OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A)

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1 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo Reserva ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELETIVIDAD ANDALUÍA MATEMÁTIAS SS SEPTIEMBRE 013 MODELO RESERVA OPIÓN A EJERIIO 1 (A) Sea las matrices A, B, 3 0 1, D 0 3 (1 puto) alcule A 3 (1 5 putos) Determie la matriz X para que A X + B D Solució Sea las matrices A, B, 3 0 1, D 0 3 alcule A 3 A A A A Determie la matriz X para que A X + B D Si la matriz A tiee matriz iversa A -1, (podemos pasar de (A I ) mediate trasformacioes elemetales a la matriz (I A -1 )), podemos multiplicar la expresió matricial A X + B D por la izquierda por la matriz A ambio (A I ) F- F F 1 por F F- F F 1+ F (I A -1 ), por tato A (-1)F Tambié la podíamos ver por la fórmula A -1 1/( A ) Adj(A t ) A det(a) , luego existe A-1 ; A t 3, Adj(A t 5-3 ), luego A De A X + B D, teemos A X D B, luego A -1 A X A -1 (D B ) I X A -1 (D B ) X A -1 (D B ) Luego X A -1 (D B ) EJERIIO (A) alcule las derivadas de las siguietes fucioes: ( x - 5 (0 75 putos) f (x) )3 3 - x (0 75 putos) g(x) e 7x (x - 5x ) xl(1 - x ) (1 puto) h(x) x - 3 Solució alcule las derivadas de las siguietes fucioes: ( x - 5 f(x) )3 ; g(x) e 7x (x - 5x ) xl(1 - x ) ; h(x) 3 - x x - 3 Recordamos alguas derivadas y reglas de derivació Tambié algo sobre extremos absolutos / f(x) f'(x)g(x) - f(x)g'(x) ( f(x)+g(x) ) f (x)+g (x); ( f(x) g(x)) f (x) g(x)+ f(x) g (x); ; g(x) (g(x)) germajss@gmailcom 1

2 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo Reserva ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua ( (f(x) k ) kf(x) k-1 f (x); ( a x ) a x l(; ( e kx ) ke kx ; (x k ) kx k-1 ; (l(f(x)) f'(x) ; (k) 0 f(x) ( x - 5 f(x) )3 ; 3 - x f (x) ( ) ( ) ( ) (x) x (3 - x ) + ( x - 5) ( ) 3 3 x - 5 x (3 - x ) - x - 5 (-x) (x) x - 5 ( - x + ) (3 - x ) (3 - x ) (3 - x ) g(x) e 7x (x - 5x ) ; g (x) e 7x (7) (x - 5x ) + e 7x (x - 5x ) (1 10x) e 7x (7) (x - 5x ) [7 (x - 5x ) + (1 10x)] 7 e 7x (x - 5x ) [-35x 13x + ] xl(1 - x ) h(x) x - 3 -x [1 l(1 - x ) + x ](x - 3) - x l(1 - x ) 1 [(1- x ) l(1 - x ) - x ](x - 3) - (1 - x ) x l(1 - x ) h (x) 1 - x (x - 3) (1 - x ) (x - 3) EJERIIO 3 (A) U etro de Salud propoe dos terapias, A y B, para dejar de fumar De las persoas que acude al etro para dejar de fumar, el 5% elige la terapia A, y el resto la B Después de u año el 70% de los que siguiero la terapia A y el 80% de los que siguiero la B o ha vuelto a fumar Se elige al azar u usuario del etro que siguió ua de las dos terapias: (1 puto) alcule la probabilidad de que después de u año o haya vuelto a fumar (0 75 putos) Si trascurrido u año esa persoa sigue si fumar, calcule la probabilidad de que hubiera seguido la terapia A (0 75 putos) Si trascurrido u año esa persoa ha vuelto a fumar, calcule la probabilidad de que hubiera seguido la terapia A Solució U etro de Salud propoe dos terapias, A y B, para dejar de fumar De las persoas que acude al etro para dejar de fumar, el 5% elige la terapia A, y el resto la B Después de u año el 70% de los que siguiero la terapia A y el 80% de los que siguiero la B o ha vuelto a fumar Se elige al azar u usuario del etro que siguió ua de las dos terapias: Llamemos A, B, F y F, a los sucesos siguietes, seguir la terapia A, "seguir la terapia B", "seguir fumado" y "dejar de fumar ", respectivamete Datos del problema p(a) 5% 0 5; p(f /A) 70% 0 7; p(f /B) 80% 0 8 Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de las que parte de u mismo odo vale 1) alcule la probabilidad de que después de u año o haya vuelto a fumar Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que o haya vuelto a fumar es: p(f ) p(a)p(f /A) + p(b)p(f /B) (0 5) (0 7) + (0 55) (0 8) (3/5) Si trascurrido u año esa persoa sigue si fumar, calcule la probabilidad de que hubiera seguido la terapia germajss@gmailcom

