3.1. Histograma y función normal o gaussiana

Transcripción

1 3.1. Histograma y función normal o gaussiana En muchos fenómenos naturales de la vida diaria es imposible tener un control de variables fijando a un valor constante cada variable, sin embargo, el control se hace mediante el conocimiento del tipo de función de probabilidad que caracteriza la variable aleatoria. Los efectos de estos cambios y/o pertubaciones no interesan de forma individual, sino de forma global y se expresan a través de los parámetros de la función de probabilidad. La más común de las funciones de probabilidad es la normal o gaussiana. Las características básicas de este comportamiento está en que se aplica a grandes números de eventos, cada uno equiprobable y la contribución de cada evento es despreciable ante las características de los parámetros. Esto se traduce en que la curva es simétrica, en forma de campana y que el olvido o el despreciar unos valores no afecta el resultado. Por ello el estudiar cada valor de la medición sería como buscar las características de un bosque estudiando el comportamiento de cada árbol. Se necesitan los comportamientos más probables y esto lo hacemos con los valores promedios (debido a la simetría de la curva). La variable continua hay que caracterizarla con valores discretos, para ello se determinan rangos que representan todos los valores dentro del rango. El físico, en su hacer, se encuentra, constantemente con el hecho de que debe identificar el tipo de comportamiento aleatorio que tiene el fenómeno que estudia y para ello hace uso de un histograma que no es más que definir rangos y de allí ver la forma de la curva. Dicho histograma representa la forma o tendencia del comportamiento del fenómeno que estudia. Consigna o afirmación que expone la situación a resolver Interés o idea principal de la situación a resolver Cómo saber si el comportamiento de una variable aleatoria es normal? Las características básicas de un fenómeno muestran a menudo un comportamiento que implica el manejo de grandes números, equiprobables y que la contribución individual de cada evento es despreciable. Lo que implica que la herramienta matemática a utilizar para identificar claramente el

2 56 comportamiento del fenómeno que se estudia es el histograma. Pero, esta herramienta, el histograma, no sólo sirve al hombre de ciencia, sino también a la persona que quiere registrar u organizar una gran cantidad de información de forma sencilla. El histograma organiza la información obtenida con respecto a las variaciones de la magnitud que se estudia, a través de la representación de la frecuencia con que se presentan dichas variaciones en una misma categoría (intervalo o rango). Por todo esto es que en el proceso de enseñanza de la física se debe promover la comprensión y manejo de los histogramas como una herramienta matemática, que ayuda al físico o al experimentador a conocer el comportamiento de una variable aleatoria. Figura 3.1. Dispositivo - 1. Se podría diseñar una experiencia que promueva la comprensión de los histogramas y la función normal o gaussiana? Presentamos aquí una actividad de reflexión sobre la construcción y utilidad de los histogramas y la función normal o gaussiana. Para ello, en primer lugar, describiremos el proceso de construcción de un histograma, así como los aspectos relevantes del mismo y luego, describiremos una actividad donde se pone en evidencia la forma de la distribución de un fenómeno cuyas características son números grandes, equiprobables y los efectos individuales son despreciables. Con esto último en mente, para evidenciar la forma de la distribución, se construyeron dos dispositivos iguales desde una perspectiva global, pero con diferencias esenciales (ver figuras 3.1 y 3.2). El primer dispositivo, permite el paso de una canica (en este caso, el conjunto de canicas una a la vez) por una abertura por la que entra al sistema. En el recorrido de la canica hasta llegar a los canales se encuentra con un área de perturbaciones (clavos iguales distribuidos de manera homógenea) equiprobables y cuyas contribuciones individuales a las perturbaciones o cambios son despreciables. El segundo dispositivo, se

