Teoría de Probabilidad Recopilado por JAMH. Rev. agosto 2004

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1 Teoría de Probabilidad Recopilado por JAMH. Rev. agosto 2004 Vivimos en un mundo de incertidumbre, no sabemos lo que nos depara exactamente el mañana. Sin embargo, muchas veces conocemos los posibles evento por venir; por tanto es conveniente estimar o determinar las probabilidades de esos eventos (ocurrencias). Las probabilidades se expresan como fracciones o porcentajes, y son la medida cuantitativa de que un evento pueda ocurrir (o no ocurrir). Experimentos y Espacio Muestral Experimentos Lanzar una moneda al aire Seleccionar una pieza Una visita de ventas a un cliente Sucesos Cara o cruz Defectuosa o no defectuosa Venta o no venta Un suceso es el resultado de un experimento Al analizar un experimento es importante definir sus resultados, a fin de posteriormente definir su espacio muestral, puesto que el conjunto de todos los resultados se convierten en el Espacio Muestral. Cualquier resultado experimental se conoce como Punto Muestral Asignación de Probabilidades a Resultados Muestrales Existen dos requisitos que deben cumplirse al asignar la probabilidad a un resultado muestral. Sea «Ri» el resultado del i-ésimo experimento, y sea P(Ri) su probabilidad de ocurrencia. Entonces: 0 P(Ri) 1 La sumatoria de todas las P(Ri) = 1 Espacio Muestral Punto Muestral Eventos y Probabilidades Un evento es un punto muestral o un conjunto de puntos muestrales (resultados experimentales). La probabilidad de un evento será igual a la suma de las probabilidades de los puntos muestrales en dicho evento. Ejemplo dados Espacio Muestral Complemento del Evento A Evento A I. Relaciones Básicas de Probabilidad 1. Complemento de un evento 2. Ley Aditiva. Unión de eventos Espacio Muestral Evento A A U B Evento B 122

2 A U B 3. Intersección de eventos A U B Teoría de Probabilidad observada de un evento durante un gran número de intentos. O sea, es la fracción que indica la proporción de que un evento se presenta a la larga en una serie de «experimentos». Se asume que las condiciones son estables. Espacio Muestral Evento A A U B Evento B Utiliza la información pasada para determinar la probabilidad de un evento en el futuro. A mayor número de intentos, mejor predicción. El estado estable es el valor final a largo plazo de un experimento. II. Formulas para la adición En General P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B) Para eventos mutuamente excluyentes: P(A U B) = P(A) + P(B) La limitante de este planteamiento ocurre si se emplea sin evaluar un número suficiente de experimentos. 3. Probabilidades Subjetivas Este planteamiento está basado en las creencias u olfato para los negocios. Está basado en las evidencias que se tenga disponibles. Generalmente los gerentes pueden tomar la evidencia disponible y mezclarla con sentimientos personales. Espacio Muestral Evento A Evento B Se utilizan más cuando los eventos solo ocurrirán una vez o muy pocas veces, o cuando no hay información o la información existente ya no es válida. IV. Reglas de Probabilidad Nota: Eventos mutuamente excluyentes significa que los eventos no tienen ningún punto muestral en común. III. Formas de calcular la Probabilidad 1. Planteamiento Clásico Es la razón entre el número de resultados en que el evento en estudio puede ocurrir entre el número total de resultados posibles. Este tipo de planteamiento asume que cada uno de los evento o resultado posible es igualmente posible. 2. Frecuencia Relativa La mayoría de Toma de Decisiones se refiere a una de dos posibles situaciones: La primera, el caso en que un solo evento se presenta. La segunda, cuando 2 o más eventos se presentan simultáneamente o uno a continuación de otro. En el caso que se presenten dos (2) eventos, se pueden presentar dos situaciones: a) el resultado del primero evento puede tener un efecto en el resultado del segundo evento y b) el resultado del primero evento no tiene un efecto en el resultado del segundo evento. Estos dos casos son conocidos respectivamente como: Eventos dependiente o Eventos Independientes Este planteamiento muestra la frecuencia relativa 123

