Universidad de Costa Rica Proyecto MATEM Curso Precálculo Décimo 2017 Guía para los exámenes parciales ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

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1 Universidad de Costa Rica Proyecto MATEM Curso Precálculo Décimo 2017 Guía para los exámenes parciales I PARCIAL SÁBADO 22 DE ABRIL, 8:00 a.m. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 1 2 Objetivos Contenidos Observaciones Polinomios Fracciones algebraicas Factorizar polinomios por los métodos: factor común, agrupamiento, diferencia de cuadrados, polinomios cuadráticos de la forma ax 2 +bx+c por inspección, usando fórmula general y el teorema del factor. Racionalizar numerador y o denominador de fracciones algebraicas. Simplificar fracciones algebraicas. Sumar, restar, multiplicar, dividir fracciones algebraicas, incluyendo fracciones complejas. Reconocer las diferencias entre ecuación e identidad, y entre solución y conjunto solución. Ecuaciones Identidades Solución de una ecuación Conjunto solución de una ecuación. Revisar páginas de la 2 a 13. Revisar material adicional de factorización. Revisar páginas de la 44 a 58 del libro Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, Décimo Segunda edición Earl W. Swokowski; Jeffery A. Cole Puede revisar la página 60 del texto: Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, Décimo Segunda edición Earl W. Swokowski; Jeffery A. Cole Resolver ecuaciones cuadráticas. Resolver ecuaciones polinomiales de grado mayor que 2 con una incógnita. Resolver ecuaciones fraccionarias. Ecuaciones cuadráticas con una incógnita. Páginas del libro MATEM: de la 15 a la 26. Ecuaciones polinomiales de grado mayor que 2 con una incógnita. Ecuaciones con expresiones fraccionarias. Páginas del libro MATEM: de la 39 a la 45.

2 Objetivos Contenidos Observaciones Ecuaciones con radicales. Resolver ecuaciones radicales. Páginas del libro MATEM: de la 51 a la 57. a. Se le dará énfasis al concepto, más que al procedimiento algebraico. Por ejemplo: determinar si existen soluciones a partir de relaciones entre el índice del radical y el signo de las expresiones. 6 b. Importante las propiedades del cuadro de arriba de la página 52. c. No es necesario determinar el dominio de la ecuación. d. Se deben probar las posibles soluciones para determinar si pertenecen al conjunto solución en el caso de que el índice sea par. 7 Resolver ecuaciones con valor absoluto. Ecuaciones con valor absoluto. e. No se evaluarán ejercicios como el 3 de la página 54, tampoco del tipo 13,16 de la página 57. Enfatizar la definición de valor absoluto de la página 57 del libro MATEM Resolver problemas que para su solución requieran ecuaciones. Aplicar el concepto de pendiente en la solución de ejercicios. Determinar la ecuación de una recta ubicada en el plano cartesiano. Determinar la ecuación de una recta paralela o perpendicular a otra recta dada. Determinar la intersección de dos rectas en el plano cartesiano. Problemas con ecuaciones. Pendiente de un segmento. Pendiente de una recta. Rectas crecientes, decrecientes, horizontales y verticales. Ecuación de una recta en el plano cartesiano. Rectas paralelas y perpendiculares en el plano cartesiano. Punto de intersección de dos rectas en el plano cartesiano. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Del libro MATEM: ejercicio 1 de la página 63. FOLLETO ADICIONAL DE PROBLEMAS FOLLETO ADICIONAL SOBRE RECTAS (dado que el enfoque del libro MATEM es desde las funciones) Ejercicios de las páginas 205 y 206 del libro MATEM. De los ejercicios de selección única de la página 207 (en adelante) del libro MATEM: NO ENTRAN: 9,14,19,23,27,34,36,39,40,41,43,49,52,55,56,61,65,68,69,70,74. Ejercicios como el 2 de la página 198 del libro MATEM. 2