3 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo Reserva ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua A Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( A F ) p( A)p(F /A) p(a/f ) (0 5) (0 7):(0 755) 0 17 p(f ) p(f ) Si trascurrido u año esa persoa ha vuelto a fumar, calcule la probabilidad de que hubiera seguido la terapia A Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( A F ) p( A)p(F/A ) p(a/f) (0 5) (0 3):( ) p(f) 1 - p(f ) EJERIIO (A) Se cooce que la acidez de ua solució es ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal co desviació típica 0 Se ha tomado ua muestra aleatoria de cico solucioes y se ha obteido las siguietes medidas de la acidez: (1 5 putos) Halle el itervalo de cofiaza, al 99%, para la media poblacioal (0 5 putos) Qué error máximo se ha cometido e el itervalo aterior? (0 75 putos) Para el mismo ivel de cofiaza, calcule el tamaño míimo muestral que permita reducir el error aterior a la mitad Solució σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I (µ) x z 1 α/,x + z1 α/ b - a dode z 1-α/ y z α/ - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) 1 - α/ σ Sabemos que la amplitud del itervalo es b a E z1 α / σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E z1 α /, para el itervalo de la media, de z 1- α/ σ dode el tamaño míimo de la muestra es E Se cooce que la acidez de ua solució es ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal co desviació típica 0 Se ha tomado ua muestra aleatoria de cico solucioes y se ha obteido las siguietes medidas de la acidez: Halle el itervalo de cofiaza, al 99%, para la media poblacioal Datos del problema: σ 0 ; 5; x ( )/5 7 9; ivel de cofiaza 99% α, de dode α 0 01, co la cual α/ germajss@gmailcom 3

4 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo Reserva ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua De p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad vemos que o viee Ua de las más próximas es , que correspode a z 1-α/ 58 El itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I (µ) x z 1 α/,x + z1 α/ 0' 0' 7'9 '58,7'9 + ' (7 93,8 157) Qué error máximo se ha cometido e el itervalo aterior? σ Sabemos que el error máximo de la estimació es E z1 α / ( 58) (0 ) ( 5) Para el mismo ivel de cofiaza, calcule el tamaño míimo muestral que permita reducir el error aterior a la mitad z 1- α/ σ '58 0' Sabemos que el tamaño míimo de la muestra es E 0' , por tato el tamaño míimo es OPIÓN B EJERIIO 1 (B) Se desea maximizar la fució F(x,y) 1x + 8y e el recito dado por: y +3x 9; y -x/7 + 1; 5x - y 15; x 0 (1 puto) Represete la regió factible del problema (1 puto) uál es el valor máximo de F y la solució óptima del problema? (0 5 putos) Obtega u puto de la regió factible que o sea el óptimo Solució Se desea maximizar la fució F(x,y) 1x + 8y e el recito dado por: y +3x 9; y -x/7 + 1; 5x - y 15; x 0 Represete la regió factible del problema Las desigualdades y + 3x 9; y -x/7 + 1; 5x - y 15; x 0, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, y + 3x 9; y -x/7 + 1; 5x - y 15; x 0 Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y -3x + 9; y -x/7 + 1; y 5x/ - 15/; x 0 Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas alculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos De x 0 e y -3x + 9, teemos y 9 y el vértice A(0,9) De y -3x+9 e y 5x/ 15/, teemos -3x+9 5x/ - 15/ -x+18 5x - 15, 33 11x, de dode x3 e y 0, y el vértice es B(3,0) De y 5x/ 15/ e y -x/7 + 1, teemos 5x/ 15/ -x/ x 105-8x + 19 germajss@gmailcom

