I N T R O D U C C I Ó N

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "I N T R O D U C C I Ó N"

Transcripción

1 Mateática Discreta usado ISETL Álvaro guirre Miria Varó Teas que desarrollareos: Sucesioes. Fucioes por recurrecia. Teoría cobiatoria. I N T R O D U C C I Ó N Coezareos co el tea sucesioes del prograa de 5º Cietífico. Motivareos co u problea de Mateática Fiaciera, tea que da e 3º de liceo, y que os costa, les resulta uy iteresate ya que es aplicable a la vida real. Luego cotiuaos co fucioes defiidas por recurrecia, dado ejeplos y aprovechado a repasar defiicioes coo por ejeplo, potecia de expoete atural, sucesioes aritéticas y geoétricas, coocidas por ellos de cursos ateriores. Tabié defiios la fució factorial, ya que es otro ejeplo de sucesió defiible por recurrecia y adeás lo utilizareos e el siguiete tea a abordar que es Teoría Cobiatoria. La itroducció del leguaje ISETL lo hareos dado uas pocas directivas y fudaetalete propoiédoles que del aálisis de u prograa propuesto por osotros deduzca los deás. Ejeplo: que crees que sigifica:=? No pretedeos eseñarles a prograar sio que luego de realizadas las defiicioes ateáticaete las ipleete e ISETL para verificar, evaluar, etc. De aera que co íios coociietos de la sitáxis del leguaje pueda trabajar. Es iteresate que vea que los algoritos recursivos que e Mateática so trabajosos para calcular, e ISETL por el cotrario so uy fáciles de ipleetar y e cosecuecia evaluar. No creeos que el idioa iglés sea u ipedieto para ellos, ya que el leguaje ISETL tiee la virtud de ser uy secillo y el aluado e 5º año aeja la ayoría de los térios ecesarios. Sí creeos ecesario hacerles saber que el leguaje ISETL trabaja co cojutos fiitos de úeros y que hay cierta catidad de objetos que está defiidos y otros por supuesto, que puede defiir. E alguos casos les pedios que icluya u archivo co alguas fucioes defiidas para o perder de vista el foco del tea. Los ejercicios se va plateado paulatiaete, durate el desarrollo de los teas. Coclusió: si bie el sistea educativo o ha icorporado aú la coputadora a sus cursos curriculares de Mateática, se está observado u cabio e los objetivos de los prograas uevos. Se trata de que haya 1

2 Mateática Discreta usado ISETL Álvaro guirre Miria Varó ás tiepo para pesar, razoar, aalizar y es ahí dode la coputadora cuple co ua fució fudaetal que es facilitar los cálculos y a la vez reflexioar sobre el leguaje al oeto de prograar, ta foral éste coo el leguaje ateático. 2

3 Mateática Discreta usado ISETL Álvaro guirre Miria Varó S U C E S I O N E S PROBLEM 1 Perio do Estudiareos la variació de u capital de diero que geera itereses. Los itereses producidos por u capital puede calcularse de dos aeras diferetes: Sobre el capital iicialete ivertido (iterés siple); Sobre el oto al fial del período aterior, o sea, sobre el capital forado por la sua iicial depositada, ás los itereses que produjo dicha sua (iterés copuesto). cotiuació hareos la deducció de la fórula fudaetal de iterés copuesto. Supodreos: 1. Capital iicial : $1, 2. Iterés del prier período por $1: i Capital al iicio del periodo Iterés del periodo Capital al fial del periodo o oto ( c ) 1 1 i 1+ i i ( + i ) i 1+ i + 1+ i i = 1+ i 1+ i = 1+ i 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 ( 1+ i ) 2 ( 1 + i ) 2 i ( 1+ i ) 2 + ( 1+ i ) 2 i = ( 1+ i ) 2 ( 1+ i ) = ( 1 + i ) 3 1 ( 1+ i ) ( 1 + i ) 1 i ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1+ i + 1+ i i = 1+ i ( 1+ i ) = ( 1+ i ) Por lo tato, el oto a iterés copuesto de $1 e períodos a la tasa i es : ( i ) c = 1+ Y si el capital, e lugar de ser de $1 resulta ser de $M, os queda: 3

4 Mateática Discreta usado ISETL Álvaro guirre Miria Varó c C 1 i Heos geerado ua sucesió de valores: ( c ) = ( c c, c,... ) 1, 2 3 c DEFINICIÓN Llaaos sucesió de úeros reales a toda fució cuyo doiio está icluído e IN y el cojuto de llegada es IR. pesar de que ua sucesió es ua fució, o se usa la otació estádar. E vez de escribir c ( ), escribios c. La itroducció de ua letra (e éste caso c ), seguida de u subídice para obrar a los distitos térios de la sucesió es uy útil. Si os quereos referir al saldo al fializar el 6 to período, por ejeplo, poeos sipleete c 6. E defiitiva lo que hicios fue geerar ua sucesió de úeros: a cada atural le hicios correspoder el úero real c. EJERCICIO Calcula el oto que se obtiee al depositar $ al 10% de iterés seestral, sabiedo que peraece depositada 2 años. OTROS EJEMPLOS DE SUCESIONES 3 ( ): 5 8 b b 15 ( e ): e 2 ( f ): f 2 4 EJERCICIO Halla e cada caso los térios 3; 5 y 10. CTIVIDD Coeceos a trabajar e ISETL. Te e cueta que: ISETL trabaja co cojutos fiitos. Coo todo leguaje foral es fudaetal respetar las reglas para la elaboració de los prograas. 4

5 Mateática Discreta usado ISETL Álvaro guirre Miria Varó Mateáti ca ISETL x * : / x y x**y Icluye el archivo R1y observa atetaete la ipleetació de la sucesió b : Defiició e Mateática b IN IN b 3 : 5 8 Hallar b 3, b 5, b 10 Ipleetació e ISETL b:=fuc(); if is_at() the retur 5***3+8*; ed; ed; Evaluar b(3); b(5); b(10); EJERCICIO Que crees que sigifica :=? Defie las sucesioes e y f e Mateática e ISETL y halla e cada caso los térios 2; 7 y 14. EJERCICIO El siguiete cuadro, es el prograa e ISETL del problea 1. Coplétalo e ipleétalo e la coputadora. Halla el saldo e u período de 6 años a ua tasa del 4% aual y co u capital iicial de $3800. it:= (M,i,); if is_uber(m) ad ad ad i>=0 ad is_at() the ; ed; ed; it(3800, Por qué crees que _, e _ alguos ); casos el prograa trabaja co is_at y e otros co is_uber? 5