3 57 diferencia del primero porque luego de la primera abertura (que llamaremos abertura 1) la canica pasa por una primera área de perturbaciones (área 1) y a la mitad de su recorrido se encuentra con dos posibles caminos, abertura 2 y 3. A continuación, se encuentra con una segunda área de perturbaciones hasta llegar a los canales. necesario que aclaremos que el conjunto de datos sobre cual aplicaremos y reflejaremos del histograma es el presentado en la cuadro 3.1. Dichos datos se trabajaran con unidades arbitrarias. El histograma se construyó en un plano cartesiano. En el eje horizontal, de dicho plano, se colocan los intervalos. Cada intervalo representa un canal, es decir, los intervalos son representados en el dispositivo por canales. Y cada canal contiene valores dentro de un rango determinado. Para establecer la cantidad de canales que serán representados en el eje horizontal es importante conocer los valores máximos y mínimos del conjunto de datos. En el eje vertical se coloca la frecuencia en que aparecen valores de cierto rango. Veamos esto con detalle a continuación. Los valores máximo y mínimo del conjunto de datos mostrados en el cuadro Figura 3.2. Dispositivo - 2. Qué evidencias se podrían obtener hacia la comprensión de los histogramas (caso de la función normal o gaussiana)? La construcción de un histograma implica realizar un conjunto de pasos. Estos pasos los detallamos en el mapa conceptual de la figura 3.3. Procedamos a poner en práctica dicha información. Pero, antes de continuar, es 3.1 son: 2,46 u y 2,78 u. Esta información permite establecer donde debe comenzar el primer intervalo de datos y dónde debe terminar el último intervalo de datos. En este caso el primer intervalo debe comenzar en 2,46 u y, el último intervalo debe terminar en 2,78 u. Por conveniencia ampliareamos un poco más el rango de los inter-

4 58 2,46 2,47 2,46 2,48 2,49 2,50 2,50 2,51 2,51 2,51 2,46 2,47 2,46 2,48 2,49 2,50 2,50 2,51 2,51 2,51 2,50 2,52 2,50 2,53 2,54 2,55 2,55 2,56 2,57 2,57 2,56 2,56 2,57 2,58 2,58 2,58 2,58 2,58 2,59 2,55 2,55 2,55 2,56 2,57 2,58 2,59 2,60 2,60 2,60 2,61 2,61 2,62 2,62 2,62 2,65 2,63 2,64 2,65 2,64 2,64 2,64 2,65 2,65 2,65 2,64 2,63 2,60 2,60 2,60 2,61 2,62 2,62 2,62 2,62 2,63 2,63 2,66 2,66 2,67 2,67 2,66 2,68 2,69 2,68 2,69 2,68 2,66 2,66 2,67 2,66 2,68 2,69 2,68 2,69 2,68 2,66 2,70 2,70 2,71 2,71 2,72 2,72 2,72 2,73 2,73 2,72 2,75 2,75 2,76 2,78 Cuadro 3.1. Datos para la construcción del histograma en unidades arbitrarias. Figura 3.3. Mapa conceptual sobre la construcción de un histograma. valos y, trabajaremos entre los valores 2,45 u y 2,80 u. Es decir, el primer intervalo de datos comenzará en 2,45 u y el último terminará en 2,80 u. Pero, cuántos intervalos tendrá nuestro histograma? Para saber cuántos intervalos tendrá nuestro histograma, dividiremos la distancia entre 2,45 u a 2,80 u. Esta división debe ser a discreción del experimentador. En nuestro caso dividiremos la distancia entre 2,45 u y 2,80 u en siete intervalos. Y en cada intervalo colocaremos los valores que correspondan según el rango que le hemos asignado. Ver cuadro 3.2.

5 59 Número de intervalos Rango del intervalo (u) 1 2,45-2,50 2 2,50-2,55 3 2,55-2,60 4 2,60-2,65 5 2,65-2,70 6 2,70-2,75 7 2,75-2,80 Cuadro 3.2. Intervalos y rangos de los intervalos. Lo siguiente es construir cada intervalo. Para ser más explícita la descripción usaremos como ejemplo el primer, segundo y tercer intervalo. A partir del cuadro 3.1 (conjunto total de datos), identificamos todos los valores que se encuentran entre 2,45 u y 2,50 u. En esta tarea, encontramos que dentro de este rango, hay diez valores, que mostrados en el cuadro 3.3. En este intervalo no se incluye el valor 2,50 u. Intervalo 1 (u) 2,46 2,46 2,47 2,47 2,46 2,46 2,48 2,48 2,49 2,49 Cuadro 3.3. Valores dentro del intervalo 2,45 u - 2,50 u. Para el intervalo 2, encontramos quince valores, todos mostrados en el cuadro 3.4. Como podemos observar el valor 2,55 u no es parte del intervalo. Intervalo 2 (u) 2,50 2,50 2,50 2,50 2,51 2,51 2,51 2,51 2,51 2,51 2,50 2,52 2,50 2,53 2,54 Cuadro 3.4. Valores dentro del intervalo 2,50 u - 2,55 u. El intervalo 3, encontramos 21 valores, cuadro 3.5, en este caso el valor 2,60 no es parte de este intervalo.

