ESTADISTICA CUANTICA

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1 ESTADISTICA CUANTICA

2 Introducción Por qué? Mayor número de partículas, mayor complejidad del problema. Es posible obtener propiedades colectivas o macroscópicas del sistema sin considerar el movimiento detallado de cada partícula. Es posible aplicar los principios de conservación ignorando el movimiento detallado de cada partícula, y deducir propiedades del sistema a partir de consideraciones estadísticas.

3 Introducción Propiedades observadas del sistema Comportamiento del sistema

4 Equilibrio estadístico E4 N partículas E3 E2 E1 N = ni U = niei

5 Equilibrio estadístico Si sistema aislado U = constante Debido a interacciones y colisiones puede cambiar la distribución de las partículas entre los estados posibles. Es decir los números n1, n2, n3 que dan la partición (o distribución) de las N partículas entre los estados posibles puede estar cambiando. Pero para cada estado macroscópico hay una partición que es más probable.

6 Luego: Dadas las condiciones físicas de un sistema de partículas, hay una partición mucho más probable. Alcanzada esta partición: EQUILIBRIO ESTADÍSTICO

7 Problema clave de M.E. 1. Encontrar la partición ( o ley de distribución) más probable de un sistema dada su composición. 2. Obtener a partir de esta propiedades macroscópicas, es necesario hacer hipótesis para obtener las leyes de distribución. a. Ley de distribución de Maxwell Boltzman b. Ley de distribución de Bose - Einstein c. Ley de distribución de Fermi Dirac.

8 Maxwell - Boltzman N partículas idénticas y distinguibles E4 E3 E2 E1

9 Suposiciones: Todos los estados igualmente posibles. Probabilidad de partición es proporcional al número de maneras diferentes en que las partículas pueden distribuirse entre los estados disponibles de energía para producir esta partición. Puedo ubicar partículas en diferente orden (a,b,c; b,c,a; a,c,b), pero partición igual.

10 Probabilidad de obtener una partición: Si estados tienen probabilidades intrínsecas (gi) diferentes: Si partículas idénticas e indistinguibles

11 Estado de equilibrio: Partición con P max Z = Función de partición.

12 Estadística Cuántica Para partículas idénticas e indistinguibles. Restricciones asociadas a las funciones de onda disponibles asociadas con cada estado de energía. Fermi Dirac Para partículas que obedecen el principio de Exclusión de Pauli. Fermiones Bose - Einstein Bosones

13 Distribución de Fermi - Dirac N partículas idénticas, indistinguibles y que obedecen Principio de Exclusión de Pauli. g i = Dada por la degeneración del estado de energía. Máximo valor de ni no puede exceder gi en una partición dada.

14 E4 E3 E2 E1 1,0,0,1/2; 1,0,0,-1/2; 1,1,0,1/2 1,0,0,1/2; 1,0,0,-1/2 gi estados disponibles, luego la primera partícula se le asigna uno de los conjuntos de números cuánticos y a la siguiente, cualquiera de los gi -1 siguientes, y a la otra cualquiera de los gi-2 siguientes etc.

15 El número total de modos diferentes de disponer las ni partículas entre los gi estados de energía Ei es entonces: gi(gi-1)(gi-2)(gi-3)..(gi ni + 1)= Número total de arreglos diferentes y distinguibles, de ni partículas idénticas en gi estados de energía Ei es:

16 Probabilidad de partición: Número total de modos diferentes y distinguibles de obtener partición n1,n2,n3 en los niveles de energía E1, E2, E3,.. P=

17 Partición más probable: Donde = 1/KT se determina imponiendo que N = ni - KT = E F

18 Distribución de Fermi - Dirac ni/gi T=0 E

19 Ejercicio 1. Encuentre la relación entre los números de ocupación del los primeros dos niveles de energía del átomo de hidrógeno, a temperatura ambiente, suponiendo que satisfacen estadística de Maxell - Boltzman. K = 8,617 X 10-5 ev/k Como cambian sus resultados para temperaturas del orden de K? Que puede concluir?

20 Aplicación de Estadística de Fermi Dirac a gas libre de electrónes en los metales Electrones de conducción pueden ser considerados como un gas de fermiones atrapados en una cavidad formada por una superficie metálica. Probabilidad de encontrar un electrón en un estado de energía E esta dada por:

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