Sucesiones. Límite de una

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1 Capítulo 3 Sucesioes. Límite de ua sucesió 3.. Itroducció La oció de sucesió es u istrumeto importate para el estudio de u gra úmero de problemas relativos a las fucioes. Ua sucesió es, simplemete, ua fució f : N R represetadas usualmete por a que se llama elemeto -ésimo de la sucesió y se escribe: a, a,, a, Diremos que ua sucesió a, a,, a, es covergete al ite α, o que coverge a α, cuado, a = α si para cualquier ε > 0, Nε) > 0 tal que se cumpla la desigualdad a α < ε, > Nε) léase: a tiede a α cuado tiede a más) ifiito) si ua sucesió o tiee ite, se dice que es divergete. 3.. Teoremas Básicos Si las sucesioes {a }, {b } so covergetes, etoces: a) a ± b ) = a ± b = α ± β b) a b = a b = αβ

2 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió a c) = b a b = α, si β b = β 0 a Si β = 0 α 0 = o existe. b a Si β = 0 α = 0 = puede o o existir b d) aγ = a ) γ = α γ, para γ R si α γ existe. e) γa = γ a = γ α, para γ R + si γ α existe. La demostració de estos teoremas so imediatos por medio de la defiició de covergecia. Asismismo, dichos teoremas muestra que cualquier cojuto fiito de operacioes matemáticas elemetales efectuadas co los elemetos -ésimos de u cierto úmero de sucesioes covergetes dadas, se coserva e el ite: la sucesió resultate será covergete y su ite se obtedrá llevado a cabo el mismo cojuto de operacioes co los correspodietes ites de las sucesioes dadas co la habitual codició de que igú deomiador sea ulo) Criterios de covergecia. Teorema de Bolzao-Weierstrass. Ua sucesió moótoa y acotada tiee u ite fiito.. Teorema del Sadwich. Si a b c y a = c = L, etoces b = L; L puede ser fiito, + ) 3.4. Problemas Resueltos. Usado la defiició del ite de ua sucesió, demostrar que

3 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió 3 a) a = b) b = 3 5, dode: a) 3, 3 5, 5 7, 7 9, b), 3 9, 8 44, 49 79, Solució. a) Nótese que a = + Sea ε > 0, se trata de ecotrar u úmero N N tal que > N se cumpla a < ε. Para lo cual trabajamos co + = + = + deberá cumplirse que < ε de dode > + ε. De aquí la parte etera del úmero ε se puede tomar como [ N, es decir N = ε ]. [ Así, ε > 0, N = ε ] : > N => a < ε, lo que sigifica: a =. b) Procediedo e forma aáloga y otado que b = teemos que = 8 55 ; sea dado ε > 0, de aquí se obtiee ) > 8 5ε + 5 ; > 8 + 5ε ; haciedo N = 8 + 5ε se tiee que 5 ε 5 ε > N, b 3 5 < ε. Por ejemplo si ε = 0.0 = N = 4, y todos los térmios de la sucesió empezado e el quito, esta coteidos e el itervalo , 3 ) = 0.58, 0.6).

4 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió 4. Demostrar que L = 0 o es el ite de la sucesió cuyo térmio geeral es a = + 5. Solució. Nótese que = + 5 >, > co lo que el valor absoluto de la diferecia permaece mayor que el úmero costate, por lo 0 0 tato existe ε > 0; ε = 0 tal que: a 0 > se matiee cierta >. 0 Así esto es suficiete para demostrar que L = 0 o es el ite de la sucesió e cuestió. 3. Demuestre aplicado la defiició de ite que q, q N. = 0, dode r = r Demostració. Por demostrar que ε > 0) N tal que N = r < ε ya que el ite es ulo), e efecto: Sea ε > ) 0, por propiedad Arquimediaa) existe u N Z + tal que q ) q N > luego > N = > = ) q ε ε < εq = < ε = < ε = < ε. /q r 4. Si r <, demuestre que r = 0. Demostració. Cosiderado el caso 0 < r < ; h = r > 0 y como + h) = + h + ) h + + h + ) h ; ahora + h) = r, luego:

5 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió 5 ) + h + r = 0 r + h + + h + h h sadwich). ) h = 0 r como ) h = 0 h ) + h + + h + ; co lo que r = 0 h = ) h Cosidere Ud. los otros casos). 5. Dada la sucesió 5, 5 0, 5 5, 9 0, 9 5, 3 30, 3, Ecuetre su térmio - 35 ésimo a y demuestre por defiició que su ite es /5. Solució. Observemos que a = + ). 5 Sabemos que a tiee por ite L sii ε > 0) Z + ) > N) a L < ε). Por determiar N tal que > N, dado ε > 0, como: a 5 = + ) 5 5 = + ) 5 = ) 5 = 5 co lo que 5 < ε = >, luego estamos preparados para la prueba 5ε formal ε > p) N = 5ε ) > 5ε ) a 5 < ε). 6. Demostrar:

6 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió 6 a) = b) a = 0, > a c)! = 0 Demostració. a) Como >, teemos = + h), h) > 0, etoces = + h)) > + h) + )h ) > )h ) de dode obteemos 0 < h ) <, por el teorema del sadwich resulta que h ) = 0 = h) = 0; luego = + h)) = + h) = b) Propuesto c) Sea u úmero atural k > a. Etoces para > k a! = a a a a = a a ) a k k + a k + a ) < a k ) k ) ) = a) k. Como = 0, etoces para suficietemete grade, teemos: ) < ε a, por lo tato a) k! < ε así : a! = 0 7. Determie el ) Solució.

7 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió 7 a = ) = ) ) ) + 3 ) 3 + ) )) + 3 ) a = + ) 3 + ) ) + 3 ) = 3 + ) ) + 3 ) ; como 3 + ) ) luego a 3 3, etoces : 0 a 3 3 pero 3 3 = 3 /3 = 0 co lo que a = Sea la sucesió determiada por a = π + se + ), ecuetre el a. Solució. π ) Sabemos que se,, = π + se pero como: π ) + = + se + + ) = + π + se a = + = ) y =. + + =, teemos que: 9. Demuestre que la sucesió siguiete es covergete y ecuetre el ite, +, + +,

8 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió 8 Demostració. La sucesió está defiida por a + = + a co a =. Demostraremos por iducció, que a < a +, e efecto: ) Para =, a = < + = a = a < a. ) Hipótesis iductiva, para = k; a k < a k+. Por demostrar para = k +, o sea a k+ < a k+, e efecto: como a k < a k+ = a k + < a k+ + = a k + < a k+ + = a k+ < a k+, luego la sucesió es moótoa. Ahora demostraremos que la ecuació es acotada, por iducció, que: a <,. ) Para =, a = <, ) Hipótesis iductiva, para = k; a k <, por demostrar para = k +, o sea a k+ <, e efecto, como: a k < = a k + < 4 = a k + < = a k+ <, luego la sucesió es acotada, luego es covergete y tiee ite. Sea a = L y como a = + a ; elevado al cuadrado a = + a, tomado ites podemos escribir a = + a ), o sea L = + L = L =, L =, la raíz egativa o sirve e este caso ya que a > 0. Por cosiguiete a =. 0. Si 0 a b, demostrar que la sucesió a = a + b tiee como ite a b. Demostració. Como b < a + b = b a + b = b a + b

9 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió 9 Como a b = a + b b + b = a + b b co lo que os queda b a + b b, como b = b y si a > 0 a = demuéstrelo), teemos =, luego b = b, etoces a + b = b Teorema Sadwich).. Calcular el ite de la sucesió a = Solució. a = ) = + ) = + a + + = =. Calcular: = a) k= kk + ) b) k= k k + )! Solució. a) kk + ) = k= k= b) = k= k= k= k kk + ) = k k + )! = k= k= k + = + = + = k + k + )! = k= k! k + )! = + )! k= + k + k + )! +, luego =, aálogamete para: k= k + )! =