5 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo Reserva ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua 3x 301 x 7, de dode y 10, y el vértice es (7,10) De y -x/7 + 1 y x 0, teemos y 1, y el vértice es D(0,1) Vemos que la regió factible es el polígoo covexo limitado por los vértices del recito so: A(0,9), B(3,0), (7,10) y D(0,1) uál es el valor máximo de F(x,y) 1x + 8y, y la solució óptima del problema? El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,9), B(3,0), (7,10) y D(0,1) E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue F(0,9) 1(0) + 8(9) 7; F(3,0) 1(3) + 8(0) ; F(7,10) 1(7) + 8(10) 178; F(0,1) 1(0) + 8(1) 11 Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 178 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice (7,10) Obtega u puto de la regió factible que o sea el óptimo U puto de la regió factible que o sea el óptimo podría ser el vértice B(3,0), pues e él la fució F vale EJERIIO (B) 3 x - 1 si x < 1 Se cosidera la fució f(x) -x + x - 3 si x 1 (0 75 putos) Determie el domiio y estudie la cotiuidad de la fució (1 puto) Obtega los extremos de la fució (0 75 putos) Estudie su curvatura Solució 3 x - 1 si x < 1 Se cosidera la fució f(x) -x + x - 3 si x 1 Determie el domiio y estudie la cotiuidad de la fució El domiio de la fució f es todo R, os lo idica el problema, x 3 1 es ua fució cotiua y derivable e R, e particular e x < 1 -x + x 3 es ua fució cotiua y derivable e R, e particular e x 1 Sabemos que si ua fució es derivable etoces tambié es cotiua Veamos la cotiuidad de f e x 1 f(x) es cotiua e x 1 si f(1) lim f(x) x 1 x 1 f(1) lim f(x) + x 1 lim (x 3-1 ) (1) 3-1 0; lim f(x) x 1 lim f(x) x + 1 lim (-x + x - 3) -(1) + (1) - 3 0, por tato f(x) es cotiua e x 0 x + 1 Recapitulado f es cotiua e R Obtega los extremos de la fució Sabemos que la mootoía es el estudio de la primera derivada f (x) Si x < 1, f (x) 3x De f (x) 0, teemos 3x 0, de dode x 0 (doble) Posible extremo omo f (-1) 3(-1) 3 > 0, f es estrictamete creciete ( ) e (-,0) omo f (0 5) 3(0 5) 0 75 > 0, f es estrictamete creciete ( ) e (0,1) 3x si x < 1 -x + si x > 1 germajss@gmailcom 5

6 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo Reserva ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua E x 0, la fució es estrictamete creciete, luego o es u extremo Si x > 1, f (x) -x + De f (x) 0, teemos -x + 0, de dode x Posible extremo omo f (1 1) -(1 1) > 0, f es estrictamete creciete ( ) e (1,) omo f (3) -(3) + - < 0, f es estrictamete decreciete ( ) e (,+ ) Por defiició x es u máximo relativo y vale f() -() + () 3 1 Estudie su curvatura Nos está pidiedo los itervalos de cocavidad, covexidad y los putos de iflexió; es decir el estudio de la seguda derivada x si x < 1 f (x) - si x > 1 Si x < 1, f (x) x De f (x) 0, teemos x 0, de dode x 0 Posible puto de iflexió omo f (-1) (-1) - < 0, f(x) es cócava ( ) e el itervalo (-,0) omo f (0 5) (0 5) 3 > 0, f(x) es covexa ( ) e el itervalo (0,1) Por defiició x 0 es u puto de iflexió y vale f(0) (0) Si x > 1, f (x) - < 0, luego f(x) es cócava ( ) e el itervalo (1,+ ) Por defiició x 1 es u puto de iflexió y vale f(1) -(1) + (1) 3 0 EJERIIO 3 (B) De los sucesos idepedietes A y B se sabe que p(a ) 0 y p(a B) 0 8 (1 5 putos) Halle la probabilidad de B (0 75 putos) Halle la probabilidad de que o se verifique B si se ha verificado A (0 5 putos) So icompatibles los sucesos A y B? Solució De los sucesos idepedietes A y B se sabe que p(a ) 0 y p(a B) 0 8 Halle la probabilidad de B ( ) Sabemos que p(a B) p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) p A B ; p(b) 1 - p(b ); A y B so idepedietes p(b) si p(a B) p(a) p(b); p(a B ) p(a) - p(a B) Me pide p(b) De p(a ) 0 1 p(a) 0, de dode p(a) 0 De p(a B) p(a) + p(b) - p(a B) p(a) + p(b) - p(a) p(b), teemos p(b) 0 p(b), luego 0 0 p(, por tato p(b) 0 /0 0 5 Halle la probabilidad de que o se verifique B si se ha verificado A pb ( A ) Me pide p(b /A) p(a) De A y B idepedietes teemos p(a B) p(a) p(b) pb ( A ) ( ) ( ) Luego p(b p A - p A B /A) (0 0 3)/(0 ) 0 3/0 0 5 p(a) p(a) So icompatibles los sucesos A y B? A y B so icompatibles si A B φ, es decir p(a B) 0, pero hemos visto que p(a B) 0 3, luego los suceso A y B so compatibles EJERIIO (B) (1 5 putos) Se cosidera la població {,,} Escriba todas las posibles muestras de tamaño dos germajss@gmailcom