3 13 Objetivos Contenidos Observaciones Fórmulas para determinar, en el plano Del libro MATEM: Algunos conceptos de geometría analítica cartesiano: Punto medio de un segmento. a. Páginas: de la 190 a la 193. Distancia entre dos puntos. Aplicar los conceptos de punto medio de un segmento y distancia entre dos puntos. Determinar la ecuación de una parábola dada. Ecuación de una parábola con eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas. b. Se incluyen problemas como determinar el perímetro de triángulos y paralelogramos. Ver ejercicios de la página 193. FOLLETO ADICIONAL DE PARÁBOLAS 14 Graficar una parábola a partir de su ecuación. Intersecciones con los ejes de una parábola Determinar la cantidad de intersecciones de una parábola dada con cada eje. Determinar la concavidad de una parábola a partir de la ecuación. Aplicar los conceptos de eje de simetría y vértice de una parábola en la solución de problemas. Analizar los conceptos básicos que involucran la circunferencia y el círculo. Concavidad de una parábola. El eje de simetría y el vértice de una parábola. Definición de círculo, circunferencia, centro, radio, cuerda, diámetro, arco, ángulo central, recta tangente, recta secante, interior y exterior de la circunferencia. Del libro MATEM, páginas: de la 406 a la 409. No se evaluará D9. El tipo de ítems a evaluar será desde el enfoque de la geometría analítica, Ejemplos: a. Se dan las coordenadas de un punto y la ecuación de una circunferencia, debe determinar si el punto está en el exterior, interior o en la. b. Dados dos puntos de una circunferencia, se debe determinar la medida de la cuerda con esos extremos o la distancia de esa cuerda al centro del círculo. EJERCICIOS ANEXOS DE CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA 3

4 Objetivos Contenidos Observaciones 18 Determinar la ecuación de una circunferencia de centro y radio dado. Determinar el centro y el radio de una circunferencia de ecuación dada. Ecuación de una circunferencia. Puede estudiarse del texto (páginas de la 92 a la 94): Stewart, J.,Redin, L. y Watson, S. (2006). Precálculo. Matemáticas para el cálculo. Quinta edición. Sólo se evaluarán completaciones al cuadrado simples como 2 x 4x 7. De la página 99 de este libro: ejercicios del 81 al Aplicar las relaciones que se establecen entre dos circunferencias coplanares o entre una circunferencia y una recta de acuerdo a sus posiciones relativas, en la solución de ejercicios Posiciones relativas entre dos circunferencias: concéntricas, tangentes, secantes, exteriores, interiores. Rectas tangentes y rectas secantes a una circunferencia. Del libro MATEM, página 410 (conceptos). El tipo de ítems a evaluar será desde el enfoque de la geometría analítica, Ejemplos: a. Se dan las ecuaciones de dos circunferencias y se deben clasificar de acuerdo a su posición relativa. b. Se da la ecuación de una recta y una circunferencia y se debe clasificar de acuerdo a su posición relativa. c. Se da el centro y un punto de la circunferencia y se debe determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia por ese punto. EJERCICIOS ANEXOS DE CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA 4

5 II PARCIAL SÁBADO 17 DE JUNIO, 8:00 a.m. ÁLGEBRA Y FUNCIONES Objetivos Contenidos Observaciones 1 2 Determinar el conjunto solución de una Resolver inecuaciones polinomiales. Inecuaciones lineales. Inecuaciones cuadráticas. Del libro MATEM: páginas 26-38, 45-51, 63,64. inecuación lineal con una incógnita. Inecuaciones polinomiales de grado mayor que 2. Ejemplos y ejercicios de las 3 Resolver inecuaciones con valor absoluto. Resolver inecuaciones fraccionarias. Inecuaciones con valor absoluto. Inecuaciones con expresiones fraccionarias racionales. ejercicios de selección única de las páginas del libro MATEM. Importante trabajar los 4 En inecuaciones con valor absoluto solo se consideran las que se pueden reducir a la forma: P( x) k, P( x) P( x) k, P( x) k o k donde P( x ) es un polinomio de grado uno y Importante resolver del tipo n P ( x ) n k (y las demás desigualdades) para n par o impar. 5 Comprender, en forma intuitiva y gráfica, los conceptos: función, dominio, codominio, ámbito o rango, imagen, preimágen, gráfica. Aplicar el concepto de función en la solución de problemas. Conceptos de relación, función, variable dependiente, variable independiente, criterio, dominio, codominio, rango y gráfica de una función. Del libro MATEM: Páginas: Enfatizar análisis de gráficas, dominio máximo y cálculo de ámbitos en diferentes dominios. 5

