Demostración del problema del paro (Halting problem)

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1 Demostración del problema del paro (Halting problem) Introducción a las ciencias de la computación Antonio López Jaimes UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA UNIDAD IZTAPALAPA

2 Definición del problema El problema del paro consiste en determinar si una máquina de Turing cualquiera se detendrá ante cualquier entrada dada. Es decir, si existe una máquina capaz de determinar si cualquier otra máquina se va a detener o no. Es conocido que el problema del alto es indecidible. 10-oct-05 2

3 Demostración de la indecibilidad Para demostrar que el problema del alto es indecidible tenemos que probar la siguiente afirmación: NO existe una máquina que tomando como entrada cualquier máquina MT 0, termine después de un tiempo finito y responda SÍ cuando MT 0 termine y NO cuando MT 0 no termine. 10-oct-05 3

4 Funcionamiento de la máquina hipotética Si existe el problema es decidible Cuando MT 0 termina SÍ MT 0 MT 0 termina? NO Cuando MT 0 no termina Si NO existe el problema es indecidible 10-oct-05 4

5 Estrategia de la demostración Por contradicción demostraremos que no existe una máquina que resuelva el problema del alto. Hipótesis: Supondremos que existe. Al final llegaremos a una contradicción derivada de esta hipótesis. 10-oct-05 5

6 Estrategia de la demostración Construyamos una nueva máquina que se comporte de la siguiente manera: La nueva máquina tomará como entrada una máquina dada MT 0. ejecutará la máquina y le dará como entrada la máquina MT 0. Por hipótesis, terminará en algún momento y responderá SÍ o NO (según MT 0 termine o no). Si dice SÍ, entonces entra en un ciclo infinito y no termina. Si dice NO, entonces se detiene inmediatamente (la salida no importa). 10-oct-05 6

7 La nueva máquina Si MT 0 termina SÍ NO termina MT 0 NO Si MT 0 no termina Si MT 0 termina MT S no termina Si MT 0 no termina MT S termina termina 10-oct-05 7

8 Qué sucede si es la entrada de sí misma? Existe cierta entrada para la cual produce una contradicción. La máquina de entrada que causa esta contradicción es la propia (MT 0 = ). Si MT 0 termina MT S S no termina!! Si MT 0 no termina S MT S termina!! Para ver por qué la entrada causa una contradicción, supongamos dos casos: 1. Que termina cuando es entrada de sí misma. 2. Que no termina cuando es entrada de sí misma. 10-oct-05 8

9 Caso 1 termina cuando es la entrada de sí misma. 10-oct-05 9

10 Caso 1 1. es dada como su propia entrada (una copia). 10-oct-05 10

11 Caso 1 2. recibe como entrada a. 10-oct-05 11

12 Caso 1 3. Por hipótesis, responderá SÍ ya que supusimos que termina. Ya que termina (suposición inicial) SÍ 10-oct-05 12

13 Caso 1 4. Una vez que responde SÍ, comienza un ciclo infinito. termina SÍ 10-oct-05 13

14 Caso 1 Esto implica que la suposición de que termina al aplicarse a sí misma, implica que no termina! termina SÍ Contradicción! NO termina 10-oct-05 14

15 Caso 2 no termina cuando es la entrada de sí misma. 10-oct-05 15

16 Caso 2 1. es dada como su propia entrada (una copia). 10-oct-05 16

17 Caso 2 2. recibe como entrada a. 10-oct-05 17

18 Caso 2 3. Por hipótesis, responderá NO ya que supusimos que no termina. Ya que no termina (suposición inicial) NO 10-oct-05 18

19 Caso 2 4. Una vez que responde NO, termina. NO NO termina 10-oct-05 19

20 Caso 2 Esto implica que la suposición de que no termina al aplicarse a sí misma implica que termina! NO termina NO termina Contradicción! 10-oct-05 20

21 Conclusiones De los dos casos anteriores, concluimos que cualquiera de las suposiciones sobre (que termine o no) implica su negación. Esto quiere decir que es imposible tanto que termine como que no termine! 10-oct-05 21

22 Conclusión final Ya que fue construido legalmente, la única parte que puede ser responsable de la contradicción es la máquina hipotética. La conclusión final es que una máquina de Turing que resuelva el problema del paro no existe. Por lo tanto el problema del paro es indecidible. 10-oct-05 22

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