3 V. Probabilidad de eventos Independientes y Dependientes 1. Probabilidad bajo condiciones de Independencia Estadística Las probabilidad bajo independencia estadística se sub-dividen en: a. Probabilidad Marginal o Incondicional Simbología. Sea P(A) = Probabilidad de suceso del evento «A» Ocurre cuando sólo un evento puede llevarse a cabo. Ej. Un número de lotería, al tirar una moneda Teoría de Probabilidad 2. Probabilidades bajo condiciones de Dependencia Estadística Definición: La dependencia estadística existe cuando la probabilidad de que se presente algún evento depende o se ve afectada por la ocurrencia de algún otro evento. a. Probabilidad Condicional Simbología.. P(B/A) = P(BA)/P(A) La probabilidad de que ocurra B dado que A ha ocurrido es igual a la probabilidad de que ocurran los eventos A y B entre la probabilidad de que ocurra A. Evento B Evento A b. Probabilidad Conjunta Cuando 2 o mas eventos independientes se presente uno a continuación de otro. O cuando se requiere que se presenten ambos simultáneamente. Simbología. P(AB) = P(A)*P(B) c. Probabilidad Condicional P(B/A) = Probabilidad de que suceda el evento B dado que el evento A se ha presentado. La ocurrencia del primero no altera la ocurrencia del segundo. Se tiene que: Simbología. P(B/A) = P(B) Ejemplo. 10 pelotas. Evento B y A Una vez ocurre el evento A Evento A y B, con probabilidad = P(B y A) Por lo que: P(B/A) = P(BA)/P(A) Evento A, con Probabilidad P(A) Independencia Estadística Tipo de Símbolo Fórmula Probabilidad Marginal P(A) P(A) Conjunta P(AB) P(A)*P(B) Condicional P(B/A) P(B) P(A/B) P(A) 4 Color - 3 punteadas y 1 rayada 6 Grises - 2 punteadas y 4 rayadas 5 punteadas - 3 de Color y 2 Grises 5 rayadas -1 de Color y 4 Grises Tabla de Probabilidades i. Dado que se ha sacado una bola de color (C) Cuál es la probabilidad de que sea punteada (D)? Resolución: P(D/C) = P(DC)/P(C) = 0.3/0.4 = 0.75 y por tanto P(F/C) =P(FC)/P(C) = 0.1/0.4 = 0.25 ii. Dado que se ha sacado una bola gris (G) Cuál es la probabilidad de que sea con franja (F)? 124

4 Color Grises Resolución: P(F/G) = P(FG)/P(G) =0.4/0.6= 2/3 y por tanto: P(D/G) =P(DG)/P(G) =0.2/0.6=1/3 Evento Descripción Probabilidad 1 Puntos (D) y Color (C) Puntos (D) y Gris (G) Franjas (F) y Color (C) Franjas (F) y Gris (G) Puntos Franjas También es posible analizar como primer evento el hecho de que la bolita extraída sea clasificada como de puntos o de franjas. En tal caso tendríamos la tabla que se muestra en la columna derecha. Los eventos y sus probabilidades conjuntas serían: iii. Dado que se ha sacado una bola de puntos (D) Cuál es la probabilidad de que sea de color (C)? Resolución: P(C/D) = P(DC)/P(D) = 0.3/0.5 = 0.60 y por tanto: P(G/D) =P(GD)/P(D) = 0.2/0.5 = 0.40 iv. Dado que se ha sacado una bola de franjas (F) Cuál es la probabilidad de que sea de color (C)? Resolución: P(C/F) = P(CF)/P(F) =0.1/0.5= 0,2 y por tanto: P(G/F) =P(GF)/P(F) =0.4/0.5=0,8 Evento Descripción Probabilidad 1 Color (C) y Puntos (D) Color (C) y Franja (F) Gris (G) con Puntos (D) Gris (G) con Franjas (F) Color Gris b. Probabilidad Conjuntas A partir de la formula para probabilidades condicionales podemos obtener la formula para probabilidades conjuntas. P(BA) = P(B/A) * P(A). Léase: Probabilidad de que se los eventos A y B se presenten al mismo tiempo o en sucesión es igual a la probabilidad de que suceda el evento B dado que ya se presento el evento A multiplicado por probabilidad de que ya se presento el evento A. Ejemplos P(GD) = P(G/D) * P(D) = 0.4*0.5 = 0.2 P(GF) = P(G/F) * P(F) = 0.8*0.5=0.4 P(CF) = P(C/F) * P(F), donde P(C/F)= 1/3 * 6/10 = 6/ 30 = 1/5 = 0.2, y P(F) = 0.5 entonces: 0.2 * 0.5 = 0.1 P(CD) = P(C/D) * P(D) =0.6 * 0.5 =