10 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió 0 k= k k + )! = 3. Calcular el ite de la sucesió ) = + )! + )! = a = log + ) + log + ) ) + + log ) Solució. Observemos que a = = k= ) log + = kk + ) log k= [logk + ) log kk + )] = k= logk + ) k= log k k= ) kk + ) + = kk + ) k= k + ) log kk + ) [ logk + ) logk logk + )] k= logk + ), k= de dode aplicado la propiedad telescópica y simplificado: a = log + log + ) log + ) = log + log + + ; a = log + log + = log + log + = = log + log = log Por cotiuidad de la fució logaritmo). 4. Ecotrar el ite de la sucesió a =

11 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió Solució. Teemos dos sucesioes auxiliares tal que a < a < a. Sea a = a = como teemos = / = y + = + / = a =. 5. Calcular el ite de la sucesió a = ) + = = + + ) + = = Solució. Tomemos dos sucesioes auxiliares, tal que a < a < a luego Sea

12 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió a = = + a = = +, como + = + / = y + = + / = etoces teemos a =. 6. Ecotrar el ite de la sucesió a = Solució. Tomemos dos sucesioes auxiliares tal que a < a < a, luego Sea a = = ) = + ) = + a = = ) = ), como:

13 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió 3 a = = y + a = + = + + / = etoces teemos: a =. 7. Hallar el ite de la sucesió 0., 0.3, 0.33, 0.333, Solució. Observemos que -ésimo térmio viee dado por: a = ) detro del parétesis teemos la suma de ) térmios de ua P.G. de razó 0, luego a = ) 0 0 ) 0 [ = )] 90 0 = a = = 3 0 a = a = = = Probar que S = Prueba k=0 k! es covergete. Demostraremos que es moótoa y acotada S = 0! = ; S = 0! +! = ; S 3 = 0! +! +! = + = 5 Observado que S = S + )! = S > S, es moótoa

14 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió 4 creciete. S = 0! +! +! + + )! = S < 0! +! S < Suma de ua P.G.) S < + ) < + Por ser acotada y moótoa es covergete. 9. Demostrar que a =! es covergete y tiee ite. Demostració. La sucesió es decreciete. E efecto, como a + = = = S < 3, luego es acotada. + )! + ) + =! + ) =! + ) = + ) a + ) <, a + < a. Etoces, al ser a > 0, la sucesió está acotada iferiormete por L. De imediato L = a 0. Demostraremos ahora que L = 0. E efecto: + ) = + ) = + ) + =, luego + ) < y a + < a. Pasado el ite, obteemos L L que,juto co L 0, os lleva a la coclusió L = 0.

15 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió 5 0. Sea a 0 = 0, a = 3 y a + = a + a, calcule el ite de a. 3 Solució. Escribamos alguos térmios de la sucesió: a 0 = 0 de dode a 0 a = 3 a = 3 a a = a = a a 3 = 3 a 3 = 7 3 a 3 a 4 = 3 a 4 = 0 9 a 4 a 5 = y sumado obteemos: a a = ) 3 a = ) a = 3 3) 3 = a = 3 3. Demostrar que la sucesió cuyo térmio geeral es es covergete. Demostració. 3) 4 3 = 9 4 a =

16 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió 6 La sucesió {a } es creciete ya que a + = a = a + > a, Además está acotada superiormete ya que 4 + < para cualquier, y 4 a = < ) = 4 4 = 4 ) < por lo tato, la sucesió es covergete.. Calcular los ites de las siguietes sucesioes: a) a = [x] b) Solució. [x] + [x] + [3x] + + [x] a) De imediato x < [x] x = x < [x] [x] el teorema del sadwich: = x b) Aálogamete: x k k= kx ) < k= < k= [kx] x k= [kx] k= k= + ) x = x + ) < kx de aquí k= + ) k = x < [kx] k= x x de dode por + ) [kx] k=

17 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió 7 tediedo al ite resulta x. 3. Demostrar que la sucesió: a, a + a, a + a + a,, a + a + + a radicados) co a > 0), tiee el ite a. Demostració. Demostraremos para a + = a + a, por iducció que I) a < a + creciete) y II) a < a +, a > 0 acotada I) Para =, como a > 0, a < a + a = a < a + a = a < a Supoiedo que a < a + = a+ < a < a + a + = a + a < a + a+ = a + < a + II) Para =, a < a, a > 0 a < a < a + a + a < a + = a < a + Supoiedo que a < a + a + a < a + < a + ) a + a < a +. Luego por I) y II) la sucesió tiee ite, sea este l por tato: a = l = a + y como a + = a + a a + = a + a a + = a + a) l = l + a l = ± + 4a por ser ua sucesió de térmios positivos = l = + +4a 4. Demostrar que la sucesió a = + ) es covergete.. pero l > 0 Demostració. Por el teorema del biomio, N; + x) = k=0 ) x k ; hacemos x = k

18 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió 8 y queda, a = + + ) = )! a = + +! k=0 k ) ) ) ) k = + + )! + ) + ) ) + + ) 3!! a < + +! + 3! + +! < = + ) = a < 3 = a < 3 = a es acotada. Ahora vamos a demostrar que es estríctamete creciete, como: M.A. > M.G. + )++ )+ ++ )+ + > + + ) ) + )+ + + > + + ) + ) + > + a + > a luego, a es moótoa creciete y acotada por tato tiee ite que se acostumbra a deotar por e, dode e =.788 y etoces + = e ) 5. Si a 0 + a + a + + a p = 0, demuéstrese que a 0 + a a + p) = 0

19 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió 9 Demostració. Sea b = a 0 + a a + p = b = a 0 + a + ) + + a + p y como a 0 + a + a + + a p = 0, etoces : ] a 0 a 0 + a [ a p [ + p ] ) b = de dode b = a a p + p ), pero + k + k, k luego: b a + + a p p ), si A = max a i, i =,, p b A p ) = pp + ) A ; sea c = A pp + ) y como c pp + ) = A = 0 y 0 b c etoces b = 0, pero b b b, fialmete b = 0 6. Demuéstrese que para a = + ) k, teemos a = para k >, mietras que a si k <.

20 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió 0 Demostració. i) Para k < = + ) k + k = +. k ii) Para k >. De imediato < + ) k, por otra parte + k ) = + + r=0 )! ) ) r ) ) ) r k = + k +! k ) k + ) k = + [ k + ) +! k + ) ) 3! k k + + ] ) )! k k k + ) k + [ k +! + 3! + + ]! + [ k ] + ) k + k = + cuado k luego + ) k =, para k > 3.5. Problemas Propuestos. Coociedo alguos térmios sucesivos de ua sucesió, escribir el térmio geeral a. a) 3, 5 8, 0 3, 7 8, 6 3,

21 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió b),, 3, 3, 5, 3 4, 7, 4 5, c), 0, 6, 0, 8, d),,, 3, 5, 8, e) se π, se3π, 3 se5π, 4 se7π, f ),,, 3, 3, 4, 4, Respuesta. a) + 5 b) si = k + si = k, k Z + c) [ ) ] d) a =, a =, a + = a + a + d) [ se ) π ] f) + [ ) ] [ + ) ]. Usado la defiició del ite de ua sucesió, demostrar que: 4 + a) + = b) 9 = 3 + c) 3 = d) = 3. Si r <, demuestre que r = Ocupado que iducció e p, que r = 0; si r = Ejercicio, resuelto), demostrar por q r = 0 si r = p co p, q N. q 5. Demuestre que si r < etoces r = 0.

22 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió 6. Si a > 0, demuestre que a =., es covergete y e- 7. Demuestre que la sucesió,, cuetre su ite. 8. Dada la sucesió 7, 5 4, 5, 9 8, 9 35, 3 4, 3, Ecuetre su térmio - 49 ésimo, a, y demuestre que su ite es 7. Respuesta. a = + ) 7 9. Demuestre que + ) + =. 0. Usado sólo la defiició de ite y las propiedades básicas de los úmeros reales icluyedo la propiedad Arquimediaa), probar: a) ) = 7 b) π k= 000 k) = 0.. Calcule cada uo de los siguietes ites y justifique ampliamete sus cálculos e térmios de los teoremas básicos sobre ites o de ejemplos resueltos e este capítulo.