6 Objetivos Contenidos Observaciones Calcular imágenes y preimágenes de una Relaciones que se establecen entre conjuntos Importante las traslaciones de función dada. numéricos, cuyo criterio está formulado mediante las funciones básicas. expresiones algebraicas. Conceptos de imagen y preimágen. Notaciones. Determinar las intersecciones con los ejes Intersección de la gráfica de una función con los ejes de la gráfica de una función. coordenados. Graficar funciones en un sistema de Gráfica de una función. coordenadas cartesianas. Determinar si una función es creciente, Funciones crecientes, decrecientes y constantes. decreciente, constante. Obtener información sobre una función a Análisis de gráficas. partir de su gráfica. Determinar el dominio máximo de una Dominio máximo de funciones cuyo criterio se enuncia función. con expresiones algebraicas Clasificar funciones en inyectivas, Funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas. sobreyectivas, biyectivas. Efectuar las cinco operaciones fundamentales con funciones. Operaciones con funciones: suma, resta, multiplicación, división y composición de funciones 6

7 FUNCIÓN LINEAL Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Objetivos Contenidos Observaciones Aplicar el concepto de función lineal en la Concepto de función lineal. solución de problemas del entorno. Del libro MATEM, páginas Gráfica de una función lineal. Interpretar la información que proporciona Algunos conceptos de geometría la representación gráfica de funciones Funciones lineales que permiten modelar situaciones del analítica NO se evaluará en este lineales, que modelan relaciones del entorno. parcial, dado que es tema del I parcial. entorno. Determinar el dominio de una función lineal dado su ámbito y viceversa. Dominio y rango de una función lineal. Importante la graficación y análisis de funciones lineales en diferentes dominios. De los ejercicios de selección de la página 207: 14,19,27,39,41,43,49,52,55,61,65,68,69, Identificar una función cuadrática y su gráfica. Determinar el rango de una función cuadrática dada. Indicar los intervalos en los cuales una función cuadrática dada es creciente o decreciente. Resolver problemas del entorno que involucren conceptos relacionados con función cuadrática. Definición de función cuadrática. Del libro MATEM, páginas Ámbito de una función cuadrática. Intervalos de monotonía de una función cuadrática. Problemas de aplicación de funciones cuadráticas. Enfatizar conceptos de: dominio, ámbito, inyectividad, sobreyectividad, biyectividad. Importante graficar y analizar funciones cuadráticas en diferentes dominios. Se refiere a los problemas de aplicación de máximos y mínimos (problemas de optimización) de la página