5 Para este ejemplo solo hay cuatro únicas combinaciones posibles (eventos) c. Probabilidad Marginal La probabilidad marginal de un evento bajo condiciones de dependencia estadística se calcula mediante la suma de las probabilidades de todos los eventos conjuntos en los que se presenta dicho evento. P(C) = P(CF) + P(CD) = = 0.4 P(G) = P(GD) + P(GF) = = 0.6 P(D) = P(DC) + P(DG) = = 0.5 P(F) = P(FC) + P(FG) = = 0.5 Ejercicios. Dependencia Estadística Tipo de Símbolo Fórmula Probabilidad Marginal P(A) Suma de todas las probabilidades de los eventos conjuntos donde aparece evento «A» Conjunta P(AB) ó P(A/B)*P(B) ó P(BA) P(B/A)*P(A) Condicional P(B/A) P(BA)/P(A) ó P(A/B) P(AB)/P(B) 1.1- El Departamento de Salud efectúa rutinariamente dos inspecciones independientes a los restaurantes. Un restaurante aprobará la inspección sólo si ambos inspectores lo aprueban en cada una de las respectivas inspecciones. El inspector A tiene mucha experiencia, en consecuencia sólo aprueba 2% de los restaurantes que realmente están violando el reglamento sobre salubridad. El inspector B tiene menos experiencia y aprueba 7% de los restaurantes con fallas. Cuál es la probabilidad de que: a) El inspector A apruebe un restaurante que está violando el reglamento, dado que el inspector B ha encontrado violaciones al reglamento? Teoría de Probabilidad b) El Inspector B apruebe un restaurante que esté violando el reglamento, dado que el inspector A ya lo aprobó? c) Un restaurante que esté violando el reglamento sea aprobado por el Departamento de Salud? 1.2- Una presa hidroeléctrica tiene cuatro compuertas. Cuando fallan sus compuertas se les repara de manera independiente una de la otra. A partir de la experiencia, se sabe que cada compuerta está fuera de servicio el 4% de todo el tiempo. a) Si la compuerta número uno está fuera de servicio, cuál es la probabilidad de que simultáneamente las compuertas dos y tres estén fuera de servicio? b) Durante una visita a la presa, se le dice a usted que las posibilidades de que las cuatro compuertas estén fuera de servicio al mismo tiempo son menores a uno entre cinco millones. Es ésto cierto? 1.3- Roberto Sales se encuentra preparando un informe que la empresa en la que trabaja, «Corporación Tritón», entregará a su vez al departamento Federal de Aviación de Estados Unidos. El informe debe ser aprobado primero por el responsable del grupo del cual Roberto es integrante, luego por el jefe de su departamento y después por el jefe de la división (en ese orden). Roberto sabe, por experiencia, que los tres directivos actúan de manera independiente. Además sabe también que su responsable de grupo aprueba 85% de sus informes, el jefe del departamento aprueba el 80% de los informes elaborados por Roberto y el jefe de la división aprueba el 82% de los trabajos de Roberto a) Cuál es la probabilidad de que la primera versión del informe de Roberto sea enviada al Departamento federal de Aviación? b) Cuál es la probabilidad de que la primera versión del informe de Roberto sea aprobada por el responsable de grupo y el jefe del departamento pero no sea autorizado por el jefe de la división? 1.4- Billy Bordeaux, ejecutivo consultor en jefe de la compañía Grapevine Concepts, recientemente lanzó una campaña publicitaria para un nuevo restaurante, The Black Angus. Billy acaba de instalar cuatro anuncios panorámicos en la carretera a la entrada de la ciudad, y sabe, por su experiencia, la probabilidad de que cada 126