6 Mateática Discreta usado ISETL Álvaro guirre Miria Varó D E F I N I C I O N E S P O R R E C U R R E N C I Otra fora posible de defiir ua sucesió es por recurrecia. Coo lo sugiere el obre, cosiste e defiir u tério recurriedo a uo o ás térios ateriores. Necesariaete, se defiirá uo o ás térios bases por sí isos. Observa que es posible defiir por recurrecia porque el doiio es IN y por lo tato podeos hablar de térios ateriores Ejeplo: ( a )/ a a 2 0 a Hallar a3, a6 CTIVIDD Defie e Mateática e ISETL la sucesió e ipleeta el prograa hallado los térios a3, a6 CÓDIGO D VINCI DE DN BROWN Ésta obra, trata sobre Jacques Sauiere, el últio Gra Maestre de ua sociedad secreta, quie ates de orir asesiado, trasite a su ieta Sophie ua isteriosa clave. Etre los esajes ocultos que ella debe descifrar se ecuetra la secuecia de Fiboacci. Es ua sucesió uérica e la que cada tério es igual a la sua de los dos ateriores. Lagdo o lograba apartar la vista de aquellas letras que brillaba sobre el suelo de adera. Le parecía totalete iverosíil que aquellas fuera las últias palabras de Jacques Sauière.El esaje rezaba así: Diavole i Draco! Líala, aso Lagdo o teía i la ás reota idea de qué sigificaba aquello Este código isistió Sophie, es siple hasta el absurdo. Jacques Sauière debe de haber sido cosciete de que lo descifraríaos al oeto. Se sacó u trozo de papel del bolsillo del suéter y se lo dio al capitá. quí lo tiee descifrado. Fache lo estudió Qué es esto? exclaó. Pero si lo úico que ha hecho ha sido colocar los úeros e orde ascedete! Sophie se atrevió a esbozar ua sorisa satisfecha. Exacto 6

7 Mateática Discreta usado ISETL Álvaro guirre Miria Varó Que la Secuecia de Fiboacci esté desordeada es ua pista dijo Lagdo cogiédole la foto. Los úeros os da la pauta para descifrar lo que viee a cotiuació. Ha escrito los úeros desordeados para pediros que apliqueos el iso criterio al texto «Diavole i Draco? Líala, aso?» Esas frases o sigifica ada.so sólo letras desordeadas. Sophie sólo le hizo falta u istate para asiilar lo que aquello iplicaba, y le pareció de ua siplicidad irrisoria. Me está diciedo que cree que se trata de... aagraas? Cóo los de los pasatiepos de los periódicos?... Recuerdas que palabras ecotraba Lagdo luego de ordear las letras? EJERCICIO Escribe los 15 prieros térios de la sucesió de Fiboacci. DEFINICIÓN E Mateática fib 1 fib : IN IN fib fib fib fib 2 1 7

8 Mateática Discreta usado ISETL Álvaro guirre Miria Varó E ISETL fib:=fuc(); if is_at() the if =1 the retur 1; else if =2 the retur 1; else retur fib(-1)+fib(-2); ed; ed; ed; ed; OTRS DEFINICIONES DE FUNCIONES POR RECURRENCI POTENCI DE EXPONENTE NTURL 1 a 0 1 a R; N ; a a a a 1. a42. a... 43a ; 1 factores a 0 FCTORIL DE UN NTURL! se lee factorial de IN 0! 1! _ SUCESIÓN RITMÉTIC Ua sucesió es aritética cuado cada tério (excepto el priero), es igual al aterior ás ua costate llaada diferecia. SUCESIÓN GEOMÉTRIC 8

9 Mateática Discreta usado ISETL Álvaro guirre Miria Varó Ua sucesió es geoétrica cuado cada tério (excepto el priero), es igual al aterior por ua costate llaada razó. EJERCICIO Defie ateáticaete por recurrecia cada ua de las fucioes ateriores, prestado especial ateció e el cojuto de llegada. Defie luego e ISETL, ipleeta los prograas y halla algú caso particular coo ejeplo. Sitetizado: ua sucesió es ua fució cuyo doiio está icluido e N y el cojuto de llegada es cualquier cojuto (coo lo has observado e los ejeplos). Las sucesioes de úeros reales que itrodujios al pricipio (problea 1) solo so u caso particular de sucesioes. T E O R Í C O M B I N T O R I RREGLOS Se disputa u cuadragular de básquetbol etre los liceos: 6,9,11 y 23. El prier puesto se lleva de preio el paseo a Piriápolis para todo el grupo, y el segudo, el paseo al Parque Lecocq. De cuátas foras puede distribuirse éstos preios? 1 er puesto 2 do puesto L6 L9 L11 L23 L9 L11 L23 L6 L11 L23 L6 L9 L23 L6 L9 L = foras 9 posibles

10 Mateática Discreta usado ISETL Álvaro guirre Miria Varó éstas cofiguracioes foradas por dos eleetos distitos elegidos de u cojuto de cuatro eleetos {L6,L9,L11,L23}, tales que dos cofiguracioes cualquiera difiere por lo eos e u eleeto o e el orde de estos, les llaareos: arreglos. l úero de cofiguracioes que puede forarse se aota: arreglos de 4 e 2. Por lo tato: y se lee DEFINICIÓN Llaaos arreglos de eleetos distitos toados de a, a las cofiguracioes de eleetos distitos elegidos etre los dispoibles, tales que dos cofiguracioes cualesquiera difiere e por lo eos u eleeto o e el orde e que se los coloca. uero de eleetos dispoibles ; uero de eleetos de cada arreglo Cálculo del úero de arreglos: está dado por la expresió: 0 1.( 1).( 2)...( 1) factores decrecietes Co los úeros del 1 al 9, cuátos úeros aturales de 3 cifras distitas se puede forar? 10

