/ n 0 N / D(f) = {n N / n n 0 }

Transcripción

1 Liceo Nº SUCESIONES Primera defiició Ua sucesió de úmeros reales es ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales (N) y cuyo recorrido está coteido e el cojuto de los úmeros reales (R). Ejemplos: f: f() 1 ; g: g() = ; h: h() =, so sucesioes reales. Notació: Usaremos ua otació especial para las sucesioes. A la fució la deomiaremos (a ), (b ), etc. (co parétesis), a la image de e la sucesió, es decir al valor fucioal, lo aotamos a, b, etc. (si parétesis) y le llamamos térmio eésimo de la sucesió. a : a ; b : b ; c : c 1 E los ejemplos diríamos: Si obteemos los primeros valores fucioales de la sucesió (a ), podemos represetar a la sucesió como: (a ) {(0, ), (1, ), (, ), (3, ),..., (, ),...} Observacioes: Sea la relació f: N R / f(). Esta relació o represeta ua sucesió ya que para todo atural 3, o existe imágees. 1 Y si cosideramos g: g()? Co uestra defiició de sucesió, o lo es, ya que 1 1 o tiee image. Si embargo todo atural mayor a 1 si la tiee. Por este motivo daremos ua defiició más abarcativa: Seguda defiició La fució f es ua sucesió 0, 0 N / 0 N / D(f) = {N / 0 } De aquí e adelate, cosideraremos sucesioes de domiio N *. Observació: Es comú represetar a la sucesió como el cojuto ordeado de las imágees. Ejemplo: Sea (a ): a = 1 (a 1, a, a 3,..., a,... ) = etoces podemos represetar a la sucesió como: ,,,...,,... 3 Ejercicio 1 Escribe los cuatro primeros térmios de las sucesioes que tiee por térmio geeral: a) a b) a 3 5( 1) c) a 3 d) a 1 SUCESIONES 1. 1

2 Diversas maeras de defiir ua sucesió: 1. Sucesió defiida por ua fórmula explícita: Ya hemos visto que podemos defiir ua sucesió, como cualquier fució, dado la image de u atural cualquiera. Así, la fució (a ) defiida por a = + 1 es la sucesió de los aturales impares.. Sucesió defiida por ua lista o propiedad: Alguas sucesioes puede ser defiidas si dar, a priori, el térmio geeral. Es el caso, por ejemplo, de la sucesió de los úmeros primos:, 3, 5, 7, 11,... Otro ejemplo es la sucesió: 1,,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,... e que cada atural figura veces. 3. Sucesió defiida por recurrecia: E este caso se da el primer térmio y u método que permita calcular cualquier térmio a partir del aterior o de los ateriores. a1 1 La sucesió de los aturales impares se puede defiir así: a 1 a El ejemplo más célebre de este tipo de defiició es la sucesió de Fiboacci, e la que cada térmio, salvo los dos primeros, es la suma de los dos térmios precedetes: a1 1 a 1 a a 1 a Ejercicio Calcula los cuatro primeros térmios de la sucesió defiida por: a1 10 a a1 1 Ejercicio 3 Redefie por recurrecia las siguietes sucesioes defiidas por su térmio geeral: 3 4 a) a 4 1 b) a 5 c) a d) a 3 PROGRESIONES ARITMÉTICAS Agrega tres térmios a cada ua de las sucesioes siguietes: a) 1300; 1350; 1400; 1450; 1500;... b) 3,73; 3,77; 3,81; 3,85; 3,89;... c) 8; 5; ; -1; -4;... Qué puedes observar al restar dos térmios cosecutivos? Expresa a e fució de. SUCESIONES 1.

3 Defiició: Ua sucesió (a ) se dice aritmética, (tambié se le llama progresió aritmética) si existe u úmero real d tal que para todo atural se tiee: a + 1 = a + d. El úmero d se llama diferecia de la sucesió. Térmio geeral: a = a 1 + d a 3 = a + d = a 1 + d + d = a 1 + d a 4 = a 3 + d = a 1 + d + d = a 1 + 3d a 5 = a 4 + d = a 1 + 4d... a +1 = a + d = a 1 + d (Esta fórmula se puede demostrar por Iducció Completa) Ejercicio 4 Calcula el primer térmio de la sucesió aritmética (a ) sabiedo que: a 7 = 5 y d = 1/. Ejercicio 5 De ua sucesió aritmética se sabe que: a 17 = 315 y a 41 = 351. Halla a 100. Ejercicio 6 De ua sucesió aritmética (a ) se sabe que: a 4 + a 5 = - 7 y a 9 = Halla a 1 y d. Ejercicio 7 Determia d e cada sucesió: (a ): a = (b ) = b1 7 b 1 5 b Ejercicio 8 Sobre u depósito que coteía ua cierta catidad de agua, se ha abierto u grifo de caudal costate. A los 5 miutos el depósito cotiee 37 litros y a los 18 miutos cotiee 697 litros. Calcular la catidad iicial de agua, el caudal del grifo y la catidad de agua que habrá cuado se cierre el grifo, media hora después de abrirlo. Ejercicio 9 Si a 1 = 3 - k, a = - k, a 3 = 9 k so térmios de ua sucesió aritmética, averigua el valor de k y el sexto térmio de la sucesió. Suma de los primeros térmios de ua sucesió aritmética: Sea (a ) tal que: a 1 = 1 y d = 1 (a ) = (1,, 3, 4, 5,...,,... ) S 9 = =... S = =... Sea (a ) = (7, 11, 15, 19, 3, 7,..., 803,... ) Calcula: SUCESIONES 1. 3

