Repaso de Matemática I Profesora: Alicia Herrera Ruiz

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1 Repaso de Matemática I Profesora: Alicia Herrera Ruiz ESTIMADOS ALUMNOS LES HE PREPARADO ESTE MATERIAL CON EL ÚNICO FIN DE AYUDARLES A AFIANZAR LO QUE UDS. YA HAN VENIDO ESTUDIANDO. RECUERDEN QUE LA PRÁCTICA HACE AL MAESTRO. SU PROFESORA ALICIA TEORÍA: Un punto se ubica en el plano cartesiano mediante coordenadas (x; y), en donde la primera componente se le llama abscisa y la segunda ordenada. Un punto ubicado en el eje de las ordenadas y se le llama ORDENADA EN EL ORIGEN o COEFICIENTE DE POSICIÓN y se representa por b cuyas coordenadas son: (0; b) Un punto ubicado en el eje de las abscisas x se le llama ABSCISA EN EL ORIGEN y se representa por A cuyas coordenadas son: (a: 0) 1. PENDIENTE DE LA RECTA: TEORÍA: NOCIÓN DE PENDIENTE: La pendiente es la inclinación de la recta DEFINICIÓN DE PENDIENTE: Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación, es decir: y L m = Tg = 0 x

2 Trazamos el triángulo rectángulo, de tal manera que se cuenten valores enteros por cada lado. La recta está de bajada, por lo que la pendiente será negativa Tener en cuenta que debemos graficar un triángulo rectángulo, debajo o sobre la recta La pendiente será: m vertical horizontal 5 6

3 La recta va de subida, por lo tanto es positiva la pendiente. La pendiente será: m vertical horizontal 1 2 Encontrar la pendiente de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos: A. (2,5) y (-3,8) B. (4,-8) y (-7,0) C. (1,0) y (-2,-4)

4 Repaso de Matemática I Profesora: Alicia Herrera Ruiz Teniendo en cuenta: m y x 2 2 y1 x 1 A. (2,5) (-3,8) m = 8-5 = Por lo tanto, la pendiente es B. (4,-8) (-7,0) m = = Por lo tanto, la pendiente es C. (1, 0) (-2,-4) m = -4-0 = Por lo tanto, la pendiente es 4. 3 Para practicar en la web: Signos de la pendiente: Valor de la pendiente: ECUACIONES DE LA RECTA: TEORÍA: Una misma recta puede ser representada por varias ecuaciones. Éstas son: a) Ecuación punto pendiente: y y 1 = m (x x 1 ) b) Ecuación pendiente ordenada: y = mx + b (donde m es la pendiente y b la ordenada en el origen) c) Ecuación general: Ax + By + C = 0 (donde la pendiente m = -(A)/B y la ord. en el origen b= -( C )/B. Si C = 0 la recta pasa por el origen Si A = 0 la recta es horizontal Si B = 0 la recta es vertical d) Ecuación canónica, simétrica u ordinal: donde a es la abscisa en el origen y b es la ordenada en el origen. Llamados a y b también interceptos con los ejes.

5 Repaso de Matemática I Profesora: Alicia Herrera Ruiz Hallar la ecuación punto pendiente y general de la recta que pasa por el punto P 1 (3, 4) y que tiene una pendiente m=2 Si pasa por P 1 (3, 4) y la pendiente es m=2. El bosquejo de la gráfica sería L y m = 2 P 1 (3, 4) x Se debe de observar que como la pendiente m = 2 es positiva la recta L Aplicando la fórmula: y y 1 = m(x x 1 ) y 4 = 2(x 3) Ecuación punto-pendiente de la recta. Despejando se puede obtener la ecuación general: y - 4 = 2x 6 Transponiendo todo a un solo miembro: 2x y = 0 2x y 2 = 0 Entonces, si la ecuación general tiene la forma Ax + By + C = 0 Donde: A = 2; B = -1 ; C = -2 Hallar la ecuación punto pendiente de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2). Entonces identificamos los puntos: A(-2, -3) y B(4, 2). x 1 y 1 x 2 y 2

6 y2 y Paso 1: La pendiente m x x Paso 2: Ecuación punto-pendiente: y y 1 = m(x x 1 ) Hallar las 4 ecuaciones de la recta que pasa por P( 2, 1) y tiene como pendiente -4/3. Si pasa por P( 2, 1) y tiene como pendiente -4/3, no podemos hallar inmediatamente la ecuación canónica, primero se debe hallar la ecuación punto pendiente, luego la general: y y 1 = m(x x 1 ) y -1 = -4/3 (x +2) Ec. punto pendiente 3y 3 = -4x 8 3y = -4x y = -4x Y = -4x 5 ec. pendiente ordenada en el origen 3 3 De la ecuación: 3y = -4x 5 Se obtiene: 4x + 3y + 5 = 0 Ec. general Si y = 0 resulta 4x + 5 = 0 donde x = -5/4 = a. Intercepto: (-5/4 ; 0) Si x = 0 resulta 3y + 5 = 0 donde y = -5/3 = b Intercepto: ( 0 ;-5/3 ) La ecuación canónica, ordinal o simétrica será:

7 Y el gráfico: y (-4/5; 0) x (0 ; -5/3) Humm sólo es cuestión de seguir los pasos. No está difícil Buscar la ecuación en todas sus formas ( punto-pendiente, general, pendiente ordenada en el origen y ordinal) de los puntos dados. (5,0) y (2,-1) (5,0) y (2,-1) x 1 y 1 x 2 y 2 Colocamos los valores de ( x;y) a cada punto. Para conseguir la ecuación, primero hay que buscar la pendiente. m = -1-0 = Por lo tanto, la pendientes es 1/3 Y - Y 1 = m(x - X 1 ) Y - -1 = 1 ( X - 2) 3

8 Y + 1 = 1 (X - 2) Ecuación punto pendiente 3 3y + 3 = x 2 3y = x y = x Ecuación pendiente ordenada en el origen 0 = x -3y = x -3y 5 Ecuación general Si : x = 0, entonces y = -5/3 Si: y= 0, entonces x =5 Ecuación simétrica Para practicar en la web: Dado el gráfico escribir la ecuación pendiente ordenada en el origen: Sólo observando la pendiente y la ordenada, nada más. Ecuación pendiente ordenada en el origen: Con los datos dados plantear la ecuación y y 1 = m(x x 1 ) transfórmala a pendiente ordenada y=mx + b PUEDES RESOLVER LAS VECES QUE QUIERAS. Ecuación general: Con los datos dados plantear la ecuación y y 1 = m(x x 1 ) transfórmala a general Ax + By + C = 0 Pendiente, ecuación pendiente ordenada en el origen, ec. general, ecuación simétrica o canónica: Responder con conocimientos las 8 primeras preguntas.

9 3. Rectas paralelas y perpendiculares: La teoría ya está dada en el punto anterior. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (-1,2) y es paralela a la recta 10x + 2y 6 = 0. Llamaremos L2 a la ecuación de la recta que pasa por (-1,2) y es paralela a la recta L1: 10x + 2y 6 = 0. Obtenemos la pendiente de la recta L1 : m 1 = -A/B = -(-10)/2 = 5, como es paralela a L2, es la misma pendiente : m 2 = 5 y y 1 = m(x x 1 ) Entonces la ecuación será Y 2 = 5 ( x +1) Y 2 = 5x = 5x y + 3 Si las ecuaciones y = (7-2k)x+kx+5 e y =3-(4k-1)x, representan rectas paralelas. Hallar el valor de k Llamaremos L1 : y = (7-2k)x+kx+5 L2: y =3-(4k-1)x, y estas rectas don paralelas. Las dos rectas están expresadas como ecuaciones punto pendiente ordenada en el origen.

10 Entonces: m 1 = 7-2k+k = 7 k m 2 = -(4k 1) = 1 4k Se igualan por ser paralelas: m1 = m2 7 k = 1 4k 3k = -6 donde K = -2 Encuentre la ecuación de la recta que pasa por A(7,-3), y perpendicular a la recta cuya ecuación es 2x 5y=8. Llamaremos L2 a la ecuación de la recta que pasa por A(7,-3) y es perpendicular a la recta L1: 2x 5y = 8. Obtenemos la pendiente de la recta L1 : m 1 = -A/B = -(2)/-5 = 2/5, como es perpendicular a L2, es la pendiente invertida y opuesta : m 2 = -5/2 Entonces la ecuación será y y 1 = m(x x 1 ) Y +3 = 5 2 ( x -7) 2Y + 6 = - 5x x + 2y - 29 = 0

11 1. Hallar la ecuación de la recta que es paralela a la recta 2x - y - 4 = 0 y pasa por el punto (-3,1). Rpt: y=2x Determine la ecuación de la recta que pasa por (-3/4; -1/2), y paralela a la recta cuya ecuación es x + 3y =1. Rpta: y = -1/3x 3/4 3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,-5) y es paralela a la recta g(x)=2 /3 x - 1. Rpta: y=2/3 x Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,-5) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (-1,-3) y (-3,4). Rpta: y=-7/2 x Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3,1) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (-3,-2) y (-2,3). Rpta: y=5x Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-2) y es perpendicular a la recta x +3y -6 = 0. Rpta 0=3x-y Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3,0) y es perpendicular a la recta x - 2y = 6. Rpta: y=-2x Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,-2) y que es perpendicular ala recta que pasa por (-3,-1) y (2,-3). Rpta: y=2/5 x + 1/2. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energía atómica: la voluntad. ALBERT EINSTEIN