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Gloria Fidalgo Vázquez
hace 6 años
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1 11.7 EJERCICIOS RESUELTOS Ilustración N 1 En la figura las tres circunferencias son congruentes y tangentes dos a dos. Calcule el área de la región rayada en términos del radio común R. Procedimiento. 1. Determinemos el O 1 O 0 3 ; definición de triángulo.. O 1 O 0 3 es equilátero; por qué? ( 1 ( ( 3 3. m O ) = m O ) = m O ) = 60 ; de consecuencia por equivalencia. 4. Designamos por T 1, T, T 3 los puntos de tangencia. 5. T T 1 3 T T ; T1T 3 teorema de relaciones ángulos vs arcos, de las premisas y Sect O 1 T 1 T 3 sect O T 1 T sect O 3 T T 3 ; de 3 y A (región rayada) = A( O 1 O 0 3 ) 3A (sector O 1 T 1 T 3 ); de A( O 1 O 0 3 ) = ( R) 3 4 ; por qué? 9. A (sect O 1 T 1 T 3 ) = πr 60 ; teorema área del sector circular y A (sect O 1 T 1 T 3 ) = πr unidades de área; de A (región rayada) = R 3 πr ; sustitución 8 y 6 en 7. Ilustración N = R ( 3 π ) = 0.16 R unidades de área. Teorema de las Lúnulas de Hipócrates. Se designan como Lúnulas de Hipócrates, las dos figuras comprendidas entre las circunferencias construidas sobre la hipotenusa de un triángulo como cuerda diametral y las

2 construidas sobre los catetos como cuerdas diametrales, respectivamente. En la figura se determinan como las regiones rayadas. Demuestre que la suma de las áreas de las dos Lúnulas es igual al área del ABC. Demostración 1. A(L 1 ) + A(L ) = 1 π (AB ) + 1 π (AC ) [ 1 π (BC ) A( ABC)] *Observemos que los dos primeros sumandos de la derecha en la igualdad corresponden a las áreas de los dos semicírculos con cuerdas diametrales sobre cada uno de los catetos. Por tanto para determinar exactamente la suma de las áreas de las Lúnulas debemos restarle las áreas de los segmentos circulares con cuerdas sobre cada cateto y arcos en los arcos inferiores que delimitan cada una de las Lúnulas. La suma de estas áreas de los dos segmentos circulares con iguales a la diferencia entre el área del semicírculo de cuerda diametral sobre la hipotenusa y el área del ABC.. A(L 1 ) + A(L ) = 1 8 π. AB π. AC 1 8 π. BC + A( ABC); por qué? 3. A(L 1 ) + A(L ) = π 8 (AB + AC BC ) + A( ABC); por qué? 4. A(L 1 ) + A(L ) = π 8 (0) + A( ABC); por qué? 5. A(L 1 ) + A(L ) = A( ABC); de 4.

3 Ilustración N 3 En la figura ABCD es un cuadrado, de lado a, con centro en cada uno de los vértices y radio R = 1 AC se trazan los arcos: EO F, GO H, I O J, OL. K Calcule el área de la figura rayada. Procedimiento. Este tipo de ejercicios se constituye en un problema donde las relaciones espaciales juegan un papel tan importante como las mismas herramientas de la geometría. Por ello es necesario analizar con detalle las relaciones que presentan en sí mismas las figuras, en cuanto a su distribución, antes de tratar de ensayar cualquier cálculo, esto es diseñar una estrategia para abordar la solución del problema. 1. Consideremos en esta figura una cruz que se aproxima a la cruz de Malta y calculemos el área correspondiente a la mitad del aspa total. En particular señalemos el área de la región limitada por EOFJOI.. A(mitad de un aspa) = A(ABCD) A (semicirculo de centro en A y radio AF ) = A ( DEI) A( FBJ) ; por qué? 3. = A(ABCD) A (semicirculo de centro en A y radio AF ) 4. A (ABCD) = a ; área del cuadrado. 5. AF = 1 AC = 1 a = a ; por qué? = A(cuadrado de lado ); FB por qué? 6. A(semicirculo de centro en A y radio ) AF = 1 π (a ) ; teorema área del círculo. 7. FB = a AF = a a ; propiedad de la medida y sustitución de 5.

