geometria proyectiva primer cuatrimestre 2003 Práctica 5

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Cristina Duarte Chávez
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1 geometri proyectiv primer cutrimestre 2003 Práctic 5 1. Encontrr un curv prmetrizd α cuy trz se el círculo x 2 + y 2 = 1, que lo recorr en el sentido de ls gujs del reloj y tl que α(0) = (0, 1). 2. Se α un curv prmetrizd que no ps por el origen. Si α(t 0 ) es el punto de l trz de α más cercno l origen y α (t 0 ) 0, mostrr que el vector posición α(t 0 ) es ortogonl α (t 0 ). 3. Un curv prmetrizd tiene l propiedd que α (t) 0. Qué se puede decir de α? 4. Se α : I R 3 un curv prmetrizd y se v R 3 un vector fijo. Suponiendo que α (t) es ortogonl v pr todo t I y que α(0) tmbién es ortogonl v, probr que α(t) es ortogonl v pr todo t I. 5. Se α : I R 3 un curv prmetrizd tl que α (t) 0 pr todo t I. Mostrr que α(t) es un constnte no nul si y sólo si α(t) es ortogonl α (t) pr todo t I. 6. Probr ls siguientes propieddes del producto vectoril en R 3 : ) u v = u 2 u 3 v 2 v 3 e 1 u 1 u 3 v 1 v 3 e 2 + u 1 u 2 v 1 v 2 e 3 b) u v = v u c) : R 3 R 3 R 3 es bilinel d) u v = 0 si y sólo si u y v son linelmente dependientes e) < u v, x y >= det ( ) <u,x> <v,x> <u,y> <v,y> f) (u v) w =< u, v > v < v, w > u Concluir que no es socitivo. 7. Sen B = {v 1, v 2, v 3 } y B = {w 1, w 2, w 3 } dos bses de R 3. Probr que ls siguientes firmciones son equivlentes: ) B y B tienen l mism orientción b) Existe f : [0, 1] (R 3 ) 3 continu y tl que (i) f(t) = (f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t)) es un bse pr todo t [0, 1] (ii) f(0) = B y f(1) = B. 8. Probr que un condición necesri y suficiente pr que el plno π : x + by + cz = 0 y l rect L dd por ls ecuciones x x 0 = u 1 t, y y 0 = u 2 t, z z 0 = u 3 t sen prlelos es que : u 1 + bu 2 + cu 3 = 0.

2 9. Are orientd en R 2 L orientción nturl de R 2 hce posible socir un signo l áre A del prlelogrmo generdo por dos vectores linelmente independientes u, v R 2. Teniendo en cuent l siguiente relción: ( ) ( )( ) < u, u > < u, v > u 1 u 2 u 1 v 1 = < v, u > < v, v > v 1 v 2 u 2 v 2 concluir que ( A 2 u 1 u 2 = det v 1 v 2 ) 2 Decimos que A es positiv o negtiv según que l orientción de {u, v} se positiv o negtiv. 10. Mostrr que ls rects tngentes l curv regulr α(t) = (3t, 3t 2, 2t 3 ) formn un ángulo constnte con l rect de ecuciones : y = 0, z = x. 11. Cicloide Un disco circulr de rdio 1 se mueve lo lrgo del eje x. L figur descript por un punto de l circunferenci del disco se llm cicloide 1 t ) Obtener un curv prmetrizd cuy trz se l cicloide y determinr sus puntos singulres. b) Clculr l longitud de rco de l cicloide correspondiente un rotción complet del disco. 12. Trctriz Se α : (0, π) R 2 dd por α(t) = (sen t, cost + ln(tg( t 2 ))) donde t es el ángulo que el eje y form con el vector α(t). L trz de est curv se llm trctriz. 2

3 1 Mostrr que ) α es un curv diferencible prmetrizd, regulr slvo en t = π/2 b) l longitud de segmento de l tngente l trctriz entre el punto de tngenci y el eje y es constntemente igul Se α : I R 3 un curv diferencible y se [, b] I. Pr cd prtición π : = t 0 < t 1 < < t n = b de [, b] considere l sum l(α, π) = n α(t i ) α(t i 1 ) i=1 Probr que ddo ε > 0 existe δ > 0 tl que si π = máx{t i t i 1 / 1 i n} < δ, entonces b α (t) dt l(α, π) < ε 14. Se α : I R 3 un curv prmetrizd y p, q R 3. Se [, b] I tl que α() = p y α(b) = q. ) Mostrr que pr todo v R 3 tl que v = 1 se tiene < q p, v > = b) Se v = q p. Mostrr que q p < α (t), v > dt α (t) dt q p α (t) dt i.e., l curv de menor longitud que une p con q es el segmento de rect que los une. 3

4 15. Curvs equivlentes Sen α : (, b) R 3 y β : (c, d) R 3 dos curvs prmetrizds. Se dice que α y β son equivlentes si existe f : (c, d) (, b) diferencible y estrictmente creciente con f(c) =, f(d) = b tl que β = α f. Probr ) Si γ 1, γ 2 son dos curvs prmetrizds equivlentes y p es un punto simple sobre su trz, entonces γ 1 y γ 2 tienen l mism dirección en p. b) Si γ 1, γ 2 son dos curvs prmetrizds equivlentes, entonces L(γ 1 ) = L(γ 2 ). c) Sen α, β dos curvs prmetrizds equivlentes, se α l prmetrizción nturl de α desde t 0 y β l prmetrizción nturl de β desde f 1 (t 0 ), entonces α = β. 16. Se c : [, b] R 2 un curv de clse C 1 tl que c(b) c(). Probr que existe un punto de l curv donde el vector tngente es prlelo c(b) c(). 17. Se c : [, b] R 2 un curv regulr. Probr que es loclmente inyectiv. 18. Se c : [, b] R 2 un curv de clse C 2 prmetrizd por longitud de rco y se s 0 (, b) tl que c (s 0 ) 0. Probr que existe δ > 0 tl que si s 1, s 2, s 3 (s 0 δ, s 0 +δ) son todos distintos, entonces los puntos c(s 1 ), c(s 2 ), c(s 3 ) no están linedos. 19. Se c : [, b] R 2 un curv de clse C 2 tl que existe t (, b) con c (t), c (t) 0, < c (t), c (t) >= 0. Probr que existe δ > 0 tl que si t 1, t 2 (t δ, t + δ), entonces el conjunto {c (t 1 ), c (t 2 )} es linelmente independiente. 20. Se c : [, b] R 2 un curv regulr prmetrizd por longitud de rco. Probr que ( ) c 1 (s) c 1 κ(s) = det (s) c 2(s) c 2(s) 21. Se κ : [, b] R continu. Probr que existe un curv c : [, b] R 2 prmetrizd por longitud de rco cuy curvtur en s es κ(s) pr todo s [, b]. Comprobr demás que si c y c son dos de tles curvs, entonces existe A (trslción compuest con rotción) tl que c = A c. Sugerenci: probr que (i) existe T : [, b] R 2 tl que T (s) = κ(s)( t 2 (s), t 1 (s)) con T() = 1 (ii) existe c : [, b] R 2 tl que c (s) = T(s). 22. Se c : [, b] R 2 un curv regulr prmetrizd por longitud de rco y tl que κ(s) = r pr todo s [, b]. Cómo es c? 23. Se γ : [, b] S 1 continu. Probr que existe f : [, b] R continu tl que γ(t) = (cos(f(t)), sen(f(t))). Comprobr demás que si f y f son dos de tles funciones, entonces existe k Z tl que f f = 2kπ. 4

5 24. Probr que si α : [, b] R 3 es pln, su plno osculdor en cd punto es el plno que l contiene. 25. Probr que l fórmul de l torsión de un curv con un prmetrizción rbitrri es:... < ċ c, c > τ = ċ c ) Crcterizr ls curvs prmetrizds por longitud de rco con curvtur nul. b) Idem pr el cso de torsión nul. c) Crcterizr ls curvs prmetrizds por longitud de rco tles que τ 0 y κ es constnte. Se obtiene el mismo resultdo sin pedir τ 0? Sugerenci: considerr l hélice circulr c(u) = ( cos u, sen u, bu). 27. Se α : ( ε, ε) R 3 un curv regulr prmetrizd por longitud de rco, probr que existe 0 < δ < ε tl que α( δ, δ) está contenido en el semiespcio respecto del plno rectificnte que contiene N(0). 28. Se l curv (t, 0, e 1/t2 ), t > 0 α(t) = (t, e 1/t2, 0), t < 0 (0, 0, 0), t = 0 ) Probr que α es diferencible b) Probr que α es regulr en todo punto y que l curvtur κ(t) 0 pr todo t 0, ± 2/3 c) Mostrr que el límite de los plnos osculdores cundo t tiende 0 por l derech es el plno y = 0 pero que si t tiende 0 por l izquierd, es el plno z = 0. Concluir que el vector norml es discontinuo en t = 0. Esto muestr por qué excluimos los puntos en los que κ se nul. d) Mostrr que τ se puede definir en todo punto y que result ser idénticmente nul. Concluir que puede suceder que un curv teng torsión nul sin ser pln. 29. Hllr l curvtur y l torsión de ls siguientes curvs ) α(u) = (u, u 2, u 3 ) b) α(u) = (u, u+1 u, 1 u2 u ) c) α(u) = ((u sen u), (1 cosu), bu) 30. ) Demostrr que si tods ls rects tngentes un curv regulr psn por un punto fijo, entonces l curv es un rect. b) Idem si tods ess rects tngentes son prlels un rect dd. 31. ) Probr que si los plnos osculdores de un curv psn por un punto fijo, entonces l curv es pln. 5

6 b) Idem si todos son prlelos un plno ddo. 32. Un curv c : (, b) R 3 prmetrizd por longitud de rco se dice un hélice si l rect tngente c form un ángulo constnte con lgun dirección. ) Suponiendo τ(s) 0 pr todo s (, b), probr que tods ls firmciones siguientes son equivlentes: (i) c es un hélice (ii) κ/τ = constnte (iii) ls rects que contienen N(s) y que psn por c(s) son prlels un plno fijo. (iv) ls rects que contienen B(s) y que psn por c(s) formn un ángulo constnte con un dirección fij. b) L curv c(s) = ( c sen(θ(s)) ds, c cos(θ(s)) ds, b s), con 2 = b 2 + c 2 es un c hélice. Además κ/τ b/. 33. Hllr los centros de curvtur y los círculos osculdores de l elipse. 34. Probr que si tods ls rects normles un cruv psn por un punto fijo, entonces l trz está contenid en un circunferenci. 35. Movimiento rígido en R 3 Un movimiento rígido en R 3 es l composición de un trslción con un trnsformción ortogonl de determinnte positivo. Mostrr que l longitud de rco, l curvtur y l torsión de un curv son invrintes por movimientos rígidos. 36. Dd un curv pln en coordends polres medinte l ecución ) Mostrr que l longitud de rco es ρ = ρ(θ), θ b b) Mostrr que l curvtur es κ(θ) = 2ρ 2 ρρ + ρ 2 ρ2 + ρ 2 dθ, donde ρ = dρ dθ. (ρ 2 + ρ 2 ) 3/2 37. Suponiendo que τ(s) 0 y κ(s) 0 pr todo s I, mostrr que un condición necesri y suficiente pr que α(i) esté contenido en un esfer es que donde R = 1 κ, T = 1 τ y R = dr ds. R 2 + R 2 T 2 = constnte 38. Se α : (, b) R 2 un curv regulr. Suponiendo que existe t 0 (, b) tl que α(t) tiene un máximo en t 0, probr que κ(t 0 ) 1 α(t 0 ) 6

7 39. Mostrr que si τ(s) 0 pr todo s, pr un ciert curv α, entonces B(s) determin l curvtur κ(s) y τ(s) de es curv. 40. Mostrr que si τ(s) 0 pr todo s, pr un ciert curv α, entonces N(s) determin l curvtur κ(s) y l torsión τ(s) de es curv. 41. Se α : I R 3 un curv prmetrizd por longitud de rco con curvtur nunc nul. Se P un plno que stisfce ls siguientes condiciones: 1. P contiene l rect tngente en s 2. ddo J I, entorno de s, existen puntos de α(j) mbos ldos de P. Probr que P es el plno osculdor de α en s. 42. Mostrr que l curvtur κ(t) 0 de un curv regulr α : I R 3 es l curvtur en t de l curv pln π α, donde π es l proyección ortogonl de α sobre el plno osculdor en t. 43. Hllr l función f(t) más generl posible tl que l curv α(t) = ( cost, sen t, f(t)) se pln. Composición tipográfic: LATEX 2ε( Gráficos: Tkpint ( 7

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