EJERCICIOS TEMA 4 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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1 EJERCICIOS TEMA 4 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

2 EJERCICIOS TEMA 4

3 EJERCICIOS TEMA 4 3 TOPOLOGÍA Ejercicio 1 Sea el conjunto A = 0; 1) [ fg. Hallar A, A, A 0 fra). Solución: A = 0; 1); A = [0; 1] [ fg; A 0 = [0; 1]; fra) = f0; 1; g : Ejercicio Sean los subconjuntos de R : A = [0; 1] \ Q, B = 0; 1) \ R Q). Estudiar si son abiertos o cerrados. Hallar el interior, la adherencia, el conjunto derivado frontera de ambos. Solución: No son abiertos ni cerrados. A = ; = B; A = [0; 1] = B; fra) = [0; 1] = frb); A 0 = [0; 1] = B 0 : Ejercicio 3 Sean los conjuntos A = B = R = = 3n 1 n ; n N ; n N R = = n + n ; n N a) A B son cerrados?, son abiertos?. b)determinar si A [ B es un conjunto cerrado. c) Calcular A 0 ; A; B 0 ; B; A [ B) A [ B) 0. Solución: a) A B no son abiertos ni cerrados. b) A [ B es cerrado. c) A = A [ f3=g ; A 0 = f3=g, B = B [ f1g ; B 0 = f1g ; A [ B = A [ B; A [ B) 0 = f1; 3=g : Ejercicio 4 Determinar: A; eta); fra); A; A 0 siendo A el conjunto A = f; )= jj < 1; jj < 1; ; Qg Solución: A = ;; eta) = R ; ) R = jj 1; jj 1; ; R ; A 0 = A = fra) = ; ) R = jj 1; jj 1; ; R : Ejercicio 5 Dado el conjunto: C = ; ) R =1 + [ Determinar el interior, la adherencia, el derivado la frontera de C. 1 n = n N Solución: C = ; ) R =1 < + < ; C = ; ) R =1 + [ 1 n ; n N [f0g ; C0 = f0g [ ; ) R =1 + ; frc) = ; ) R = + = 1 _ + = [ 1 n ; n N [ f0g : Ejercicio 6 En R se consideran los siguientes conjuntos A = ; ) R =1 < + < ; B = ; ) R = 0 ^ = 0 ; C = n ; ) R =1 < < p o a) Es A C cerrado?. Si no lo es, dar su adherencia. b) Es A B abierto?. Si no lo es dar su interior. c) Es A compacto? Es A compacto? Es C compacto? d) Es C A cerrado?. Si no lo es, dar C A. Solución: a) A C no es cerrado, A C = ; ) R =1 + ^ 1. b) A B es un conjunto abierto. c) A no es compacto, A es compacto, C no es compacto. d) C A no es cerrado, C A = ; ) R =1 p ^ + : Ejercicio 7 Sea en R, el conjunto X de puntos ; ) tales que 0 < a, puntos de la diagonal AB siendo Aa; b) B0; b) e incluendo los puntos Q i a; b ; i = 1; ; 3; :::; n; :::; con a > 0; b > 0) i Calcular su conjunto derivado, interior, adherencia cali car el conjunto dado. b < < b, ecluendo los Solución: X = ; ) R =0 < < a; b < < b AB; X = ; ) R =0 a; b b [ fa; b=i); i = 1; ; 3:::g [ fa; 0)g ; X 0 = ; ) R =0 a; b b [ fa; 0)g. El conjunto X no es cerrado, tampoco es abierto. No es compacto ni coneo.

4 4 EJERCICIOS TEMA 4 GRÁFICAS, LÍMITES Y CONTINUIDAD Ejercicio 8 Hallar representar el dominio natural de de nición de las funciones: + 1= a) z = ; b) z = p 1 + ) Solución: a) el dominio natural de de nición es la lúnula + < ; b) 1 + 1: Ejercicio 9 Hallar representar el dominio natural de de nición de las funciones: a) arcsen + ; b) z = p sen + ) Solución: a) ^ 0)[ ^ 0) f0; 0)g; b) k + k+1), con k = 0; 1; ; ::: familia de anillos concéntricos). Ejercicio 10 Calcular representar las curvas de nivel de las funciones a) z = e = + ) ; b) z = e Solución: a) haz de circunferencias que pasan por el origen de coordenadas sin incluir éste) que tienen el centro 1= ln k; 0) sobre el eje OX radio 1= ln k, más la recta = 0. b) familia de hipérbolas equiláteras situadas en los cuatro cuadrantes, más los ejes de coordenadas. Ejercicio 11 Calcular representar las curvas de nivel de la función z = jj + Solución: = + k) [ = + k) ; k = 0, 1, ; :::familia de semirectas). Ejercicio 1 Comprobar que la función f no tiene límite en el punto 0; 0) Solución: Los límites radiales dependen de m. + 3 Ejercicio 13 Comprobar que f; ) no tiene límite en el punto 0; 0) 5 + Solución: El límite radial es cero 8m, pero el límite según la traectoria = 3 es 1. Ejercicio 14 Comprobar que f; ) no tiene límite en el punto 0; 0) + Solución: Los límites radiales dependen de m. Ejercicio 15 Estudiar el límite de la función f; ) cuando ; )! 0; 0) + Solución: Eisten los límites reiterados, pero son distintos por lo tanto no eiste el límite. Ejercicio 16 Calcular el límite los límites reiterados de la función f; ) cuando ; )! 0; 0) si > 0 si 0 Solución: lm!0 f 1 ) = 0 no eiste el límite reiterado lm!0 f ):

5 EJERCICIOS TEMA 4 5 Ejercicio 17 Calcular los límites reiterados de las siguientes funciones cuando ; )! 0; 0) eplicar la información que proporcionan acerca del límite doble. a) + sen 4 ; b) si 6= 0 0 si = 0 Solución: a) Como los límites reiterados eisten son distintos lm f 1 ) = 1, lm f ) = 0), podemos!0!0 asegurar que no eiste el límite de la función; b) lm f 1 ) = ), por tanto puede eistir el límite!0!0 de la función, que deberá ser cero. Ejercicio 18 Calcular los límites reiterados de las siguientes funciones cuando ; )! 0; 0) eplicar la información que proporcionan acerca del límite doble. a) + ; b) sen 1 + sen 1 Solución: a) Los límites reiterados eisten son iguales a cero, por lo tanto el límite doble, en caso de eistir, será igual a cero; b) Dado que el 0; 0) no es punto interior del dominio X de la función f; ), no podemos calcular los límites reiterados. Ejercicio 19 Dada la función f calcular su límite si ; )! 0; 0) + Solución: l = 0: Ejercicio 0 Estudiar el límite en el origen de la siguiente función Solución: l = 0: Ejercicio 1 Calcular el siguiente límite Solución: l = 0: lm ;)!1;1) Ejercicio Calcular el límite en el origen de la función Solución: l = 1: Ejercicio 3 Probar la no eistencia del límite Solución: El límite radial depende de m. Ejercicio 4 Probar la no eistencia del límite ln1 + ) sen + ) lm ;)!0;0) lm ;)!0;0) Solución: El límite radial es 1 si m = 1 0 si m 6= 1. Ejercicio 5 Calcular el siguiente límite + + ) lm ;)!0;0) sen

6 6 EJERCICIOS TEMA 4 Solución: l = 0: Ejercicio 6 Calcular el siguiente límite Solución: l = 1: Ejercicio 7 Calcular el siguiente límite Solución: l = 0: + ) ln1 + ) lm ;)!0;0) sen [ + )] lm + )p + 1 sen p ;)!0;0) + Ejercicio 8 Calcular el siguiente límite lm 1 + ;)!1;1) Solución: l = e. Ejercicio 9 Calcular el siguiente límite lm e ;)!0;0) Solución: l = e 0 = 1: Ejercicio 30 Calcular el siguiente límite Solución: l = 0. p lm ln 1 + p + ;)!0;0) Ejercicio 31 Estudiar la continuidad en el origen de la función f de nida por + ) 1 si ; ) = 0; 0) Solución: no es continua en el origen. Ejercicio 3 Comprobar la discontinuidad en el origen de la función f de nida por + 4 Solución: es discontinua en el origen. Ejercicio 33 Estudiar la continuidad en el origen de la función Solución: la función es continua. Ejercicio 34 Estudiar la continuidad en el origen de la función sen + ) si 6= 0 0 si = 0 Solución: la función es discontinua en el origen.

7 EJERCICIOS TEMA 4 7 Ejercicio 35 Estudiar en el origen la continuidad de la función 3 si 6= 0 0 si = 0 Solución: la función es discontinua en el origen. Ejercicio 36 Hallar el conjunto de los puntos de discontinuidad de la función si 4 + 6= 1 ; ) 6= 0; 0) 1 si 4 + = 1 ó ; ) = 0; 0) Solución: el conjunto de los puntos de discontinuidad de f es C = ; ) R =4 + = 1 [ f0; 0)g : Ejercicio 37 Hallar el conjunto de los puntos de discontinuidad de la función 1 si 6= 0 si = Solución: f es dicontinua en todos los puntos de la parábola =. Ejercicio 38 Estudiar la continuidad de la función + 3 Solución: Es continua en todo punto, salvo en 0; 0). Ejercicio 39 Estudiar la continuidad de la función + Solución: Es continua en todo punto. Ejercicio 40 Estudiar la continuidad de la función + 1 si + 6= 1 0 si + = 1 Solución: La función es continua en todo punto, salvo en los puntos de la circunferencia: + = 1. Ejercicio 41 Estudiar la continuidad de la función 1 si jj jj 0 si jj > jj Solución: la función f; ) es discontinua en cada punto del conjunto C = ; ) R = jj = jj :

8 8 EJERCICIOS TEMA 4 DERIVADA Y DIFERENCIAL Derivadas Parciales Ejercicio 4 Calcular las derivadas parciales de las funciones siguientes + ; g; ) = ; ) = 4 ; + ; ) = 4 + ) ; ) = ln ; ) = 1 : Ejercicio 43 Calcular las derivadas parciales de las funciones siguientes: p p + 3 a) ; b) ln + + Solución: ; ) = p + : p +) ; ) = p p +) ; ; ) = +3 ) + ) Ejercicio 44 Estudiar la derivabilidad en el origen de la función f : R! R, de nida por + 0; 0) = 0; 0; 0) = 0: Ejercicio 45 Calcular las derivadas parciales, si eisten, de la función + en el punto 0; 1). Si f0; 0) = 1, eisten las derivadas parciales en 0; 0)?. ; ) = ln 3 + ) + 0; 1) ; 0; 1) 0; 0) = 0; 0; 0) = 0: Ejercicio 46 Dada la función + estudiar la continuidad la eistencia de las derivadas parciales en el origen. 0; 0) = 0; 0; 0) = 0. Ejercicio 47 Sea Estudiar en qué puntos f satisface la ecuación tg si 6= 0 0 si ; ) + ; ) = f; ) Solución: f satisface la ecuación dada en los puntos del conjunto: R f0; )= 6= 0g : Diferencial Ejercicio 48 Estudiar la diferencialidad en 0; 0) de la función f ; ) = + Solución: f no es diferenciable en 0; 0).

9 EJERCICIOS TEMA 4 9 Ejercicio 49 Estudiar la diferenciabilidad en 0; 0) de la función f : R! R de nida por sen 1 + Solución: la función es diferenciable su diferencial es df0; 0) = 0. Ejercicio 50 Estudiar la diferenciabilidad, en el punto 0; 0), de la función + Solución: la función no es diferenciable en el origen. Ejercicio 51 Sea la función f : R! R de nida por 1 sen + Estudiar la continuidad de las derivadas parciales en el 0; 0) la diferenciabilidad de la función en el origen. Solución: la función es diferenciable. Ejercicio 5 Estudiar la continuidad la diferenciabilidad en el origen de las funciones siguientes a) p ; b) si 6= 0 si = Solución: a) f es continua no es diferenciable en 0; 0). b) f es discontinua no es diferenciable en 0; 0). Ejercicio 53 Estudiar la continuidad la diferenciabilidad en el origen de las funciones siguientes a) jj jj)e 1= si 6= 0 0 si = 0 ; b) si 6= 0 0 si = 0 Solución: a) f es continua es diferenciable en el origen. b) f no es continua no es diferenciable en el origen. Ejercicio 54 Demostrar que la función p jj es continua en 0; 0) pero no es diferenciable en dicho punto. Ejercicio 55 Utilizando el concepto de diferencial hallar el valor aproimado de a) m = p 1; ;97 3 ; b) M = sen 8 cos 61 Derivada direccional gradiente Ejercicio 56 Sea f : R! R la función de nida por + 4 Calcular la derivada D v f0; 0) en la dirección de todo vector v = a; b) distinto del vector nulo. Solución: D v f0; 0) = 0 si a = 0 D v f0; 0) = b a si a 6= 0. Ejercicio 57 Dada la función a) Es f diferenciable en 0; 0)?. b) Calcular las derivadas direccionales en 0; 0). Solución: a) la función no es diferenciable en el origen. b) D v f0; 0) = 4 cos 3 :

10 10 EJERCICIOS TEMA 4 Ejercicio 58 Estudiar la eistencia de las derivadas direccionales en el punto 0; 0) de las siguientes funciones a) si 6= 0 ; b) + 0 si = 0 Solución: a) D v f0; 0) = 0 si cos = 0; b) D v f0; 0) = cos sen. Ejercicio 59 Hallar la derivada direccional de la función 3 en el punto de coordenadas 1; 0) en la dirección que forma con el semieje positivo de abscisas un ángulo de 10. Solución: D f1; 0) = : Ejercicio 60 Calcular la derivada direccional de la función 1 en el punto de la curva 4 + = 4 de abscisa: 0 = 1= p ordenada positiva, en la dirección de la normal interior a la curva en ese punto. 1 Solución: D f p ; p = p p5 : Ejercicio 61 Demostrar que la derivada direccional de la función = evaluada en cualquier punto de la elipse + = c, a lo largo de la normal eterior a la misma, es igual a cero. Ejercicio 6 Calcular la derivada direccional de la función 4 f; ; z) = z en el punto P ; 1; 1) en la dirección hacia Q3; 1; 1). En qué dirección, a partir de P, es máima la derivada direccional?. Cuál es el valor de ese máimo?. Solución: La derivada direccional es máima en la dirección del gradiente. Su máimo valor es p 6: Ejercicio 63 Calcular la derivada direccional de la fución f; ; z) = 8 + z en la dirección de la normal eterior a la super cie + + z = 17 en el punto 4; 0; 1). Solución: D f4; 0; 1) = p 17: Ejercicio 64 Calcular la derivada direccional de la función z = ln + ) en el punto 0 ; 0 ), en la dirección de la normal eterior a la curva de nivel de z que pasa por ese punto. Solución: D v z 0 ; 0 ) = jrz 0 ; 0 )j = p : 0 +0 Ejercicio 65 El potencial eléctrico en un punto ; ) viene dado por V = ln p + Hallar la variación unitaria de V en el punto 3; 6) en la dirección que va desde este punto al punto ; 4). Demostrar que esta variación del potencial es máima a lo largo de rectas que pasan por el origen.

11 EJERCICIOS TEMA 4 11 Solución: la derivada direccional es D V 3; 6) = 11p 5 15 : Ejercicio 66 Una función diferenciable tiene en el punto 1; ) derivadas direccionales de valores: en la dirección al punto ; ) en la dirección al punto 1; 1). Hallar el vector gradiente en 1; ) calcular el valor de la derivada direccional en este punto en la dirección del punto 4; 6). Solución: rf1; ) = i + j: D f1; ) = 14 5 : Ejercicio 67 Determinar los valores de las constantes a, b c tales que la derivada direccional de f; ; z) = a + bz + cz 3 en el punto 1; ; 1) tenga un valor máimo 64 en la dirección del semieje positivo OZ. Solución: a = 6; b = 4 c = 8. Diferencial de una función vectorial de variable vectorial Ejercicio 68 Dada la función f : R 3! R dada por f; ; z) = + z + estudiar la diferencialidad de f en R 3 calcular la diferencial en aquellos puntos en los que eista. Solución: df = h 1 + h + h 3 : Ejercicio 69 Dada la función f : R 3! R f ; ; z) = + + z; + z estudiar la diferencialidad de esta función en R 3 calcular la diferencial en el punto 1; ; 3). Solución: df 1; ; 3) = h1+h+h3 4h 1+5h +h 3 : Derivada de la función compuesta. Cambios de variables Ejercicio 70 Demostrar que la función siendo g : R! R derivable, satisface la ecuación Ejercicio 71 Comprobar que la función z = g ) + = z z = + f + ) donde f es derivable dos veces, satisface las = + ; z = 1 Ejercicio 7 Tomando como nuevas variables independientes u =, v = =, transformar la ecuación = 0: Ejercicio 73 Transformar la = mediante el cambio de las variables independientes, de nido por las fórmulas = u cos v = u sen v

12 1 EJERCICIOS TEMA 4 : Ejercicio 74 Efectuar el cambio de variables a coordenadas polares r; ), en = = 0: Ejercicio 75 En la ecuación efectuar el cambio de + p 1 = u = ln ; v = ln + p 1 + @v = 0: Ejercicio 76 En la ecuación + = 0 efectuar el cambio de las variables independientes ; ) por las u; v), de nidas = 0: u = ln p + ; v = arctg Derivadas de orden superior Ejercicio 77 Dada la función f : R! R de nida por + Calcular f 00 0; 0) f 00 0; 0). Solución: f 00 0; 0) = 1; f 00 0; 0) = 1. Ejercicio 78 Comprobar que la función: z = f [ + )] satisface 3 = z Ejercicio 79 Demostrar que la función z = fa + ) + z = z a) satisface la ecuación siendo f g dos funciones cualesquiera que admiten derivadas segundas. Ejercicio 80 Demostrar que la función z = g + h en donde g h son funciones derivables dos veces, satisface la z z z = 0 Ejercicio 81 Dada la función + + cualesquiera que sean e + 6= 0). f + f + b@ f = 0 hallar a b para que veri que la igualdad Ejercicio 8 Comprobar que la función z = f [ + )] donde f son dos funciones diferenciables dos veces, satisface z

13 EJERCICIOS TEMA 4 13 Ejercicio 83 Transformar la ecuación de vibraciones de la tomando como nuevas variables independientes: u = = 0: = w ; a 6= 0 at, v = + at. Ejercicio 84 Epresar en coordenadas polares r; ), la ecuación de Laplace z r = Ejercicio 85 Transformar la z z = z z = 0 introduciendo las nuevas variables independientes u =, v = = : Diferenciales de orden superior Ejercicio 86 Calcular d f siendo e sen Solución: d f = e sen d + e cos dd e sen d : Ejercicio 87 Calcular d 3 f siendo f; ; z) = z Solución: d 3 f = 6d 3 : Ejercicio 88 Se considera la función z = e Calcular d z: a) si e son variables independientes; b) si = sen t, = cos t. Solución: a) d z = e d + d). b) d z = e sen t cos t cos t sen t)dt : Ejercicio 89 Determinar la diferencial tercera en los puntos 0; ) =; =), de la función Solución: d 3 z0; ) = d + d) 3 ; d 3 z z = sen + ) ; = 0: Funciones de nidas implicitamente. Sistemas Ejercicio 90 Determinar la ecuación de la tangente a la curva = ) dada en forma implícita por la ecuación = 3 en el punto 1; 1): Solución: + 3 = 0: Ejercicio 91 Determinar la ecuación del plano tangente a la super cie z = z; ) de nida implícitamente por la ecuación e + e z + ze 3 = 0 en el punto 0; 0; 0). Solución: + + z = 0:

14 14 EJERCICIOS TEMA 4 Ejercicio 9 Comprobar que la función z = f; ), de nida implícitamente por la ecuación F ; z ) = 0 satisface la + z = 0 Ejercicio 93 Demostrar que la función z; ), de nida implícitamente por la ecuación z a a cos ) + a sen ) = m donde a, m son constantes, satisface la = m Ejercicio 94 Demostrar que la función z; ), de nida implícitamente por la ecuación z + = p z satisface la + = 1 z Ejercicio 95 Dada la función z = ; ), de nida implícitamente mediante la ecuación F + z ; = 0 z calcular la epresión Solución: z ): z + z Ejercicio 96 Determinar d d en el sistema de ecuaciones + 3z u = z + u = 0 Solución: d = 1 3 7dz + 5du); d = 1 3 5dz + 4du): Ejercicio 97 Consideremos las funciones u = u; ); v = v; ); w = w; ) de nidas implícitamente por el sistema de ecuaciones 8 < + u v + w = 1 u + v + w = 1 : + + u 3v w = 1 Determinar las derivadas parciales de dichas funciones en el = 1; = 1; u = 1; v = 1; w = 0: = 5 3 = 1 6 = 4 3 = 1 3 = 4 3 = 11 6 : Ejercicio 98 El sistema de ecuaciones e u+v + uv = 1 e u v u 1+v = determina dos funciones diferenciables, u = u; ) v = v; ), tales que u1; ) = 0 v1; ) = 0. Hallar du1; ) dv1; ). Solución: du = 1 3 d; dv = d d.

15 EJERCICIOS TEMA 4 15 EXTREMOS Etremos Relativos Ejercicio 99 Estudiar los máimos mínimos relativos de f : R 3! R dada por f; ; z) = + + z + z Solución: f alcanza en =3; 1=3; 1) un mínimo estricto. Ejercicio 100 Determinar los etremos relativos de la función u = f; ; z) de nida por u = z + ; > 0, > 0, z > 0 z Solución: en el punto 1=; 1; 1) ha un mínimo relativo. Ejercicio 101 Estudiar si los puntos 0; 0; 0) p 6; p 3; p ) son etremos relativos de la función f; ; z) = + + 3z z Solución: 0; 0; 0) es mínimo p 6; p 3; p ) es punto de silla. Ejercicio 10 Estudiar los etremos relativos de la función: R! R de nida por Solución: en 0; 1) punto de silla; en ; 3) punto de silla; en 1; 3=) ha un mínimo. Ejercicio 103 Hallar los máimos mínimos de la función Solución: en ; 1) mínimo; en ; 1) máimo; en 1; ) punto de silla; en 1; ) punto de silla. Ejercicio 104 Hallar los máimos mínimos de la función e ) Solución: en 0; 0) ha punto de silla en 4; ) ha máimo. Ejercicio 105 Determinar los etremos de la función z = f; ) de nida implícitamente por la ecuación z + z 8 = 0; z > 0 Solución: En 1; ; ) ha punto de silla en 1; ; 1) ha mínimo. Ejercicio 106 Calcular los máimos mínimos de la función Solución: en p ; p ) ha un mínimo; en p ; p ) ha un mínimo; en 0; 0) ha punto de silla. Ejercicio 107 Determinar los etremos de la función z = Solución: punto de silla en 0; 0). Ejercicio 108 Calcular los máimos mínimos relativos de la función Solución: punto de silla en 0; 0). Ejercicio 109 Calcular los etremos relativos de la función f : R! R dada por:

16 16 EJERCICIOS TEMA 4 Solución: mínimo sobre los puntos de la recta + = 0: Ejercicio 110 Hallar los etremos relativos de la función z = Solución: mínimo relativo en 0; 0). Ejercicio 111 Determinar los etremos relativos de la función z = 3 ) 8 Solución: 0; 0) punto de silla. Ejercicio 11 Determinar los etremos relativos de la función z = Solución: 0; 0) punto de silla. Ejercicio 113 Determinar los etremos relativos de la función z = Solución: 0; 0) punto de silla; 6; 0) mínimo. Ejercicio 114 Investigar los máimos mínimos de la función z = 4 a + 3 según los distintos valores del parámetro a. Solución: Si a > 0 : p a; 0) punto de silla p a; 0) punto de silla. Si a = 0 : 0; 0) punto de silla. Etremos Absolutos Ejercicio 115 Hallar los valores máimo mínimo de la función z = sen + sen + sen + ) en el rectángulo 0 ; 0 Solución: z ma = 3p 3 en 3 ; 3 ; zm{n = 0 en 0; 0): Ejercicio 116 Hallar el máimo mínimo absolutos de la función + sobre el conjunto ; ) R = + Solución: f alcanza su mínimo, m = 0, en 0; 0) su máimo, M = 3, en los puntos 1; 1) 1; 1). Ejercicio 117 Determinar los etremos absolutos de las funciones: en la región Solución: a) z ma = 3 p en 3 en 0; 1): p 3 3 ; p3 1 a) z = ; b) z = + 1 ; z m{n = 3 p 3 en p 3 3 ; 1 p3. b) z ma = 1 en 1; 0); z m{n = 1