4 8. A(cuadrado de lado ) FB = (a a ) ; área del cuadrado y sustitución de A(mitad del aspa) = a 1 a a π (a ) ; sustitución de 4, 6, 7 en 3. = a π 4 a a (1 ) = a [1 π 4 = 0.13 a 10. A(de la cruz) = 0.13 a Ilustración N 4 (1 ) ] = 0.6 a en unidades de área. Construya un cuadrado equivalente a: 1. La suma de dos cuadrados dados.. La diferencia de dos cuadrados dados. Procedimiento. 1. Sean ABCD y PQRS dos cuadrados dados de lados de longitudes a y b en unidades de longitud respectivamente.. Si designamos por el lado del cuadrado correspondiente a la solución en el primer caso; se debe cumplir la siguiente relación: A (ABCD) + A(PQRS) = del cuadrado. ; teorema área

5 3. a + b = ; sustitución de 1 en. 4. En consecuencia corresponde a la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos de longitudes a y b respectivamente; por qué? 5. En el segundo caso; si designamos por m la medida del cuadrado equivalente a la diferencia de las áreas dadas; se debe cumplir que: A (ABCD) A(PQRS) = m. 6. a b = m ; sustitución de 1 en a = m + b ; despejando en En consecuencia m corresponde a la medida de un cateto en un triángulo rectángulo de hipotenusa de medida a y un cateto de medida b; por qué? Ilustración N 5 Si el perímetro de un triángulo es el doble de la longitud de una circunferencia inscrita en él, y el área del círculo es de 1 m calcule el área del triángulo. i. C(O, R) inscrito en ABC Hipótesis ii. Perímetro del ABC = longitud de C(O, R) iii. Área (círculo (O, R)) = 1m

6 Tesis: calcular A ( ABC) 1. Si designamos por H 1, H, H 3 los puntos de tangencia de C(O, R) con los lados AB, BC y AC respectivamente, entonces, OH 1 AB, OH BC y OH 3 AC ; por qué?. AB + BC + AC = (πr); de ii. 3. πr = 1 m ; de iii. y área del círculo. 4. R = 1 = 1.95 m; despejando en 3. π 5. AB + BC + AC = 4 π 1.95 m; sustitución de 4 en. = 4.5 m 6. Determinamos OA, OB y ; OC definición de segmentos. 7. A( ABC) = A( OAB) + A( OBC) + A( AOC); propiedad función área. 8. A( OAB) = 1 AB. OH 1; teorema área del triángulo. 9. A( OBC) = 1 BC. OH ; teorema área del triángulo. 10. A( AOC) = 1 AC. OH 3; teorema área del triángulo. 11. A( ABC) = 1 AB. OH BC. OH + 1 AC. OH 3; sustitución de 8, 9 y 10 en 7. Ilustración N 6 = 1 R (AB + BC + AC); factorizando. = m ; sustitución de 4 y 5. = 3.9 En la figura las circunferencias de radios 5 cm y 13 cm respectivamente, son tangentes entre si y tangentes, como indica de la figura al ABC. Calcule el área del ABC 1. Designamos por H, H y K los puntos de tangencia de las circunferencias con los lados AC y BC respectivamente; F y F los puntos de tangencia de las mismas

