Rotabilidad de mecanismos planos de cuatro barras: Ejemplos.

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1 Rotabilidad de mecanismos planos de cuatro barras: Ejemplos. José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica. División de Ingenierías, Campus Irapuato-Salamanca. Universidad de Guanajuato. CP 36730, Salamanca, Gto., México Alejandro Tadeo Chávez. Instituto Tecnológico Superior de Irapuato. Carretera Irapuato Silao K.M CP 36821, Irapuato, Gto., México Tel. (462) Introducción. En estas notas se presentan algunos ejemplos de aplicación de las condiciones de rotabilidad y del criterio de Grashoff para la determinación del tipo de mecanismos planos de cuatro barras y sus, posibles, posiciones críticas. 2 Ejemplo 1: Mecanismo rotatorio-oscilatorio. Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 1 cuyas longitudes son: a 1 = 10, a 2 = 2, a 3 = 8, a 4 = 6. Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de Grashoff, esto es: L + s p + q (1) Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está dada por a 1 = 10 = L, a 2 = 2 = s, a 3 = 8 = p, a 4 = 6 = q. Por lo que, sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene o (2) Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I, más aún, puesto que s = a 2, se concluye que el mecanismo es rotatorio-oscilatorio y el eslabón 2 puede realizar rotaciones completas. En una segunda etapa, se confirmará este resultado empleando las condiciones de rotabilidad y, adicionalmente, se determinarán las, posibles, posiciones críticas de los eslabones de entrada y de salida. 1

2 Figure 1: Mecanismo plano de cuatro barras 1. Eslabón 2. Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene a 1 + a 2 a 3 + a 4 (3) o (4) El eslabón 2 satisface esta primera condición de rotabilidad. Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior a 2 a 1 a 4 a 3 (5) o 8 2. (6) El eslabón 2 satisface esta segunda condición de rotabilidad. Por lo tanto, se verifica que este eslabón 2 puede girar Eslabón 4. Primera condición de rotabilidad. Posición límite exterior a 1 + a 4 a 2 + a 3 (7) o (8) El eslabón 4 no cumple con esta condición de rotabilidad, por lo tanto tiene una posición límite, vea la figura 2. El ángulo correspondiente se obtiene como cos α = a2 1 + a 2 4 (a 2 + a 3 ) 2 2a 1 a 4 (9) 2

3 Figure 2: Mecanismo plano de cuatro barras en una posición límite externa Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que Entonces el ángulo θ 4L1 está dado por α = θ 4L1 = 180 α = = Segunda condición de rotabilidad. Posición límite interior a 4 a 1 a 3 a 2 (10) o 4 6 (11) Entonces el eslabón 4 no cumple con está condición de rotabilidad, por lo tanto tiene una posición límite interior, vea la figura 3. El ángulo correspondiente se obtiene como cosβ = a2 1 + a 2 4 (a 3 a 2 ) 2 2a 1 a 4 (12) Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que Entonces el ángulo θ 4L2 está dado por β = θ 4L2 = 180 β = = El paso final consiste en, dado que el eslabón 4 no puede rotar completamente, determinar el ángulo de oscilación, vea la figura 4, que está definido como Sustituyendo los valores correspondientes, se obtiene φ 4 = α β. (13) φ 4 = = (14) 3

4 Figure 3: Mecanismo plano de cuatro barras en una posición de puntos muertos interior. Figure 4: Mecanismo plano de cuatro barras: Ángulo de oscilación del mecanismo 3 Ejemplo 2: Mecanismo doble rotatorio. Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 5, cuyas longitudes están dadas por a 1 = 3, a 2 = 6, a 3 = 11, a 4 = 9. Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de Grashoff, esto es: L + s p + q (15) Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está dada por a 1 = 3 = s, a 3 = 11 = L, a 2 = 6 = p, a 4 = 9 = q. Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene o (16) Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I y puesto que el eslabón más pequeño es s = a 1 = 3, el mecanismo es doble rotatorio. 4

