3 λ)a ( 3 λ)a c e + c e = Así c = c = y el prolema o iee valores propios posiivos Caso II λ = Ahora la solució geeral de la ecuació es uevamee se ecuera que c = c = a (c + c x)e, y Caso III λ < Aquí x y = e (c se(3 λ x) + c cos(3 λ x)) Prof José uis Quiero 4

25 y la exigecia de que y() = y(a) = da c =, cse λ a = E cosecuecia el prolema iee solucioes o riviales si, y solamee si, λ saisface la ecuació se(3 λ a) =, siguiédose que los valores propios para ese prolema so λ =, =,, 9a Para ecorar u cojuo de fucioes propias correspodiees, ahora se hace c =, c = y λ = λ y se oiee x x ϕ (x) = e se, =,, a Ejemplo 5 Ecuere los valores propios y las fucioes propias del prolema de Surm-iouville dado por y'' + y =, y() = y( ), y'() = y'( ) Solució Caso = y''(x) = y(x) = c + cx Auovalor = Auofució y = c c y() = y( ) c = c + c c = y(x) = c, y'() = y'( ) = y(x) = c Caso = λ, λ y'' λ y = y(x) = c cosh( λ x) + c seh( λ x) 3 4 y() = y( ) c = c cosh( λ ) + c seh( λ), y'() = y'( ) c λ = c λseh( λ ) + c λ cos h( λ) c (cosh( λ) ) + c seh( λ ) =, c seh( λ ) + c (cos h( λ) ) = Por lo ao se iee u sisema de ecuacioes lieales homogéeo El valor del deermiae del sisema correspode a (cosh( λ) ) se h( λ ) = cos h( λ) cosh( λ ) + se h( λ) = cosh( λ) E cosecuecia c 3 = c 4 = es la úica solució y se iee y(x) = Caso (Aleraivo) = λ, λ λx λx 3 4 y'' λ y = y(x) = c e + c e λ λ λ λ y() = y( ) c + c = c e + c e, y'() = y'( ) λ(c c ) = λ(c e c e ) λ λ λ λ c (e ) + c (e ) =, c (e ) c (e ) = Por lo ao se iee u sisema de ecuacioes lieales homogéeo El valor del deermiae del sisema correspode a λ λ λ λ λ λ (e )(e ) = ( e e + ) = ( (e + e )) E cosecuecia c 3 = c 4 = es la úica solució y se iee y(x) = Caso 3 = λ, λ y'' + λ y = y(x) = c cos( λ x) + c se( λ x) 5 6 y() = y( ) c = c cos( λ ) + c se( λ ), y'() = y'( ) λ c = λ(c cos( λ) c se( λ)) c (cos( λ) ) + c se( λ ) =, c se( λ ) + c ( cos( λ )) = Por lo ao se iee u sisema de ecuacioes lieales homogéeo El valor del deermiae del sisema correspode a (cos( λ) ) se ( λ ) = cos ( λ ) + cos( λ) se ( λ ) = (cos( λ) ) cos( λ) = cos( λ ) = λ = λ = Por ao los auovalores viee dados por SOUCIÓN FINA: = λ = =, y las auofucioes y (x) = c5 cos(x) + c6se(x) = =, y las auofucioes y (x) = c5 cos(x) + c6se(x) Prof José uis Quiero 5

26 4 FUNCIONES PARES Y FUNCIONES IMPARES a area de calcular las iegrales que surge e el esudio de series orogoales, puede simplificarse a meudo, al sacar provecho de la simería de las fucioes ivolucradas Esa écica, geeralmee se formaliza por la iroducció de las ocioes de fucioes pares e impares, como sigue: Defiició 3 Se dice que ua fució f, defiida e u iervalo cerado e el orige, es par si f( x) = f(x) para oda x e el domiio de f, e impar si f( x) = f(x) Eso, por supueso, es jusamee ora forma de decir que ua fució es par si su gráfica es simérica co respeco al eje verical, e impar si su gráfica es simérica co respeco al orige Así, para valores eeros de, x es par, si es par; e impar, si es impar a imporacia de las fucioes pares e impares para ese raajo, ace de las igualdades siempre que f sea par e iegrale, y a a = a f(x)dx f(x)dx a a f(x)dx = siempre que f sea impar e iegrale Ua propiedad u ao meos ovia de las fucioes pares e impares, se esalece e el siguiee TEOREMA 7 Cada fució e el iervalo a, a forma de ua suma de ua fució par y ua fució impar Demosració Sea f ua fució ariraria e a,a, y sea f f(x) f( x) f(x) f( x) E(x) = +, f (x) = puede expresarse jusamee e Es rivial verificar que f E es par, f impar, y que f = fe + f Así, f iee cuado meos ua descomposició de la forma deseada, y queda por demosrar que es la úica Co ese fi, se supoe que amié se iee f = ge + g, co g E par y g impar Eoces, f E + f = g E + g, y f E g E = g f Pero la diferecia de dos fucioes pares es par, y la diferecia de dos fucioes impares es impar Así, la fució defiida por la igualdad aerior es simuláeamee par e impar, y así, dee ser la fució cero E oras palaras, f E g E = g f =, de dode se sigue que ge = fe y g = f, como se deseaa as fucioes f E y f so coocidas, respecivamee, como las pares par e impar de f Ejemplo 6 Si f(x) = e, eoces x x x e + e f E(x) = y x x e e f (x) = Así, las pares par e impar de la fució expoecial so el coseo hiperólico y el seo hiperólico, respecivamee Prof José uis Quiero 6

