vv = ( vi+ v j+ vk)( v i+ v j+ v k) = v v + v v + vv

Transcripción

1 CÁLCULO VECTORIAL. INTRODUCCIÓN Cálculo de las componentes de un ector Dado un ector cuyo origen es el punto A ( x A,y A,z A ) y su extremo el punto B A ( x B,y B,z B ), las componentes del ector se calculan mediante la diferencia ente las coordenadas del extremo y las del origen. = ( x x ) i+ ( y y ) j+ ( z z ) k= i+ j+ k B A B A B A Módulo de un ector Dado un ector. Problemas y el módulo propuestos del ector es su longitud, esto es = + + Cosenos directores Consideremos un ector. Problemas y propuestos, que forma con los ejes coordenados ángulos α, β, γ, y cuyo módulo es = + + Como dichos ángulos determinan la dirección de la recta soporte, se denominan cosenos directores Producto escalar de dos ectores Dados dos ectores = xi + y j + zk y = xi + y j + zk el producto escalar es un escalar que se obtiene mediante la expresión = ( i+ j+ k)( i+ j+ k) = + + x x y y z z

2 Condición de perpendicularidad de dos ectores Dados dos ectores = xi + y j + zk y = xi + y j + zk estos serán perpendiculares si el producto escalar es nulo Producto ectorial de dos ectores Dados dos ectores = xi + y j + zk y = xi + y j + zk de dos ectores el producto ectorial es un ector que se obtiene mediante el desarrollo el determinante = ( i + j + k) ( i + j + k) = = = ( ) i + ( ) j + ( ) k y z z y x z z x x y y x Condición de paralelismo de dos ectores Dados dos ectores = xi + y j + zk = i + j + k y éstos serán paralelos si el producto ectorial es nulo, por tanto se tiene que anular el determinante. En consecuencia se tiene que cumplir que las componentes de los dos ectores sean proporcionales Producto mixto de tres ectores Dados los ectores, y 3, se define el producto mixto como el producto escalar del primero por el producto ectorial de ( 3 ). Es por tanto, un escalar, igual al olumen del paralelepípedo cuya base la forman los y 3 y la altura es la proyección de sobre el producto ectorial de ( 3 ). El olumen del paralelepípedo es x y z V= 3 cosϕ = ( x i + y j + zk ) x y z = x y z x3 x3 El producto mixto es nulo cuando lo es alguno de los ectores o cuando son coplanarios porque es nulo el olumen del paralelepípedo que determinan. z3 x3 y3 z3

3 Momento de un ector respecto a un punto El momento respecto a un punto O del ector AB es por definición M = 0 OA AB Es el producto ectorial del ector que une el centro de momentos (O) con el origen del ector (A), por el ector AB Momento axial Es la proyección sobre un eje, del momento resultante respecto a un punto. 3

4 Calcular el ector cuyo origen es el punto A(,-,3) y el extremo el punto B(0,-4,-) El ector se calcula restando las coordenadas del origen a las del extremo = (0, 4, ) (,,3) = i j 4k Calcular las componentes del ector cuyo origen es el punto A(6,,-) y el extremo el punto B(0,0,0) El ector se calcula restando las coordenadas del origen a las del extremo = (0,0,0) (6,, ) = 6i j + k Calcular el módulo del ector que une los puntos A(3,-,) y B(0, 0,-) El ector se calcula restando las coordenadas del origen a las del extremo = (0,0, ) (3,,) = 3i + j 4k El módulo del ector es = + + = = 6 Calcular el módulo del ector = i + j k = + + = = 3 Calcular el módulo del ector = 6 i + j + 3k = + + = = 7 Calcular los cosenos directores del ector = 6 i + j + 3k Dado un ector = xi + y j + zk, que forma con los ejes coordenados ángulos α,β,γ respectiamente, los cosenos directores son los cosenos de los ángulos que forma dicho ector con los ejes coordenados, esto es x y z cos α =, cos β =, cosγ = El módulo del ector es = + + = = 7 Por lo que los cosenos directores son 6 3 cosα =, cos β =, cos γ =