23 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió 3 3 a) c) e) k= k 3 g) a + a a > 0) cos b) + 4 d) k=0 x k x < ) se! f) + ) 3 h) + Respuesta. a) 3 b) 0 c) d) x e) 3 f) 0 g) si a el ite es a. Si 0 < a < el ite es a h). Cosidere la sucesió defiida por a = 3, a + = que esta o es covergete Demuestre que:! = 0 4. Calcule los siguietes ites: ) a) b) cos a ) + a ) demuestre a c) ) d) + + Respuesta. a) e b) c) d)

24 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió 4 5. U capital iicial c es colocado al 00 % de iterés aual. Hallar el capital fial después de t años, supoiedo que los itereses se va agregado e todo istate. Sugerecia: Divida el tiempo total e períodos iguales, a cada uo de los cuales rige el iterés simple. Después haga crecer idefiidamete). 6. Ecotrar el ite de la sucesió: a = Respuesta. 7. Calcular: a) se a b) a, a = Arc tg + Arc tg + + Arc tg 8 Respuesta. a) =0 b) π 4 8. Ecuetre el ite de la sucesió defiida por: a = 0, a =,, a = a + a ). Respuesta Calcular el ite de la sucesió, defiida por

25 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió 5 a) a = a, a = a, a 3 = 3 a + a ),, a = 3 a + a ) b) logb + = 3 [logb ) + logb + )] Respuesta. a) 5 3a + a ) b) e5 3 log b ) + log b )) 0. Mediate el teorema del biomio, demuéstrese que para cualquier α < 0 fijo) y k Z, se cumple que:. Demuéstrese que: + k + α) = ) = +. Sea a ua sucesió tal que la sucesió b = pa + qa + ; dode p < q, es covergete. Demuéstrese que a coverge. Si p q > 0 demuéstrese que a o coverge ecesariamete. 3. De las sucesioes siguietes, cuáles so acotadas?, cuáles so moótoas?, cuáles so covergetes?. a) a = ) + b) a = )+ c) a = + ) d) a = e) a = e + π f) a = [x] g) a = k= k k h) a = + p + p + + p,, p

26 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió 6 Respuesta. a) Acotada b) Covergete c) Covergete d) Acotada y covergete e) Acotada y covergete f)acotada x real cualquiera) g) Moótoa h) Covergete. 4. Demuéstrese que la sucesió a, defiida por a + = a + a a dode a 0 es cualquier úmero mayor que 0, coverge a:. 5. Si a, b so úmeros positivos cualesquiera y a < b, se defie a = a b, b = a + b,, a = a b, b = a + b. Demuéstrese que: a) La sucesió a, a,, coverge b) La sucesió b, b,, coverge c) Las dos sucesioes tiede al mismo ite. 6. Demuéstrese que el ite de la sucesió a = existe. Deduzca que: < a <. a + 7. Si a > 0 y a = L, etoces a = L. 8. Calcular los ites de las sucesioes siguietes:

27 Luis Zegarra. Sucesioes. Límite de ua sucesió 7 a) a = b) a = )! c) a = Respuesta. a) b) c) e 9. a) Si recurrir al teorema del biomio problema resuelto 4) demuéstrese que a = + ) es moótoa creciete y que b = + ) + es moótoa decreciete. Ayuda: cosidere a + y b y aplíquese a b + + x) k + kx, x > ). b) Qué úmero es mayor: ) ó 00000) ? Respuesta. b) Nótese: + ) = + ) + < e <, a) A partir de los resultados del problema 9), demuéstrese que: ) ) <! < e + ) e e ) b) Para > 6, demuéstrese! < e 3. Demuestre que la sucesió o tiee ite Demuestre que para cualquier x racioal, x > 0 e x = + x )

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