RESUMEN DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. Se dice que una función tiene límite en un punto si los límites laterales toman el mismo valor.

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1 RESUMEN DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL LIMITES Se dice que una función tiene límite en un punto si los límites laterales toman el mismo valor. lim f ( x) = L lim f ( x) = lim f ( x) = L x a x a x a Una forma práctica de calcular los límites laterales es: lim f ( x) = lim f ( a h ) y lim f ( x) = lim f ( a h ), los valores ah y a-h están a la derecha e x a h 0 x a h 0 izquierda de a si h es un número que tiende a cero por valores positivos. Es muy importante saber que el límite de una función en un punto es independiente del valor de la función en dicho punto y sólo depende de lo que pase a su izquierda y su derecha. El límite de una función en un punto, si existe, es único. ALGEBRA DE LÍMITES lim f ( x ) ± g ( x ) = lim f ( x ) ± lim g ( x ) x a lim k f ( x) = k lim f ( x ) [ ] lim f ( x ) g ( x ) = lim f ( x ) lim g ( x ) x a f ( x) lim f ( x) lim = x a si lim g( x) 0 x a ( ) lim ( ) x a g x g x x a RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES a) Los límites del tipo k 0 con k 0, se analiza calculando los límites laterales, si los dos coinciden en ó ese es el valor del límite, pero si son distintos no existe límite. b) La indeterminación 0 0 se resuelve descomponiendo numerador y denominador eliminado el cero común (Ruffini si son polinomios). Si aparecen raíces podemos multiplicar y dividir por el conjugado. 1

2 c) La indeterminación se resuelve (para cocientes de potencias de x) analizando el máximo grado del numerador y del denominador, pudiendo quedar 0, ± ó una constante, dependiendo si puede el grado del denominador, numerador o coinciden. (Ojo cuando hay polinomios dentro de raíces). d) La indeterminación se resuelve, en caso de que sea resta de raíces cuadradas, multiplicando y dividiendo por el conjugado, si es resta de cocientes de expresiones se hace primero la resta poniendo común denominador. CONTINUIDAD f(x) se dice continua en a lim f ( x) = lim f ( x) = f ( a ) La idea intuitiva de continuidad (no levantar al dibujar la función) exige tres cosas: La función en el punto tiene que existir y tomar un valor finito. El límite en el punto tiene que existir y tomar un valor finito. Los dos valores anteriores tienen que coincidir. ALGEBRA DE FUNCIONES CONTINUAS La suma, resta y producto de funciones continuas es continua (los polinomios por lo tanto lo son). El cociente de funciones continuas es continuo, salvo los puntos que anulan el denominador. Si tenemos una raíz de índice par, hay que exigir que el radicando sea mayor o igual que cero.n f(x) f(x) 0. Las funciones sen(x) y cos(x) son continuas. En las funciones definidas a trozo se analiza la función en cada intervalo, siendo obligatorio calcular límites laterales en los puntos que separan intervalos de definición. TIPOS DE DISCONTINUIDAD 1. Discontinuidad evitable: Se produce cuando lim f ( x) = lim f ( x) = K finito pero la función en el punto o bien no está definida o toma otro valor distinto.. Discontinuidad de primera especie: Se produce cuando los límites laterales existen pero toman valores distintos. Si alguno es ± se dice que es de salto infinito, sino se dice que es de salto finito. 3. Discontinuidad de segunda especie: Se produce cuando algún límite lateral no existe 1 como por ejemplo en la función f ( x) = sen en el punto x=0. x

3 DERIVADAS f(x) es derivable en a f '( a ) = f '( a ) = f '( a ) f '( a ) = lim h 0 f ( a h) f ( a) f '( a ) = lim h h 0 f ( a h) f ( a) h Si f(x) es derivable en a f(x) es continua en a Si f(x) no es continua en a f(x) no es derivable en a PROPIEDADES Sean f y g dos funciones derivables en x0 y K una constante. f ± g '( x ) = f '( x ) ± g '( x ) 1) ( ) K. f '( x ) = k. f '( x ), K constante ) ( ) 0 0 f g '( x ) = f '( x ) g( x ) f ( x ) g '( x ) 3) ( ) ) f f '( x0) g( x0) f ( x0) g '( x0 ) ( x0 ) = g g ( x0 ) go f '( x ) = g ' f ( x ) f '( x ), Regla de la cadena. 5) ( ) ( ) TABLA DE DERIVADAS 1) y = cf ( x) y ' = cf '( x) ) n n 1 y = f ( x) y ' = nf ( x) f '( x) f '( x) 1 f '( x) y = log a f ( x) y ' = = log a ( e) f ( x) log( a) f ( x) 3) ( ) 4) f ( x) f ( x) y = a y = a a f x ' log( ) '( ) 5) = ( ) = ( ) 6) = ( ) = ( ) y sen f ( x) y ' cos f ( x) f '( x) y cos f ( x) y ' sen f ( x) f '( x) 1 y = tan f ( x) y ' = f '( x) = 1 tan f ( x) f '( x) 7) ( ) 8) ( ) ( f x ) cos ( ) ( f ( x) ) ( ( )) y 1 c otg f ( x ) y = ' = f '( x ) = ( 1 ctg ( f ( x ))) f '( x ) sen 3

