Objetivo: Aplicar la ecuación Hagen- Poiseuille en el viscosímetro de de OSTWALD-FENSKE para líquidos transparentes, el flujo es por gravedad.

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Soledad Prado Zúñiga
hace 6 años
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Objetivo: Aplicar la ecuación Hagen- Poiseuille en el viscosímetro de de OSTWALD-FENSKE para líquidos transparentes, el flujo es por gravedad.

gravitatoria y la fuerza viscosa. (1797-1884 ) Análisis del movimiento de una capa diferencial de un fluido que se encuentra entre dos placas separadas por una distancia Y.

Se mostrará el perfil de esfuerzo al movimiento del fluido.

1 Objetivo: Aplicar la ecuación Hagen- Poiseuille en el viscosímetro de de OSTWALD-FENSKE para líquidos transparentes, el flujo es por gravedad.. La Ecuación de Hagen- Poiseuille describe la relación entre el caudal de fluido y las fuerzas que lo originan: la diferencia de presión (fuerza/área), la fuerza gravitatoria y la fuerza viscosa. ( ) Análisis del movimiento de una capa diferencial de un fluido que se encuentra entre dos placas separadas por una distancia Y. Tomando como coordenadas rectangulares Y vs X. En la siguiente figura se muestra las dos placas en el tiempo antes de iniciar la aplicación de una fuerza F en la dirección X. Se mostrará el perfil de esfuerzo al movimiento del fluido. Cuando se aplica una fuerza en la dirección x, en un tiempo>0, sobre la placa inferior el fludio se opone al movimento la velocidad v=0 y el esfuezo ζ max Se sigue aplicando la fuerza empieza el transporte a nivel molecular y va presentando menos exfuerzo a un tempo intemedio el fludo con ese cambio está a régimen no estacionario. 1

La viscosidad es una medida de la fricción interna de un fludo (Manual del Brokfield dado como referncia en Actividad 1).

2 En la última figura se muestra el movimiento ya en estado estacionario donde en la placa superior el esfuerzo es ζ 0 y la velocida es v max. El esfuerzo se distribuye por la difusión de las moléculas del fuido entre capa sus capas. La viscosidad es una medida de la fricción interna de un fludo (Manual del Brokfield dado como referncia en Actividad 1). La mayor cantidad de fuerza requerida que se debe aplicar sobre el area superficial que contiene al fluido y es la necesaria para vencer la fricción del fluido con la superficie de contacto y es que hace que el fluido se mueva. El perfil de velocidades es inverzo, como se muestra en la siquinte figura; es dedcir la velocidad va cambiando de v 0 y ζ max : Se denomina flujo laminar y la velocidad cambia desde un valor cero a un valor máximo de acuerdo a la distancia en y, el fluido cambia su velocidad en la dirección x. 2

3 DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE HAGEN-POISEUILLE La ecuación de Hagen Poiseuille permite evaluar el caudal o flujo de fluido que circula por un tubo cilíndrico y recto en función de la diferencia de presión en una longitud l considerando las propiedades fisicoquímicas del fluido. El flujo volumétrico de un fluido viene dado por: Q = velocidad media * sección de flujo=<v z >*πr 2 Suposiciones para su deducción: 1) Se cumple la hipótesis del continuo y la conservación de la materia 2) El flujo es estacionario (no existen variaciones en el tiempo) y unidireccional (sólo existe componente de velocidad en una única dirección, esta restricción es equivalente a suponer flujo laminar). 3) El fluido es newtoniano, incompresible (ρ=cte) y de viscosidad constante (μ=cte). 4) Se desprecian los efectos de entrada y salida del sistema. Es decir que se toma una sección de tubo de longitud l lo suficientemente alejada de la entrada y la salida como para despreciar las perturbaciones que estas pudieran originar. - En el esquema se muestra un tubo cilíndrico de longitud l de radio R al inicio tiene una P 1 y al final P 2. - Considerando una diferencial del cilindro dr, la velocidad va cambiando de la pared del cilindro al centro del tubo. En la pared del cilindro, cuando r=0, la velocidad es casi cero y en el centro cuando r=r se tiene la máxima velocidad. - Como la velocidad va cambiando en el elemento, diferencial expresada como dv/dr, habrá que obtener la velocidad media, <v z >. - Para encontrar la velocidad media es necesario obtener en primer término el perfil de velocidad y después integrar. 3

BALANCES Para coordenadas cilíndricas, de acuerdo al siguiente esquema, el volumen de control será: 0<z < L y 0< r < R, en la entrada tiene una presión P 0 y al final P L.