27 4 SERIES DE FOURIER E esa secció se iicia el esudio de series orogoales cosiderado el desarrollo e serie relaivo a las fucioes, cos x, sex, cos(x), se(x), Ya se ha viso que esas fucioes so muuamee orogoales e PC,, y se proará e forma reve que amié so ua ase Garaizado lo ciero de ese hecho, puede uilizarse la fórmula x e x = e = e para expresar cualquier fució coiua por ramos f e el iervalo, forma f f cos(x) f se(x) f(x) = + cos(x) se(x) + (media) = cos(x) se(x) e la dode la oació (media) idica que la serie e cuesió coverge e la media a f Pero ya que = dx =, eoces se iee que cos(x) = cos (x)dx =, se(x) = se (x)dx =, (a cos(x) se(x) (media), (6) = a f(x) = + + dode a = f(x) cos(x)dx, =,,,, = f(x)se(x)dx, =,, Esa represeació paricular es coocida como su desarrollo e serie de Fourier e el iervalo,, y las a y so llamadas los coeficiees de Fourier Ua vez más se efaiza que (6) dee leerse como ua afirmació de que la serie e cuesió coverge e la media a f, o que coverja puo por puo e el seido de que a = + + = f(x ) (a cos(x ) se(x )) para oda x e, E efeco ya que el valor de f e x puede camiarse arirariamee, si camiar los valores de sus coeficiees de Fourier, eso sería demasiado esperar Pero, sorpredeemee, siempre que f se compore razoalemee ie, coverge a f(x) para oda x Ejemplo 7 Ecuere el desarrollo e serie de Fourier, de la fució < x < f(x) = < x < Solució Prof José uis Quiero 7

28 E ese caso f es ua fució impar e, E cosecuecia, así es f(x)cos(x), de modo que a =, para oda Por ora pare, f(x)se(x) es par y, por lo ao, se iee 4 =,3,5, = se(x)dx = ( cos( )) = =,4,6, Por ao, el desarrollo e serie de Fourier de f es 4 se(3x) se(5x) 4 se( )x f(x) = se(x) = 3 5 = A coiuació se presea alguas gráficas (ver figuras 3, 4 y 5): 4se(x) y = Figura 3 Primer desarrollo de Fourier para el ejemplo 7 4 se(3x) se(5x) y = se(x) Figura 4 Segudo desarrollo de Fourier para el ejemplo 7 Prof José uis Quiero 8

29 4 se(3x) se(5x) se(7x) se(9x) y = se(x) Figura 5 Tercer desarrollo de Fourier para el ejemplo 7 TEOREMA 8 Sea f ua fució suave por ramos e PC,, por lo que se eiede que f iee ua primera derivada coiua por ramos e, Eoces el desarrollo e serie de Fourier para f coverge puo por puo dodequiera e,, y iee el valor + f(x ) + f(x ) e cada puo x e el ierior del iervalo, y e ± + f( ) + f( ) Cuado se aplica esos resulados al ejemplo aerior, permie afirmar que la serie 4 se(3x) se(5x) se(x) coverge puo por puo e el iervalo, si < x <, si x =,, si < x < o Así, por ejemplo, cuado x =, el valor de la serie es, y eoces 4 = , Prof José uis Quiero 9

30 = TEOREMA 9 El desarrollo e serie de Fourier de ua fució f suave por ramos e PC, coverge puo por puo e oda la reca real Más aú, si F idica la exesió periódica de f, eoces el valor de la serie es F(x ) cuado x es u puo de coiuidad de F, y + F(x ) + F(x ) cuado x es ua discoiuidad por salo de F Ejemplo 8 Halle el desarrollo e serie de Fourier de la fució f(x) = x, < x < Solució E ese caso, f es ua fució par e, E cosecuecia, = para oda, mieras que, para, xse(x) a = x cos(x)dx = se(x)dx 4,3,5,, cos(x) (cos( ) ) = = = = =,4,6, Fialmee, cuado =, se iee siguiedo que a = xdx =, 4 cos(3x) cos(5x) 4 cos( )x x = cos(x) = 3 5 ( ) = Alguas gráficas (ver figuras 6 y 7): 4 cos(3x) y = cos(x) + 9 Figura 6 Primer desarrollo de Fourier para el ejemplo 8 Prof José uis Quiero 3