7 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo Reserva ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua elegidas mediate muestreo aleatorio simple y determie la desviació típica de las medias muestrales (1 5 putos) E ua ciudad se seleccioó ua muestra aleatoria de 500 alumos de Bachillerato a los que se les pregutó si poseía ua determiada marca de teléfoo móvil, resultado que 80 de ellos cotestaro afirmativamete Obtega u itervalo de cofiaza, al 9%, para estimar la proporció de estudiates de Bachillerato que posee esa marca de teléfoo móvil Solució Se cosidera la població {,,} Escriba todas las posibles muestras de tamaño dos elegidas mediate muestreo aleatorio simple y determie la desviació típica de las medias muestrales Supogo que el muestreo es co reemplazamieto Hay 9 muestra co reemplazamieto de tamaño Los resultados puede verse e la tabla siguiete: MUESTRAS Elemetos Media de la muestra x i La distribució muestral de medias puede verse e la tabla que sigue x i i i x i i (x i ) N La media de la distribució muestral de medias (media de medias) es: µ x k i 1 x N i i 3 9 La desviació típica de la distribució muestral de medias es: σ (x ) i i N - x 15 - () E ua ciudad se seleccioó ua muestra aleatoria de 500 alumos de Bachillerato a los que se les pregutó si poseía ua determiada marca de teléfoo móvil, resultado que 80 de ellos cotestaro afirmativamete Obtega u itervalo de cofiaza, al 9%, para estimar la proporció de estudiates de Bachillerato que posee esa marca de teléfoo móvil Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORIÓN MUESTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) o p N( p q p, ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: germajss@gmailcom 7

8 IES Fco Ayala de Graada Septiembre de 013 (Modelo Reserva ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua p q ˆ ˆ p q ˆ ˆ I(p) p ˆ - z ˆ 1 α/,p + z 1 α/ (b- dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ Trabajamos co la ormal N(0,1) tipificada de la ormal muestral p(1 ˆ p) ˆ El error cometido es E < z 1 α / (b-/, de dode el tamaño de la muestra es > ˆˆ (z 1-α/ ) pq E E ua ciudad se seleccioó ua muestra aleatoria de 500 alumos de Bachillerato a los que se les pregutó si poseía ua determiada marca de teléfoo móvil, resultado que 80 de ellos cotestaro afirmativamete Obtega u itervalo de cofiaza, al 9%, para estimar la proporció de estudiates de Bachillerato que posee esa marca de teléfoo móvil Datos del problema: p 80/ , q , 500, ivel de cofiaza 1 α 9% 0 9, de dode α % como ivel de sigificació De α 0 08 teemos α/ 0 0 De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , probabilidad que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0 9 o viee e la tabla y uo de los valores más próximos es , que correspode a z 1-α/ 1 75 Por tato el itervalo de cofiaza pedido es: p q ˆ ˆ p q ˆ ˆ 0'1 0'8 0'1 0'8 I(p) p ˆ - z ˆ 1 α/,p + z 1 α/ 0'1-1'75,0'1 + 1' ( ; ) germajss@gmailcom 8