4. Fuerzas centrales. Comprobación de la segunda Ley de Kepler

Transcripción

1 4. Fuerzas centrales. Comprobación de la segunda Ley de Kepler Fuerza central Momento de torsión respecto un punto Momento angular de una partícula Relación Momento angular y Momento de torsión Conservación de momento angular. Ecuación fundamental de la dinámica de rotación. Momento angular y movimiento planetario: 2.ª Ley de Kepler.

2 Fuerza central Decimos que una fuerza es central cuando su dirección siempre pasa por un punto fijo. Puesto que las fuerzas pasan por un punto fijo, parece natural elegir este como origen de nuestro sistema de referencia. La Fuerza que experimentará un partícula podremos escribirla como, siendo u r el vector unitario en la dirección radial, F = F( r) u r 1

3 Momento de torsión respecto a un punto F Se define el momento o torque de la fuerza con respecto al punto O y se designa por como M al producto vectorial del vector posición de la fuerza por el vector fuerza. El módulo es el producto de la fuerza por su brazo (la distancia desde el punto O a la recta de dirección de la fuerza): M = Fd. La dirección perpendicular al plano que contiene la fuerza y el punto, la que marca el eje del tornillo. El sentido viene determinado por el avance del tornillo cuando hacemos girar a la llave. M= r F 2

4 Momento angular de una partícula (I) L El momento angular de una partícula es el vector producto vectorial L = r mv perpendicular al plano determinado por el vector posición r y el vector velocidad v. Como el vector L permanece constante en dirección, r y v estarán en un plano perpendicular a la dirección fija de L. De aquí, se concluye que la trayectoria del móvil estará contenida en un plano perpendicular al vector momento angular L. El momento angular de todas las partículas del sólido es 2 i ( i i ) L= L = mr ω= Iω Se denomina I al momento de inercia. El momento de inercia para una esfera es: 2/5 MR 2. 3

5 Momento angular de una partícula (II) El momento angular total del cuerpo se puede expresar como: N L= mr v + m p ω CM CM i i i i= 1 El primer término corresponde al momento angular orbital; el segundo es el momento angular intrínseco. Ahora bien, el momento angular orbital del cuerpo es constante, y también el momento angular total del cuerpo. Por tanto, la componente del momento angular intrínseco se mantiene constante. Si se considera que la Tierra es esférica (lo cual constituye una aproximación ideal), su momento angular intrínseco se puede expresar como: S = Iω donde ω es la velocidad angular de giro, paralela al eje de rotación, e I, el momento de inercia. Entonces, al ser el momento angular intrínseco y el momento de inercia constantes, la velocidad angular de rotación de la Tierra (y los demás planetas) debe mantenerse constante con respecto a un eje que pasa por su centro. 4

6 Relación Momento angular y Momento torsión El momento de las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido hace cambiar el momento angular con el tiempo. dl M dt = El principio de conservación del momento angular afirma que si el momento de las fuerzas exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores sean cero), el momento angular total se conserva, es decir, permanece constante. Ecuación fundamental de la dinámica de rotación: M= Iα Esta ecuación, que es válida en todos los casos, se conoce como "Ecuación fundamental de la dinámica de rotación". Es análoga a la ecuación fundamental de la dinámica F = m a. Los momentos producen aceleraciones angulares, es decir, cambios en las velocidades angulares. El momento de la fuerza es a la rotación lo que la fuerza a la traslación. 5

7 Segunda Ley de Kepler Los cuerpos celestes describen trayectorias en las que se cumple que las áreas barridas por el radio vector en tiempos iguales son iguales. El radio vector va desde el foco de la elipse a la posición del planeta en cada instante. La Física demuestra que un cuerpo que se mueve sometido a una fuerza cuyo momento respecto al centro de giro es cero (M = R x F = 0), mantiene un momento angular constante respecto al centro M = 0; dl/dt = M; L = cte. Para un cuerpo que gira con momento angular constante las áreas barridas por el radio vector son iguales. da/dt = L/2m. Si L = cte, será da/dt = cte. 6