6 60 Intervalo 3 (u) 2,55 2,55 2,56 2,57 2,57 2,56 2,56 2,57 2,58 2,58 2,58 2,58 2,58 2,59 2,55 2,55 2,55 2,56 2,57 2,58 2,59 Cuadro 3.5. Valores dentro del intervalo 2,55 u - 2,60 u. Al realizar el mismo procedimiento para todos los valores del cuadro 3.1, encontramos la información mostrada en el cuadro 3.6. Intervalo Rango del intervalo (u) Número de valores en el intervalo (frecuencia) 1 2,45-2, ,50-2, ,55-2, ,60-2, ,65-2, ,70-2, ,75-2,80 4 Cuadro 3.6. Número de valores dentro de cada intervalo. Lo siguiente es comprobar que la suma total de valores encontramos dentro de cada intervalo es igual a la cantidad de valores mostrados en el cuadro 3.1. Con la información mostrada en el cuadro 3.6 se construyó el histograma mostrado en la (figura 3.4), pero, para ello es importante tener presente los siguientes aspectos: 1. En el eje vertical se representan frecuencias, es decir, el número de veces que se encuentra un valor dentro del rango del respectivo intervalo. 2. La escala a utilizar en el eje vertical se debe caracterizar por permitir/facilitar una óptima representación de la frecuencia. 3. Las barras verticales a dibujarse tienen como base, el eje horizontal y como altura la correspondiente frecuencia del intervalo representado. 4. En el eje horizontal se representan los intervalos. Este eje se divide en tantos segmentos iguales, como intervalos se hayan definido. Se señala de forma adecuada los límites (rangos) de cada intervalo en este eje. 5. El nombre de cada eje con su respectiva unidad. 6. El título del histograma debe ser breve y representativo de la información que se presenta.

7 61 Figura 3.4. Histograma producto de los datos presentados en el cuadro 3.1. Aspectos a tomar en cuenta en la intepretación de un histograma Uno de los propósitos del análisis o interpretación de un histograma es identificar y clasificar las distintas distribuciones o variaciones del conjunto de datos estudiados (la forma, el valor medio, la dispersión) y elaborar una explicación para dichas variaciones o distribuciones que las relacione con el fenómeno en estudio. El resultado de este análisis lleva a obtener un modelo de las características fundamentales del fenómeno objeto de estudio. El modelo de comportamiento del fenómeno debe ser confirmado o rechazado. Es recogiendo otros datos que nos den información más específica sobre el modelo elaborado (capacidad predictiva) lo que permite confirmarlo o rechazarlo. La experiencia y habilidad del experimentador, en la interpretación, son fundamentales en la utilización de esta herramienta, puesto que no existen reglas fijas que se puedan utilizar, para explicar de forma precisa las variaciones encontradas en cualquier situación. El experimentador debe profundizar en el conocimiento del proceso o fenómeno en estudio para utilizar esta herramienta de forma eficaz. A continuación analizaremos una de las distribuciones más comunes de un histograma. Para ello, haremos uso de los dos dispositivos presentados en las figuras 3.1 y 3.2, así como de

8 62 canicas y cuentas de collar. Distribución normal Esta es una de las distribuciones que el físico se encuentra más comúnmente al momento de estudiar un fenómeno probabilístico normal. de control. Por ejemplo, un mismo experimentador realiza la toma y tratamiento de datos, este experimentador usa un mismo instrumento y un método adecuado. Es necesario recalcar que el instrumento debe ser de alta precisión, etc. Con la finalidad de simular un fenómeno de este tipo. Ante la abertura 1, del dispositivo 1, colocamos un recipiente con un número no determinado de cuentas de collar. El experimentador tiene como función ir vaciando poco a poco las cuentas a través de la abertura. Presentamos a continuación una secuencia de fotos donde se pueden ir apreciando los cambios que llevaron a una distribución normal, figuras 3.5, 3.6, 3.7, y 3.8. Figura 3.5. Proceso de formación de una distribución normal-1. Lo mismo se hizo con otro tipo de cuentasn y el mismno dispositivo y encontramos la misma froma de la distribución, figura 3.9. Esta distribución se caracteriza porque los valores se distribuyen simétricamente alrededor del valor más probable (valor medio o promedio). Es la distribución natural, habitual para los datos de gran cantidad de fenómenos. Por esta circunstancia se llama distribución normal. Este tipo de distribución se obtiene a partir de un conjunto de mediciones (N muy grandes). Pero, esto se da dentro de ciertas condiciones Figura 3.6. Proceso de formación de una distribución normal-2.

9 63 Figura 3.7. Proceso de formación de una distribución normal-3. Figura 3.9. Distribución normal-5. En la distribución normal o de campana se dibuja la fracción de las N lecturas que están en cada intervalo, como una función del valor de la medición. De esto se obtiene una curva continua que define una función F(x), conocida como la función de distribución. Está función de distribución F(x) Δx es la fracción de las N lecturas que están en el intervalo de x a x + Δx. Es decir, F(x)Δx es la probabilidad (área bajo la curva) de que una sola medición, tomada arbitrariamente, de la distribución esté en el intervalo x a x + Δx. La función descrita en la figura 3.10, se conoce como función normal o gaussiana y se Figura 3.8. Proceso de formación de una distribución normal-4. caracteriza, por que es simétrica con respecto a <x>, tiene un valor máximo en <x> y tiende rápidamente a cero a medida que el módulo de

10 64 x i - <x> se hace mayor comparada con δ. Estas son propiedades razonables para una función que representa una distribución de mediciones que contienen sólo perturbaciones aleatorias. Figura Función normal o gaussiana. Es importante que los conceptos estadísticos señalados en la figura 3.10 tengan sentido para el alumno o alumna, por ello, nos dedicaremos a los mismos en las líneas a continuación. Ante un conjunto de datos, lo primero es identificar, cuál es el rango dentro del cual es más probable encontrar el valor siguiente a medir. Esto pasa por conocer la diferencia (que tanto se aleja o acerca), entre cada valor medido y el valor más probable ( = < > ) d x x. Esta i i diferencia se conoce con el nombre de desviación. Conocer el valor de la desviación pasa por obtener el valor medio o promedio del conjunto de datos < > = ( x ) i x. El valor promedio, n el valor más próximo al valor verdadero o valor más probable en comportamiento normal representa el valor cuando la probabilidad es máxima en la curva gaussiana o normal. Cabe ahora la pregunta, cuál es la desviación más probable? Estamos de nuevo ante la obtención de un valor promedio. Pero, este nuevo promedio es especial, pues, el conjunto de desviaciones está formado por desviaciones antecedidas por un signo negativo o positivo, este signo representa como esa medición o lectura se acerca al valor más probable, por la izquierda o por la derecha. Para eliminar el inconveniente de este signo, cada desviación es elevada al cuadrado y se realiza la sumatoria de todas las desviaciones al cuadrado y se dividen entre el número de lecturas. Con la finalidad de compensar el que cada desviación fue elevada al cuadrado se saca la raíz cuadrada de la cantidad obtenida 2 ( x < x > i ) σ =. n Este promedio de desviaciones se cono-

