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1 ejerciciosyeamenes.com Eamen de derivadas 1. Razona la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) f() toma todos los valores entre f(a) y f(b), es continua? b) Si f'() > 0 y g'() > 0 en [a,b] cómo es h = f()+5g() en [a,b]? c) Si f'(a) = f''(a) = 0, eiste etremo en a? d) Si una función está acotada, es continua? e) Una función continua es derivable?. Estudia qué hipótesis del teorema de Rolle se cumplen en el intervalo [0,/] para si < 1 f()= Haz la gráfica - si 1. a) Define máimo absoluto y máimo relativo. b) Estudia los etremos relativos y absolutos de f()= -9 c) Haz la gráfica. 4. Sea la función a) Halla sus asíntotas. f()= lim 5. Halla: (tg ) π π b) Ma (0,9), Min (-,0), (,0) 4. =0; y=- 5. 1

2 ejerciciosyeamenes.com Eamen derivadas e integrales 1.- Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función: f()= sen si si < Halla: π -π a) + 1 d b) e sen d d) 1 d - e + e e) sen d π 0 1 c) d 4 - G'():.- Enunciar y demostrar el teorema fundamental del cálculo integral. Usalo para calcular G()= e sen t dt 4.- Máimos, mínimos, puntos de infleión e intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: - 4 f()= Halla: lim 1 a) sen 1 b) Asíntotas de f()= - 1. f() continua en œ; f() derivable en œ-{0}. a) - ln - - π -π + ln -1 + c b) e - e - c) arcsen + c d) arctg e + c 1 e). G'()= sen. 4. Mínimo (0,4); Decrece: (-4,-1)c(-1,0); Crece: (0,1)c(1,4); (-4,-1)1; (-1,1)c; (1,+4)1 5. a) 1; b) =1; =-1; y=/

3 Eamen derivadas e integrales ejerciciosyeamenes.com [1,] 1.- Teorema de Rolle. Enunciado y demostración Estudiar si se cumple el teorema del valor medio del cálculo diferencial f() = - en.- Teorema del valor medio del cálculo integral. Enunciado, demostración e interpretación geométrica. Si - F()= e t - 1 dt hallar c/f'(c) = a) Hallar las asíntotas de f()= + - b) Estudiar dominio, crecimiento y decrecimiento de f()= ln 4.- Calcula: (+ ) d Calcula el área comprendida entre la función máimo y el mínimo. 4 f()= 4+ y la recta que pasa por el Dada la función f()= en [1,]. Comprueba si se cumple el teorema del valor medio del cálculo integral y halla el punto que cumple dicho teorema. 7.- Calcula (1- ). e d 1) No ) = ) a) y=1; =1, =-; b) Dom: (0,1)c(1,+4); (0,1)c(1,e) Decrece y (e,4) Crece 4) -/ ln + 5/6 ln - + / ln +1 + c 5) A = 4 ln8-4ln4-1 6) = 7) (- +-1).e +c

4 Eamen derivadas e integrales ejerciciosyeamenes.com 1.- a) Teorema del valor medio del cálculo diferencial b) Teorema del valor medio del cálculo integral.- a) Estudiar si se cumple el teorema de Rolle en la función y = -1 en el intervalo [-,]. En caso afirmativo, hallar el punto cuya eistencia asegura el teorema. lim sec b) π (1+ cos ).- Un tractor se encuentra en un punto A de una finca, a una distancia de 00 m de un punto B de una carretera recta. La distancia del punto B al almacén es de 1 Km. Si el tractor se mueve a 0 Km/h por la finca y a 40 Km/h por la carretera. A qué distancia del punto B se debe incorporar a la carretera para llegar al almacén lo antes posible? 4.- Halla: a) e d +1 b) d e a) Ecuación de la tangente a la gráfica de la función y = ln en = Área limitada por la gráfica de la función y=ln(+) y los ejes. ) a) No derivable en = 1; b) e 00 ) 4) a) e - ln e +1 + c; b) arcsen c 5) y = - 6) A = ln - 1

5 Eamen de derivadas e integrales ejerciciosyeamenes.com 1.- a) Teorema del valor medio del cálculo diferencial b) Teorema del valor medio del cálculo integral.- Enunciado del teorema de Rolle. Contesta razonadamente a las siguientes cuestiones: a) Se puede aplicar el teorema de Rolle a la función f()=.e en el [-1,1]. b) Eiste algún punto del intervalo (-1,1) en el que se anule la derivada de la función anterior?.- a) Hallar las asíntotas de y = e /. b) Halla: lim -1. Ln a) Calcular la integral de e d Cambio de variable = t b) d Hallar el área que determina f() = ln(+1), el eje OY y la normal a f en =1. ) a) No cumple; b) En =0 ) a) =0; y=0 si 6-4; b) - 4) a) - + e 1 e e + c b) arctg + c 4 5) /4 - ln