8 III PARCIAL SÁBADO 30 DE SETIEMBRE, 2:00 p.m. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA 1 Objetivos Contenidos Observaciones Caracterizar las funciones exponenciales Definición de función exponencial. Del libro de MATEM de acuerdo con su criterio y su págs. 248 A 263 representación gráfica. Gráfica de una función exponencial. Identificar la función logarítmica como la inversa de una función exponencial. Propiedades de la función exponencial y su gráfica: dominio máximo, ámbito, asíntota, intersecciones con los ejes, monotonía, concavidad. Definición de la función logarítmica como inversa de la exponencial. Del libro de MATEM págs. 263 a 270 Gráfica de una función logarítmica. 2 Propiedades de la función logarítmica y su gráfica: dominio máximo, ámbito, asíntota, intersecciones con los ejes, monotonía, concavidad. 3 Aplicar las propiedades de los logaritmos en la simplificación de expresiones. Casos particulares: Logaritmo en base 10 y logaritmo natural. Propiedades de los logaritmos: logaritmo de un producto, logaritmo de un cociente, logaritmo de una potencia, logaritmo de la base, logaritmo de la unidad, cambio de base. Propiedades derivadas de la composición de funciones x inversas: log a x x R log a a a x x x 0. Del libro de MATEM págs. 273 a 279 Calcular aproximaciones decimales de logaritmos usando propiedades de logaritmos. Se darán las aproximaciones necesarias. Ver ejemplo ejercicios del 86 al Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Aplicar las funciones y ecuaciones exponenciales y logarítmicas en la solución de problemas. Ecuaciones exponenciales. Ecuaciones logarítmicas. Problemas de aplicación de funciones y ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Del libro de MATEM págs. 280 a 283 Del libro de MATEM págs. 292 a 300 Se darán las fórmulas de los modelos necesarios. 8

9 GEOMETRÍA 6 Objetivos Contenidos Observaciones Aplicar las relaciones entre los elementos básicos del círculo y la circunferencia, en la solución de ejercicios y problemas Definición de círculo, circunferencia, centro, radio, cuerda, diámetro, arco, ángulo central, recta tangente, recta secante, interior y exterior de la circunferencia. Distancia de una cuerda al centro de la circunferencia. Del libro de MATEM, omitir posiciones relativas entre dos circunferencias y ángulos en el círculo excepto el central. Aplicar las características de los polígonos regulares, inscritos o circunscritos, en la solución de ejercicios y problemas. Teoremas sobre diámetro perpendicular a una cuerda. Propiedades de los polígonos regulares. Elementos de un polígono regular: apotema, radio, ángulo central. Del libro de MATEM págs. 453 a 457 como conocimientos previos, págs. 458 a 468 se evalúa todo. 7 Circunferencias inscrita y circunscrita a un polígono regular. Área y perímetro de polígonos regulares. 8 Aplicar las propiedades de los paralelogramos y de los trapecios en la solución de problemas. Clasificación de cuadriláteros. Propiedades de los paralelogramos. Del libro de MATEM págs. 453 a 457 Propiedades de los trapecios. 9 Aplicar las relaciones entre los elementos de los sólidos fundamentales en la solución de problemas. Definición y propiedades de los sólidos fundamentales: cono circular recto, cilindro circular recto, esfera, prisma recto y pirámide recta. Del libro de MATEM págs. 487 a 512, se evalúa todo. 10 Calcular área lateral, área de la base, área total y volumen de los sólidos fundamentales. Volumen, área total y área parcial del prisma recto, del cilindro circular recto, de la pirámide recta, del cono circular recto y de la esfera. No se evalúa: a) Posiciones relativas entre dos circunferencias o una circunferencia y una recta. b) Ángulos en la circunferencia (inscritos, circunscritos, etc.) c) Inecuaciones exponenciales y logarítmicas. d) Regiones circulares. 9

10 IV PARCIAL SÁBADO 11 DE NOVIEMBRE, 8:00 a.m. Trigonometria 1 Objetivos Contenidos Procedimientos Identificar propiedades que cumplen las coordenadas de los puntos de la circunferencia trigonométrica. Circunferencia trigonométrica. Definición de circunferencia trigonométrica y deducción de algunas de las propiedades que cumplen las coordenadas de cualquier punto P( x, y ) en ella, como por ejemplo: 1 x 1; y 1; x y 1. Solución de problemas tales como: determinar la ordenada de un punto de la circunferencia trigonométrica dada la abscisa o viceversa, verificar si un punto pertenece a la circunferencia trigonométrica. Aprendizajes por evaluar Determinar si un punto pertenece a la circunferencia trigonométrica. Encontrar la segunda coordenada de un punto de la circunferencia trigonométrica si se conoce el cuadrante en que se ubica y la otra coordenada. Reconocer los puntos en que la circunferencia trigonométrica corta a los ejes de coordenadas. Páginas del libro MATEM: y