4 9) y = sec ( f ( x) ) y ' = sec ( f ( x) ) tan ( f ( x) ) f '( x) 10) = ( ) = ( ) ( ) y co sec f ( x) y ' cosec f ( x) co t g f ( x) f '( x) 1 y = arcsen f ( x) y ' = f '( x) 1 f ( x) 11) ( ) 1 y = ar cos f ( x) y ' = f '( x) 1 f ( x) 1) ( ) y 1 = arctag f ( x ) y ' = '( ) 1 f ( x) f x 13) ( ) ANÁLISIS DE LA DERIVADA PRIMERA. CRECIMIENTO Y EXTREMOS. Si f(x) es derivable los extremos salen de resolver f (x)=0, si x=a es raíz de f (x)=0 entonces: f ''( a ) > 0 m ín im o f ''( a ) < 0 m á x im o f '''( a ) 0 p t o. in fle x ió n 4 f '( a ) = 0 f ' ( a ) > 0 m ín im o f ''( a ) = 0 4 f '''( a ) = 0 f ' ( a ) < 0 m á x im o 4... f ' ( a ) = 0... f '( x) > 0 f ( x) creciente Además los puntos que verifican f '( x) < 0 f ( x) decreciente Si la función no es derivable en x=a ó si es difícil calcular f (x) se puede estimar si un punto es extremo analizando como se comporta f (x) en un entorno del punto: Si f '( a ) > 0 y f '( a ) < 0 el punto es un mínimo Si f '( a ) < 0 y f '( a ) > 0 el punto es un máximo 4

5 ANÁLISIS DE LA DERIVADA SEGUNDA. CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN. Los puntos de inflexión salen de resolver f (x)=0, si x=a es raíz de f (x)=0 entonces: f '''( a) 0 pto. de inflexión 4 f ' ( a) 0 posible extremo si f '( a) = 0 f ''( a) = 0 f '''( a) = f ' ( a) = 0... f ''( x) > 0 f ( x) concava U Además los puntos que verifican f ''( x) < 0 f ( x) convexa I ESTUDIO Y REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES Si f es una función real de una variable real, su estudio y representación gráfica puede sistematizarse en las siguientes etapas: GENERALIDADES 1. Determinación de su dominio y puntos de corte con los ejes.. Simplificación del estudio: paridad (f(-x) = f(x)), imparidad (f(-x) = -f(x)), periodicidad (f(x p)= f(x)). Otras simetrías. Es útil conocer que:.1. sen(n x)y cos(n x) tienen por periodo π n π.. tan(n x) tienen por periodo n 3. Límites de la función en puntos del dominio singulares como los que separan intervalos de en funciones definidas a trozos. 4. Límites de la función en otros puntos; asíntotas verticales: si para algún punto a se cumple lim f ( x) = ± o lim f ( x) = ±, la recta x = a es una asíntota vertical. 5. Comportamiento en el infinito: asíntotas horizontales y oblicuas Si lim f ( x) = b la recta x=b es una asíntota horizontal en ±. Hay que mirar tanto en x ± como en. f ( x) lim = a (si a = 0 ó a= ± no hay asíntota) lim x ± x x ± f ( x) ax = b la recta y=axb es una asíntota oblicua. Hay que mirar tanto en como en y sólo en las zonas donde no exista asíntota horizontal. 5.. Si [ ] 5

6 ESTUDIO DE LA DERIVADA PRIMERA Y SEGUNDA. 1. Del análisis derivada primera se deben deducir los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función así como los extremos relativos.. Del análisis derivada segunda se deben deducir los intervalos de concavidad y convexidad de la función así como los puntos de inflexión. 6