4 BALANCES Para coordenadas cilíndricas, de acuerdo al siguiente esquema, el volumen de control será: 0<z < L y 0< r < R, en la entrada tiene una presión P 0 y al final P L. La región del espacio al cual se aplican los balances es: 0 L L y 0 r R. Balance microscópico de materia: Aplicando las suposiciones dadas la ecuación anterior se simplifica: El balance queda: 1 Como el fluido es incompresible ρ es constante y su valor es diferente de cero, por tanto: 2 La ecuación 2, indica que la velocidad es constante, ni se acelera, ni se frena. 4

5 Balance de fuerzas Cuando el flujo se encuentra totalmente desarrollado las fuerzas de presión, las viscosas y las gravitatorias se encuentran equilibradas. Cuando se elige la componente en la dirección del movimiento, en este caso z, las ecuaciones de Navier Stokes se expresan: Simplificaciones: Por lo que el balance queda: Como el término de la izquierda δp/ δz no depende de r y el términno de la derecha no depende de z, se pueden considerar las derivadas totales en lugar de las parciales: 3 5

6 A partir de la ecuación de Navier Stokes, la ecuación 3 muestra que las fuerzas gravitatorias, las viscosas y las de presión están equilibradas. Para encontrar la expresión matemática del flujo en un ducto circular, habrá que resolver la ecuación anterior: a) se hace un cambio de variables: b) Sustituyendo: c) Como el término dp/dz es independiente de r se considera constante, C 1 Por lo tanto se puede integrar separando variables: De acuerdo a los límites: Para z=0, Po = p o Para z = L P L = p L ρ g z L Por lo tanto: Sustituyendo C 1 : 6

7 Se puede hacer una integración definida separando variables e integrando: Si v = 0 Para evaluar C 3, Condiciones a la frontera Si r=0, es en el centro del ducto, está la máxima velocidad, es constante. La derivada de una constante es cero; La otra condición de frontera en la pared del cilindro Sustituyendo C 3 en: Se obtiene: 7

8 Recordar que será válida para las suposiciones dadas al inicio: 8

9 1) Se cumple la hipótesis del continuo y la conservación de la materia 2) El flujo es estacionario (no existen variaciones en el tiempo) y unidireccional (sólo existe componente de velocidad en una única dirección, esta restricción es equivalente a suponer flujo laminar). 3) El fluido es newtoniano, incompresible (ρ=cte) y de viscosidad constante (μ=cte). 4) Se desprecian los efectos de entrada y salida del sistema. Es decir que se toma una sección de tubo de longitud L lo suficientemente alejada de la entrada y la salida como para despreciar las perturbaciones que estas pudieran originar. 5) las fuerzas que originan dicho flujo son las relacionadas con la caída de presión y la aceleración gravitacional 6) La longitud del tubo (capilar) 7) La viscosidad del fluido Falta considerar la otra característica física: la densidad (ρ) De la ecuación de Hagen Poiseuille Q* flujovolumetrico [M/θ] Si de la ecuación anterior se divide entre el área de flujo: (Verificar dimensiones) v L Q g A * c v Q * g A c 0 0 L 8 L R 4 * 2 R Simplificando la ecuación queda: v L 0 L 8 0 L R 2 * Despejando μ/ρ: 2 0 L R * 8 2 L 9

10 K DONDE ES LA VISCOSIDAD CINEMATICA 1cp 1E s g cm g 3 10

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