31 4 cos(3x) cos(5x) cos(7x) y = cos(x) Figura 7 Segudo desarrollo de Fourier para el ejemplo 8 Ejemplo 9 Sea g la fució e PC, defiida por < x < g(x) = < x < Eoces, co f como e el ejemplo 7, g = ( + f) = + f, y se cocluye que el desarrollo e serie de Fourier de g es se( )x f(x) = + = a moraleja de ese ejemplo es que ua serie de Fourier puede, alguas veces, ecorarse si recurrir a la iegració Ora forma de expresar la serie sería ( ) f(x) = + = se(x) (ver figuras 8, 9, y ) Gráficas: = s (x) = + se(x) Figura 8 Primer desarrollo de Fourier para el ejemplo 9 Prof José uis Quiero 3

32 se(3x) = 3 s 3(x) = + se(x) + 3 Figura 9 Segudo desarrollo de Fourier para el ejemplo 9 se(3x) se(5x) se(7x) = 7 s 7(x) = + se(x) Figura Tercer desarrollo de Fourier para el ejemplo 9 se(3x) se(5x) se(7x) se(9x) se(x) s (x) = + se(x) Prof José uis Quiero 3

33 Figura Cuaro desarrollo de Fourier para el ejemplo 9 43 SERIES DE SENOS Y COSENOS E los ejemplos aeriores se ausó del hecho de que las fucioes cosideradas era pares o impares, para simplificar la area de ecorar su desarrollo e serie de Fourier Esa écica puede ser exploada más frecueemee de lo que se pudiera esperar, y es de suma imporacia para sacarla al descuiero Específicamee, si f es ua fució par e PC,, eoces, para odos los valores de, f(x)cos(x) es par, y f(x)se(x) es impar Así, se iee que f(x) cos(x)dx = f(x) cos(x)dx, f(x)se(x)dx =, siguiédose que el desarrollo e serie de Fourier de ua fució par e PC, icluye solamee érmios coseos y puede calcularse de acuerdo co la fórmula dode a f(x) = + acos(x), a = = f(x) cos(x)dx U argumeo similar muesra que el desarrollo e serie de Fourier de ua fució par e PC, icluye solamee érmios seos, y se calcula co dode f(x) = se(x), = = f(x)se(x)dx Prof José uis Quiero 33

34 E las aplicacioes de la eoría de las series de Fourier, frecueemee se ecesia oeer el desarrollo e serie para ua fució f coiua por ramos, que esá defiida solamee e el iervalo, Ua forma de hacerlo es, exediedo f e odo el iervalo, (dode co eso quiere decirse que ua F es s defiida e, de al modo, que F coicide co f e, ), y eoces F se desarrolla como ua serie de Fourier o esecial de ese méodo iee relació co la forma e que f es exedida a, Eso por supueso, puede hacerse e la forma que sea (e ao que la fució resulae pereezca a PC, ), pero las dos exesioes so las más coveiees e imporaes a primera es la llamada exesió par de f, idicada por E f, y defiida por f(x) x E f(x) = f( x) x < mieras la seguda es la exesió impar de f, idicada por O f, y defiida por f(x) x O f(x) = f( x) x < Se iee eoces los desarrollos f = a E (x) = + a cos(x), a = f(x) cos(x)dx f = y O (x) = se(x), = f(x)se(x)dx Esas series so llamadas respecivamee, los desarrollos e serie de Fourier de coseo y de seo de f U érmio, u ao exraviado desarrollo semiiervalo amié es usado e ese coexo Ejemplo 3 Halle el desarrollo de Fourier de < x f(x) = x x < y pruee, usado el desarrollo aerior, que + ( ) = = Solució Sea a f(x) = + (a cos(x) + se(x)) = 3 x a = x dx = = 3 3 Prof José uis Quiero 34

35 a = x cos(x)dx = xse(x)dx x se(x) x se(x) x cos(x) se(x) = + impar : = = par : = = Por ao : a x se(x)dx se(x) cos(x) x cos(x) x = = + + ( ) = 4 impar : = + par : = = = + ( ) ( ( ) ) + ( ) (( ) ) Por ao : = = + 3 De modo que: + ( ) (( ) ) f(x) = + ( ) cos(x) + + se(x) 6 3 = Si se hace x = se iee: + ( ) = = = = + ( ) ( ) = = 6 6 Ejemplo 3 Ecuere la serie de Fourier de < x < f(x) = x < Ra = ( ) f(x) = + se(x) (ver figuras, 3, 4 y 5) s (x) se(x) = = + Figura Primer desarrollo de Fourier para el ejemplo 3 Prof José uis Quiero 35

36 se(3x) = 3 s 3(x) = + se(x) + 3 Figura 3 Segudo desarrollo de Fourier para el ejemplo 3 se(3x) se(5x) se(7x) = 7 s 7(x) = + se(x) Figura 4 Tercer desarrollo de Fourier para el ejemplo 3 se(3x) se(5x) se(7x) se(9x) se(x) s (x) = + se(x) Prof José uis Quiero 36

37 Figura 5 Cuaro desarrollo de Fourier para el ejemplo 3 Ejemplo 3 Ecuere la serie de Fourier de < x < f(x) = x x < y usela para calcular el valor de la serie Solució a Se iee eoces que Si x = : Si x = : Por lo ao: ( ) + ( ) ( ) = x a = xdx = = = ( ) = x cos(x)dx = + ( ) xse(x)dx = = + ( ) ( ) f(x) = + cos(x) + se(x) 4 = ( ) ( ) = = = = ( ) = cos ( ) + se 4 ( ) = = + + ( ) ( ) ( ) = se 4 = = 4 4 = = = ( ) + = ( ) ( ) 8 4 = Prof José uis Quiero 37

38 Ejemplo 33 Desarrolle e serie de Fourier Solució Co p =, se iee que, < x < f(x) = x, < x < x a = f(x)dx = dx + ( x)dx = x =, a = f(x) cos(x)dx = odx + ( x) cos(x)dx se(x) cos(x) cos( ) + ( ) = ( x) + se(x)dx = = = E forma aáloga, se oiee que = ( x)se(x)dx = Por lo ao, ( ) f(x) = + cos(x) + se(x) 4 = 44 CAMBIO DE INTERVAO Hasa ahora se ha raado exclusivamee co fucioes e los iervalos, y, Para muchas fialidades, si emargo, ese marco es demasiado resricivo, y ahora se propoe geeralizar los resulados a u iervalo arirario a, Pero más ie empezar desde luego co el caso más geeral, resulará más secillo si primero se cosidera iervalos de la forma p,p y sus espacios euclidiaos asociados PC p,p Porque así, la siuació puede resolverse mejor E realidad, casi es ovio que las fucioes x x x x, cos, se, cos, se, p p p p so muuamee orogoales e PC p,p Más aú, jusamee como e el caso dode p =, puede demosrarse que esas fucioes so ua ase para ese espacio y, e cosecuecia, que sus series orogoales asociadas (las que, de paso, so aú llamadas series de Fourier) coverge e la media Y fialmee, eiedo e cuea la logiud del iervalo, odas las oservacioes aeriores referees a la covergecia por puos, so válidas e ese caso Eoces, = a x x f(x) = + a cos + se p p dode p x p x a = f(x) cos dx, p = f(x)se dx p p p p p Prof José uis Quiero 38

39 para oda Y co eso se ha logrado a discusió aerior puede adaparse fácilmee para maipular el espacio euclidiao PC a, E efeco, si se esalece p = a, de maera que a, = a, a + p, las fucioes aeriores amié so ua ase para PC a,a + p Eso imediaamee lleva a las fórmulas para calcular el desarrollo e serie de Fourier de ua fució f e PC a, de la forma: dode para oda, = a x x f(x) = + a cos + se a a x a a a x a a a a = f(x) cos dx, = f(x)se dx, Ejemplo 35 Halle el desarrollo e serie de Fourier, e PC, Solució E ese caso, a =, de modo que a = x cos( x)dx, = xse( x)dx Iegrado por pares se iee ahora: a =, a =,, = Por lo ao se(4 x) se(6 x) f(x) = se( x) de la fució f(x) x = Ejemplo 36 Ecuere el desarrollo e serie de Fourier de la fució x x 3 f(x) = 4 x 3 x 4 Solució as fórmulas sería a = f(x) cos( x)dx = (x ) cos( x)dx + (4 x) cos(x)dx = f(x)se( x)dx = (x )se( x)dx + (4 x)se( x)dx 3 Auque esas iegrales puede calcularse direcamee, los cálculos puede simplificarse cosideralemee al omar e cuea el siguiee argumeo: Desigado por F la exesió periódica de f e odo el eje x Eoces, las fucioes F(x) cos( x) y F(x)se( x) so periódicas co período, y se iee a+ 4 a+ 4 F(x) cos( x)dx = f(x) cos(x)dx, F(x)se( x)dx = f(x)se( x)dx a a para cualquier úmero real a (E ese puo se uiliza el hecho ovio de que si g es coiua por ramos e (, ) co período p, eoces g(x)dx = a+ p + p a g(x)dx Prof José uis Quiero 39