Ecuaciones dinámicas no estándar a partir de lagrangianos convexos en la posición

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1 Ecuacione dinámica no etándar a partir de lagrangiano conveo en la poición J. D. Bulne Obervatório Nacional, Rua Gal. Joé Critino, 77, São Critóvão, CEP , Rio de Janeiro, RJ, Brail. bulne@on.br (Recibido el 4 de Enero de 00; aceptado el 3 de Enero de 00) Reumen En ete artículo, aprovechando la poibilidad de definir lagrangiano conveo en la variable de poición, etablecemo una nueva función dinámica y nueva ecuacione dinámica en el cao unidimenional. Para verificar la conitencia fíica de eta contrucción matemática conideramo lo cao de una partícula libre y un ocilador armónico imple. Palabra clave: Lagrangiano, Función dinámica, Ecuación dinámica. Abtract In thi article, taking advantage of the poibility of defining conve lagrangian in the poition variable, we etablih a new dynamic function and new dynamic equation in the one-dimenional cae. To verify the phyical conitency of thi mathematical contruction, we tudied the cae of the free particle and the imple harmonic ocillator. Keyword: Lagrangian, Dynamic function, Dynamic equation. PACS: i, 0.30.Zz, 45.0.Jj ISSN I. INTRODUCCIÓN Cuando e conidera un cierto itema fíico cláico interactuando con otro itema o con campo, también cláico, debe identificare un conjunto adecuado de coordenada generalizada y hacere uo de alguna ecuación dinámica para poder decribir el comportamiento dinámico de ee itema: la coordenada de centro de maa cambiará de acuerdo con una cierta ley de movimiento y el centro de maa mimo recorrerá una cierta trayectoria fíica. En ete artículo, a partir de la poibilidad matemática de que un lagrangiano conveo en la variable de poición puede er definido y aociado a un itema cláico unidimenional (-D), la que queda jutificada porque familia de lagrangiano equivalente al lagrangiano uual pueden er contruída, como fue motrado, por ejemplo, en [,, 3], obtenemo formalmente una función dinámica (no e trata del hamiltoniano) y funcione dinámica (no e trata de la canónica a travé de la aplicación de la tranformada de Legendre con relación a dicha variable, lo que contituye una variante con relación al procedimiento uual, donde e aplica dicha tranformación con relación a la variable de velocidad del lagrangiano etándar (lagrangiano conveo en la variable de poición dan utento matemático a eta variante). Contruimo dicha función dinámica en do cao: (i) una partícula libre -D, y (ii) un ocilador armónico imple, y verificamo, en ambo cao, que la (nueva ecuacione dinámica llevan a la ecuacione de movimiento correcta. Lo correpondiente cálculo y la etrucutura general de ete artículo on ofrecido en el iguiente orden: En la ubección A obtenemo una epreión general para lo lagrangiano equivalente (al etándar) de un itema cláico -D; en la ección II, procediendo formalmente, contruimo una función dinámica y la ecuacione dinámica, que denominano no etándar ; en la eccione III y IV conideramo lo cao del ocilador armónico imple y de la partícula libre, repectivamente, y verificamo la conitencia fíica tanto de la (nueva) función dinámica como de la (nueva ecuacione dinámica; finalmente, en la ección V, preentamo nuetra concluione. A. Lagrangiano equivalente Aquí eguimo la idea principale implementada en [, ] para obtener una epreión que define una familia de lagrangiano equivalente, la que, a pear de no er tan general como la obtenida en ea referencia, e uficientemente amplia como para incluir lagrangiano conveo en la variable de poición. Lat. Am. J. Phy. Educ. Vol. 4, No., Jan

2 J. D. Bulne De la ecuación de Euler-Lagrange, ecrita en forma dearrollada, podemo obtener una ecuación diferencial para lo lagrangiano i e que uponemo que la función L e deconocida, wl vl L L = 0, () vv v vt donde w, no e una variable de L. El artifício clave conite en uponer que w e obtiene de la ecuación de movimiento conocida, e decir, que w = v. Aí, la ecuación anterior no e la de Euler-Lagrange a pear de que formalmente e ecriba de la mima manera. Derivando () con repecto a la variable tenemo, Lv vlvv Lv wlvvv Lvvt = 0. () Suponiendo que ea válido ecribir, llegamo al iguiente reultado, L v = L v, (3) vlvv wlvvv Lvvt = 0. (4) Si ahora hacemo H ( = L ( obtenemo, vv vh whv Ht = 0. (5) Sea a( una olución de (5), entonce ecribimo, L vv ( = a(, (6) de donde, luego de integrar do vece, reulta, L(, tv, ) = atvdzd (,, ) σ vβ(, t α(, t, donde la funcione β y α on, hata aquí, arbitraria. Como (7) tiene que er olución de (4), luego de hacer la utitucione repectiva, vemo que tenemo que imponer la condición, (7) β α =, (8) t de manera que ahora olamente una de eta funcione e mantiene arbitraria. Finalmente podemo ecribir, a( dzd βt ( dz vβ ( L( = σ φ( t), (9) para definirla debemo reolver (5) coniderando un itema fíico concreto. II. FUNCIÓN Y ECUACIONES DINÁMICAS Conideremo un itema fíico unidimenional y un lagrangiano L aociado al mimo, no neceariamente el etándar. Supongamo que ee lagrangiano, de variable independiente t,, ea conveo en la variable de poición ; en ee cao, la tranformada de Legendre T de la función L con repecto a la variable etá bien definida, [4]. Aplicando tal tranformación e paa de la función L a la función T { L} = B, y de la variable: a la variable:. L ( B( ). (0) donde B ( queda definida a partir del valor de la función auiliar V, el que a u vez etá definido por la iguiente epreión, donde, V (, = L(, () = /. () variable a la cual vamo a denominar, por analogía con la ituación uual, la conjugada de la variable. A partir de la epreión () e debe depejar (uponiendo que ea poible) la variable, de manera que podamo ecribir, = X (, (3) Donde on variable independiente. Con eto, la tranformada de Legendre del lagrangiano L reulta er, e decir, B ( = V (, X ( ). (4) B( = X ( L ( X ( ). (5) La función B ería, formalmente, una función dinámica; verificaremo eto en la iguiente eccione al coniderar do itema fíico -D imple. A continuación, y iguiendo el procedimiento uualmente preentado en lo libro de mecánica teórica para la contrucción de la ecuacione canonica, como en Arnold [4], encontramo, donde β e una función derivable arbitraria y φ e una función arbitraria. La función L en (9) aún no e una olución de (4), pue la función a ( no etá definida; B B B X = = = v v t t,,. (6) Lat. Am. J. Phy. Educ. Vol. 4, No., Jan

3 Como B e una función dependiente de la variable, vamo a reecribir la ecuacione anteriore en término de dicha variable. Por ejemplo, para la ecuación del centro, tenemo, d = = =, (7) dt v donde, en el primer pao, hemo hecho uo de la ecuación de Euler-Lagrange. Reecribimo también la ecuación de la izquierda en (6) uando v = d / dt. De eta manera llegamo al iguiente conjunto de ecuacione, B v =, =, =, (8) t t la que, formalmente, erían ecuacione dinámica (no etándar). Lo reultado (5) y (8) contituyen el reultado principal de ete trabajo. III. EL CASO DEL OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE La ecuacione definida en (8) pueden er aplicada directamente al cao de un ocilador armónico imple (O.A.S.), de maa m y frecuencia w, pue u lagrangiano etándar e una función convea de, uando () coneguimo, L (, tv, ) = mv mw (9) = = (,, ) =, (0) mw mw X t v Ecuacione dinámica no etándar a partir de lagrangiano conveo en la poición = mw v = w w = 0, (4) donde hemo uado la epreión del lado izquierdo en (0), con lo cual e ha verificado que () e una función dinámica para el ocilador armónico imple (de frecuencia w ) y que (8) e un conjunto de ecuacione dinámica. IV. EL CASO DE LA PARTICULA LIBRE CON LAGRANGIANO CONVEXO EN X El lagrangiano (etándar) de la partícula libre no e conveo en, por ello uaremo la epreión general (9) para definir un (nuevo) lagrangiano que í poea eta caracterítica. La ecuación de movimiento para la partícula libre e mv = 0, y recordando el artificio mencionado en la ubección A, tenemo que la ecuación (5) queda reducida a la iguiente, vh H = 0, (5) t que e una ecuación diferencial parcial de primer orden. En ete cao, la correpondiente ecuación de la caracterítica, [5], e ecribe de la iguiente manera, d d e dv 0, v = = (6) de donde obtemo: v = c y = c t c. En (6) no tenemo otra relación independiente que podamo etraer entre la variable. Luego, la olución general de (5) tiene la iguiente forma, a( = G( vt), (7) al utituir (9) y (0) en (5) queda definida una función, B( = mv, () mw A continuación vamo a verificar que la función B tiene dinámica, con ello queremo decir que ella no conducirá a la ecuación de movimiento correcta; para ello uamo () y la ecuacione (8). Entonce, y también, v = v = 0, () mw = = mv, (3) combinando () y (3) reulta, iendo G una función arbitraria. Con ello el lagrangiano má general, uando (9), y en el cao de una particula libre -D, tiene la iguiente forma, L( = t ( dz G( η, ηt) dηdσ φ( t) β vβ ( (8) la función anterior etá bien definida. Para alcanzar nuetro propóito erá conveniente definir la iguiente funcione, β ( = z G( η, ηt) = m, φ( t) = 0, (9) iendo m una contante. Depué de hacer la debida utitucione e integracione obtenemo la función, L ( = mv vt, (30) Lat. Am. J. Phy. Educ. Vol. 4, No., Jan

4 J. D. Bulne pero ante de continuar conviene hacer alguna verificacione obre la conitencia fíica de eta función. Si la función (30) correponde a un lagrangiano de la partícula libre, entonce al emplearla en la ecuación de Euler-Lagrange no debe llevar a la ecuación de movimiento correcta. Veamo, L, = v L, v = t m (3) y uando la ecuación de Euler-Lagrange, d L, L, v = 0 m = 0, (3) dt lo cual etá correcto. Para mayor claridad, también e conveniente verificar tal validez a travé del cálculo del correpondiente hamiltoniano y del uo de la ecuacione canónica. Veamo, donde, H ( = pw ( L ( W ( ). (33) p = v = W ( = ( p t), (34) v m notar que en ete conteto, donde lo lagrangiano on má generale, ya no e má válida la epreión p = mv. Con eto el hamiltoniano queda definido por la epreión, H ( = ( p ( t m) t, (35) m Ahora uaremo la ecuacione canónica, y H = m = p (36) p H p = mp = ( t t m (37) depué de depejar p en (36) y de utituirlo en (37) obtenemo = 0, lo que etá correcto; ahora etamo eguro de que la función (30) e un (nuevo) lagrangiano de la partícula libre -D. A continuación determinamo la función B a partir del lagrangiano (30). Uando tal lagrangiano determinamo la conjugada de a travé de () y, de éta, coneguimo, = X ( = v (38) de manera que, uando (5), obtenemo, B( = ( vt) mv, (39) Ahora vamo a reolver la ecuacione (8), uando la función (39), para determinar i ella no conducen a la ecuación de movimiento correcta. Veamo, y también, v = v t v = 0, (40) = t mv v t vt = 0, (4) de donde de manera directa e encuentra mv = 0, o equivalentemente m = 0, lo que etá correcto, lo que demuetra que la función (39) y la ecuacione (8) on, como e eperaba, dinámica. V. CONCLUSIONES En ete artículo hemo eguido el procedimiento formal de contrucción del hamiltoniano a travé del lagrangiano y de la tranformación de Legendre y al hacerlo hemo coniderado una variante: la tranformada de Legendre fue aplicada con relación a la variable de poición (del lagrangiano). Como lo lagrangiano uuale, en general, no on conveo en dicha variable contruimo una epreión -de cierta generalidad- que genera un conjunto de lagrangiano no trivialmente equivalente al etándar, el que uponemo pueda incluir al meno uno que aegure que la tranformación mencionada eté bien definida, para aí dar utento matemático a dicha variante fíica; el lagrangiano (30) e uno de ee tipo. La función dinámica (5) y la ecuacione dinámica (8), que hemo denominado no etándar, correponden al cao unidimenional. Obtenemo (y verificamo la validez fíica de) la mima en do cao concreto: una partícula libre y un ocilador armónico imple. La aplicabilidad de la ecuacione dinámica (8), en el cao de un itema fíico particular, dependerá de la real poibilidad de definir un lagrangiano equivalente al etándar que ea conveo en la variable de poición. AGRADECIMIENTOS El autor agradece al Prof. Holger Valqui (UNI, Lima) por lo comentario realizado y al Conelho Nacional de Deenvolvimento Cientifico e Tecnológico, CNPq, Brail, por el apoyo financiero. REFERENCIAS [] Hojman S. and Shepley L., Lagrangiano Equivalente, Rev. Me. Fí. 8, 49 (98). Lat. Am. J. Phy. Educ. Vol. 4, No., Jan

5 Ecuacione dinámica no etándar a partir de lagrangiano conveo en la poición [] Yan, C., Contruction of Lagrangian and [4] Arnold, V., Mathematical Method of Claical Hamiltonian from the equation of motion, Am. J. Phy. Mechanic (Springer, nd Edition, New York, 989). 46, 67 (978). [5] Sneddon, I., Element of Partial Differential Equation [3] Currie, D. and Saletan, E., q-equivalent Particle (McGraw-Hill, t. Edition, Koga, 957). Hamiltonian.I. The Claical One-Simenional Cae, J. Math. Phy 7, 967 (966). Lat. Am. J. Phy. Educ. Vol. 4, No., Jan