_ b Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones 2. a y 3. a : 3 3x

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1 loque I. Álger Mtemátics licds ls iencis Sociles II utoevlución Págin Resuelve e interret geométricmente los siguientes sistems: x + y = z x= ) x y = ) x+ z y = x + y = x z= _ ) x + y = x y = ` Resolvemos el sistem formdo or ls ecuciones. y. : x + y = x y= x = x = / x + y= y= x y = / omromos si d, n verific l. ecución: + El sistem es incomtile, no tiene solución. Reresent tres rects que se cortn dos dos. ) z x= x+ z y = z = x x z= x ( x) = x = x = Sustituyendo x = en ls ecuciones.ª y.ª otenemos z =, y =. El sistem es comtile determindo, tiene solución únic. Los tres lnos se cortn en un unto. omo el sistem es homogéneo, ese unto es el origen de coordends O = (,, ). omrue que el siguiente sistem es comtile determindo y hll su solución: x + y + z = y + z = x + y = x + y + z = Si el sistem es comtile determindo, dee verificrse que rn ( ) = rn (' ) =, según el teorem de Rouché. omo ' es un mtriz cudrd drden, su determinnte dee ser igul. (.ª) (.ª) ' = = = orque l. (.ª) + (.ª) y. fils son igules. (.ª) + (.ª) Podemos eliminr l últim ecución y resolverlo or l regl de rmer: x + y+ z = y+ z = = x + y = x = = ; y = Solución: d,, n = ; z = =

2 loque I. Álger Mtemátics licds ls iencis Sociles II Se M = f m + : m ) Estudi el rngo de M según los vlores de m. ) Pr m =, clcul l invers de M. ) Pr que los vectores fil de M sen linelmente indeendientes, rn (M ) tiene que vler. Pr que rn (M ) = M. M = m + = m + m m =, m = m Los vectores fil de M son linelmente indeendientes si m y m. Si m y m rn (M ) =. Si m = M = f Tommos el menor formdo or ls dos rimers columns y l rimer y tercer fils. = rn (M ) = Si m = M = f Tommos el menor formdo or ls dos rimers columns y ls dos rimers fils. = rn (M ) = ) Si m = M = f M = M = f = f / / / Dd l mtriz =, otén tods ls mtrices que conmutn con, es decir, ls que verificn que =. Se = c d c d c = = e o= c d c d d = c = d = = c d d c d d = c d c = d = Hy infinits soluciones. Ls mtrices que cumlen = son de l form: = e o con, Á Por ejemlo, si = y = : = e o

3 loque I. Álger Mtemátics licds ls iencis Sociles II Desej l mtriz X en l ecución mtricil X X = y hll su vlor siendo = e y = e o. X X = ( I ) X = X = ( I ) I = = ( I ) = X = = o Se M un mtriz drden tres cuys fils son F, F, F y de l que semos que det (M) =. uál será el vlor del determinnte de l mtriz cuys fils son F F, F, F + F? Justific tu resuest. M = (F F F ), M = F F F F + F F F F () () () = F+ F = F F = F = ( ) = F + F F + F F () mimos el signo del determinnte l ermutr l.ª y.ª fils. () Scmos como fctor común el en l.ª fil y el en l.ª fil. () El vlor del determinnte no cmi l sumr l.ª fil l.ª, ni l restr l.ª fil l.ª. 7 Discute este sistem según los vlores de, resuélvelo cundo ssile e interret geométricmente cd cso: x + y ( + ) x + y y = + z = + z = + x + y = ( + ) x + y+ z = + y+ z = Estudimos el rngo de uscndo los vlores que hcen = : + = = = Si : rn ( ) = rn (' ) =, el sistem es comtile determindo. licmos l regl de rmer: x = + ( + ) = ; y = + + ( + ) = ; z = + + ( + ) = Solución: (,, ). Son tres lnos que se cortn en un unto.

4 loque I. Álger Mtemátics licds ls iencis Sociles II Si = : ' = f = rn ( ) = = rn (' ) = Por tnto, rn ( ) = rn (' ) =, el sistem es comtile indetermindo. x + y = y+ z = y= l x = + l z = y z = l Soluciones: ( + λ, λ, λ). Son tres lnos que se cortn en un rect. ) omrue que el siguiente sistem de ecuciones es comtile indetermindo: y + z x = x + z y = x + y z = ) Es osile ñdirle un nuev ecución de form que el sistem se comtile determindo? c) Y r que se incomtile? Justific tus resuests y on ejemlos. ) El sistem es comtilr ser homogéneo. = f = rn ( ) < El sistem es comtile indetermindo. ) Sí, or ejemlo, si ñdimos l ecución z = el sistem es comtile determindo. c) No es osilrque el sistem es comtilr ser homogéneo. 9 Un cooertiv frmcéutic distriuye un roducto en tres tios de envses,, y, cuyos recios y esos son los de est tl: Un frmci comr envses con un eso totl de, kg or un imorte de,9. uántos envses de cd tio h comrdo l frmci? eso (g) recio ( ),,, x = n. deenvses de x + y+ z = Llmemos: y= n. deenvses de, x +, y+ z =, z = n. deenvses de x +, y+, z = 9, Resolvemos or l regl de rmer:,, =,,, x =, 9,,,,, = ; y =,, 9,,, = ; z =,,,, 9,, = Solución: L frmci h comrdo envses del roducto, del y del.

5 loque I. Álger Mtemátics licds ls iencis Sociles II L sum de ls tres cifrs de un número es. Si se intercmin l rimer y l segund, el número ument en 9 uniddes. Si se intercmin l segund y l tercer, el número ument en 9 uniddes. lcul dicho número. Se l cifr de ls centens;, l de ls decens, y c, l de ls uniddes. El número es + + c. Semos que: + + c = Si intercmimos l. y. cifrs, result: + + c = + + c + 9 = Si intercmimos l. y l., tendremos: + c + = + + c + 9 c = + Resolvemos, ues, el sistem siguiente: + + c = = = ; =, c = c = + El número uscdo es. Ddo el recinto determindo or ls siguientes inecuciones: x+ y x+ y 7 x ; y ) Rzon si el unto de coordends (,;,7) ertenece l recinto. ) Reresent dicho recinto y clcul sus vértices. c) Indic dónde lcnzrá l función F (x, y) =,x + y sus vlores extremos. uáles serán dichos vlores? ) Si sustituimos ls coordends del unto en l segund inecución otenemos:, +,7 = 7, > 7 luego el unto no está en el recinto. ) x = x =, y = (, ) x + y= 7 x + y= x =, y = (, ) x + y= 7 x + y =,x + y = x + y = 7 c) L función F (x, y) =,x + y lcnz el mínimo en O (, ). El mínimo de F en l región es F (, ) =. y = x =, y = (, ) x + y= omo ls rects,x + y = K son rlels r : x + y = 7, en todos los untos de l rect r se lcnz el máximo. El máximo de F en l región es F (, ) = 7.

6 loque I. Álger Mtemátics licds ls iencis Sociles II Un fricnte de juguetes roduce dos juegos: tlls y Diujos. Los eneficios unitrios de cd juego y ls hors que requieren en cd un de ls secciones de l fáric se dn en l siguiente tl: elorción ensmlje emlje eneficios tlls diujos Si se disone de hors de elorción, hors de ensmlje y de emlje, cuál es l roducción que mximiz el eneficio? ) Resuélvelo gráficmente. ) nliz gráficmente qué ocurre si el eneficio del juego tlls se reduce en. ) x = número de uniddes de tlls y = número de uniddes de Diujos L función eneficio, en euros, que se quiere mximizr es: z = x + y Ls restricciones son: x + y x + y x + y x ; y L reresentción de l región de vlidez y l función ojetivo es: x + y = x + y = x + y = x + y = D L rect vrile x + y = K tom su vlor máximo, dentro de los válidos, en el vértice (, ). Es decir, dee fricr uniddes del juego tlls y uniddes del juego Diujos r mximizr el eneficio. ) En este cso, l función eneficio que se quiere mximizr es: z = x + y Ls rects x + y = K son rlels l rect x + y =, or tnto, serán soluciones todos los untos con coordends nturles en el segmento.

7 loque I. Álger Mtemátics licds ls iencis Sociles II x + y = x + y = x + y = x + y = D Stienen eneficios máximos fricndo: uniddes del juego tlls y uniddes del juego Diujos. uniddes del juego tlls y uniddes del juego Diujos. uniddes del juego tlls y uniddes del juego Diujos. 7 uniddes del juego tlls y uniddes del juego Diujos. uniddes del juego tlls y uniddes del juego Diujos. Un hiermercdo necesit, como mínimo, cjs de mnzns, de ers y de nrnjs. Pr stecerse uede cudir dos roveedores y que suministrn frut en contenedores. d contenedor de se comone de cj de mnzns, de ers y de nrnjs, y cuest, mientrs que cd contenedor de se comone de cj de mnzns, de ers y de nrnjs, y cuest 7. verigu cuántos contenedores dee edir el hiermercdo cd roveedor r curir sus necesiddes con el mínimo costsile, y cuánto scenderí dicho coste. Llmmos x los contenedores de e y los contenedores de. mnzns ers nrnjs totl x + y x + y x + y Restricciones: x + y x + y x + y x ; y L función ojetivo que nos d el coste es: F (x, y) = x + 7y L reresentción de l región de vlidez y l función de coste se muestr l derech: x + y = x + y = x + y = D x + y = L rect vrile x + 7y = K tom su vlor mínimo, dentro de los válidos, en el vértice (, ). Es decir, se deen comrr, r minimizr los costes gloles, contenedores de y contenedor de. El coste mínimo será: F (, ) = + 7 = 7

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