11 Objetivos Contenidos Procedimientos Calcular las imágenes de un número real bajo cualquiera de las seis funciones trigonométricas a partir del par ordenado de la circunferencia trigonométrica asociado a ese número real. Definición de las funciones trigonométricas para números reales: seno, coseno, tangente, cosecante, secante, cotangente. Análisis de la existencia de una función sobreyectiva de R en la circunferencia trigonométrica tal que a cada número real le asigne un único punto en ella. Definición de las seis funciones trigonométricas para un número real t a partir de las coordenadas del punto de la circunferencia trigonométrica asociado a t. Aprendizajes por evaluar Aplicar la definición de funciones trigonométricas para números reales para calcular imágenes, para determinar si un número está en el dominio de la función. Ubicar el cuadrante o eje en que se ubican puntos en la circunferencia trigonométrica asociados a un número real del cual se conocen las imágenes en algunas de las funciones trigonométricas. 2 Ubicación del punto de la circunferencia trigonométrica asociado a un número real dados los valores de las funciones trigonométricas (dos o las que sean necesarias). Deducción de los valores de las seis funciones trigonométricas para los k números de la forma 2 donde k Z. Aplicación de la simetría de la circunferencia para obtener, a partir de las coordenadas del punto correspondiente a un número t, las seis funciones trigonométricas para números tales como t, t k, k t con k un número entero. 11

12 3 Objetivos Contenidos Procedimientos Calcular las imágenes, de Pares ordenados de los puntos de la cualquier número real de la circunferencia trigonométrica asociados a los k k k k forma o donde k es números de la forma o donde k es un número entero, en un número entero. cualquiera de las seis funciones trigonométricas (en el respectivo dominio). Utilización de los triángulos rectángulos y triángulo rectángulo isósceles para determinar las coordenadas de los puntos de la circunferencia trigonométrica asociados a los números,, y a partir de ellos los valores de las seis funciones trigonométricas. Aprendizajes por evaluar Calcular las imágenes bajo las seis funciones trigonométricas de los números reales de la forma k k o donde k es un 6 4 número entero. Aplicación de la simetría de la circunferencia para deducir las los valores de las seis funciones trigonométricas para números de la forma o k donde k es un 4 número entero. k 6 12

13 4 Objetivos Contenidos Procedimientos Analizar las gráficas de las seis funciones trigonométricas. Dominio máximo, rango y periodo de las funciones trigonométricas. Gráficas de las seis funciones trigonométricas. Deducción, a partir de las propiedades estudiadas anteriormente de las coordenadas de los puntos de la circunferencia trigonométrica, algunas propiedades de las funciones trigonométricas tales como dominio máximo, rango y periodo. Análisis de la monotonía de las funciones seno y coseno a partir del comportamiento de las coordenadas respectivas de los puntos de la circunferencia trigonométrica. Aprendizajes por evaluar Identificar las gráficas de las seis funciones trigonométricas. Graficar las funciones seno, coseno y tangente. Determinar el dominio máximo, rango, intersecciones con los ejes, intervalos de monotonía de las funciones seno, coseno y tangente. Analizar características de las funciones secante, cosecante y cotangente. Construcción de las gráficas de las funciones seno y coseno y análisis de sus propiedades. Análisis de las gráficas de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. 13

