Estimación de Parámetros.

Transcripción

1 Estimación de Parámetros. Un estimador es un valor que puede calcularse a partir de los datos muestrales y que proporciona información sobre el valor del parámetro. Por ejemplo la media muestral es un estimador de la media poblacional, la proporción observada en la muestra es un estimador de la proporción en la población Distribucion CHI cuadrado. La estadística de Chi-cuadrado es una técnica que se utiliza para determinar si una distribución de frecuencias observadas difiere de frecuencias esperadas teóricas. En estadística, la distribución chi-cuadrado, también denominada ji-cuadrado de Pearson, es una distribución de probabilidad continua con un parámetro k que representa los grados de libertad de la variable. La prueba de Chi-cuadrado es la técnica estadística más usada para el análisis de conteo o datos en frecuencias y constituye una prueba útil de significación para muchos problemas. Las aplicaciones de la distribución Chi-cuadrado están constituidos por contraste de hipótesis, donde los datos disponibles par el análisis, se encuentran en forma de frecuencias (recuento de casos). Estos contrastes toman los nombres de prueba de bondad de ajuste, prueba de independencia y prueba de homogeneidad. Característica Chi-Cuadrado. 1.- El valor de chi-cuadrado (χ 2 ) es siempre positivo por que es una suma de cuadrados. 2.- Varia de 0 a infinito..- Es una familia de distribuciones que dependen de un parámetro : grados de libertad. FORMULA χ 2 = (Valores observados Valores esperados) 2 total de valores esperados Ejemplo. Al lanzar un dado 48 veces, se obtuvieron los siguientes resultados: el numero 1 salio 7 veces; el numero 2, 6 veces; el numero, 10 veces; el numero 4, 9 veces; el numero 5, 10 veces y el numero 6, 6 veces. Con un nivel de significación del 5% pruebe la hipótesis de que el dado es honesto (no esta cargado). Ho = hipótesis nula Ha = hipótesis alternativa α = 0,05 grados de libertad = K-1 grados de libertad = 6 1= 5 K= lados del dado

2 Según la tabla de chi-cuadrado con α = 0,05 y grados de libertad = 5 χ 2 0,05 = 11,1 χ 2 = (Valores observados Valores esperados) 2 frecuencia esperada Las frecuencias esperadas, se determinan de acuerdo a la hipótesis nula planteada p = 1/6 Frecuencia esperada = 1/6 * 48 = 8 Caras (dado) Observado Esperado (frecuencia esperada) χ 2 = (7-8) 2 + (6-8) 2 + (10-8) 2 + (9-8) 2 + (10-8) 2 + (6-8) χ 2 = 2,25 Decisión estadística como 2,25 < 11,1 no se encuentra evidencias muestrales para rechazar la Hipótesis al nivel de significación de 0,05. Decisión sobre el problema. Se concluye que el dado es honesto (no esta cargado). T-student En probabilidad y estadística, la distribución-t o distribución t de Student es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. A la teoría de pequeñas muestras también se le llama teoría exacta del muestreo, ya que también la podemos utilizar con muestras aleatorias de tamaño grande. Un concepto necesario para entender la distribución t-student es lo de grados de libertad, que son los números que se pueden elegir libremente

3 g.l. = k 1, donde k son los parámetros Características de la distribución t de Student 1. Al igual que la distribución Z, es una distribución continua 2.- Tiene forma acampanada y simétrica. Formula χ - μ t = _ s n X = media muestrales μ = media poblacional s = desviación estándar n = tamaño de la muestra Ejemplo: Ejemplo de calibración Se desea saber si un instrumento de medición cualquiera está calibrado, desde el punto de vista de la exactitud. Para ello se consigue un valor patrón y se lo mide 10 veces (por ejemplo: una pesa patrón para una balanza, un suero control para un método clínico, etc.). Suponiendo que el resultado de estas mediciones arroja una media de 52,9 y una desviación de, usando un patrón de valor 50, se debe determinar si el instrumento está calibrado, para niveles de confianza 99%, 99,9% y 95%. Datos X = 52,9 n = 10 S = μ = 50 Planteamiento de las hipótesis Ho = μ = 50. El instrumento está calibrado H1 = μ 50 El instrumento no está calibrado 1.- Se calcula la t de student mediante la ecuación χ μ 52,9-50 t = _ = = ± s n 10

4 Para el nivel de confianza de 95%, α = 1- α => 0,05. Buscando en la tabla t-student de 2 colas, grados de libertad = 9 y α = 0.05 se tiene que el valor de intersección es 2,262. Por ser una distribución de 2 colas se debe tener tomar el valor de la tabla positivo y negativo como se muestra en el siguiente gráfico. Zona de aceptación -2,262 2,262 dado que el valor calculado de t-student con la formula es igual a cae fuera del área de aceptación, se rechaza la hipótesis nula: el instrumento no está calibrado en exactitud. Para el nivel de confianza de 99%, α = 1- α => 0,01. Buscando en la tabla t-student de 2 colas, grados de libertad = 9 y α = 0.01 se tiene que el valor de intersección es,250. Por ser una distribución de 2 colas se debe tener tomar el valor de la tabla positivo y negativo como se muestra en el siguiente gráfico. Zona de aceptación 0,99,250,250 dado que el valor calculado de t-student con la formula es igual a cae dentro del área de aceptación, se acepta la hipótesis nula: el instrumento está calibrado en exactitud. Para el nivel de confianza de 99,99%, α = 1- α => 0,001. Buscando en la tabla t-student de 2 colas, grados de libertad = 9 y α = se tiene que el valor de intersección es 4,781. Por ser una distribución de 2 colas se debe tener tomar el valor de la tabla positivo y negativo como se muestra en el siguiente gráfico.

5 Zona de aceptación 0,999-4,781 4,781 dado que el valor calculado de t-student con la formula es igual a cae dentro del área de aceptación, se acepta la hipótesis nula: el instrumento está calibrado en exactitud.