6 Eamen derivadas e integrales ejerciciosyeamenes.com 1.- Teorema del valor medio del cálculo diferencial. Enunciado, demostración e interpretación geométrica. lim 1.- a) Hallar tg. 0 b) Hallar las asíntotas de la función y = e -.. Calcula los etremos relativos. Con estos datos represéntala..- Hallar el área que determina y =.e, el eje OY y la tangente a la curva en el mínimo. 4.- Calcular: a) d -1 b) d 4 + (+) ) a) 1/; b) A.H.: y=0 cuando 6+4; máimo (1,1/e) ) A = /e - 1 4) a) arctg 1 + c ; b) ln + - ln + + c 6 4 4

7 ejerciciosyeamenes.com Eamen derivadas 1.- Encontrar a y b para que sea continua la función: a + si 0-1 f()= - b si 0 < < 1 sen(a) si 1.- Es derivable para algún valor de a y b la función:.e si 0 f()= a+ b si 0 < < 1 + ln si 1.- Ecuación de la recta tangente a y = ln() en =1 4.- Demuestra que f() = y g() = -1 tienen un punto de corte en [-,0]. 5.- La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es de 50 cm. Halla sus dimensiones para que la superficie de ese triángulo sea máima. lim 6.- (+e ) a=ð/; b=.- a=1; b=0.- y= Dos catetos iguales de 5 cm 6.- 1

8 Eamen derivadas e integrales ejerciciosyeamenes.com 1.- Teorema del valor medio del cálculo diferencial. Enunciado, demostración e interpretación geométrica..- Hallar el área limitada por la curva y =.ln, el eje OX y las rectas =1/ y =. lim - sen.- a) Calcula: sen 1- b) Calcula: d Dada la función y = e -.(-1). Calcula: Corte con los ejes, asíntotas y etremos relativos. Con estos datos, represéntala..- 1/8 ln - 49/ a) 0; b) c 4.- (0,-1), (1,0); Asíntotas: y=0 cuando 6 4; máimo (,e - )

9 Eamen derivadas e integrales ejerciciosyeamenes.com 1.- Teorema del valor medio del cálculo diferencial. Enunciado, demostración e interpretación geométrica..- Hallar el dominio, crecimiento y decrecimiento de la función: f()= Hallar las asíntotas de la función: Hallar: _ arctg d d ( - ) 5.- Hallar el área encerrada entre la función y = (-1).e -, el eje OX y la tangente a la curva en el punto =0. +1 Solución:. Dom= (-4,) c (,+4); Crece (-4,-)c(-,), Decrece (,+4). =1; y=e 4. a) / arctg - 1/4 ln c; b) -1/9 ln +1/9 ln - - 5/(-9)+c 5. 1/e - 1/4

10 ejerciciosyeamenes.com Eamen integrales 1.- Teorema fundamental del cálculo integral. Dedúcelo..- Enuncia el teorema del valor medio del cálculo integral y aplícalo a la función f() = 1/ en el intervalo [1,4] dt.- Máimos y mínimos de la función dt siendo >1 lnt Área limitada por la gráfica de la función y=+ y las tangentes a dicha gráfica en los puntos de intersección con el eje de abscisas. 5.- Efectúa: ln arctg a) + + d b) e d 6 + c) d d 9.- = f(c). (4-1) c= Decrece en (0,1)c(1,+4), no hay máimos ni mínimos. 4.- / ( ln ) (arctg ) 5.- a) c b) e ( ) + c (+1 ) (+1 ) (+1 6 ) c) + ln ( +1) + c

11 ejerciciosyeamenes.com Eamen integrales 1.- Enuncia el teorema fundamental del cálculo integral y aplícalo para determinar los máimos y mínimos de la función: F()= ln t dt 1.- Halla las siguientes primitivas: 1 a) d -1 b) - d c) cos sen d d) sen e d.- Halla el área de la región del plano limitada por las gráficas de las funcións y= e y=. 4.- Concepto de primitiva de una función. Deduce las propiedades. 1. Mínimo =1. a) 1/ ln -1-1/ ln +1 + c b) 4 ( - ) - ( - ) 5 + c 15 5 c) - cos + cos + c 5 d) e sen - e cos + c. A = 1/