17 EJERCICIOS TEMA 4 17 Ejercicio 118 Determinar los etremos absolutos de la función z = en el dominio 0 ; 1 Solución: z ma = 13 en ; 1); z m{n = 1 en 0; 1) en 1; 1): Etremos Condicionados Ejercicio 119 Determinar los etremos de la función + con e relacionadas por la ecuación + 1 = 0 Solución: mínimo en el punto 1=; 1=). Ejercicio 10 Determinar los etremos de la función con la condición + 4 = 1 Solución: mínimos, de valor 3, en los puntos, 0; ) 0; ) máimos, de valor 3=4, en los puntos 1; 0) 1; 0). Ejercicio 11 Determinar la distancia mínima del punto P 1; 0) a la parábola = 4. Solución: distancia mínima, de valor 1; desde el punto 0; 0) : Ejercicio 1 Calcular la distancia mínima del punto P 0; 0) a la curva 1) 3 = 0. Solución: distancia mínima, de valor 1; desde el punto 1; 0) : Ejercicio 13 Calcular los máimos mínimos de la función f 0 ; ; z) = + + z sobre el elipsoide Solución: mínimo: f 0 q q q ; ; z = q = ; máimo: f 0 1 q q q 4 11 ; ; q = : Ejercicio 14 Determinar los etremos de la función z = + con la condición 3 Solución: máimo: f p 0 p p f ; = 4: ; 3p = 0 = 9; máimo: f 0 = 9; mínimo: f p ; 3 p 3 ; p p = 4; mínimo: Ejercicio 15 Descomponer un número positivo a en tres sumandos positivos, de modo que sea mínima la suma de sus cubos. Solución: mínimo en = a 3 ; = a 3 ; z = a 3.

18 18 EJERCICIOS TEMA 4 Ejercicio 16 Estudiar los etremos de la función u = + + z con las condiciones + = 0 + z = 6 Solución: mínimo en ; ; 4). Ejercicio 17 Hallar las distancias máima mínima del origen a la elipse de ecuación = 8: Solución: d ma = en p p p p ; en ; ; 1 dm{n = 1 en p 1 ; p 1 en p 1 ; p : Ejercicio 18 Determinar los etremos de la función con la condición Solución: z m{n = para = ; = 1 13 : z = = 1 Ejercicio 19 Calcular las distancias máima mínima de un punto de la elipse + 4 = 4 a la recta + = 4. Solución: d m{n = 4 p p 5 4 en el punto p 1 5 ; p5 ; d ma = 4+p p 5 4 en el punto p 1 5 ; p 5 : Ejercicio 130 Determinar las dimensiones del paralelepípedo rectangular de maor volumen que se puede inscribir en el elipsoide a + b + z c = 1. Solución: Las dimensiones del paralelepípedo son: a p 3 ; b p 3 ; c p 3. Ejercicio 131 a) Calcular los etremos relativos libres de la función b) Calcular, por el método de los Multiplicadores de Lagrange, los etremos condicionados de f; ) con la condición + 1 = 0 Solución: a) punto de silla en 0; 0); b) máimo condicionado en 1; 0): Ejercicio 13 a) Calcular los etremos relativos libres de la función b) Determinar, por el método de los multiplicadores de Lagrange, los etremos de la misma función f; ) pero ahora con la condición 1 = 0 Interpretar grá camente los resultados. Solución: a) máimo en 0; 0); b) máimo condicionado en 0; 1): Ejercicio 133 a) Calcular, mediante el método de los multiplicadores de Lagrange, los etremos condicionados de la función 1 con la condición ; ) = + = 0 b) Tiene etremos relativos libres la función f; )? Interpretar gra camente los resultados. Solución: a) máimo en 1; 1) mínimo en 1; 1); b) no tiene, es un plano.