11 65 ce como desviación estándar y nos dice cual es la dispersión del fenómeno, es decir, qué tanto, la propiedad medible que lo caracteriza oscila dentro de cierto rango. En la curva gaussiana la desviación estándar representa la mitad de la anchura de dicha curva a la altura media. Esta forma de reportar el resultado nos dice que hay un valor próximo al valor verdadero y una nueva medición tiene alta probabilidad (68 %) de ser encontrada dentro del rango < x >+σ y < x > σ. En el caso de la desviación típica, podemos decir, que su sentido físico está asociado a establecer con cuántas cifras significativas se puede escribir el valor más probable. Es decir, la incertidumbre sobre el valor promedio. En otras palabras, la desviación típica mide la dispersión del valor promedio. Esta desviación se obtiene por la expresión, σ = σ. t n En este punto, es necesario comentar la información que brinda la comparación de la desviación estándar con el valor promedio y de la desviación típica con el valor promedio. Ambos son valores relativos. Específicamente, tenemos los casos siguientes. Si obtemos la dispersión relativa vía la comparación entre la desviación σ estandar y el valor promedio < x >, obtenemos información sobre la dispersión del fenómeno. En este caso un valor grande, nos dice que hay mucha dispersión en el fenómeno. Pero, la comparación de la desviación típica con el valor promedio = σ t incertidumbre relativa < x >, proporciona información que nos permite conocer la calidad de los datos tomados. Una incertidumbre relativa grande, nos informa que debemos analizar los datos, la forma en que fueron obtenidos, el método, el instrumento de medición, etc. En este caso, si multiplicamos ese valor por 100, obtenemos la llamada incertidumbre porcentual. Recapitulando, reflexionemos un poco sobre los fenómenos aleatorios (probabilísticos) normales. Estos fenómenos tienen la propiedad de que las variables físicas que los caracterizan están dispersas. Y todo esto a pesar de que el experimentador mantiene las mismas condiciones (hora, lugar, método, instrumento de medición, etc). La medición de una variable que presenta dispersiones, require de un tratamiento probabilístico de los datos, el análisis de las incertidumbres y dispersiones de tipo aleatorias y; de un análisis estadístico de los datos. Las dispersiones de este tipo de fenómeno, pueden ser producto del método de medición, el instrumento de medición y la dispersión intrínseca del fenómeno. Todo lo anterior, nos permite obtener información estadística fundamental. El valor promedio (<x>) del conjunto de datos del cuadro

12 es 2,61 u, con una dispersión estándar de 0,08 u y una incertidumbre típica de 0,01 u. Esto nos dice, que una nueva medición tiene alta y encontramos la misma forma de distribución, con dos posibles caminos (abertura 2 y 3), figura probabilidad de encontrarse dentro del rango 2,53 u y 2,69 u. Y por último el resultado debe escribirse (2,61 ± 0,08) u, con sólo tres cifras significativas. Distribución doble campana Esta forma de distribución es la combinación de dos distribuciones normales (suma de dos gaussianas) y sugiere la presencia de dos fenómenos o dos poblaciones normales dentro de una misma muestra. Con la finalidad de analizar si hay algún cambio en la forma de la distribución hicimos uso del dispositivo dos. En dicho dispositivo las canicas tienen la opción de dos caminos luego de haber pasado el área de perturbación 1. Cuál será la forma de la distribución en esta ocasión? Veamos lo que ocurre en este caso, en la secuencia de fotos mostradas a continuación en las figuras 3.11, 3.12, 3.13, y Figura Proceso de formación de una distribución doble campana-1. De forma natural en el proceso que se siguió al hacer pasar las cuentas por la abertura 1 hasta los canales encontramos una distribución que es la suma de dos gaussianas. A esta suma de dos distribuciones se le conoce también con el nombre de doble campana. Decidimos cambiar la forma de ingresar las cuentas en el dispositivo 2 y para ello, colocamos todas las canicas en la primera parte del dispositivo Figura Proceso de formación de una distribución doble campana-2.

13 67 Figura Proceso de formación de una distribución doble campana-3. Figura Distribución doble campana. Fenómeno y materia continua y fenómeno y materia discreta Se dice que algo es continuo (modelo sobre R ) cuando podemos partirlo tanta veces como queramos. Es decir, que no encontramos separaciones entre una u otra de las partes que resultan de la partición, a ninguna escala. Para ilustrar lo anterior hemos escogido la fotografía de una sección de uno de los periódicos de la localidad. En este momento lo vemos como un todo, Figura Figura Proceso de formación de una distribución doble campana-4. Figura Texto de un periodico local.

14 68 Cada letra, parece estar formada de partes tan pequeñas como queramos. Ahora, con un programa comenzaremos a aumentar su tamaño utilizando la opción zoom, que es un cambio de escala. Primer zoom: 200% Vemos que la letra n parece estar formada de pequeños cuadros negros y grises de cierto tamaño y, el fondo está formado por pequeños cuadros blancos, también del mismo tamaño, figura Hasta el momento no observamos huecos o espacios entre esos pequeños cuadros. Podemos seguir aumentando. Como puedes observar, aumentó el tamaño de las letras, Figura 3.17, y con esto no podemos apreciar el texto tal como se presentó en la imagen inicial. Es más, si no se conoce el texto inicial, no se puede conocer la frase completa. Podemos seguir aumentando. Figura Zoom 1000 %. Figura Zoom 200 %. Cuarto zoom: 1500 % Los pequeños cuadros que forman la letra Segundo zoom: 500 % Con este zoom, las letras parecieran formadas de pequeños cuadros, sin embargo podemos seguir aumentando, figura n son más evidentes. Ahora vemos la imagen formada por cuadros, por lo que tiene una estructura diferente a la que vemos sin aumento, figura Figura Zoom 500 %. Tercer zoom: 1000% Figura Zoom 1500 %.

15 69 Quinto zoom: 2000 % Séptimo zoom: 3000 % En esta imagen son más evidentes los cuadros negros y grises que forman la letra n y los cuadros blancos y grises que forman el fondo dentro del cual se encuentra la letra n. Vemos una nueva estructura cuya base son cuadritos negros y grises, figura Los cuadros se hacen más evidentes y podemos observar que hay diferencia neta entre uno y otro. Los cuadros blancos y grises se acercan a los cuadros negros y grises por la derecha y lo más importante, en todo el recorrido podemos separar bien cada cuadro. Los cuadros están netamente separados los unos de los otros. Se pueden contar, figura Figura Zoom 2000 %. Figura Zoom 3000 %. Sexto zoom: 2500 % Podemos seguir aumentando, Figura Figura Zoom 2500 %. El concepto que hay detrás, en física, cuando hablamos de que algo es continuo es que no tiene estructura subyacente y podemos seguir dividiendo indefinidamente sin encontrar una estructura subyacente. La materia a nuestra escala parece continua, se puede dividir tantas veces como queramos sin que haya estructura subyacente, pero, al duplicar el tamaño vemos que está formada por bloques llamados moléculas. Y estos a su vez formados por átomos.

16 70 En cuando al caso de que la materia sea discreta, este concepto lo hemos visto a distintos zoom o distintas escalas. En casi todos los zoom presentados, exceptuando los dos primeros, pues, no se aprecia claramente, vemos una unidad básica, cuadros que parecen ser indivisibles, son la unidad última. A esto es que en Cuál es la relación de lo anterior con un Física se le llama discreto. histograma y una curva o gaussiana? La función gaussiana representa el continuo y el histograma representa el discreto. Analicemos esto con más detalle. En la figura 3.24 mostramos la curva cuentas vs energía. Figura Cuenta vs energía (Espectro de fuente radiactiva, Estación RN50). Si aplicamos un lupa a la curva, es decir, si aumentamos una sección de dicha curva, encontramos, la gaussiana mostrada en la figura La representación gráfica de la figura 3.25, señala que la curva de la figura 3.24 esta formada por la suma de muchas gaussianas. Seguimos aumentando la curva mostrada en la figura 3.24 y en este proceso, encontramos la representación gráfica de la figura Recapitulando, al aumentar el tamaño de

17 71 Figura Sección aumentada de la curva de la figura la curva mostrada en la figura 3.24 encontramos una gaussiana y con los siguientes aumentos encontramos un histograma. Con este proceso hemos pasado del continuo al discreto. Y el discreto es un histograma, figura 3.26, la captación de información es discreta, la medición es discreta. Figura Histograma.

18 72 Conclusión Reflexión Es claro que las cuentas, al ingresar en el área de perturbaciones, se ven sometidas a un sin número de perturbaciones, pero, estas perturbaciones son despreciables de forma individual. Lo que realmente cuenta es la forma global de la distribución. En este proceso pasamos de lo discreto a lo continuo, es decir, una canica no cambia o afecta la forma final de la distribución. El método de elaborar un histograma permite identificar la forma de la función de probabilidad que rige el fenómeno aleatorio, puede y suele ser normal, pero hay otras funciones de probabilidad como la binomial, la curva de Poisson, etc.