12 ejerciciosyeamenes.com Eamen derivadas TEORÍA 1.- Define: a) Continuidad en un punto y en un intervalo. b) Derivada de una función en un punto. c) Máimo local.- Enuncia: a) Teorema de Bolzano. Interpretación geométrica. b) Regla de L'Hôpital. CUESTIONES 1.- Una función continua, creciente y que posea recta tangente en un punto es derivable en ese punto?. Razónalo con un ejemplo..- Es posible que f sea creciente en a siendo f'(a)=0. En caso afirmativo dibuja un ejemplo, en caso negativo eplica porqué..- Sabiendo que f'()=1, f"()=f () ()=f (4) ()=0, f (5) =. En =, la función presenta un máimo, mínimo o punto de infleión?. Razonar la respuesta. PROBLEMAS 1.- Queremos construir una caja de base cuadrada de volumen 54 cm. Si el material para construir las bases cuesta el doble que el de las paredes. Cuáles deben ser las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo?..- Comprueba si se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle en las siguientes funciones. En caso afirmativo indica dónde se cumple la tesis. a) f() = ( - ) en [0,6] b) f() = + 9 en [-,] + 1 si - 0 c) f()= en [-1,] 1 si Estudia y representa: y = e - (-) lim 4.- Calcula: (1+sen ) 0 1. HH6. a) No; b) Sí, =0; c) No 4. e cosec

13 ejerciciosyeamenes.com Eamen derivadas 1.- a) Enuncia y di cuál es la interpretación geométrica del teorema de Rolle. Razona la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones: b) Si f() = -4+ eiste por lo menos un punto c0(0,1) tal que f(c) = c) Toda función acotada es continua d) Toda función continua en œ es acotada en œ e) f'()>0, 0œ Y f()>0 0œ.- Regla de L'Hôpital: Enunciado y demostración. Aplícala para calcular el límite siguiente: lim ( cot ) 0.- Dada la función f() = a +b +c+d, halla "a", "b", "c" y "d" sabiendo que la tangente en el punto de infleión (0,) es y=-+ y que la función presenta un etremo en el punto de abscisa Cuál es el radio de la base de un cilindro de volumen máimo inscrito en una esfera de radio % m? Representa la función: y =. e 1. b) V; c) F; d) F; e) F. 1. y= r=

14 Eamen derivadas e integrales ejerciciosyeamenes.com 1.- Estudiar la continuidad y derivabilidad de -1 f() = -4.- Averigua si f() = 1- sen, verifica las hipótesis del teorema del valor medio en [0,ð/]. lim.- Calcula ( 1- ) e - e 4.- Estudia y representa: y=.e 5.- Calcula: cos a) d sen e b) ( + e cos ) d d c) Continua en œ\{-,}; Derivable en œ\{-,1,}.- Sí cumple.- 1/e - sen 5.- a) - e + c ; b) e cos + e sen + + c ; c) ln +1 - ln arctg + c 6

15 Eamen derivadas e integrales ejerciciosyeamenes.com 1.- Teorema de Rolle. Comprueba si lo verifica la función: y = en [-1,1] π -π.- Regla de Barrow. Calcular: sen cos d.- Representa la función y = e. Area determinada por la función, el eje OX y las rectas =1, = Calcular: d lim 5.- Enuncia la regla de L'Hôpital y calcula (sen ) 0 cosec 1. No. 0. e -e 4. ln + + ln - + c 5. 0

16 Eamen derivadas e integrales ejerciciosyeamenes.com 1.- Teorema de Rolle. Se puede aplicar el teorema de Rolle a la función f()=.e en [-1,1].- Teorema del valor medio del cálculo integral. Comprobar la verificación de su tesis para la función f()= - en [0,1]. lim - sen.- Calcular: 0 + sen Enunciar la regla de L'Hôpital. 4.- Calcular: Calcular máimos, mínimos y asíntotas de eje OX y la recta =e. ln y = y el área limitada por la función, el 1. No. =/. -/ 4. ln c + 5. Ma (e,1/e); A.H. y=0; A.V. =0; Area = 1/

17 Eamen derivadas e integrales ejerciciosyeamenes.com 1.- Teorema de Rolle. Calcular b para que la función f() = + -+ cumpla la hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,b]. Dónde cumple la tesis?.- Enuncia la regla de L'Hôpital. lim sen - Calcula: 0 tg -.- Representar la función: y = e -. Calcula sus asíntotas. 4.- Teorema del valor medio del cálculo integral. Interpretación geométrica. Comprobarlo para la función f() = + en el intervalo [-1,1] Calcular: d arcsen d 6.- Hallar el área limitada por y = y el eje OX b=1;. -1. A.H. y=0 si =0 5. ln c ;. arcsen c 6. Area = 56 u