6 anuncio sea visto por un conductor escogido aleatoriamente. La probabilidad de que el primer anuncio sea visto por un conductor es de La probabilidad de que el segundo sea visto es de 0.82, la probabilidad para el tercero es de.87 y la del cuarto es de 0.9. Suponiendo que el evento consiste en que un conductor vea uno cualquiera de los anuncios es independiente de si ha visto o no los demás; cuál es la probabilidad de que: a) Los cuatro anuncios sean vistos por un conductor escogido aleatoriamente? b) El primero y el cuarto anuncios sean vistos, sin que el segundo y el tercero sean notados? c) Solamente uno de los anuncios sea visto? d) Ninguno de los anuncios sea visto? e) El tercero y cuarto anuncios no sean vistos? 1.5- La tienda de autoservicio Friendly ha sido víctima de muchos ladrones durante el mes pasado, pero debido al aumento de las condiciones de seguridad de la tienda, se ha podido aprender a 250 ladrones. Se registró el sexo de cada infractor y si éste era su primer robo o si ya había sido sorprendido con anterioridad. Los datos Género Primera Reincidente Aprehención Total Hombre Mujer Total Teoría de Probabilidad se resumen en la tabla siguiente: Suponiendo que un infractor aprehendido es escogido al azar, encuentre: a) La probabilidad de que éste sea hombre b) La probabilidad de que sea la primera aprehensión del infractor, dado que éste es hombre. c) La probabilidad de que el ladrón sea mujer, dado que éste es reincidente d) La probabilidad de que el ladrón sea mujer, dado que es su primera aprehensión e) La probabilidad de que el ladrón sea tanto hombre como reincidente 1.6- El gerente regional de la zona sureste de General Express, una compañía privada de paquetería, está preocupado por la posibilidad de que algunos de sus empleados vayan a huelga. Estima de que la probabilidad de que sus pilotos se vayan a huelga es de 0.75 y la probabilidad de que los choferes se vayan a huelga es de Existe el 90% de probabilidades de que los pilotos realicen un paro solidario de actividades. O sea, la probabilidad de que los pilotos se vayan a huelga dado que los choferes se han ido a huelga es de a) Cuál es la probabilidad de que ambos grupos se vayan huelga? b) Si los pilotos hacen huelga, cuál es la probabilidad de que los choferes lo hagan también como acto de solidaridad? Nota: Las siguientes fórmulas le pueden ayudar a comprender los términos de Excluyente e Independencia. Mutuamente Excluyente: P(A B) = 0 No Mutuamente Excluyente: P(A B) 0 Independencia Estadística Dependencia Estadística P(A/B) = P(A) P(A^B) = P(A)*P(B) P(A/B) = P(A^B)/P(B) P(A^B) =P(A/B) * P(B) P(A/B) P(A) P(A)*P(B) P(A^B) 127

7 Independencia Estadística menos de Casado(a) o mas Soltero(a) P(marginal) P(marginal) Probabilidades conjuntas bajo independencia estadística (n/n) Probabilidades conjuntas bajo independencia estadística (n/n) menos de Casado(a) o mas Soltero(a) P(marginal) P(marginal) Probabilidades conjuntas bajo independencia estadística P(AC) = P(A)*P(C) Probabilidades conjuntas bajo independencia estadística P(AC) = P(A)*P(C) menos de P(a/c) = P(a)= 0.37 Casado(a) o mas Soltero(a) P(marginal) P(marginal) Dependencia Estadística menos de Casado(a) o mas Soltero(a) P(marginal) P(marginal) Probabilidades conjuntas bajo dependencia estadística Probabilidades conjuntas bajo dependencia estadística menos de Casado(a) o mas Soltero(a) P(marginal) P(marginal) Probabilidades conjuntas si fueran independientes P(AC) = P(A)*P(C) Probabilidades conjuntas si fueran independientes P(AC) = P(A)*P(C) menos de Casado(a) o mas Soltero(a) P(marginal) P(marginal)