11 Mateática Discreta usado ISETL Álvaro guirre Miria Varó Fórula co factoriales:.( 1).( 2)...( 1) Multiplico y divido el segudo iebro por ( )!.( 1).( 2)...( 1).( ).( 1) ( )! El uerador equivale a!! ( )! Trabajeos coo ya lo heos hecho e Mateática e ISETL. Icluye R1 ates de ipleetar los trabajos e la PC. E Mateática : IN IN IN! ; ( )! 7 7! ! E ISETL :=fuc(,); if is_at() ad is_at() ad >= the retur! div (-)!; ed; ed; (7,3); 210 Defiició de arreglos por recurrecia Recuerda que e éste caso recurriré a u tério aterior, es decir defiios basádoos e 1 11

12 Mateática Discreta usado ISETL Álvaro guirre Miria Varó! ( )! Multiplico y divido el segudo iebro por ( 1)!.( 1) ( )!.( ) ( 1)!!.( 1) ( 1)!! Pero ( 1)! 1 Etoces.( 1) 1 Coclusió: : IN IN IN 1si Ipleeta arreglos de e e ISETL y evalúa para alguos valores de las variables. PERMUTCIONES Tres adadores disputa u toreo. De cuátas foras puede ocupar el podio? (1º-2º y 3er puesto). Observa que todas las cofiguracioes posibles so de tres eleetos de u cojuto de tres eleetos. Dos cofiguracioes distitas difiere solo e el orde. Éste es u caso particular de arreglos: arreglos de tres e tres. Éste caso particular (=) se deoia perutacioes de orde 3. P E geeral: P 12

13 Mateática Discreta usado ISETL Álvaro guirre Miria Varó Cálculo del úero de perutacioes:!!!!! 0! 1 P! DEFINICIÓN Llaaos perutacioes de orde, a las cofiguracioes de eleetos distitos, tales que dos cofiguracioes cualesquiera difiere solo e el orde de colocació de los eleetos. EJERCICIOS Defie e Mateática e ISETL perutacioes. Ipleétalo e la PC y evalúa alguos casos. Defie perutacioes por recurrecia y realiza las accioes que se te pidiero ateriorete. COMBINCIONES E la playa de Bella Vista se istaló u puesto de veta de licuados. Vede licuados ixtos por $30. Hay 5 frutas dispoibles: (aaá), F (frutilla), U (uva), B (baaa), D (durazo). Cuátos licuados diferetes se puede ofrecer? F B D U F B F D F U B D B U D U 10licuados diferetes 13

14 Mateática Discreta usado ISETL Álvaro guirre Miria Varó Observa que -F y F- so el iso licuado. E éste caso ua cofiguració es distita de otra cuado tiee distitos eleetos. éstas cofiguracioes llaareos cobiacioes y a su 5 5 úero cobiacioes de 5 toadas de a dos: C 2. De aera que C 2 =10. DEFINICIÓN Llaaos cobiacioes de eleetos distitos toados de a, a las cofiguracioes de eleetos distitos elegidos etre los dispoibles, tales que dos cofiguracioes cualesquiera difiere e por lo eos u eleeto. C uero de eleetos dispoibles ; uero de eleetos de cada cobiacio Cálculo del úero de cobiacioes: está dado por la expresió: C 0 1 C factores decrecietes ( 1)...( 1)! Co los úeros del 1 al 9, cuátos productos de 3 factores distitos se puede forar? EJERCICIOS. Trabaja e fora aáloga a arreglos y realiza las siguietes deduccioes y trabajos co cobiacioes: Fórula co factoriales Ipleetació e ISETL. Defiició de cobiacioes por recurrecia. Ipleetació e ISETL 14

Principio de multiplicación. Supongamos que un procedimiento designado como 1, puede hacerse de n 1

Principio de multiplicación. Supongamos que un procedimiento designado como 1, puede hacerse de n 1 MÉTODOS DE ENUMERACIÓN Y CONTEO. Pricipio de ultiplicació. Supogaos que u procediieto desigado coo puede hacerse de aeras. Supogaos que u segudo procediieto desigado coo se puede hacer de aeras. Tabié

Más detalles

La característica más resaltante de la capitalización con tasa de. interés simple es que el valor futuro de un capital aumenta de manera

La característica más resaltante de la capitalización con tasa de. interés simple es que el valor futuro de un capital aumenta de manera La Capitalizació co ua Tasa de Iterés Siple El Iterés Siple La característica ás resaltate de la capitalizació co tasa de iterés siple es que el valor futuro de u capital aueta de aera lieal. Sea u pricipal

Más detalles

Permutaciones y combinaciones

Permutaciones y combinaciones Perutacioes y cobiacioes Cotaos posibilidades Coezaos co u secillo ejeplo E España los coches tiee ua atrícula que costa de cuatro dígitos deciales seguidos de tres letras sacadas de u alfabeto de 26 Cuátas

Más detalles

Números complejos. Un cuerpo conmutativo es un conjunto de números que pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse.

Números complejos. Un cuerpo conmutativo es un conjunto de números que pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse. Núeros coplejos 1. Cuerpos U cuerpo coutativo es u cojuto de úeros que puede suarse, restarse, ultiplicarse y dividirse. Los úeros racioales, esto es, los úeros que puede escribirse e fora de fracció,

Más detalles

Capítulo 5. Oscilador armónico

Capítulo 5. Oscilador armónico Capítulo 5 Oscilador aróico 5 Oscilador aróico uidiesioal 5 Reescalaieto 5 Solució e series 53 Valores propios 54 Noralizació 55 Eleetos de atriz 5 Operadores de creació y de aiquilació 5 Ecuació de valores

Más detalles

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES 6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas 6... DEFINICIONES Sucesioes de úmeros reales Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier lista ordeada de úmeros reales: a, a 2, a 3,..., a,...,

Más detalles

1. Hallar un número cuadrado perfecto de cinco cifras sabiendo que el producto de esas cinco cifras es 1568.

1. Hallar un número cuadrado perfecto de cinco cifras sabiendo que el producto de esas cinco cifras es 1568. Hoja de Probleas º Algebra. Hallar u úero cuadrado perfecto de cico cifras sabiedo que el producto de esas cico cifras es 568. Solució: Sea x 0 4 x 0 3 x 3 0 x 4 0 x 5 el úero que buscaos y sea a 0 b 0