5 Calcula los cosenos directores del ector cos α =, cos β =, cos γ = = 3 i 4 j + 5k Calcular el producto escalar y ectorial de los ectores = i + j k y = i + j = ( i+ j k)( i+ j) = ( ) + = 3; = = 4i j 4k 0 Calcular el producto escalar y ectorial de los ectores = (j+ 6 k)( 6i+ j k) = () (4) + 6 ( ) = = 0 6 = 4i 36j + k 6 = j 6k y = 6i + j k + Calcula el producto escalar y ectorial de los ectores = 9 = 7i j 3k = i + 3 j k y = 3i 4 j 5k + Calcula el ángulo que forman los ectores = i + 3 j k y = 3i 4 j + 5k El producto escalar de los dos ectores es = ( i + 3 j k ) (3i 4 j + 5k ) = ( 4) + ( ) 5 = Dicho producto escalar es igual al producto de los módulos de los dos ectores por el coseno del ángulo que forman, esto es = = cosϕ 4 50 cosϕ = De donde se deduce que el ángulo que forman los dos ectores es ϕ = 35,90º Calcula el ángulo que forman los ectores = i + j k y = i + 3 j k El producto escalar de los dos ectores es = ( i + j k ) ( i + 3 j k ) = + (3) + ( ) ( ) 9 = 5

6 Dicho producto escalar es igual al producto de los módulos de los dos ectores por el coseno del ángulo que forman, esto es = 9 = cosϕ 3 4 cosϕ = De donde se deduce que el ángulo que forman los dos ectores es ϕ = 36,69º Calcula los ángulos que forma el ector = i + j + k con los ejes coordenados El módulo del ector es 6 α = arccos, β = arccos γ = arccos Calcular el área del paralelogramo que forman los ectores = j + 6k y = 6i + j k (las componentes están expresadas en cm) Dados dos ectores, el área del paralelogramo que determinan es el módulo de su producto ectorial, por tanto en primer lugar determinamos el producto ectorial de los dos ectores y posteriormente su módulo = 0 6 = 4i 36j + k 6 A = Calcular el olumen del paralelepípedo que forman los ectores = i + j = i + 3 j k y 3 = i k (las componentes están expresadas en cm) V=8cm 3 k Calcula un ector de módulo, =, perpendicular al plano XOY, siendo sus componentes positias Si el ector es perpendicular al plano XOY, no tiene componentes x ni y, sólo tiene componente z. Además al ser positia, la solución = k es Y 6 X

7 Calcula un ector contenido en el plano XY de módulo = 8, cuyas componentes x e y sean iguales, siendo todas sus componentes positias Si el módulo = 8, y las componentes x e y son iguales = x + y = x = 8 Por tanto x = y el ector solicitado es = i + j Calcula un ector cuyo módulo es = 7, que tenga todas las componentes positias y cuya recta soporte es la bisectriz del primer triedro Si la recta soporte es la bisectriz del primer triedro, las tres componentes han de ser iguales; además nos indican que todas son positias, y el alor del módulo, esto es = 7 = x + y + z = 3x Por tanto x =3 y el ector es = 3 i + 3 j + 3k Calcula un ector de módulo = 4, que sea perpendicular al plano de ecuación x+4y+6z=0, y que tienen sus componentes positias. Si un ector es perpendicular a un plano, es paralelo a su ector característico como se muestra en la figura. Si el ector es perpendicular al plano x+4y+6z=0, y es paralelo al ector = i + 4 j + 6k La condición de paralelismo entre dos Vector característico del plano ectores es que sus componentes sean proporcionales, esto es x y z = = Con los datos del problema = = 4 6 Se deduce que z =3 x y que y = x. Introduciendo estos alores en la expresión del módulo = 4 = x + y + z = 4x Se deduce que x = y el ector es = i + j + 3k Calcular el producto mixto ( ) siendo los ectores i j + k 3 = i k. 3 7 =, = i + 3 j y

8 El cálculo del determinante de los coeficientes de los tres ectores es V= ( ) 5 3 = Dado el ector deslizante = 3i + 3 j + k y un punto de su recta soporte P(,0,-), calcular el momento del ector respecto al origen de coordenadas O(0,0,0). M O ( ) = OP = 0 = i (0 + 3) + j(3 ) + k (3 0) = 3i j + 3k, 3 3 Dado el ector = i + 3 j + k aplicado en el punto B(6,-,3), calcular el módulo del momento respecto al punto A(,-,6), y los ángulos que forma con los ejes coordenados. El momento respecto al punto A del ector es M A ( ) = AB = = i (0 + 9) + j(3 8) + k ( 0) = 9i 5 j + k 3 Su módulo es M A = = 50, Y forma con los ejes coordenados ángulos α, β, γ tal que Por tanto, los ángulos son α = 55º8 β = 08º 6 γ = 40º 37 8