8 Ejercicio 1.2. Compuertas de Represa Información dada Probabilidad de falla de cada una de las compuerta = 0.04 Eventos bajo independencia estadística Resolución A. P(Compuerta 2 y Compuerta 3 fallen / Compuerta 1 ha fallado) = P(C2 y C3 fallen) = P(C2 falle) * P(C3 falle) = 0.04 * 0.04 = B. P(C1 y C2 y C3 y C4 fallen) = 0.04 * 0.04 * 0.04 * 0.04 = = 1/400,000. Entonces no es cierto que la probabilidad de falla total sea 1 en 5,000,000 Ejercicio 1.4. Vallas Publicitarias B. A. Ejercicio 1.1. Inspectores de Restaurantes Información dada P(Inspector A apruebe un restaurante que no cumple) = 0.02 = 2% P(Inspector B apruebe un restaurante que no cumple) = 0.07 = 7% Eventos bajo independencia estadística Inspector B Resolución Inspector A A. P(Inspector A / Inspector B) = P(Inspector A) = 0.02 B. P(Inspector B / Inspector A) = P(Inspector B) = 0.07 C. P(Inspector B) * P(Inspector A) = 0.02*0.07 = Ejercicio 1.3. Aprobación de Proyectos Información proporcionada: Existen un proyecto con tres fases Eventos bajo independencia estadística = 0.85*0.80*0.82 = = 0.85*0.80*(1-0.82) =

9 Ejercicio 1.4. Vallas Publicitarias B. Solución: 0.75*(1-0.82)*(1-0.87)*0.9 = Ejercicio 1.4. Vallas Publicitarias. Continuación D. Solución: (1-0.75)*(1-0.82)*(1-0.87)*(1-0.9) = E. Solución: (1-0.87)*(1-0.9) = Ejercicio 1.4. Vallas Publicitarias A. Solución: 0.75*0.82*0.87*0.9 = Ejercicio 1.4. Vallas Publicitarias. Continuación C. Solución: 0.75*(1-0.82)*(1-0.87)*(1-0.9) + (1-0.75)*(1-0.82)*(0.87)*(1-0.9) + (1-0.75)*(0.82)*(1-0.87)*(1-0.9) + (1-0.75)*(1-0.82)*(1-0.87)*(0.9) =

10 Ejercicio 1.6. Huelga en General Express P(pilotos a huelga) = 0.75 P(choferes a huelga) = 0.65 P(pilotos a huelga/choferes a huelga) = 0.90 a) P(pilotos a huelga y choferes a huelga) = P(pilotos a huelga/choferes a huelga) *P(choferes a huelga) = 0.90*0.65 = b)p(choferes a huelga/ pilotos a huelga) = P(choferes a huelga y pilotos a huelga) / P(pilotos a huelga) = 0.585/0.75 = 0.78 P(A) = 0.75 P(B) = 0.65 P(A/B) = 0.90 P(AB) = P(A/B) * P(B) = 0.90 * 0.65 = P(B/A) = P(AB) / P(A) = / 0.75 = 0.78 Ejercicio 1.5. Robos en el autoservicio Género 1a. Aprención 2 o mas Total Aprenciones Hombre Mujer Total Género 1a. Aprención 2 o mas. Aprenciones Total Hombre Mujer Total a. P(hombre) = b. P(1a. aprención/hombre) = (0.240/0.520) c. P(mujer/reincidente) = (0.304/0.584) d. P(mujer/1a. aprención) =(0.176/0.416) e. P(Reincidente y hombre) =

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