18 Eamen derivadas e integrales ejerciciosyeamenes.com 1.- Teorema del valor medio del cálculo integral. Comprobar si verifica el teorema del valor medio la función y = cos - sen en [0,ð].- Estudia la continuidad y la derivabilidad de las funciones: a) y = - 9 b) y = si < 1 si 1 < si >.- Enuncia la regla de L'Hôpital. Calcular: lim sen - lim (1- cos ) 0 1- cos Calcula dominio, crecimiento y decrecimiento, máimos y mínimos de y=.ln Calcular: d Representar y calcular el área limitada por y = ln, la recta y= y los ejes de coordenadas.. a) continua en œ; derivable en œ-{-,} b) Continua en œ; derivable en œ-{}. 0; 1 4. Dom: (0,4), mínimo (1/e,-1/e), crece (1/e,+4), decrece (0,1/e) 5. -ln + ln -1 + c 6. e -1

19 Eamen derivadas e integrales ejerciciosyeamenes.com lim 1.- Calcula: (1- sen ) 0 ctg.- Máimos y mínimos de f() =. e Integra: a) ( - sen ) d b) d Calcula el área limitada por la funciones: y = +; y = Teorema del valor medio del cálculo integral. Enuncia la regla de L'Hôpital Ma. en ="1; mín. en =0. a) sen c ; b) 1/ ln c 4 4. A=9/

20 Eamen derivadas e integrales ejerciciosyeamenes.com 1.- Enuncia el teorema de Bolzano de funciones continuas. Estudia la continuidad y derivabilidad de la función: - e si 0 f()= 1- si 0 < 1 + si > 1.- Teorema del valor medio del cálculo diferencial. Comprueba si lo verifica la función f() = - en el intervalo [0,1]. En caso afirmativo halla el punto cuya eistencia asegura el teorema..- Calcula: lim 1 - cos a) 0 lim b) 0 ln( +1). 1 - cos 4.- Calcula: a) sen d -1 b) d 5.- Teorema fundamental del cálculo integral. Enunciado y demostración. 6. -Representar las curvas y = 1+-, y = -1 y calcular el área limitada por ellas. 1. Cont. en œ\{1}; deriv. en œ\{0,1}. =1/. a) 1/; b) a) - sen + c ; b) 1 1 ln c 4-6. A = 7/

21 Eamen derivadas e integrales ejerciciosyeamenes.com [1,e] 1.- Teorema de Rolle. Interpretación geométrica y demostración. Comprueba el teorema del valor medio del cálculo diferencial en la función: f() = 1/ en.- Calcula: sen lim e - 0 e.- Calcula: d 4.- Hallar el área comprendida entre la función los ejes de coordenadas. (Hacer la representación) y = ln, la recta tangente en el máimo y 5.- Hallar los máimos, mínimos, crecimiento y decremiento de 6.- Hallar las asíntotas de la función: y = - 1 f()= = e ln + ln -1-6 ln + + c 4. 1/ 5. Ma (0,0), Mín (4,8/9) 6. =1, =-1, y=

22 Eamen derivadas e integrales ejerciciosyeamenes.com 1.- a) Teorema de Rolle. Demostración e interpretación geométrica. b) Satisface la función y = 1- el teorema de Rolle en [-1,1].- a) Enuncia la Regla de L'Hôpital. b) Calcular: lim sen π tg lim a) Representar: y = a) Teorema del valor medio del cálculo integral. Interpretación geométrica. - 1 b) Compruébalo para la función y = en [0,] Calcular: d arctg d Calcular el área limitada por la función f()= el eje OX, =0, = No. 1; 1/6. 4. b) =1 0 (0,) 5. /5 ln - + /5 ln + + c;.arctg - 1/ ln 1+ + c 6. 1-ð/4

23 Eamen derivadas e integrales ejerciciosyeamenes.com 1.- Teorema del valor medio del cálculo diferencial. Demostración e interpretación geométrica..- a) Calcula: lim π/ tg 5 tg b) Hallar las asíntotas de la función: y = e.- Hallar el área limitada por la curva y = 1 +1 y el eje OX entre =-1 y =1. función: π cos 4.- a) Calcula: sen _ e d 0 b) Cumple las condiciones del teorema del valor medio del cálculo diferencial la 8-6 si f()= en [0,4]? + si >.- a) 5/; b) =0; y=0 si ð/ 4.- a) e-1 b) Sí; 5/ 0 (0,4)

24 ejerciciosyeamenes.com Eamen derivadas 1.- Estudiar el dominio, asíntotas, etremos y monotonía de la función y=(-).e -.- a) Si f() es continua en =0 Y f() es derivable en =0 b) Si f() es derivable en =0 Y f() es continua en =0 c) Si f() no es derivable en =0 Y f() no es continua en =0 d) Si f() no es continua en =0 Y f() no es derivable en =0.- Halla el límite: lim sen 0 tg + sen 4.- Cumplen las siguientes funciones el teorema del valor medio?. a) f() = en [-1,1] b) g()= en [-,] > Teorema de Rolle. Enunciado, demostración e interpretación geométrica. 1. Dom: œ; A.H.: y=0 cuando 6+4; Má (,e - ); Crece (-4,), decrece (,+4). F, V, F, V. 1/ 4. a) No; b) Sí

25 ejerciciosyeamenes.com Eamen Derivadas 1.- a) Definición e interpretación geométrica del teorema de Bolzano y Weierstrass. Consecuencias. b) Teorema del valor medio del cálculo diferencial, enunciado e interpretación geométrica..- a) Es posible hallar "a" para que la función sea derivable en todo su dominio?. Justificarlo. ln si 0 < 1 f()= a (1- ) si 1< b) Si f() es continua en [1,], f(1)=-6 y f()>, podemos asegurar que g()=f()+ tiene al menos un cero en [1,]? c) Si una función y=f() tiene f'(a) = 0 y f"(a) = 0, puede tener un mínimo relativo en =a?.- Determinar k para que eista y sea finito el límite para ese valor de k. lim 0 e +k sen y calcúlalo 4.- Halla el punto de la curva y=1/ cuya distancia al origen sea mínima a) Representa la función y = -1 b) Halla la ecuación de la tangente a la curva y = e (+) en su punto de infleión.. a) a=-1; b) Sí; c) Sí. k=-1; lim=1 4. (1,1), (-1,-1) 5. b) +e 5 y+7=0

26 ejerciciosyeamenes.com Eamen Derivadas 1.- a) Enunciado e interpretación geométrica del teorema de Rolle. -1 b) Dada f()= qué hipótesis cumple del teorema de Rolle en el intervalo [-1,1] +.- Para qué valores de "a" y "b" será continua la función?: a e - e + si 0 f()= b si = 0 lim cos lim.- Calcula: a) ( tg ) b) π/ 0 e Halla las asíntotas de f()= e Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y=e. en su máimo. 6.- a) Enunciado e interpretación geométrica del teorema de Bolzano. b) Si f() es continua en [1,4], f(1)=- y f(4)=5, prueba que hay un punto al menos en [1,4] tal que f(0)=. 7.- Cuál es el triángulo rectángulo de área mínima con una hipotenusa de 50 cm?. a=1; b=1/. a) 1; b) 4. y=0 si 6+4; =0 5. y=4/e 7. 5, 5

27 ejerciciosyeamenes.com Eamen Integrales 1.- a) Enunciado e interpretación geométrica del teorema del valor medio del Cálculo Integral. b) Enunciado del teorema fundamental del Cálculo Integral c) Regla de Barrow..- Halla el área limitada por -1 f()= el eje OX y las rectas =1 y =..- Dibuja y halla el área limitada por las gráficas de - +4 f()= y g()= Calcula: a) d b) cos d ( - 1) (+ ) + 1 d c) d d) Halla el área limitada por y = ln, y = 0 y = e.. A = / - ln. A = 1/9 4. a) ln -1 + ln + + c; b) sen - sen + c 1 c) arcsen c ; d) arctg + c 5.- A = 1

28 ejerciciosyeamenes.com Eamen Integrales 1.- a) Teorema del valor medio del cálculo integral. Interpretación geométrica..- a) Al calcular el área de un recinto por una integral definida, depende el cálculo de la primitiva que se utilice?. Razona la respuesta. b) Si una función f() se mantiene positiva para todos los valores de, cualquier función primitiva de ella es siempre creciente?.- Calcula: 1 a) d b) d c) sen + sen d e tg + 1 e d) + d 9 cos 4.- Determina la función y = a +b+c sabiendo que su gráfica pasa por el punto P(1,) y que la tangente en P es paralela a la recta y=5+4 y que f"() =. - < a) Si f()= 0 1, representa f() y calcula f() d - 6-1< b) Calcula el área limitada por f()=, el eje X y las rectas =a y =b, siendo a y b +4 las abscisas del máimo y el mínimo de f() a) c 1; b) - + c; e 1 c) - sen - + cos 1 cos + c ; d) arcsen tg e + c 4 4. y= a) 5/6; b) A = ln = ln4