7 con AB ; T el punto de tangencia entre las dos circunferencias.. AF AH, BF BK, CH. CK Teorema rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior a ella. 3. Determinamos AO ; definición de semirrecta. 4. AO ; bisectriz de BAC; teorema rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior a ella. 5. O AO, K AO; por qué? 6. OK BC ; de 1, propiedad de los radios asociados a los puntos de tangencia (teorema). 7. AK es bisectriz y altura en el ABC; de 4, 5 y ABC es isósceles con AB AC ; de 7 por teorema reciproco de las propiedades de los segmentos notables del triángulo isósceles. 9. A ( ABC) = BC.AK ; teorema área del ABC. 10. AK = AG + GK = AG + 36 cm 11. Determinemos los radios O H y OH, definición de segmentos. 1. O H AC y OH AC ; de 1, por qué? 13. AO H ~ AOH, (A-A); por qué? 14. AO = O H AO OH 15. AG+5 = 5 AG+3 13 ; consecuencia de 13. ; sustitución en AG = 6.5 cm; despejando en AK = 4.5 cm; sustitución 16 en AKC ~ AO H (A-A); por qué? 19. KC 0. KC = AO = AK O H AC AH = AH ; consecuencia de 18. ; transitividad en 19 y sustitución. 1. AH = AO O H ; teorema de Pitágoras, en el AO H. = (11.5) 5 = 10.07cm. KC = cm; de 0 y = 0.97 cm 3. KC = CB ; por qué? 4. A( ABC) = cm ; sustitución 17 y en 9.

Ilustración N 7 = 885.98 cm. En un trapecio ABCD, las diagonales CA y BD se cortan en O.

8 Ilustración N 7 = cm. En un trapecio ABCD, las diagonales CA y BD se cortan en O. Si los triángulos formados tienen las áreas indicadas: A ( AOD) = a 1 ; A( DOC) = a ; A( BOC) = a 3 ; A( BOA) = a 4 Demostrar que el área del trapecio ABCD está dada por : Área ABCD = ( a + a 4 ) Demostración 1. A(ABCD) = A(( AOD) + A( DOC) + A( COB) + A( BOA). Por qué?. A(ABCD) = a 1 + a + a 3 + a 4 ; de El área del ADC = área del BCD. Por qué? 4. a 1 + a = a + a 3, luego a 1 = a 3 ; de A(ABCD) = a + a 4 + a 1 ; de 4 en. 6. Aplicando una relación entre las áreas de dos triángulos obtenemos: a 1 OA. OD = a OD. OC = OA OC siendo el AOD y DOC suplementarios. Son estas las únicas relaciones? Cuáles otras se podrían plantear? Cuáles de ellas llevan a la solución? Continuemos con el problema: nos 7. De 6, a 1 a = a 4 a 3, pero a 1 = a 3, entonces, (a 1 ) = a. a 4 y sustituyendo en 5 se tiene: A(ABCD) = a + a 4 + a. a 4. Luego: A(ABCD) = ( a + a 4 ) Por qué?

9 Ilustración N 8 ABCD es un cuadrado de lado a. Desde cada vértice como centro y con radio a se trazan arcos de circunferencia que se cortan en M, N, P, Q. Hallar el área de la región sombreada. Hipótesis ii. i. ABCD es un cuadrado. AQC DMB CNA Tesis: Hallar el área sombreada. Demostración. BPD 1. Determinemos MA y MB.. El área a determinar es cuatro veces el área sombreada DMC. Por qué? 3. Hallemos el área sombreada DMC A(DMC) = A(ABCD) A(sect(ADM)) A(sect(BCM)) A( AMB) Ahora: m ( MAB) = m ( MBA) = 60. Por qué? 4.m ( DAM) = m ( CBM) = 30. Por qué? 5. AM = MB = AB = r = a 6. Entonces el área del sector ADM = área del sector DCM 7. A(sombreada DMC) = A(ABCD) A(sect ADM) A( AMB) = (AB) [ 1 r θ] 1 AB. h = a a. π 6 1 a(a 3 )

10 = a (1 π 3 3) 1 8. Área sombreada = 4 A(DMC) = a (1 π 3 3) 3 NOTA: consultar el concepto de simetría.

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