4 Sea (a ) ua progresió aritmética cualquiera: S = a 1 + a a -1 + a S = a + a a + a 1 S = (a 1 + a ) + (a + a -1 ) (a -1 + a ) + (a + a 1 ) Pero: a p + a (p 1) = a 1 + (p 1)d + a - (p 1)d = a 1 + a S = (a 1 + a ) S = (a1 a ) Ejercicio 10 Sea las sucesioes aritméticas: a) a 1 = 3 y d =. b) a 1 = 4 y d = -. c) a 1 = 1/ y a 36 = 53. Halla e cada caso la suma de los 36 primeros térmios. Ejercicio 11 U atleta realiza u etreamieto progresivo de marcha, recorriedo cada día 500 metros más que el aterior, hasta llegar a 18kms diarios. Calcula cuátos días tardará e llegar a recorrer esa distacia, sabiedo que el primer día recorrió 1km. Ejercicio 1 Calcula la suma de los primeros 0 térmios de ua progresió aritmética sabiedo que la diferecia es 1/ y el décimo térmio es 47/10. Ejercicio 13 De ua progresió aritmética (a ) se sabe que: a 3 + a 9 = 46 y a 7 = 7. Halla: a 1, d y S 0. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Agrega tres térmios a cada ua de las sucesioes siguietes: a) 3; 6; 1; 4; 48; 96;... b) 16; 8; 4; ; 1; 1/;... c) 18; 6; ; /3; /9; /7;... Qué puedes observar al dividir dos térmios cosecutivos? Expresa a e fució de. Defiició Ua sucesió (a ) se dice geométrica (tambié se le llama progresió geométrica), si existe u úmero real q tal que para todo atural se tiee: a + 1 = a q. El úmero q se llama razó de la sucesió. Térmio geeral: a = a 1 q a 3 = a q = a 1 q q = a 1 q a 4 = a 3 q = a 1 q q q = a 1 q 3 a 5 = a 4 q = a 1 q 4... a + 1 = a q = a 1 q SUCESIONES 1. 4

5 Ejercicio 14 Sea (a ) ua progresió geométrica tal que: a 1 = 3 y q = 3. Halla a 6. Ejercicio 15 Si (e ) es ua p.g. tal que: e 5 = 1/ y q = ½. Halla e 1. Ejercicio es u térmio de ua sucesió geométrica, idica qué térmio es sabiedo que: a 1 = 4 y q = 3. Suma de los primeros térmios de ua progresió geométrica: Propuesta Les propogo el siguiete egocio: Yo les etrego $ por día durate u mes si ustedes a cambio me etrega: el primer día $1, el segudo día $, el tercero $4, el cuarto $8 y así, cada día debe etregarme el doble del día aterior, hacemos trato? Itete calcular cuáto diero me habría dado al cabo de los 30 días. Geeralizació: Sea (a ) ua progresió geométrica de razó q S = a 1 + a + a a S = a 1 + a 1 q + a 1 q + a 1 q a 1 q - 1 qs = a 1 q + a 1 q +a 1 q 3 + a 1 q a 1 q y -S = -a 1 - a 1 q a 1 q - a 1 q a 1 q -1 qs - S = -a 1 + a 1 q (q - 1)S = a 1 (q - 1) S a 1(q 1) q 1 Ejercicio 17 Calcula la medida de los cuatro águlos de u cuadrilátero sabiedo que está e progresió geométrica y que el último es 9 veces el segudo. Ejercicio 18 Ua aciaa comuica u secreto a tres comadres, diez miutos después cada ua de ellas lo ha comuicado a otras tres y cada ua de éstas a tres uevas e los diez miutos siguietes, y así sucesivamete. Cuátas persoas cooce el secreto a las horas? Ejercicio 19 Calcula la suma de los 10 primeros térmios de la progresió geométrica (a ), sabiedo que: a 1 = 3 y a 4 = 1/9. Ejercicio 0 De ua p.g. (a ) se sabe que: a 4 + a 3 = 4/3, a 5 = 1/9 y q > 0. Halla a 1 y q. SUCESIONES 1. 5

6 Ejercicio 1 Si (a ) y (b ) so dos sucesioes geométricas: a) Muestra que (a b ) es ua sucesió geométrica. b) Muestra que si k es u real fijo, etoces (k a ) es ua sucesió geométrica. Ejercicio La suma de tres térmios cosecutivos e sucesió geométrica es 130, si se suma 0 al del medio si alterar los extremos, resulta térmios cosecutivos de ua sucesió aritmética. Halla esos úmeros. Ejercicio 3 Dos sucesioes ua aritmética y otra geométrica, tiee ambas como primer térmio 4, el segudo térmio de la sucesió aritmética excede e al segudo térmio de la sucesió geométrica, pero los terceros térmios coicide. Halla el cuarto térmio de cada sucesió. SUCESIONES 1. 6