Más detalles

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como ua fució que asiga

Más detalles

Progresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general

Progresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general 5 Progresioes Objetivos E esta quicea aprederás a: Recoocer ua sucesió de úmeros. Recoocer y distiguir las progresioes aritméticas y geométricas. Calcular él térmio geeral de ua progresió aritmética y

Más detalles

LAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO

LAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO LA ERIE GEOMÉTRICA Y U TENDENCIA AL INFINITO ugerecias al Profesor: Al igual que las sucesioes, las series geométricas se itroduce como objetos matemáticos que permite modelar y resolver problemas que

Más detalles

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como

Más detalles

P en su plano, siendo C las correspondientes

P en su plano, siendo C las correspondientes PRINIPIO DE OS TRBJOS VIRTUES El Pricipio de los Trabajos Virtuales se expresa diciedo: Para ua deforació virtual ifiitaete pequeña de u cuerpo que se ecuetra e equilibrio, el trabajo virtual de las fuerzas

Más detalles

REGÍMENES FINANCIEROS

REGÍMENES FINANCIEROS EGÍMEES FIAIEOS are Badía, Hortèsia Fotaals, Merche Galisteo, José Mª Lecia, Mª Agels Pos, Teresa Preixes, Dídac aírez, F. Javier Sarrasí y Aa Mª Sucarrats DEPATAMETO DE MATEMÁTIA EOÓMIA, FIAIEA Y ATUAIAL

Más detalles

Regla de Tres. Prof. Maria Peiró

Regla de Tres. Prof. Maria Peiró Regla de Tres Prof. Maria Peiró .- Regla de Tres: Es ua fora de resolver probleas que utiliza ua proporció etre tres o ás valores coocidos y u valor descoocido. La Regla de Tres puede ser siple ó copuesta.

Más detalles

EJERCICIOS DISOLUCIONES (ejercicios fáciles para iniciarse) Primero debemos poner la fórmula con la que se calcula el %masa: masasoluto

EJERCICIOS DISOLUCIONES (ejercicios fáciles para iniciarse) Primero debemos poner la fórmula con la que se calcula el %masa: masasoluto EJERCICIOS DISOLUCIONES (ejercicios fáciles para iiciarse) Solució: Priero debeos poer la fórula co la que se calcula el %asa: asa % asa asadisolució El (copoete ioritario) es la glucosa y el disolvete

Más detalles

LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO

LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO Sugerecias al Profesor: Resaltar que las sucesioes geométricas ifiitas so objetos matemáticos que permite modelar alguos procesos ifiitos, y que a la vez su costrucció

Más detalles

FEH02-15 FÓRMULAS Y EJEMPLOS. Incluye al producto: - Hipotecario 1. GLOSARIO DE TÉRMINOS

FEH02-15 FÓRMULAS Y EJEMPLOS. Incluye al producto: - Hipotecario 1. GLOSARIO DE TÉRMINOS FÓRMULAS Y EJEMPLOS Icluye al producto: - Hipotecario. GLOSARIO DE TÉRMINOS a. Préstao: Sua de diero etregada al prestatario o usuario del préstao por u plazo deteriado, coproetiédose a pagar ua sua adicioal

Más detalles

Sucesiones numéricas.

Sucesiones numéricas. SUCESIONES 3º ESO Sucesioes uméricas. Ua sucesió es u cojuto ordeado de úmeros reales: a 1, a 2, a 3, a 4, Cada elemeto de la sucesió se deomia térmio, el subídice es el lugar que ocupa e la sucesió. El

Más detalles

Negativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18

Negativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18 Los úmeros reales.. Los úmeros reales El cojuto de los úmeros reales está formado por los úmeros racioales y los irracioales. Se represeta por la letra Los úmeros racioales so los úmeros eteros, los decimales

Más detalles

UNIDAD 3. b b.1 Es una P.G. con a 1 5 y d 0,5. Por tanto: a n a 1 n 1 d 5 n 1 0,5 5 0,5n 0,5 0,5n 4,5 a n 0,5n 4,5

UNIDAD 3. b b.1 Es una P.G. con a 1 5 y d 0,5. Por tanto: a n a 1 n 1 d 5 n 1 0,5 5 0,5n 0,5 0,5n 4,5 a n 0,5n 4,5 UNIDAD 3 a Escribe los cico primeros térmios de las sucesioes: a.1) a 2, a 3 1 2 a a a 1 2 a.2 b 2 + 1 b Halla el térmio geeral de cada ua de estas sucesioes: b.1 3, 1, 1, 3, 5,... b.2 2, 6, 18, 54,...

Más detalles

OPERACIONES CON POLINOMIOS.

OPERACIONES CON POLINOMIOS. OPERACIONES CON POLINOMIOS. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Ua epresió ateática que usa úeros o variables o abos para idicar productos o cocietes es u tério. Los térios,, (ab), so todos epresioes algebraicas.

Más detalles

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton Matemáticas I - o Bachillerato Matemáticas I - o BACHILLERATO El biomio de Newto es ua fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potecia de u biomio elevado a ua potecia cualquiera de expoete

Más detalles

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES www.matesxroda.et José A. Jiméez Nieto SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. TÉRMINO GENERAL E las siguietes figuras observa el proceso que lleva a la creació de uevos

Más detalles

IES ATENEA. EXAMEN DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS. 3º ESO A. Nombre:

IES ATENEA. EXAMEN DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS. 3º ESO A. Nombre: IES ATENEA. EXAMEN DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS. º ESO A Nombre: Evaluació: Primera. Feca: 0 de diciembre de 00 NOTA Ejercicio º.- Aplica el orde de prioridad de las operacioes para calcular: 64 : 5

Más detalles

Si la razón es q, y el primer termino es a, la progresión se escribe. POR LO TANTO EL ENÉSIMO TÉRMINO DE UNA P.G SE DETERMINA A PARTIR DE:

Si la razón es q, y el primer termino es a, la progresión se escribe. POR LO TANTO EL ENÉSIMO TÉRMINO DE UNA P.G SE DETERMINA A PARTIR DE: Ua progresió es geométrica, si cada termio después del primero se obtiee multiplicado el aterior por u valor costates Este valor costate se llama razó geométrica (q) E geeral: a a : a......... a ; 3 Si

Más detalles

Tema 5 Series numéricas

Tema 5 Series numéricas Tema 5 Series uméricas Objetivos 1. Defiir series co wxmaxima. 2. Calcular sumas parciales de ua serie. 3. Iterpretar la defiició de suma de ua serie. 4. Calcular la suma de ua serie geométrica. 5. Calcular

Más detalles

INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL.

INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL. INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Grafica las fucioes Moto e Iterés: a) C = + 0, co C e miles de pesos ; : meses y R. Para graficar estar fucioes, debemos dar valores a, por

Más detalles

Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:

Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir: Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.

Más detalles

La sucesión de Lucas

La sucesión de Lucas a sucesió de ucas María Isabel Viggiai Rocha Cosideramos la sucesió umérica { } defiida por: - - si 3 y y 3. Esta sucesió es coocida como la sucesió de ucas y a sus térmios se los llama úmeros de ucas.

Más detalles

Tema 9. Combinatoria

Tema 9. Combinatoria Tea 9. Cobiatoria. Defiició de cobiatoria. Estrategias de resolució.. Estrategia del producto y la sua.. Diagraa de árbol. Variacioes y perutacioes.. Variacioes siples u ordiarias.. Perutacioes.. Variacioes

Más detalles

Límite y Continuidad de Funciones.

Límite y Continuidad de Funciones. Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por

Más detalles

INTEGRALES DE RIEMANN

INTEGRALES DE RIEMANN NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES DE RIEMANN Ig. Jua Sacerdoti Departameto de Matemática Facultad de Igeiería Uiversidad de Bueos Aires 00 INDICE.- INTEGRAL..- INTRODUCCIÓN..-

Más detalles

Algoritmo para el cálculo de la transformada Z inversa utilizando DERIVE

Algoritmo para el cálculo de la transformada Z inversa utilizando DERIVE Igeiería Mecáica () 9-9 Algorito para el cálculo de la trasforada Z iversa utiliado DERIVE D. Galá Martíe, R. Brito Goále Istituto Superior Politécico José A. Echeverría (ISPJAE) Calle 7 s/, CUJAE, Mariaao

Más detalles

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA DINÁMICA

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA DINÁMICA ANÁISIS IENSIONA Y SEEJANZA INÁICA PROOIPOS Y OEOS os procediietos aalíticos basados e las ecuacioes geerales de la ecáica de los fluidos, o perite resolver, adecuadaete, todos los probleas que se preseta

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas Sistemas de Ecuacioes Lieales M. e I. Gerardo Avilés Rosas Octubre de 206 Tema 5 Sistemas de Ecuacioes Lieales Objetivo: El alumo formulará, como modelo matemático de problemas, sistemas de ecuacioes lieales

Más detalles

Tema 4 Sucesiones numéricas

Tema 4 Sucesiones numéricas Tema 4 Sucesioes uméricas Objetivos 1. Defiir sucesioes co wxmaxima. 2. Calcular elemetos de ua sucesió. 3. Realizar operacioes co sucesioes. 4. Iterpretar la defiició de límite de ua sucesió. 5. Calcular

Más detalles

PRÁCTICAS Nº 10 Y 11

PRÁCTICAS Nº 10 Y 11 PRÁCTICA Nº 10 Y 11 CONTRATE DE HIPOTEI E INTERVALO DE CONFIANZA ETADÍTICA E INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA º LADE CURO 008-09 Profesorado: Prof. Dra. Mª Dolores Gozález Galá Prof. M ª Mar Roero Mirada

Más detalles

ÁREA DE INGENIERÍA QUÍMICA Prof. Isidoro García García. Operaciones Básicas de Transferencia de Materia. Tema 4

ÁREA DE INGENIERÍA QUÍMICA Prof. Isidoro García García. Operaciones Básicas de Transferencia de Materia. Tema 4 ÁRE DE IGEIERÍ QUÍMIC Operacioes Básicas de Trasferecia de Materia Tea 4 Operacioes Básicas de Trasferecia de Materia ITRODUCCIÓ a aoría de las corrietes de u proceso quíico está costituidas por varios

Más detalles

4 ALGEBRA DE BOOLE. 4.1 Introducción. 4.2 Axiomas. (a) a + b = b + a (b) a b = b a. (a) a + (b c) = (a + b) (a + c) (b) a (b + c) = a.

4 ALGEBRA DE BOOLE. 4.1 Introducción. 4.2 Axiomas. (a) a + b = b + a (b) a b = b a. (a) a + (b c) = (a + b) (a + c) (b) a (b + c) = a. Arquitectura del Computador 4 ALGEBRA DE BOOLE 4. Itroducció. El álgebra de Boole es ua herramieta de fudametal importacia e el mudo de la computació. Las propiedades que se verifica e ella sirve de base

Más detalles

MODELOS DE PROBABILIDAD

MODELOS DE PROBABILIDAD 3 MODELOS DE PROBABILIDAD.- VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS E ocasioes, alguas variables aleatorias sigue distribucioes de probabilidad uy cocretas, coo por ejeplo el estudio a u colectivo ueroso de idividuos

Más detalles

PROGRESIONES ARITMETICAS

PROGRESIONES ARITMETICAS PROGRESIONES ARITMETICAS DEF. Se dice que ua serie de úmeros está e progresió aritmética cuado cada uo de ellos (excepto el primero) es igual al aterior más ua catidad costate llamada diferecia de la progresió.

Más detalles

FEE02-15 FÓRMULAS Y EJEMPLOS. Incluye a los productos:

FEE02-15 FÓRMULAS Y EJEMPLOS. Incluye a los productos: FEE02-5 FÓRMULAS Y EJEMPLOS cluye a los productos: - Epresariales - Credifácil - El tiepo vale oro - Micro agropecuario - Agro crédito - Credigaadero - Credicostruye - Mi terreito - Multioficios - Crédito

Más detalles

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

MATEMÁTICAS FINANCIERAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS LECCIÓN 2: Leyes fiacieras clásicas.- Itroducció. El úero de expresioes ateáticas que podría ser leyes fiacieras, por cuplir las propiedades expuestas ateriorete, es uy ueroso.

Más detalles

5 3 = (5)(5)(5) = 125

5 3 = (5)(5)(5) = 125 Potecició: Es el resultdo que se obtiee l ultiplicr l bse por si is cuts veces lo idique el expoete: = ( )( )( )... BASE = ()()() = POTENCIA EXPONENTE Bse: Es el úero que se ultiplic por si iso. Expoete:

Más detalles

I VARIACIONES. Una variación es un arreglo ordenado de n objetos diferentes, tomados de r a la vez se denota por medio de:

I VARIACIONES. Una variación es un arreglo ordenado de n objetos diferentes, tomados de r a la vez se denota por medio de: ANALISIS COMBINATORIO. TEOREMA FUNDAMENTAL: Si u suceso puede teer lugar de m maeras distitas y cuado ocurre ua de ellas se puede realizar otro suceso imediatamete de formas diferetes, ambos sucesos, sucesivamete,

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES Problemas de Valor Frontera

ECUACIONES DIFERENCIALES Problemas de Valor Frontera DIVISIÓN DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DPTO. TERMODINÁMICA Y FENÓMENOS DE TRANSFERENCIA MÉTODOS APROXIMADOS EN ING. QUÍMICA TF-33 ECUACIONES DIFERENCIALES Problemas de Valor Frotera Esta guía fue elaborada

Más detalles

FÓRMULAS Y EJEMPLOS PARA EL CÁLCULO DE CRÉDITO EMPRESARIAL

FÓRMULAS Y EJEMPLOS PARA EL CÁLCULO DE CRÉDITO EMPRESARIAL FÓRMULAS Y EJEMPLOS PARA EL CÁLCULO DE CRÉDTO EMPRESARAL FEE0-5 cluye: - Créditos Epresariales o Epresarial o Credifácil o El tiepo vale oro Proto Pye o Credigaadero o Micro agropecuario o Agro crédito.

Más detalles

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series.

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series. CÁLCULO Igeiería Idustrial. Curso 2009-200. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Lecció 5. Series. Resume de la lecció. 5.. Sucesioes y series. Sucesió covergete. Se de e ua sucesió

Más detalles

Tema 5: Organización de la memoria: memoria principal.

Tema 5: Organización de la memoria: memoria principal. Objetivos: Tea 5: Orgaizació de la eoria: eoria pricipal Coocer las características geerales de los diferetes tipos de eoria que aparece e u coputador digital y aalizar la ecesidad de su orgaizació jerárquica

Más detalles

GUIA DE MATEMÁTICAS 2 Bloque 2

GUIA DE MATEMÁTICAS 2 Bloque 2 GUIA DE MATEMÁTICAS 2 Bloque 2 Eje teático: SN y PA Coteido: 8.2. Resolució de probleas que iplique adició y sustracció de ooios. Itecioes didácticas: Que los aluos distiga las características de los térios

Más detalles

MATEMÁTICA 1 JRC La disciplina es la parte más importante del éxito. Exponente. Variables o Parte literal

MATEMÁTICA 1 JRC La disciplina es la parte más importante del éxito. Exponente. Variables o Parte literal MATEMÁTICA JRC La disciplia es la parte ás iportate del éito POLINOMIOS EN R EXPRESIÓN ALGEBRAICA.- Es u cojuto de úeros letras, elazadas por cualquiera de las cuatro operacioes, adeás de la poteciació

Más detalles

Sucesiones de números reales

Sucesiones de números reales Sucesioes de úmeros reales Defiició y propiedades Sucesioes de úmeros reales 4 4 Defiició y propiedades 47 4 Sucesioes parciales 49 43 Mootoía 50 44 Sucesioes divergetes 53 45 Criterios de covergecia 54

Más detalles

R. Urbán Ruiz (notas de clase)

R. Urbán Ruiz (notas de clase) R. Urbá Ruiz (otas de clase) Fucioes E las ciecias Ecoómicas las fucioes so de mucho valor para resolver problemas dode haya que relacioar variables; como por ejemplo, la producció, la oferta, la demada,

Más detalles

CAPITULO 2. Aritmética Natural

CAPITULO 2. Aritmética Natural CAPITULO Aritmética Natural Itroducció 1 Sumatorias Iducció Matemática Progresioes Teorema del Biomio 1. Coteidos. Itroducció 1) Asumiremos que el cojuto de úmeros reales R, +,, ) es u cuerpo ordeado completo.

Más detalles

21 EJERCICIOS de POTENCIAS 4º ESO opc. B. impar (-2)

21 EJERCICIOS de POTENCIAS 4º ESO opc. B. impar (-2) EJERCICIOS de POTENCIAS º ESO opc. B RECORDAR a m a a m m ( a ) a b a a (a b) a m a a b m a m+ b a a - a b a - b a Tambié es importate saber que algo ( base egativa) par (- ) ( base egativa) impar (- )

Más detalles

Modelación conceptual

Modelación conceptual TEMA 2 Modelació coceptual OBJETIVOS ESPECÍFICOS Defiir y aplicar los coceptos fudaetales relacioados co la represetació de la iforació. Describir las características de la odelació coceptual y su relació

Más detalles

Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS

Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS E el mudo real hay feómeos regidos por leyes de tipo empírico (basadas e la experiecia), lógico o deductivo, e los que el efecto está determiado por ciertas causas. El

Más detalles

CONVEXIDAD R 2. Conjuntos convexos. Combinación lineal convexa de m puntos. λ x. Ejemplos de conjuntos convexos en R 2

CONVEXIDAD R 2. Conjuntos convexos. Combinación lineal convexa de m puntos. λ x. Ejemplos de conjuntos convexos en R 2 Cojutos coveos Ejeplos de cojutos coveos e R CONVEXIDAD Cojutos coveos Coveidad de fucioes DEFINICION: U cojuto A es coveo cuado, y A y λ [0,] se cuple λ + ( λ) y A R λ + ( λ) y λ = / y λ = 0 Cojuto coveo:

Más detalles

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas RADICACIÓN: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Ates de etrar e el tema Radicació, vamos a comezar por recordar u poco sore Poteciació: Saemos que e lugar de escriir, utilizamos la otació: de Poteciació, dode el

Más detalles

3Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 79

3Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 79 Solucioes a los ejercicios y problemas PÁGINA 79 Pág. P RACTICA Sucesioes formació térmio geeral Escribe los cico primeros térmios de las siguietes sucesioes: a) Cada térmio se obtiee sumado 7 al aterior.

Más detalles

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de

Más detalles

Técnicas para problemas de desigualdades

Técnicas para problemas de desigualdades Técicas para problemas de desigualdades Notas extraídas del libro de Arthur Egel [] 5 de marzo de 00 Medias Comezamos co dos de las desigualdades más básicas pero al mismo tiempo más importates Sea x,

Más detalles

Números naturales, enteros y racionales

Números naturales, enteros y racionales Tema 2 Números aturales, eteros y racioales Estudiamos e este tema los úmeros reales que podemos ver como los más secillos e ituitivos. Empezamos detectado detro de R a los úmeros aturales, a partir de

Más detalles

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 FUNCIONES Sí A y B so dos cojutos o vacío, ua fució de A e B asiga a cada elemeto a perteeciete al cojuto A u úico elemeto b de B que deomiamos image de a. Además diremos

Más detalles

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi EDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. EDIA ARITÉTICA. Es la medida más coocida y tambié es llamada promedio se obtiee sumado todos los valores de la muestra o població, dividida etre el total de elemetos que cotiee

Más detalles

UNIDAD 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

UNIDAD 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior UNIDAD Ecuacioes Difereciales Lieales de Orde Superior. Defiició Ua ecuació diferecial lieal de orde tiee la forma: d y a a a a y= g d d d Si las fucioes a a so todas costates (o cero) etoces se dice que

Más detalles

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Sucesiones y series de números reales 1. Sucesiones de números reales

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Sucesiones y series de números reales 1. Sucesiones de números reales - Ferado Sáchez - - 7 Sucesioes Cálculo I y series de úmeros reales Sucesioes de úmeros reales 20 205 De maera similar a como se hizo para sucesioes de úmeros racioales, se defie ua sucesió de úmeros reales

Más detalles

DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN REAL DE DOS VARIABLES REALES

DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN REAL DE DOS VARIABLES REALES Cálculo III- Dierecial-TVMCD-Geeralizació Diereciabilidad DIFERENCIL DE UN FUNCIÓN REL DE DOS VRILES RELES a R : R b R R z : E las codicioes ateriores si llaaos a la ució : R R observaos que es ua trasoració

Más detalles

Medidas de Tendencia Central

Medidas de Tendencia Central 1 Medidas de Tedecia Cetral La Media La media (o promedio) de ua muestra x 1, x,, x de tamaño de ua variable o característica x, se defie como la suma de todos los valores observados e la muestra, dividida

Más detalles

COLEGIO CRISTIANA FERNÁNDEZ DE MERINO Trípoli No. 112, Col. Portales, México, D. F. Tel. 5604-3628, 5605-1509

COLEGIO CRISTIANA FERNÁNDEZ DE MERINO Trípoli No. 112, Col. Portales, México, D. F. Tel. 5604-3628, 5605-1509 COLEGIO CRISTIANA FERNÁNDEZ DE MERINO Trípoli No. 112, Col. Portales, México, D. F. Tel. 5604-3628, 5605-1509 MATEMATICAS SEGUNDO GRADO SECCIÓN SECUNDARIA ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR EN CLASE CURSO 2015-2016

Más detalles

Tema 8 Límite de Funciones. Continuidad

Tema 8 Límite de Funciones. Continuidad Tema 8 Límite de Fucioes. Cotiuidad 1. Operacioes co límites. Los límites de las sucesioes a b, c, d y e so los idicados e la tabla siguiete:, a b c d e - 0 1 Di cual es el límite de: a) lim( a b ) c)

Más detalles

SEMANA 01. CLASE 01. MARTES 04/10/16

SEMANA 01. CLASE 01. MARTES 04/10/16 EMANA 0. CLAE 0. MARTE 04/0/6. Experimeto aleatorio.. Defiició. Experimeto e el cual o se puede predecir el resultado ates de realizarlo. Para que u experimeto sea aleatorio debe teer al meos dos resultados

Más detalles

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE COMBINATORIA

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE COMBINATORIA EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE COMBINATORIA E estas hojas se preseta ua colecció variada de ejercicios y probleas de cobiatoria. Los ejercicios está ezclados de fora que o se prevea si se trata de variacioes,

Más detalles

CAPÍTULO VIII. CONVERGENCIA DE SUCESIONES. SECCIONES A. Criterios de convergencia. B. Ejercicios propuestos.

CAPÍTULO VIII. CONVERGENCIA DE SUCESIONES. SECCIONES A. Criterios de convergencia. B. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO VIII CONVERGENCIA DE SUCESIONES SECCIONES A Criterios de covergecia B Ejercicios propuestos 347 A CRITERIOS DE CONVERGENCIA Ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales se dice sucesió

Más detalles

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio

Más detalles

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON págia 171 Los productos otables tiee la fialidad de obteer el resultado de ciertas multiplicacioes si hacer dichas multiplicacioes. Por ejemplo, cuado se desea multiplicar los biomios cojugados siguietes:

Más detalles

5.- Teoremas de Cauchy y del Residuo

5.- Teoremas de Cauchy y del Residuo 5.- Teoreas de auchy y del esiduo a) Itroducció. b) Putos sigulares aislados. c) esiduo. d) Teorea de auchy. e) esiduos y polos. f) eros de fucioes aalíticas. g) Aplicació de los residuos. a).- Itroducció.

Más detalles

1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS E el leguaje matemático, se deomia expresioes algebraicas a toda combiació de letras y/o úmeros viculados etre si por las operacioes de suma, resta, multiplicació y poteciació de

Más detalles

2. LEYES FINANCIERAS.

2. LEYES FINANCIERAS. TEMA 1: CONCEPTOS PREVIOS 1. INTRODUCCIÓN. Se va a aalizar los itercambios fiacieros cosiderado u ambiete de certidumbre. El itercambio fiaciero supoe que u agete etrega a otro u capital (o capitales),

Más detalles

Importancia de las medidas de tendencia central.

Importancia de las medidas de tendencia central. UNIDAD 5: UTILICEMOS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Importacia de las medidas de tedecia cetral. Cuado recopilamos ua serie de datos podemos resumirlos utilizado ua tabla de clases y frecuecias. La iformació

Más detalles

Sucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

Sucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Sucesioes Sucesió Se deomia sucesió a ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales. Para deotar el -ésimo elemeto de la sucesió se escribe a e lugar de f(). Ejemplo: a = 1/ a 1 = 1, a 2 = 1/2,

Más detalles

ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS.

ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS. ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS. La toma de datos es ua de las partes de mayor importacia e el desarrollo de ua ivestigació. Así los datos obteidos mediate u primer proceso recibe el ombre de datos si tratar

Más detalles

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de una variable. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de una variable. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación Matemáticas EJERCICIOS RESUELTOS: Fucioes de ua variable Elea Álvarez Sáiz Dpto. Matemática Aplicada y C. Computació Uiversidad de Catabria Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios:

Más detalles

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n) 1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :

Más detalles

DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( x) c, donde c es una constante, la derivada de esta función es siempre cero, es decir:

DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( x) c, donde c es una constante, la derivada de esta función es siempre cero, es decir: DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( ) c Coceptos clave: 1. Derivada de la fució costate f ( ) c, dode c es ua costate, la derivada de esta fució es siempre cero, es decir: f '( ) 0 c. Derivada de ua fució

Más detalles

TEMA4: MATEMÁTICA FINANCIERA

TEMA4: MATEMÁTICA FINANCIERA TEMA4: MATEMÁTICA FINANCIEA 1. AUMENTOS Y DISMINUCIONES POCENTUALES Si expresamos u porcetaje % como u úmero decimal: tato por uo: r = 23 23% = 0, 23 obteemos el Para calcular el porcetaje % de ua catidad

Más detalles

PAGINA Nº 80 GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJOS PRACTICOS Nº 14

PAGINA Nº 80 GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJOS PRACTICOS Nº 14 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº 4 PAGINA Nº 80 GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJOS PRACTICOS Nº 4 OBJETIVOS: Lograr que el Alumo: Resuelva correctamete aritmos y aplique sus propiedades. Resuelva ecuacioes epoeciales.

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció Cuado estamos iteresados e estudiar algua característica de ua població (peso, logitud de las hojas,

Más detalles

CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES

CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES (Aputes e revisió para orietar el apredizaje) CAPÍTULO V. UCEIONE Y ERIE DEFINICIÓN. Ua sucesió ifiita, o simplemete sucesió, es ua fució cuyo domiio está costituido por el cojuto de los úmeros aturales

Más detalles

CAPÍTULO XIII. SUCESIONES

CAPÍTULO XIII. SUCESIONES CAPÍTULO XIII SUCESIONES NUMÉRICAS SECCIONES A Sucesioes covergetes y límites de oscilació Sucesioes moótoas y acotadas B Sucesioes recurretes C Ejercicios propuestos 59 A SUCESIONES CONVERGENTES Y LÍMITES

Más detalles

a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n,... La sucesión {a 1, a 2, a 3,...}también se denota mediante a n n 1 a n 1 n n 1 a n sn 3, n 3 a n cos n 3, 4 125, 6

a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n,... La sucesión {a 1, a 2, a 3,...}también se denota mediante a n n 1 a n 1 n n 1 a n sn 3, n 3 a n cos n 3, 4 125, 6 . SUCESIONES Se puede cosiderar que ua sucesió es ua lista de úmeros escritos e u orde defiido: a, a 2, a 3, a 4,..., a,... El úmero a recibe el ombre de primer térmio, a 2 es el segudo térmio y, e geeral,

Más detalles

DISEÑOS MUESTRALES ALFREDO ALIAGA CEPAL

DISEÑOS MUESTRALES ALFREDO ALIAGA CEPAL 475 DISEÑOS MUESTRALES ALFREDO ALIAGA CEPAL 476 Diseños uestrales ÍNDICE Páia 1. Diseño de la Muestra... 477 1.1 Marco de la ecuesta... 477 1.2 Foració de uidades de uestreo... 477 1.3 Estratificació...

Más detalles

Mó duló 21: Sumatória

Mó duló 21: Sumatória INTERNADO MATEMÁTICA 16 Guía del estudiate Mó duló 1: Sumatória Objetivo: Coocer y aplicar propiedades para el cálculo de sumatorias. Para calcular alguas sumatorias es ecesario coocer sus propiedades

Más detalles

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica.

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica. págia 05. Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados bajo cierta regla específica. E muchos problemas cotidiaos se preseta sucesioes, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del cojuto {,,, 4,

Más detalles

El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números.

El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números. Capítulo 3 Sucesioes 3 Defiicioes Geerales El tema de este capítulo es el estudio de las sucesioes de úmeros reales Ua sucesió o es más que u cojuto ordeado de úmeros Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 0, 2,, 2,

Más detalles

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios Poliomios Defiició de poliomio y sus propiedades U poliomio puede expresarse como ua suma de productos de fucioes de x por ua costate o como ua suma de térmios algebraicos; es decir U poliomio e x es ua

Más detalles

UNIDAD 1 PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE

UNIDAD 1 PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE UNIDAD PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE Propósitos. Explorar diversos problemas que ivolucre procesos ifiitos a través de la maipulació tabular, gráfica y simbólica para propiciar u acercamieto

Más detalles

FORMULAS Y EJEMPLOS PARA EL CÁLCULO DE INTERESES DE UN DEPÓSITO A PLAZO FIJO CONVENCIONAL

FORMULAS Y EJEMPLOS PARA EL CÁLCULO DE INTERESES DE UN DEPÓSITO A PLAZO FIJO CONVENCIONAL FORMULAS Y EJEMLOS ARA EL CÁLCULO DE NERESES DE UN DEÓSO A LAZO FJO CONVENCONAL 1. GLOSARO DE ÉRMNOS a. Depósito a plazo fijo: roducto e el que el cliete podrá depositar ua catidad de diero a ua tiempo

Más detalles

Figuras geométricas y números enteros. Introducción

Figuras geométricas y números enteros. Introducción Revista del Istituto de Matemática y Física Figuras geométricas y úmeros eteros Juaa Cotreras S. 6 Claudio del Pio O. 7 Istituto de Matemática y Física Uiversidad de Talca Itroducció Etre las muchas relacioes

Más detalles

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En LOS NUMEROS REALES Cojuto o vacío desigado como R y deomiado cojuto de los úmeros reales. E él se defie ua relació de igualdad = y dos operacioes algebraicas + y. Relació de igualdad Defiició: R = (a,b)

Más detalles