14 Objetivos Contenidos Procedimientos Analizar las gráficas de funciones trigonométricas de la forma f ( x) a sen( kx c) b, f ( x) a cos( kx c) b, f ( x) a tan( kx c) b Gráficas, amplitud, periodo, corrimiento de fase, rango de funciones de la forma f ( x) a sen( kx c) b o f ( x) a cos( kx c) b. Período y corrimiento de fase de funciones de la forma f ( x) a tan( kx c) b Análisis del dominio, rango, periodo, corrimiento de fase y amplitud de transformaciones de las funciones seno, coseno y tangente (las que corresponden) y la gráfica de funciones de las formas f ( x) a sen( kx c) b, f ( x) a cos( kx c) b, f ( x) a tan( kx c) b Aprendizajes por evaluar Determinar el rango, amplitud, corrimiento de fase y periodo de una función de la forma f ( x) a sen( kx c) b o f ( x) a cos( kx c) b. Determinar el periodo y corrimiento de fase de una función de la forma f ( x) a tan( kx c) b Páginas del libro MATEM: Ejercicios de la página 351. Se le dará énfasis al análisis de las gráficas y al reconocimiento de las transformaciones. El corrimiento de fase se define como en la página 343, (valor absoluto del número). Sin embargo, se puede referir a este considerando su dirección (positiva o negativa). 14

15 6 Objetivos Contenidos Procedimientos Deducir y aplicar las identidades trigonométricas fundamentales en la simplificación de expresiones y para probar otras identidades. Identidades trigonométricas: 1 Identidades recíprocas: como csc x sen x Identidades pitagóricas : como 2 2 sen x cos x 1 Identidades de paridad : como sen x sen x Identidades de cofunción : como sen x cos x 2 Identidades de periodicidad : como x x tan( ) tan Identidades de suma y resta como sen a b sen a cos b sen b cos a Identidades de ángulo doble como cos 2x cos x sen x 2 2 Identidades de ángulo medio como x 1 cos x tan 2 sen x Obtención de las identidades trigonométricas. Aplicación de identidades trigonométricas, en la resolución de ejercicios en que debe demostrar otras identidades trigonométricas Solución de ejercicios en que se apliquen las fórmulas seno de una suma (coseno o tangente) o de una resta o seno (coseno o tangente)de la mitad de un número tales como calcular el valor de sen 12. Aprendizajes por evaluar Aplicar las identidades trigonométricas fundamentales en la simplificación de expresiones o en la verificación de nuevas identidades, así como para calcular números como sen o el valor 12 de expresiones como tan( a 2 b) donde a y b son números reales de los cuales se conocen los valores de seno y coseno. Páginas del libro MATEM: No entra imagen de la mitad de un número, página

16 7 8 Objetivos Contenidos Procedimientos Analizar las restricciones del dominio y codominio para que las funciones trigonométricas sean biyectivas. Calcular imágenes de las funciones trigonométricas inversas. Resolver ecuaciones trigonométricas en R o algún subconjunto. Funciones trigonométricas inversas en los rangos estándar: sen -1 : [-1,1], 2 2 cos -1 : [-1,1] [ 0, ] tan -1 : R, csc -1 : ]-,1][1,+[ 0,, csc -1 : ]-,1][1,+[ 0,, 2 2 cot -1 : R ]0, [ Ecuaciones trigonométricas. Análisis de las restricciones del dominio para que las funciones trigonométricas sean inyectivas y las restricciones del codominio para que sean sobreyectivas. Definición de las seis funciones trigonométricas inversas y análisis de las gráficas de las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente. Cálculo de imágenes de las funciones trigonométricas. Aplicar las propiedades de las funciones trigonométricas para determinar el conjunto solución de una ecuación trigonométrica. Aprendizajes por evaluar Identificar el dominio y el rango de las funciones trigonométricas inversas. Calcular imágenes de las funciones trigonométricas inversas para valores como 1 1 por ejemplo sen 2. Determinación del conjunto solución de ecuaciones que involucran funciones trigonométricas. Páginas del libro MATEM: