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1 Potencial periódico débil. Trataremos a continuación de buscar soluciones para las energías de los electrones en el caso de que el potencial periódico que ven los electrones sea débil. Comenzaremos el cálculo intentando aplicar teoría de perturbaciones, usando como referencia el sistema de electrones libres y asumiendo que aplicamos un potencial periódico U(r) Por tanto el cálculo asociado a la teoría de perturbaciones no permite calcular las variaciones de energía en los limites de zona.

2 Por tanto y para poder encontrar las energías tenemos que recurrir a resolver la ecuación de Schrödinger. Para ello desarrollamos en serie de Fourier el potencial periódico y también la función de onda monoelectrónica y sustituimos en la ecuación de Schrödinger, tal y como se hizo en la demostración de Teorema de Bloch: Para encontrar soluciones de la ecuación recurrimos a la ecuación en su forma de conjunto de ecuaciones algebraicas (que se encontró en al demostración del teorema de Bloch)

3 La presencia de un potencial periódico hace aparecer en los límites de zona (en cualquier dirección g) una banda de energía prohibida de magnitud 2 Vg, donde Vg es la componente g del potencial de Fourier. En el resto de la zona la energía de los electrones no difiere en exceso de lo esperado para los electrones libres.

4 La presencia del potencial da lugar a la aparición de dos estados que concentran la densidad electrónica en los átomos o entre ellos dando lugar a estados de distinta energía.

5 Representación para sistemas 2D Las bandas de energía van a ser funciones complejas que presentan gap de energías de diferente valor en función de la dirección del espacio recíproco. 2D

6 Ejemplo: Estructura de bandas del Silicio (3D) Las bandas se representan en dirección concretas del espacio recíproco, hasta el límite de la 1º zona de Brillouin

7 Electrones fuertemente ligados Analicemos ahora una situación totalmente diferente al caso previo. Supondremos que los electrones adquieren funciones de onda que son combinaciones lineales de los orbitales atómicos de los átomos que conforman el sólido. Calcularemos con esta hipótesis los niveles de energía del solido asumiendo que podemos usar teoría de perturbaciones.

8 Este modelo ilustra un principio importante. Supongamos que partimos de un conjunto de niveles atómicos cuando los átomos están aislados. Cuando los aproximamos para formar un sólido se produce el solapamiento que da lugar a estados combinación lineal de los orbitales atómicos. Esto hace que cada estado atómico de lugar a una banda de energía ε(k) en el sólido. La forma de la banda es análoga a la obtenida en el caso de electrones débilmente ligados, es decir sigue la parábola de electrones libres para k cercanos a cero y se desplaza de estos valores para k próximos a los límites de zona. En este caso la presencia de un «gap» de energía surge al partir de diferentes niveles atómicos para poder determinar las diferentes funciones εn(k)

9 Bandas de energía. Si bien los cálculos en el caso de electrones débilmente ligados y fuertemente ligados son diferentes, es interesante mencionar que los resultados, al menos cualitativos son análogos e indican que en lo sólidos aparecen una serie de bandas de energía. En el interior de la zona los electrones siguen comportamientos similares a los de los electrones libres y en los límites de zona aparecen «gaps» de energía que están condicionados por como es el potencial cristalino del sistema. En la práctica habitual existen procedimientos de cálculo de la bandas más precisos ( métodos celulares, método de ondas planas aumentadas, método basados en las funciones de Green, método de las ondas planas ortogonales, pseudopotenciales, etc) que aunque dan valores más precisos no cambian lo observado con los dos modelos extremos explicados. Una de las aplicaciones más importantes de los resultados obtenidos hasta ahora es que estamos preparados para saber a priori que tipo de comportamiento eléctrico se espera de un determinado sólido.

10 Tipos de sólidos según la teoría de bandas Metal Aislante Metal Semimetal El número de k permitidos en la primera zona de Brillouin coincide con el número de celdillas del cristal. Además cada estado puede acomodar 2 electrones. El número de electrones que puede acomodar una banda es 2 veces el número de celdillas del cristal. 1. Los sólidos con un electrón libre por celdilla primitiva son metales, ya que no llenan la primera banda de energía. Ejemplos: metales alcalinos, Li, Na, K, Rb, Cs, y metales nobles como Cu, Ag, Au)

11 Tipos de sólidos según la teoría de bandas Metal Aislante Metal Semimetal 2. Los sólidos con un número impar de electrones por celdilla, también son metales, ya que llena parcialmente una banda. Ejemplos: Al, Ga, In, Tl, 3. Los sólidos con un número par de electrones por celdilla primitiva deberían ser aislantes, si bien no siempre es así porque puede haber solapamiento de bandas. De hecho la mayor parte de los elementos divalentes son metales, los intervalos prohibidos no son lo bastante anchos para que los electrones queden contenidos en una sola banda. Algunos de ellos como (Sr, Ba) son malos conductores, probablemente porque existe un bajo grado de solapamiento.

12 Tipos de sólidos según la teoría de bandas Metal Aislante Metal Semimetal 4. Los elementos tetravalentes son o metales o semiconductores. Una progresión interesante se produce en el grupo IV de la tabla periódica, empezando por el C que en su fase diamante es un semiconductor con un intervalo prohibido tan ancho que en la práctica es una aislante. El Si y el Ge son semiconductores, el Sn que puede ser metal o semiconductor en función de sus estructura cristalina y el Pb que es un metal

13 Ejemplo de bandas de energías en las que existe solapamiento 2V 100 2V 100

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