5 Figure 5: Mecanismo plano de cuatro barras En una segunda etapa, este resultado se verificará empleando las condiciones de rotabilidad para los eslabones de entrada y de salida. 1. Eslabón 2 Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior. a 1 + a 2 a 3 + a 4 (17) o (18) Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior a 2 a 1 a 4 a 3 (19) o 3 2. (20) Se cumplen ambas condiciones de rotabilidad para el eslabón 2, por lo tanto, este eslabón puede rotar Eslabón 4. Primera condición de rotabilidad. Posición límite exterior. a 1 + a 4 a 2 + a 3 (21) o (22) 5

6 Segunda condición de rotabilidad. Posición límite exterior a 4 a 1 a 3 a 2 (23) o 6 5. (24) Se cumplen ambas condiciones de rotabilidad para el eslabón 4, por lo tanto este eslabón 4 puede rotar 360. Con este resultado se verifica que el mecanismo es doble rotatorio. Por lo tanto, no es necesario calcular ángulo de oscilación alguno. 4 Ejemplo 3: Mecanismo doble oscilatorio de la clase I. Considere un mecanismo de cuatro barras mostrado en la figura 6 cuyas longitudes están dadas por a 1 = 7, a 2 = 6, a 3 = 3, a 4 = 5. es Figure 6: Mecanismo de cuatro barras Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de Grashoff, esto L + s p + q (25) Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está dada por a 1 = 7 = L, a 3 = 3 = s, a 2 = 6 = p, a 4 = 5 = q. Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene o (26) Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I y puesto que s = a 3 = 3 el mecanismo es doble oscilatorio. En una segunda etapa, este resultado se verificará empleando las condiciones de rotabilidad para los eslabones de entrada y de salida. 6

7 1. Eslabón 2 Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior. a 1 + a 2 a 3 + a 4 (27) o 13 8 (28) El eslabón 2 no cumple con está condición de rotabilidad, por lo tanto tiene una posición de puntos muertos exterior, vea la figura 7, el ángulo θ 2D1 está dado por cos θ 2D1 = a2 1 + a 2 2 (a 3 + a 4 ) 2 2a 1 a 2 (29) Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que θ 2D1 = (30) Figure 7: Posición de puntos muertos exterior en un mecanismo plano de cuatro barras Segunda condición de rotabilidad Posición de puntos muertos interior. a 2 a 1 a 4 a 3 (31) o 1 2. (32) El eslabón 2 no cumple con está condición de rotabilidad, por lo tanto, se presenta una posición de puntos muertos interior, vea la figura 8, el ángulo θ 2D2 está dado por Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene cos θ 2D2 = a2 1 + a 2 2 (a 4 a 3 ) 2 2a 1 a 2 (33) θ 2D2 = (34) 7

8 Figure 8: Posición de puntos muertos interior en un mecanismo plano de cuatro barras. La conclusión es que el eslabón 2 es incapaz de rotar 360. El paso final consiste en determinar el ángulo de oscilación, vea la figura 9, que está definido como Sustituyendo los valores de los eslabones se obtiene φ 2 = θ 2D1 θ 2D2. (35) φ 2 = = (36) Figure 9: Determinación del ángulo de oscilación del eslabón 2 en un mecanismo plano de cuatro barras. 2. Eslabón 4. Primera condición de rotabilidad. Posición límite exterior. a 1 + a 4 a 2 + a 3 (37) 8

9 o (38) El eslabón 4 no cumple con está condición de rotabilidad; por lo tanto, el eslabón 4 tiene una posición límite exterior, vea la figura 10, el ángulo correspondiente está dado por cos α = a2 1 + a 2 4 (a 2 + a 3 ) 2 2a 1 a 4 (39) Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene Entonces el ángulo θ 4L1 está dado por α = (40) θ 4L1 = 180 α = = (41) Figure 10: Posición límite exterior en un mecanismo plano de cuatro barras. Segunda condición de rotabilidad. Posición límite interior. a 4 a 1 a 3 a 2 (42) o 2 3. (43) De acuerdo con este resultado, el eslabón 4 no puede rotar completamente; por lo tanto, el eslabón 4 presenta una posición límite correspondiente, vea la figura 11, el ángulo θ 4L2 está dada por cos β = a2 1 + a 2 4 (a 3 a 2 ) 2 2a 1 a 4 (44) Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene β = (45) 9

10 Figure 11: Posición límite interior en un mecanismo plano de cuatro barras. y el ángulo θ 4L2 está dado por θ 4L2 = 180 β = = (46) La conclusión es que el eslabón 4 no puede rotar completamente. El paso final consiste en determinar el ángulo de oscilación, vea la figura 12, el ángulo θ 4L2 está dado por φ 4 = α β (47) Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene φ 4 = = (48) Figure 12: Determinación del ángulo de oscilación φ 4 en un mecanismo de cuatro barras 10

11 5 Ejemplo 4: Mecanismo doble oscilatorio de la clase II. Considere un mecanismo de cuatro barras mostrado en la figura 13, cuyas longitudes están dadas por a 1 = 11, a 2 = 6, a 3 = 9, a 4 = 7. es Figure 13: Un mecanismo plano de cuatro barras Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de Grashoff, esto L + s p + q (49) Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está dada por a 1 = 11 = L, a 2 = 6 = s, a 3 = 9 = p, a 4 = 7 = q. Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene o (50) Por lo tanto, el mecanismo es de la clase II y por lo tanto es doble oscilatorio. En una segunda etapa, este resultado se verificará empleando las condiciones de rotabilidad para los eslabones de entrada y de salida. 1. Eslabón 2. Primera condición de rotabilidad. Posición límite exterior. a 1 + a 2 a 3 + a 4. (51) o (52) Es eslabón 2 no cumple con está condición de rotabilidad; por lo tanto, el eslabón 2 presenta una posición de puntos muertos exterior, vea la figura 14, el ángulo θ 2D1 está dado por cosθ 2D1 = a2 1 + a 2 2 (a 3 + a 4 ) 2 2a 1 a 2 (53) Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene θ 2D1 = (54) 11

12 Figure 14: Posición de puntos muertos exterior en un mecanismo plano de cuatro barras Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior. a 2 a 1 a 4 a 3 (55) o 5 2 (56) Por lo tanto, se verifica que el eslabón 2 cumple con está condición de rotabilidad. Figure 15: Ángulo de oscilación φ 2 en un mecanismo plano de cuatro barras El paso final consiste en determinar el ángulo de oscilación, φ 2, vea la figura 15, el cual está definido como φ 2 = 2 θ 2D1 (57) Sustituyendo los valores correspondientes se tiene φ 2 = 2 ( ) = (58) 12

13 2. Eslabón 4. Primera condición de rotabilidad. Posición límite exterior. a 1 + a 4 a 2 + a 3 (59) o (60) El eslabón 4 no cumple está condición de rotabilidad; por lo tanto, el eslabón 4 presenta una posición límite exterior, vea la figura 16, el ángulo θ 4L1 está dado por cos α = a2 1 + a 2 4 (a 2 + a 3 ) 2 2a 1 a 4 (61) Sustituyendo las longitudes de los eslabones obtenemos que: Entonces el ángulo θ 4L1 está dado por: α = (62) θ 4L1 = 180 α = = (63) Figure 16: Posición límite exterior en un mecanismo plano de cuatro barras. Segunda condición de rotabilidad. Posición límite interior. a 4 a 1 a 3 a 2 (64) o 4 3 (65) Este resultado muestra que el eslabón 4 si cumple con está condición de rotabilidad. 13

14 La conclusión es que el eslabón 4 es incapaz de rotar completamente. El paso final consiste en determinar el ángulo de oscilación, φ 4, vea la figura 17, el cual está definido como Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene φ 4 = 2α (66) φ 4 = 2 ( ) = (67) Figure 17: Ángulo de oscilación φ 4 en un mecanismo plano de cuatro barras 14